2019年IB课程数学HL试题及参考答案(2018年5月考试微积分部分)

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2019年全国高中数学联合竞赛试题及解析(AB合版)

=
1 6
AB ⋅ BC
⋅ PB -
1 6
KF
⋅ FL ⋅ PF
=
1 6
(h
+1)èæçççç1-æçççè
h
+h 1öø÷÷÷3÷÷÷÷÷øö
=
3h2 + 3h +1 6(h +1)2
．
A
D C
B
化简得 3h2 =1，故 h = 1 ．从而 EK = AE = 1 = 3 ．
3
KF PF h
8. 将 6 个数 2, 0, 1, 9, 20, 19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不
3- ¥
2
k=2
z2k-1 + z2k =
3． 3
当 m = 1时， T1 =
z1 = 1>
3． 3
以上表明 C =
①
因 sin A 是 sin(B - A), sin C 的等差中项，故
2sin A = sin(B - A) + sin C = sin(B - A) + sin(B + A) = 2sin B cos A ．
结合正、余弦定理，得
a = sin A = cos A = b2 + c2 - a2 ，
b sin B
2bc
即 b2 + c2 - a2 = 2ac ．
…………………4 分 …………………8 分
3
将①代入并化简，可知 q2 + q4 -1 = 2q2 ，即 q4 = q2 +1，所以
q2 = 5 +1 ． 2
…………………12 分
进而
cos B

ib数学hl ia题目

IB数学HL的IA题目可以有很多不同的主题和方向，但一般来说，它们会涉及一些深入的数学知识和探究过程。

以下是一些可能的题目示例：
研究和探讨非欧几里得几何在现实生活中的应用和实现。

研究和分析线性代数的特性和应用，并探索其在机器学习等领域中的应用。

研究和探究概率论和统计学的原理和应用，并分析其在金融、医学等领域中的应用。

研究和探讨微积分的原理和应用，并分析其在物理、工程等领域中的应用。

研究和探讨复数的特性和应用，并分析其在信号处理、电路分析等领域中的应用。

这些题目需要学生具备扎实的数学基础和探究能力，同时还需要有一定的独立研究和创新思维能力。

学生需要通过查阅相关资料、进行实验和研究，整理和分析数据，得出结论并撰写报告，最终呈现自己的研究成果。

这些题目旨在培养学生的数学素养和探究精神，提高他们的思维能力和解决问题的能力。

ib数学hl ia题目

ib数学hl ia题目
摘要：
1.介绍IB 数学HL IA 题目
2.IB 数学HL IA 题目的评分标准
3.如何准备IB 数学HL IA 题目
4.总结
正文：
IB 数学HL IA 题目是国际文凭高中课程（IB）数学高级水平（HL）中的一个重要组成部分。

IA 代表“内部评估”，是IB 课程中的一种评估方式，旨在让学生通过独立研究，深入理解和应用所学知识。

在IB 数学HL 课程中，IA 题目涉及的知识面广泛，旨在考验学生的数学应用能力和问题解决能力。

IB 数学HL IA 题目的评分标准主要包括以下几个方面：
1.理解：学生需要对问题进行深入的理解，展示对相关数学概念的掌握。

2.应用：学生需要将所学知识应用到实际问题中，展现出扎实的数学功底。

3.分析：学生需要对问题进行分析，包括对问题进行抽象、推理和证明。

4.沟通：学生需要清晰、准确地表达自己的思考过程和解题方法。

要准备IB 数学HL IA 题目，首先需要对课程大纲中的知识点有全面的了解。

在此基础上，可以通过以下方式进行准备：
1.多做练习：通过做题来提高自己的数学技能和解题能力。

2.参加培训课程：有些学校和机构会提供针对IB 数学HL IA 题目的培训课程，可以帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

3.与同学和老师讨论：通过与他人讨论，可以加深对问题的理解，同时也能借鉴他人的解题思路。

总的来说，IB 数学HL IA 题目是一个重要的评估环节，对学生的数学应用能力和问题解决能力有很高的要求。

IB向量习题介绍

三立教育
IB向量习题介绍
IB的课程分HL和SL。

SL的稍难，HL的课则是最具挑战性的，IB要求学生至少选六门课+Theory of Knowledge，这六门课中至少有三门是HL。

下列哪个运算结果可以用向量表示（）
A．（3+4i）i
B．（3-4i）i
C．（4-3i）i
D．（4+3i）i
【答案】分析：可以看出向量对应的坐标是（4，3），点对应的复数的代数形式是4+3i，把所给的四个选项进行复数的乘法运算，把结果同点对应的复数相比较得到结果。

