北航金融计量学第二章
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总体参数 : 0 , 1 ；随机误差 :
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3
矩阵表示的最小二乘法
X'X bX'Y b(X'X)1X'y
❖ （如果X有线性独立列）
❖ 通过QR分解求解.
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4
b的期望值
E (b)E (X ('X)1X'Y)
E [X ('X)1X'(X )]
E [X ( 'X ) 1 X 'X (X 'X ) 1 X ' )]
❖ 所以，b是 的无偏估计值。
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5
b的协方差
b(X'X)1X'YAY
C(b o ) A v vY a)A r ' ( A2 I'A 2 A' A 2(X 'X ) 1X 'X (X 'X ) 1
2(X'X)1
编辑课ຫໍສະໝຸດ Baiduppt
6
b的协方差
❖ 对一元线性回归:
2(X' X)1
2 n
（1）单调递增型： t2随X的增大而增大； （2）单调递减型： t2随X的增大而减小; （3）复 杂 型： t2与X的变化呈复杂形式。
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Back19
异方差产生的原因
❖ 1、学习——误差模型。人们随着学习的进展，它们
的特定行为的误差也随之减少。
编辑课件ppt
20
❖ 2、有关收入的模型。随着可支配收入的增加， 人们选择的余地较大，这就会产生异方差性。
❖ 满足古典假设：
（1）随机误差项的均值为0，即E(εt)=0； （2）同方差，即var(εt)=σ2； （3）随机误差项之间无自相关，即对于任意t≠j有cov(εj,
εt)=0； （4）自变量Xj(j=2, 3, …, K)之间不存在多重共线性，设X为
解释变量Xj(j= 2, 3, …, K)的观测值矩阵。X为n×K阶数值 矩阵，则rk(X)=K，K<T。
第二章 回归模型及应用
2.1 数据和模型 2.2 线性回归模型的参数估计和统计检验 2.3 不满足古典假设时的计量经济问题 2.4 虚拟变量与模型的稳定性问题 2.5 离散因变量模型 2.6 面板数据模型
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1
2.1 数据和模型
❖ 时间序列数据
一定时间范围内，按时间先后排列的一批统计数据。
24
对回归结果的影响
❖ 存在异方差，回归结果无偏，但不具有最小方差性！
（5）解释变量同随机项εt不相关，即 cov(Xjt, εt)=0，(j= 2,
3, …, K)。
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16
2.3.1 异方差问题
❖ 定义：若如果古典假设的其他条件满足，惟有：
var(t)＝2, t ＝1，2，…，T不成立，则有
E (
')
2 1
0
0
2 2
0
0
2I
0 0
2 T
，
即随机误差项的方差不再是常数，而是互不相同， 则认为出现了异方差问题。
❖ 注意，异方差性经常出现在横截面资料中， 在时间序列资料中比较少见。
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21
图示：
a.等方差性
b.异方差性
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22
异方差性的后果
在同方差下，
在异方差下，
不妨假定：
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23
异方差性的后果
❖ 对于大多数经济资料，有：
❖故 ❖ 虽然无偏，但不具有最小方差！
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❖ 横截面数据
一批发生在同一时间截面上的调查数据。
❖ 面板数据
兼有时间序列数据和横截面数据的数据。
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2
2.2 线性回归模型的参数估计和统计检验
回归分析描述一个随机变量如何随着其他随机 变量的变化而变化。 一元线性回归模型:
Y01X1
式中： Y－因变量(被解释变量)分析或预测的变量； X－自变量(解释变量)与因变量密切关系的变量；
R2 RSS1ESS TSS TSS
一元线性回归：H0: 2 =0 多元线性回归：
H1: 2 0
H0: 1= 2=…= m=0 H1: 1， 2，…， m中至少有一个不等于零 方差分析的结论是线性回归方程是否显著，是否
有意义。
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13
常数项（截距）的检验- t检验
❖ 检验常数项（截距）是否为零 ❖ 一元线性回归：
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8
1 和 2 的统计推断
SE(ˆ1) S
Xt2 nSXX
SE(ˆ2)
s SXX
ˆ1 1 SE ( ˆ1 )
~
tn2
ˆ2 2 SE(ˆ2 )
~
tn2
