【公开课教案】《基本不等式》教案

基本不等式教案

一、教学目标：

1、知识与技能：

①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；

②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。

2、过程与方法：

本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。

3、情感与价值：

培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。

二、教学重点和难点：

重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式

2

a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。

三、学法与教学用具：

先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。

四、教学设想：

1、几何操作，引入问题：

给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直

径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的

弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?

提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、

由AB 为直径可知ABD ∆是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ∆∽DCB ∆，即得CD ab =；

提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？

任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。

提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的条件是什么？ 首先由垂径定理可知，12

CD DD '=，因此有2DD ab '=，即为O 的一条弦长，而22a b +表示的是O 直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式222a b ab +≥，两边同时除以2，不等式可以表示为：

22

2

a b ab +≤；再据上一问的结论，易知上述不等式可以成立当且仅当a b =时(即当点C 与圆心O 重合时)，等号才成立。

提问四：深入思考，如果将不等式22

2

a b ab +≤中的 ,a b 能够得到什么结论；这时， ,a b 有什么条件限制吗？

替换之后，

2

a b +≤

，当且仅当a b =时等号成立；此时要求有0 ,0a b ≥≥。

2、代数证明，得到结论：

根据上面的几何分析结果，我们初步形成不等式结论：

ab b a 222≥+ ① 若+∈R b a ,，则2

b a ab +≤ ② 提问五：能否给出上述两个不等式严格的证明？(学生尝试证明后口答,老师板书)

证明①(作差法)：2222()a b ab a b +-=-； 又当b a ≠时，0)(2>-b a ；当b a =时，0)(2=-b a ；

ab b a 222≥+∴，当b a =时取等号。

（注意强调：当且仅当a b =时, 有等式222a b ab +=成立）

证明②(分析法)：由于+∈R b a ,，于是

要证 ab b a ≥+2，

③

只要证 ab b a 2≥+，

④

要证④，只要证 02≥-+ab b a ， ⑤ 要证⑤，只要证 0)(2≥-b a ， ⑥ 显然，⑥是成立的，所以ab b a ≥

+2，当且仅当b a =时取到等号。

于是我们得到这节课要学习的内容：

基本不等式：若

,a b R +∈2a b +≤

（当且仅当a b =时，等号成立）

3、深化认识：

1.称ab 为 ,a b 的几何平均数；称2

b a +为 ,a b 的算术平均数。因此基本不等式

2b a ab +≤的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

2.其实2

b a ab +≤成立的条件仅需0 ,0a b ≥≥就可以，但0a =或0b =时定理显然成立，因此一般仅考虑0 ,0a b >>的情况。

4、例题讲解：

例1、①已知0>ab ，求证：2≥+b a a b

②求证：73

4≥+-a a （3>a ） 设计意图：通过简单例题，学生掌握证明格式，理解“前提条件”、“等号成立条件”；

例2、 若),0(,,+∞∈c b a ，且1=++c b a ，求证：8)11)(11)(11(≥---c

b a

设计意图：熟练运用基本不等式；不等式证明题中，等量关系条件的运用。

例3、（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值；（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为34800m ，深为

3m 。

如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？

分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。

设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值。 例题总结：

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若,a b R +∈，且

a b M +=，M 为定值，则24

M ab ≤，等号当且仅当a b =时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若,a b R +∈，且ab P =，P

为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b =时成立. 课堂练习

1 设 ,a b 均为正数，证明不等式：

2

11a b ≥+.

2已知 , ,a b c 都是正实数，求证： ()()()8a b b c c a abc +++≥

5、思考讨论：