解答：∵可以看出向量对应的坐标是（4，3）
∴点对应的复数的代数形式是4+3i
∵（3+4i）i=-4+3i，
（3-4i）i=4+3i
（4-3i）i=3+4i
（4+3i）i=-3+4i
∴只有B选择项中结果符合题意，故选B。

点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量与复数和坐标系中的点之间的一一对应关系，本题解题的关键是正确进行复数的代数形式的运算，本题是一个基础题。

西南大学2018级《高等数学IB》英文课程考核试卷B及答案

西南大学计算机与信息科学学院《高等数学IB 》课程试题【B 】卷阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。

PLEASE ANSWER IN CHINESE OR IN ENGLISH!!1. Fill the best answer in the blanks (3 points each ，15 points in all)(1) The general solution to the differential equation )0(112d d >-=+x xy x y x is __________ .(2) The sum of the series++++⋅+⋅+⋅)1(1431321211n n is _________________. (3) The angle between the planes 15263=--z y x and 522=-+z y x isarccos ___________.(4) If z =22),(y x y x y x f +-+=, then =)4,3(d z_________________.(5) Reversing the order of integration:=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰y x y x f y y d d ),(10_______ __ __ __.2. Choose the correspondingletter of the best answer that completes the特别提醒：学生必须遵守课程考核纪律，违规者将受到严肃处statements or answers the questions among A, B, C, and D, and fill in the blanks (3 points each ，15 points in all).(1) The tangent plane of the surface 922=++z y x at the point (1, 2, 4) is _____ ______. A ．1442=++z y x B ．1442=+-z y x C ．1442-=-+z y xD ．1442=--z y x(2) Let ⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,)sin(),(2243y x y x y x y x y x f . Then the partial derivative)0,0(y f ∂∂ ________.A ．does not existB ．equals 1C ．is equal to 0 D. is -1． (3) The interval of convergence of the power series ∑∞=--11)1(n nn nx is _____ ______. A ．)1,1(- B ．)1,1[- C ．]1,1[-D ．]1,1(-(4) The equation for the tangent to the ellipse 2422=+y x at the point (-2, 1) is ____ _____ . A. 12-=-y x B. 42-=-y x C. 42=-y x D. 42-=+y x (5) The surface integral with respect to area=⎰⎰S x Σd 2 ____ _____, where Σ i s the cone 10,222≤≤+=z y x z .A. 4π2 B. 3π2 C. 4π2- D. 3π2-3. Find the solutions for following problems by computing (8 points each ，40 points in all)(1) Find ()()115sin lim0,0,-+→xy x y y x .Solution(2) Integrate the surface integral⎰⎰++Sy x z z x y z y x d d d d d d downward the surface S :()h z y x z ≤≤+=0222.Solution(3) Evaluating the double integrals y x Ry d d e 2⎰⎰-，where R is the triangle region with vertices O (0, 0), A (1, 1), and B (0, 1). Solution(4) Use Stokes’ Theorem to e valuate the line integral ⎰++Cx z z y x x d d 4d e 22，whereC is curve determined by ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=xy x y x z 242222counterclockwise as viewed from the positive z -axis direction.Solution (5)Applying Green’s Theorem toc alculate the line integral()()⎰-+-=Cy y y y x x xy I d cos e d 12e ，where C is the part of 2x y = from A (-1, 1) to B (1, 1).Solution4. Solve the following comprehensive problems (10 points each，30 points in all) (1) Find the shortest distance between 2xy=and 02=--yx.Solution(2) Find the sum of the series∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛11 21nn n.Solution(3) Let f (x ) has the continuous first-order derivative. Show that the line integral[]⎰-++Cy xy f y y x x y xy f y d 1)(d )(1222 is path independent in the upper half xy -plane ( y > 0), and compute the line integral from ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3 to (1, 2). Proof西南大学计算机与信息科学学院《高等数学》课程试题【B 】卷参考答案和评分标准阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。

2019年全国高中数学联合竞赛A卷试题(含答案)

一、填空题：本大题共 8小題，每小题8分，满分64分。

1•已知正实数a满足a a=（9a）8a,则log a（3a）的值为__________2•若实数集合｛1，2,3,x｝的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则X的值为一、（本题满分40分）如图，在锐角厶 ABC中，M是BC边的中点。

点 P在厶ABC内，使得AP 平分∠ BAC直线MP与厶ABR A ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D,E证明：若DE=MP贝U BC=2BP—、（本题满分40分）设整数aι,a2…,a20i9,满足 1= aι ≤ a2≤ …≤ a20i9=99 记 f=（a^+a^+ …+a20192）-（a1a3+a2a4+a3a5+…+a2017a2019）.求f的最小值f0∙并确定使f=f0成立的数组佝,a2,∙∙∙ ,a2019）的个数三、（本題满分50分）设m为整数，≥2.整数数列a1,a2,…满足：a1,a2不全为零，且对任意正整数n,均有a n+2=a∏+1-ma∏.证明：若存在整效r,s（r>s≥ 2）使得a r=a s,=a1,则r-s≥.四、（本题满分50分）设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面。