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9
平方和
T
❖ 总平方和（TSS）= (Yt Y )2
t 1
T
T
❖ 残差平方和（ESS）= t2 (Yt Yˆt)2
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17
异方差的类型:
❖ 同方差性假定的意义是指每个t围绕其零平 均值的变差，并不随解释变量X的变化而变化， 不论解释变量观测值是大还是小，每个t的方差 保持相同，即
t2 =常数 ❖ 在异方差的情况下， t2已不是常数，它随X 的变化而变化，即
t2 =f(Xt)
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18
• 异方差一般可归结为三种类型：
t1
t1
T
❖ 回归平方和（RSS）= (Yˆt Y )2 t 1
以上三部分的自由度分别为T -1，T-K-1和K。 其中，T为样本数，K为自变量数。
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10
判定系数（R2 ）
R2 RSS1ESS TSS TSS
❖ 被X的回归所解释的y的方差占y总方差的比例
0R2 1 ❖ 越接近1越好
X t
1
X X tt2 nX t ( 2
X t2 X t X t)2 X t n
SD(b1)
Xt2 nSXX
SD(b2)
1 SXX
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7
2 的估计
T
T
t2
(Yt Yˆt)2
S2 t1 t1
n2 n2
❖ 这里：分母是n-2，因为有两个参数是要被确 定的（ 1 和 2 ）。 ES2 2
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11
回归/偏回归系数检验-t检验
❖ 一元回归：
t
ˆ2 SE (ˆ2 )
❖ 多元回归： t b i ，自由度＝T-K-1 S bi
❖ 反映自变量X与因变量Y之间是否存在关系。 回归/偏回归系数是否意义，是否为零；对应 的自变量是否有意义。
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12
回归方程的检验-方差分析法
H0: 1 =0
t 1 ❖ 自由度＝TS －1 2
H1: 1 0
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14
多元线性回归： H0: 0=0
t 0 S 0
自由度＝T-K-1
H1: 00
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2.3 不满足古典假设时的计量经济问题
计量经济学的古典假定
❖ 模型Y t 1 2 X 2 t K tX K t t, t 1 ,2 ,, T ,
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矩阵表示的最小二乘法
X'X bX'Y b(X'X)1X'y
❖ （如果X有线性独立列）
❖ 通过QR分解求解.
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4
b的期望值
E (b)E (X ('X)1X'Y)
E [X ('X)1X'(X )]
E [X ( 'X ) 1 X 'X (X 'X ) 1 X ' )]
❖ 所以，b是 的无偏估计值。
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b的协方差
b(X'X)1X'YAY
C(b o ) A v vY a)A r ' ( A2 I'A 2 A' A 2(X 'X ) 1X 'X (X 'X ) 1
2(X'X)1
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b的协方差
❖ 对一元线性回归:
2(X' X)1
2 n
（1）单调递增型： t2随X的增大而增大； （2）单调递减型： t2随X的增大而减小; （3）复 杂 型： t2与X的变化呈复杂形式。
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异方差产生的原因
❖ 1、学习——误差模型。人们随着学习的进展，它们
的特定行为的误差也随之减少。
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20
❖ 2、有关收入的模型。随着可支配收入的增加， 人们选择的余地较大，这就会产生异方差性。
❖ 满足古典假设：
（1）随机误差项的均值为0，即E(εt)=0； （2）同方差，即var(εt)=σ2； （3）随机误差项之间无自相关，即对于任意t≠j有cov(εj,
εt)=0； （4）自变量Xj(j=2, 3, …, K)之间不存在多重共线性，设X为
解释变量Xj(j= 2, 3, …, K)的观测值矩阵。X为n×K阶数值 矩阵，则rk(X)=K，K<T。
第二章 回归模型及应用
2.1 数据和模型 2.2 线性回归模型的参数估计和统计检验 2.3 不满足古典假设时的计量经济问题 2.4 虚拟变量与模型的稳定性问题 2.5 离散因变量模型 2.6 面板数据模型
编辑课件ppt
1
2.1 数据和模型
❖ 时间序列数据
一定时间范围内，按时间先后排列的一批统计数据。
24
