燕尾定理详细解析.题库教师版

燕尾定理：

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．

O

F

E D

C

B

A

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==

S 3

S 1S 4S 2E

D

C

B

A

【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，

所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在

BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

3332

1F E D

C B

A

A

B

C

D

E

F

【解析】 方法一：连接CF ，

例题精讲

燕尾定理

根据燕尾定理，

12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE

S EC

==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标

所以55

1212

DCEF ABC S S ==△

方法二：连接DE ，由题目条件可得到11

33ABD ABC S S ==△△，

1121

2233

ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以

11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111

22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，

而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5

12

．

【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积

.

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，

所以1103ABE ABC S S ==△△，1

152

ABD ABC S S ==△△．

根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD

S CD

==△△,

所以1

7.54

ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，

所以阴影部分面积是30107.512.5--=．

(法二)连接DE ，由题目条件可得到1

103

ABE ABC S S ==△△，

112

10223

BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以

11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111

2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，

而21

1032

CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，

AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

A

B

C D

E

F F

E

D

C

B

A

【解析】 连接CF ，

根据燕尾定理，

2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36

510

ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，3

10623

CDF S =⨯=+△份，

所以24545

200(6910)(

6)8(6)93(cm )88

DCFE S =÷++⨯+=⨯+=

【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △

面积的几分之几？

O

E D

C

B

A

13.5

4.59

2

1121

3

O E D C

B

A

【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部

分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59

,,,30306030103020

+===

【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1

3

CQ CA =，BQ 与AP 相交于

点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．

X

Q

P

A

B

C X

Q

P

A

B

C

4

4

11

X

Q

P

C

B

A

【解析】 方法一：连接PQ ．

由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =V V ，11

26

BPQ BCQ ABC S S S ==V V V ．

由蝴蝶定理知，21

:::4:136

ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===V V V V ，

所以44122

6 2.455255

ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=V V V V ．

方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，

所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分

的面积各是多少?

A

B

C

D

E F

4

8

621

A

B

C

D

E

F

【解析】 连接CF ，设1AEF

S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以