某些点之间连有线段，记 E为这些线段构成的集合。

试求最小的正整数n,满足条件：若 E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷》参考答案及评分标准1.评阅试雜时.请依据本评分标准•填空屋只设*分和O分两档，其他各般的评闽.请严格按照本即分标准的评分档次給分P不得堆加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步•正甌在评卷时可參考本评分标准适当划分档次评分.解答题中第9小AU分为一个档次■第Kh H小题$分为一个档次，不得増加其他中间档次.一、填空题；本大题共8小込每小题8分.满分64分.I.己知正实数“满足= __________ 则IOM3①的們为・W： Ih 条件l3S59^ —.故5α = >fi)a ∙ a = a tfl•所W IogJ 3d)=—・2.___________________ 若实数集合}I.2J.Λ∣的处大兀索勺用小元索Z密⅛于该集合的所付元盘之和，则T的值为___ ・解：1K⅛χ>0.则凰大•凰小元衣Z羌不超过max{3∕∙而所有元董之和大:Inax{3,x∣.不符合条件.故*V0■即N为最小元索.3-x=6÷x.解3.____________________________________ 平而"J坐折系4 ；足唯位向氐向越満足二；=2・叫可≤平皿对任童实血成立.则Pl的取值范用足 -答案：∣√5.2√5∣.M：不妨JQe = (U))-由Fa e= 2.耐设Cf=(2.$) •姻对任意实数f∙仃这笞价T4+?<5|J|.解得μ∣∈[U4]> 即√∈[U6].于是Pl = √4+7 ∈ [√5.2金]•4.R为椭関I、的长轴顶点，F,F为】5勺两个焦点.I^I = 4. ∣.4Γ∣ = 2÷√3, P为1•上■点•满处∣PE∣∙∣M∣ = 2・则△/"：/的曲枳为___________________ .答案，I.解：不妨设平面I•询坐标系屮「的标准方程为4+4=∣(Λ>A>0).(T Λ*根据条件ft∣2fl =∣.IΛ∣≡i 4. a±Ja z—Λ2⅛ ∣JΛ∣ = 2÷>A. ∏IS∣Λ = 2.ft = I ,H. ∣f∕∣=2√α∙-A2=2j3.由椭阴定义知IM|十IMl =加=4 •结仟|P£|・∖PF∖ "紂|?£f 十IPFI l= (∣∕1f∣+∣PFO i-2∣ff∣∙∣PΓ∣ = l2 = ∣^ .所以厶EPF为Il«1.进而E Vt F = 1∙∣∕^∣∙∣PΛ∙∣= I.5.的.2.3.…』)中碗机选岀一个数S崔-L-2-3∙∙∙∙.-10中勃机选岀一个豺∙Uh "心；整除的槪率为_________________ ・**∙ Ioo eM：数组(""JHilO j = IOO忡導悅帑的选法・考虑真中便a2÷∕>½ 3廉除的迭法数N•若“帔3協除.则b也被3整除・此时“上各冇3种选法•这祥的(Gb)冇护=9组.若口平被 3 醱除∙K∙∣√≡l(m□d3).从iΛjft≡ Km(Xl3).此时αU 7 选法./>有4种选法•这样(Kj(tf,Λ)^7x4≡28fa.37因此* = 9十28=≡37∙ F是所求概率为二.1006.对任盘闭(XfIiH・fl] M l /<示函数」∙ = Mir在/上的Q大(t'[.若IE数α满足Λ∕lυ βl= 2Λ∕lιf jβl・则“ W l fft 为__ .VJkt 或F jr•6 12M：假如OVd∙≤专・则曲Il:效園数图像性质得OVMlM = SinmSMχa∣∙与条件不符.因此«>y・此时MMd=丨，故M b.纽=!，F是存在菲负烙数R・使紂2Λπ÷-s<α<2(∕ <2AΛ⅛-π•①6 6且①中两处"≤ w至少有一处取到零号.”*=0时•得“=丄J T或加=匕注・经检脸・a=^π.-π均満足糸件・6 6 6 12-1U >1 时.fllT∙2A∙7Γ-t-^r<2∣2jt7r + ~r∣ ・故不存在満足①的“.综上.“的值为丄兀或匕帀・6 127.如图.正方体ABC D-EFCH一个截而纾过顶点A9C及投EF上一点K∙ O IE方体分成体枳比为3:1的两都分，则黑的值为_________________________ ・Ar答第√3.脈记料为蔽面所6：Tm.延—不交•「点尸•则P在α上•故直线CPα与他BMF的交练设CP与甩?交于点J割四边形AKLC为裁面•因平而.4 眈平IT TT而K"∙ H AK9 Bl∖ CL点尸∙^ABC-KI-L 7^0.不舫设正方体梭长为l ∙则正方体休枳为l ∙讎合条件^^ABC-KFLtfJ 休积y=}∙4 r紗—烷=鈴唱=倉臓到Ps分别足棱钳Γ - IfiC 1I 稜推P-KFL 的高•『址化简得3∕, = l ∙故Λ=ψ•从而^Γ=⅛ = 7=√3.√3 A? PK hR 将6个救2.0J9,20,19按任磁次序排成行■拼成个8位效睛位不为0人则产生的不同的8位数的个数为 ______________________________________ •答案：498.解：将2,0∙ L9. 20, 19¾ιv f G （4＜为（）的捋列的全体记为儿 ⅛＞liM≡5x5∙=6CO 〈这里及以下.M 表示有限集X β⅛元索个数〉・V2的肓一项是0∙ HJ 的后一项建9的排列的全体记为5： A 屮2的后一顼是0∙但I 的后一项不是9的It 列的全体记为r ： A 中I 的后一项是9∙但2 的后一项不是0的排列的全体记为D •⅛to∣β∣ = 4?. ∣β∣÷（c∣=5!. ∣Λ∣+∣D∣ =4×4!＞ β∏∣B∣= 24, ∣C∣ = 96t ∣D∣= 72 ・由P 中排列产生的毎个8{⅛βl,恰对应〃中的2x2=4个禅列（这样的排列中.20可与-IO M 互换.!9可I J M L9 H 互换）•类似地.由「或D 中推列产生的每个8位数•恰对应（7或。