对回归结果的影响
❖ 存在异方差，回归结果无偏，但不具有最小方差性！
（5）解释变量同随机项εt不相关，即 cov(Xjt, εt)=0，(j= 2,
3, …, K)。
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2.3.1 异方差问题
❖ 定义：若如果古典假设的其他条件满足，惟有：
var(t)＝2, t ＝1，2，…，T不成立，则有
E (
')
2 1
0
0
2 2
0
0
2I
0 0
2 T
，
即随机误差项的方差不再是常数，而是互不相同， 则认为出现了异方差问题。
❖ 注意，异方差性经常出现在横截面资料中， 在时间序列资料中比较少见。
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21
图示：
a.等方差性
b.异方差性
编辑课件ppt
22
异方差性的后果
在同方差下，
在异方差下，
不妨假定：
编辑课件ppt
23
异方差性的后果
❖ 对于大多数经济资料，有：
❖故 ❖ 虽然无偏，但不具有最小方差！
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❖ 横截面数据
一批发生在同一时间截面上的调查数据。
❖ 面板数据
兼有时间序列数据和横截面数据的数据。
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2.2 线性回归模型的参数估计和统计检验
回归分析描述一个随机变量如何随着其他随机 变量的变化而变化。 一元线性回归模型:
Y01X1
式中： Y－因变量(被解释变量)分析或预测的变量； X－自变量(解释变量)与因变量密切关系的变量；
R2 RSS1ESS TSS TSS
一元线性回归：H0: 2 =0 多元线性回归：
H1: 2 0
H0: 1= 2=…= m=0 H1: 1， 2，…， m中至少有一个不等于零 方差分析的结论是线性回归方程是否显著，是否
有意义。
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常数项（截距）的检验- t检验
❖ 检验常数项（截距）是否为零 ❖ 一元线性回归：
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8
1 和 2 的统计推断
SE(ˆ1) S
Xt2 nSXX
SE(ˆ2)
s SXX
ˆ1 1 SE ( ˆ1 )
~
tn2
ˆ2 2 SE(ˆ2 )
~
tn2
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平方和
T
❖ 总平方和（TSS）= (Yt Y )2
t 1
T
T
❖ 残差平方和（ESS）= t2 (Yt Yˆt)2
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异方差的类型:
❖ 同方差性假定的意义是指每个t围绕其零平 均值的变差，并不随解释变量X的变化而变化， 不论解释变量观测值是大还是小，每个t的方差 保持相同，即
t2 =常数 ❖ 在异方差的情况下， t2已不是常数，它随X 的变化而变化，即
t2 =f(Xt)
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18
• 异方差一般可归结为三种类型：
t1
t1
T
❖ 回归平方和（RSS）= (Yˆt Y )2 t 1
以上三部分的自由度分别为T -1，T-K-1和K。 其中，T为样本数，K为自变量数。
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判定系数（R2 ）
R2 RSS1ESS TSS TSS
❖ 被X的回归所解释的y的方差占y总方差的比例
0R2 1 ❖ 越接近1越好
X t
1
X X tt2 nX t ( 2
X t2 X t X t)2 X t n
SD(b1)
Xt2 nSXX
SD(b2)
1 SXX
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2 的估计
T
T
t2
(Yt Yˆt)2
S2 t1 t1
n2 n2
❖ 这里：分母是n-2，因为有两个参数是要被确 定的（ 1 和 2 ）。 ES2 2
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回归/偏回归系数检验-t检验
❖ 一元回归：
t
ˆ2 SE (ˆ2 )
❖ 多元回归： t b i ，自由度＝T-K-1 S bi
❖ 反映自变量X与因变量Y之间是否存在关系。 回归/偏回归系数是否意义，是否为零；对应 的自变量是否有意义。
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12
回归方程的检验-方差分析法
H0: 1 =0
t 1 ❖ 自由度＝TS －1 2
H1: 1 0
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多元线性回归： H0: 0=0
t 0 S 0
自由度＝T-K-1
H1: 00
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2.3 不满足古典假设时的计量经济问题
计量经济学的古典假定
❖ 模型Y t 1 2 X 2 t K tX K t t, t 1 ,2 ,, T ,