(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版

岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。

数学IB训练题(含详细解答)

1B 训练11．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点P (-2，-4)的直线l 的参数方程为24x y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若2PA PB AB =，求a 的值．2．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.（1）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程；（2）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求||AB .4．已知函数()3+=x x f ,()112--=x m x g , 若()≥x f 2()4+x g 恒成立，实数m 的最大值为t .（1）求实数t .（2）已知实数x y z 、、满足222236(0),x y z a a ++=>且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值．5．（本大题9分）已知大于1的正数,,x y z满足x y z ++=（1）求证：2222323232x y z x y z y z x z x y ++≥++++++（2）求333333111log log log log log log x y y z z x+++++的最小值.6．已知对任意x R ∈，cos cos210a x b x ++≥恒成立（其中0b >），求a b +的最大值.答案1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点P (-2，-4)的直线l 的参数方程为24x y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若2PA PB AB =，求a 的值．【答案】（Ⅰ）直角坐标方程为22(0)y ax a =>，普通方程为2y x =-；（Ⅱ）1a =.【解析】试题分析：（Ⅰ）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>，极坐标方程sin cos y x ρθρθ=⎧⎨=⎩得22(0)y ax a =>，将参数方程中的参数t 消去可得l 的普通方程；（Ⅱ）将参数方程代入直角坐标方程化为关于t 的一元二次方程，结合条件利用韦达定理解出a .试题解析：(1) 由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>∴曲线C 的直角坐标方程为22(0)y ax a => 2分直线l 的普通方程为2y x =- 4分(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程22(0)y ax a =>中，得2)8(4)0t a t a -+++=设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、则有1212),4t t a t t a +=+⋅=+ 6分 ∵2PA PB AB =∴21212()t t t t -=⋅ 即21212()5t t t t +=⋅ 8分∴22)]40(4),340a a a a +=+++-=解之得：1a =或4a =- (舍去)∴a 的值为1 10分考点：1.参数方程；2.极坐标方程；3.一元二次方程的解法.极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 【答案】(Ⅰ) 28y x =；（Ⅱ）32||3AB =. 【解析】试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.试题解析：（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =．5分（Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-．所以1232||||3AB t t =-==． 10分考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理. 3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.（1）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程；（2）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求||AB .【答案】(1) 01=--y x ,03422=+-+x y x ；(2) ||AB =【解析】试题分析：（1）换元将2t x =-代入1y t =+化简由参数方程化为普通方程；（2）由公式cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+，化简得03422=+-+x y x .试题解析：（1）曲线C 的普通方程为01=--y x ，曲线P 的直角坐标方程为（2）曲线P 可化为1)2(22=+-y x ，表示圆心在)0,2(，半径=r 1的圆，则圆心到直线C 的距离为2221==d ，所以2222=-=d r AB ． 10分考点：1.参数方程与普通方程互化；2.极坐标与直角坐标互化.4．已知函数()3+=x x f ,()112--=x m x g , 若()≥x f 2()4+x g 恒成立，实数m 的最大值为t .（1）求实数t .（2）已知实数x y z 、、满足222236(0),x y z a a ++=>且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值．【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）若()≥x f 2()4+x g 恒成立，代入函数利用绝对值不等式求m 得最大值；（Ⅱ）由柯西不等式求解.试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即,2()23(4)241127x R f x x g x m x m x ∀∈=+≥+=-+-=--， 1分从而有2(73)m x x ≤-++ ， 2分由绝对值不等式的性质可知2(73)27(3)20x x x x -++≥--+=，因此，实数m 的最大值20t =. 3分（Ⅱ）由柯西不等式：2222222))))⎡⎤⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦，5分因为222236(0)x y z a a ++=>，所以2()a x y z ≥++，因为x y z ++的最大值是1，所以1a =，当236x y z ==时，x y z ++取最大值， 6分所以1a =. 7分考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.5．（本大题9分）已知大于1的正数,,x y z 满足x y z ++=（1）求证：222x y z ++≥（2）求333333111log log log log log log x y y z z x+++++的最小值.【答案】（1）见解析；（2）3. 【解析】（1）根据柯西不等式证明即可. (2)333333333111111log log log log log log log ()log ()log ()x y y z z x xy yz zx ++=+++++然后再根据柯西不等式证明即可. 证明：（1）由柯西不等式得：2222()[(23)(23)(23)()27.232323x y z x y z y z x z x y x y z x y z y z x z x y++++++++++≥++=++++++得：2222323232x y z x y z y z x z x y ++≥++++++（2）333333333111111log log log log log log log ()log ()log ()x y y z z x xy yz zx ++=+++++ 由柯西不等式得：333333111()(log ()log ()log ())9log ()log ()log ()xy yz zx xy yz zx ++++≥ ，所以，333333311199()log ()log ()log ()(log ()log ()log ())2log ()xy yz zx xy yz zxxyz ++≥=++33x y z =++≥又xyz ∴≤33log .2xyz ∴≤得399232log 23xyz ≥⨯=所以，3333331113log log log log log log x y y z z x++≥+++当且仅当x y z ===时，等号成立.故所求的最小值是3.6．已知对任意x R ∈，cos cos210a x b x ++≥恒成立（其中0b >），求a b +的最大值.【答案】a b +的最大值为10. 【解析】试题分析：利用二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，利用换元法()cos 11t x t =-≤≤，将原不等式转化为二次不等式2210bt at b ++-≥在区间[]1,1-上恒成立，利用二次函要对二次函数的对称轴4at b=-是否在区间[]1,1-进行分类讨论，再将问题转化为2288a b b ≤-的条件下，求a b +的最大值，试题解析：由题意知()22cos cos 21cos 2cos 112cos cos 1a x b x a x b x b x a x b ++=+-+=++-，令cos x t =，[]1,1t ∈-，则当()2210f t bt at b =++-≥，[]1,1t ∈-恒成立，开口向上，①当1b >时，()010f b =-<，不满足()2210f t bt at b =++-≥，[]1,1t ∈-恒成立，②当01b <≤时，则必有()()()110111101f a b a b a b f b a a b =++≥⎧⎧≥-+⎪⇒⇒≤+⎨⎨-=-+≥≤+⎪⎩⎩（1）当对称轴[]1,14at b=-∉-时，即14a b ≥，也即4a b ≥时，有41b a b ≤≤+，则13b ≤，413a b ≤+≤，则53a b +≤，当43a =，13b =时，()max 53a b +=.当对称轴[]1,14at b=-∈-时，即14a b ≤，也即4a b ≤时，则必有()2810a b b ∆=--≤，即()228188a b b b b ≤-=-，又由（1）知()221a b ≤+，则由于()()()2222188961310b b bbb b +--=-+=-≥，故只需2288a b b ≤-成立即可，问题转化为2288a b b ≤-的条件下，求a b +的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求a b +的最大值.法一：（三角换元）把条件配方得：2214122a b ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，()cos 011sin 2a r rb θθ⎧=⎪≤≤⎨+=⎪⎩，所以()sin 13131cos sin 2222222r a b r r θθθϕ+=++=++≤+≤， ()max 2a b ∴+=；法二：（导数）令222(1)1,2a x x yb y =⎧∴+-≤⎨=⎩ 则即求函数的导数,椭圆的上半部分1421,433y y x y '===-⇒=∴=()max 2x y ∴+=；法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：222222111()[1)[8()][1]222a b a b a b +-=⋅+-≤+-+2219(88882)(1)84b b b b ≤-+-++=，当且仅当1)211b a -=,即18()2a b =-及2288a b b =-时等号成立.即当42,33a b ==时，a b +最大值为2.综上可知max ()2a b +=.考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式。

2018-2019学年高二数学5月试题理(含解析)

2018-2019学年高二数学5月试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A. 1+2iB. 1-2iC. -1+2iD. -1-2i【答案】A【解析】试题分析：考点：复数运算2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解。

【详解】由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，由于两人考试相互独立，所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为：故答案选D【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查对独立事件的理解和掌握程度，属于基础题。

3.的展开式中各项的二项式系数之和为（）A. B. 512 C. D. 1【答案】B【解析】【分析】展开式中所有项的二项系数和为【详解】展开式中所有项的二项系数和为.的展开式中各项的二项式系数之和为故答案选B【点睛】本题考查了二项系数和，属于基础题型.4.用反证法证明命题“已知，，，则,中至多有一个不小于0”时，假设正确的是（）A. 假设,都不大于0B. 假设,至多有一个大于0C. 假设,都小于0D. 假设,都不小于0【答案】D【解析】【分析】利用反证法的定义写出命题结论的否定即可.【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题结论的否定，所以假设应为：“假设，都不小于0”，故选：D【点睛】反证法的适用范围是:（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．5.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用概率和为1解得答案.【详解】，解得.故答案选C【点睛】本题考查了分布列概率和为1，属于简单题.6.已知函数，且，则（）A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】求导，带入导函数解得答案.【详解】因为，所以，解得.故答案选B【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.7.设，则（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取，得到，取，得到，得到答案.【详解】令，则原式化为令，得，所以.【点睛】本题考查了二项式定理，分别取是解题的关键.8.将A，B，C，D，E，F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.【详解】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.9.某导弹发射的事故率为，若发射次，记出事故的次数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.001，实验的结果只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的方差公式得到结果．【详解】由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选B.【点睛】解决离散型随机变量分布列和期望、方差问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．10.已知函数在上不单调，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导，函数不单调，解得答案.【详解】.因为在上不单调，所以，故.故答案为A【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.11.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（）A. 30 B. 60C. 90D. 120【答案】D【解析】【分析】将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.【详解】由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为共60+60=120种，故选：D【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.12.已知函数，.直线与曲线和分别相交于两点，且曲线在A处的切线与曲线在B处的切线斜率相等，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求导，根据题意，在上有解，方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，计算得到答案.【详解】函数的定义域为，，.因为曲线在A处的切线与在B处的切线斜率相等，所以在上有解，即方程在上有解.方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，令过原点且与函数的图象相切的直线的斜率为k，只须，令切点为，则，又，所以，解得，于是，所以.故答案选A【点睛】本题考查了曲线的切线问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上.13.设，则________.【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出.【详解】，则，故答案为：。

2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)

三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷）参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知圆锥的顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥底面上取一点Q , ° 使得直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域的面积解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心，记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可一个档次，第10、参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，不得增加其他中间档次． 11小题5分为一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．

2019年全国高中数学联合竞赛试卷(加试)(B卷)(附答案详解)

2019年全国高中数学联合竞赛试卷（加试）（B卷）一、解答题（本大题共4小题，共180.0分）(k= 1.设正实数a1，a2，⋯，a100满足a i≥a101−i(i=1,2,⋯,50).记x k=ka k+1a1+a2+⋯+a k 1,2,⋯,99).证明：x1x22⋯x9999≤1．2.求满足以下条件的所有正整数n：(1)n至少有4个正约数；(2)若d1<d2<⋯<d k是n的所有正约数，则d2−d1，d3−d2，…，d k−d k−1构成等比数列．3.如图，点A，B，C，D，E在一条直线上顺次排列，满足BC=CD=√AB⋅DE，点P在该直线外，满足PB=PD.点K，L分别在线段PB，PD上，满足KC平分∠BKE，LC平分∠ALD．4.将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条．证明：可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同．答案和解析1.【答案】证明：注意到a 1，a 2，⋅⋅⋅，a 100>0，对k =1，2，⋅⋅⋅，99，由平均值不等式可得，0<(ka1+a 2+⋅⋅⋅+a k)k ≤1a1a 2⋅⋅⋅a k，从而有x 1x 22⋅⋅⋅x 9999=k =1π99a k+1k (ka1+a 2+⋅⋅⋅+a k)k≤k =1π99a k+1k a1a 2⋅⋅⋅a k，记①的右端为T ，则对任意i =1，2，⋅⋅⋅，100，a i 在T 的分子中的次数为i −1，在T 的分母中的次数为100−i ，从而T =i =1π100a i 2i−101=i =1π50a i 2i−101a 101−i 2(101−i)−101=i =1π50(a 101−i ai)101−2i ，又0<a 101−i ≤a i (i =1,2,⋅⋅⋅,50)，故T ≤1，结合①得，x 1x 22⋅⋅⋅x 9999≤T ≤1．【解析】略略2.【答案】解：(1)由条件可知k ≥4，且d 3−d 2d 2−d 1=d k −dk−1d k−1−d k−2，易知d 1=1，d k =n ，d k−1=n d 2，d k−2=nd 3，代入上式可得，d 3−d 2d 2−1=n−nd 2n d 2−n d 3，化简可得，(d 3−d 2)2=(d 2−1)2d 3，由此可知，d 3 是完全平方数，由于d 2=p 是n 的最小素因子，d 3 是平方数，故只能d 3=p 2，从而系列d 2−d 1，d 3−d 2，⋅⋅⋅，d k −d k−1为p −1，p 2−p ，p 3−p 2，⋅⋅⋅，p k−1−p k−2，即d 1，d 2，d 3，⋅⋅⋅，d k 为1，p ，p 2，⋅⋅⋅，p k−1，而此时相应的n 为p k−1，综上所述，满足条件的n 为所有形如p a 的数，其中p 是素数，整数a ≥3．【解析】略略3.【答案】证明：令AB =1，BC =CD =t(t >0)，由条件知DE =t 2，注意到∠BKE <∠ABK =∠PDE <180°−∠DEK ，可在CB延长线上取一点A′，使得∠A′KE=∠ABK=∠A′BK，此时有△A′BK∽△A′KE，故A′BA′K =A′KA′E=BKKE，又KC平分∠BKE，故BKKE =BCCE=tt+t2=11+t，于是有A′BA′E =A′BA′K⋅A′KA′E=(BKKE)2=11+2t+t2=ABAE，由上式两端减1，得BEA′E =BEAE，从而A′=A，因此∠AKE=∠A′KE=∠ABK，同理可得∠ALE=∠EDL，而∠ABK=∠EDL，所以∠AKE=∠ALE，因此A，K，L，E四点共圆．【解析】略．略．4.【答案】证明：我们对n≥5归纳证明加强的命题：如果将凸n边形的边染为三种颜色a，b，c，并且三种颜色的边均至少有一条，那么可作满足要求的三角形剖分．当n=5时，若三种颜色的边数为1，1，3，由对称性，只需考虑如下两种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．若三种颜色的边数为1，2，2，由对称性，只需考虑如下三种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．假设结论对n(n≥5)成立，考虑n+1的情形，将凸n+1边形记为A1A2⋯A n+1．情形1：有两种颁色的边各只有一条．不妨设a，b色边各只有一条．由于n+1≥6，故存在连续两条边均为c色，不妨设是A n A n+1，A n+1A1．作对尔线A1A n，并将A1A n染为c色，则三角形A n A n+1A1的三边全部同色．此时凸n边形A1A2⋯A n的三种颜色的边均至少在一条，由归纳假设，可对共作符合要求的三角形剖分．情形2：某种颜色的边只在一条，其余纹色的边均至少两条．不妨设a色边只有一条，于是可以选择两条相邻边均不是a色，不妨设A n A n+1，A n+1A1均不是a色，作对角线A1A n，则A1A n有唯一的染色方式，使得三你形A n A n+1A1的三边全部同色或互不同色．此时凸n边形A1A2⋯A n的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．情形3：每种颜色的边均至少两条．作对角线A1A n，则A1A n有唯一的染色方式，使得三角形A n A n+1A1的三边全部同色或互不同色．此时凸n边形A1A2⋯A n的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．综合以上3种情形，可知n+1的情形下结论也成立．由数学归纳法，结论获证．【解析】略．略．。

2018年IB数学HL试题及参考答案

4.
[Maximum mark: 11] The weights of male students in a college are modelled by a normal distribution with mean 80 kg and standard deviation 7 kg. The weights of female students in the college are modelled by a normal distribution with mean 54 kg and standard deviation 5 kg. (a) Find the probability that the weight of a randomly chosen male student is more than twice the weight of a randomly chosen female student.
[6]
The college has a lift installed with a recommended maximum load of 550 kg. One morning, the lift contains 3 male students and 6 female students. You may assume that the 9 students are randomly chosen. (b) Determine the probability that their combined weight exceeds the recommended maximum.
5.41 5.22 5.54 5.58 5.20 5.57 5.23 5.32 5.46 5.37
You may assume that the weights of this breed of bird are normally distributed. (a) (b) State suitable hypotheses for testing the above claim using a two-tailed test. Calculate unbiased estimates of the mean and the variance of the weights of this breed of bird. (i) (ii) Determine the p-value of the above data. State whether or not the claim is supported by the data, using a significance level of 5 %. [1]

广东省深圳市耀华实验学校2018-2019学年高一(国际班)上学期期末考试数学试题(解析版)

2019年高一上期末国际1班数学考试一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，且，则a的值是（）A. -1B. 1C. 3D. ±1【答案】2.下列四组函数，表示同一函数的是（）.A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据函数相等的条件，定义域、对应法则、值域相等，一一进行判断可得答案.【详解】解：A项,=,,故A项不符合题意;B项,f(x)=x的定义域为, 的定义域为{x｜且x≠0},故B项不符合题意;C项,的定义域为[-,-2][2,+],的定义域为[2,+], 故C项不符合题意; D项,当x≥-1时f(x)=x+1,当x<-1时f(x)=-x-1,所以f(x)=g(x),故D项符合题意.故本题正确答案为D.【点睛】本题主要考查函数相等的条件，判断函数的定义域、对应法则分别相等是解题的关键.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】5.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. 2B. 1C. 0D. -2【答案】6.若是第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过诱导公式求出tana,化简所求表达式,利用同角三角函数的基本关系式求解即可.【详解】解:是第二象限角,且t，tan=，=-sin===，故选D.【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用,属于基本知识的考查.7.已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】8.已知为第一象限角，若将角的终边逆时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义求得角的终边与单位圆的交点坐标，然后利用诱导公式求出角的终边逆时针旋转,则可求出它与单位圆的交点坐标.【详解】解:已知为第一象限角,角的终边与单位圆的交点坐标为(),将角的终边逆时针旋转,得到角,角的终边与单位圆的交点坐标为(),即故选D.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式的应用,属于基础题.9.函数在区间上的最小值是（）A. -1B.C.D. 0【答案】10.函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】11.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．【详解】解：由题意得，，令，可得函数的图象对对称轴方程我，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，12.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】二、填空题。

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= ∫ f (v ) − v
(b)
dv
ln x + Constant .
[3]
Hence, or otherwise, solve the differential equation
dy x 2 + 3 xy + y 2 , x > 0, = dx x2
given that y = 1 when x = 1 . Give your answer in the form y = g(x) . [10]
Turn over
–4– 5. [Maximum mark: 15] Consider the curve y = (a)
M17/5/MATHL/HP3/ENG/TZ0/SE
1 , x > 0 . x
By drawing a diagram and considering the area of a suitable region under the curve, show that for r > 0 ,
1 r + 1 1 < ln < . r +1 r r
[4]
(b)
Hence, given that n is a positive integer greater than one, show that (i)
∑ r > ln(1 + n) ;
r =1 n
n
1
(ii)
说明
–2–
M17/5/MATHL/HP3/ENG/TZ0/SE
Please start each question on a new page. Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be supported by working and/or explanations. In particular, solutions found from a graphic display calculator should be supported by suitable working. For example, if graphs are used to find a solution, you should sketch these as part of your answer. Where an answer is incorrect, some marks may be given for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show all working. 1. [Maximum mark: 7] Use l’Hôpital’s rule to determine the value of
lim
x →0
sin 2 x . xark: 6] Let the Maclaurin series for tan x be
tan x = a1 x + a3 x3 + a5 x5 + …
where a1 , a3 and a5 are constants. (a) Find series for sec2 x , in terms of a1 , a3 and a5 , up to and including the x4 term (i) (ii) (b) by differentiating the above series for tan x ; by using the relationship sec2 x = 1 + tan2 x . [3] [3]
2019 年 IB 课程精编题库
Mathematics HL
HL 数学几大板块相对于 SL 来说，每一块的深度和广度提高到了更高的层次，具体每一块都增加了以下内容：1. 代数（Algebra）部分增加了数学归纳法证明和复数相关内容，复数的运算、复平面、极坐标、棣莫弗定理及其运用、共轭复数及在多项式中的运用。 2. 函数（Function）部分增加了奇偶函数、绝对值函数、导数函数，高次函数图像、因数和余数定理、韦达定理，分式函数部分增加了高次除以高次函数。 3. 三角函数（Trigonometry）增加了复合角公式、反三角函数及其图像、三角函数实际应用。 4. 向量（Vector）增加了向量的叉乘，利用叉乘求三角形面积，平面的向量表示形式，直线与平面夹角、平面与平面夹角及三个平面间的位置关系。 5. 概率统计(Statistic and probability)部分增加了计数原理与排列组合问题，概率密度函数及其在平均数和方差中的应用，常用分布增加了泊松分布。 6. 微积分（Calculus）增加了隐函数求导导数的应用和分部积分等积分方法。
M17/5/MATHL/HP3/ENG/TZ0/SE
n=2
∑n
∞
1 is convergent or ln n
4.
[Maximum mark: 13] (a) Consider the differential equation
dy y = f , x > 0 . dx x
Use the substitution y = vx to show that the general solution of this differential equation is
Hence, by comparing your two series, determine the values of a1 , a3 and a5 .
–3– 3. [Maximum mark: 9] Use the integral test to determine whether the infinite series divergent.
∑ r < 1 + ln n .