概率论文 正态分布
概率统计中的正态分布与标准正态分布分析
概率统计中的正态分布与标准正态分布分析正态分布是概率统计学中最重要的分布之一，因其广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域，成为了统计学的基石之一。
本文将对正态分布及标准正态分布进行分析，并探讨其在概率统计中的重要性。
正态分布，又称高斯分布，是指在概率论和统计学中常见的一种连续概率分布。
它的特点是具有对称性，其概率密度曲线呈钟形，两侧的尾部渐进于x轴。
正态分布可以由两个参数来决定：均值μ和方差σ^2。
其中，均值决定了曲线的位置，方差决定了曲线的形状。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))正态分布在实际应用中非常广泛，尤其在大样本量下，许多变量都呈现出近似正态分布的特征。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，无论原始数据服从何种分布，其样本均值的分布都接近于正态分布。
这使得正态分布成为统计推断的基础。
例如，在假设检验中，我们常使用正态分布来计算拒绝域和P值。
此外，正态分布还常用于构建置信区间、回归分析和因子分析等统计方法中。
标准正态分布是正态分布的一种特殊形式，也被称为单位正态分布。
它具有均值μ=0和方差σ^2=1的特点，其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)标准正态分布的特殊性在于，其所有的分位数和累积概率都可以通过查表得到，这是因为标准正态分布的累积分布函数不依赖于具体的均值和方差。
相关的Z分数表可以用来计算标准正态分布中的分位数。
我们可以利用标准正态分布的特性，将其他服从正态分布的随机变量转换为标准正态分布，并通过查表计算分位数和计算概率。
标准正态分布在实际应用中也非常重要。
例如，在统计推断中，我们经常使用标准正态分布对样本均值和样本比例进行推断。
具体来说，我们根据样本均值与总体均值之间的差异，以及样本比例与总体比例之间的差异，来做出统计推断。
通常情况下，我们会将样本均值或样本比例标准化为Z分数，然后利用标准正态分布的性质进行概率计算或假设检验。
概率与统计中的正态分布与标准化与概率与统计中的假设检验与置信区间的应用
概率与统计中的正态分布与标准化与概率与统计中的假设检验与置信区间的应用在概率与统计领域中，正态分布是一种重要的概率分布。
它具有许多重要的特性，广泛应用于各种统计分析中。
本文将介绍正态分布的概念、特性及其在概率与统计中的应用，同时探讨假设检验与置信区间的相关内容。
一、正态分布正态分布，又称为高斯分布，是一种对称的连续概率分布。
其概率密度函数的形状呈钟形曲线，两头趋于无穷远，中间部分是对称的，呈现出一个峰值。
正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ，分别表示分布的中心位置和离散程度。
正态分布的重要特性包括：1. 均值与中位数相等：正态分布的均值等于中位数，呈现出对称性。
2. 68-95-99.7法则：约68%的观测值位于均值的一个标准差内，约95%的观测值位于均值的两个标准差内，约99.7%的观测值位于均值的三个标准差内。
3. 标准正态分布：当均值为0，标准差为1时，正态分布称为标准正态分布。
它的概率密度函数可用标准正态分布表查找。
二、正态分布的标准化在实际问题中，我们常常需要将正态分布转化为标准正态分布进行分析。
这一过程被称为标准化。
标准化的方法是通过下式进行变换：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准正态随机变量，X为原始随机变量，μ为原始随机变量的均值，σ为原始随机变量的标准差。
标准化的目的是为了简化计算和比较不同正态分布的数据。
通过标准化，我们可以使用标准正态分布表来查找概率值，进行相关的统计推断。
三、假设检验假设检验是统计学中一种常用的推断方法，用于验证一个假设关于总体参数的真实性。
其基本步骤包括：1. 建立零假设和备择假设：零假设（H0）是对总体参数进行假设的初始假设，备择假设（H1或Ha）则是我们要验证的假设。
2. 选择显著性水平：显著性水平α是在进行假设检验时事先确定的，代表了对犯错误的容忍程度。
3. 计算检验统计量：根据样本数据计算具体的检验统计量，如z统计量或t统计量。
4. 判断统计显著性：根据检验统计量的值与临界值进行比较，判断结果是否在显著性水平α的拒绝域中。
毕业论文《正态分布的若干理论及其应用》
毕业论文《正态分布的若干理论及其应用》摘要大量的实践经验和理论分析表明,自然界与工程技术中服从正态分布的随机变量是最常见的.诸如机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、重量、使用寿命;随机测量误差;人的身高、体重;农作物的收获量;健康人的红血球数目;纤维的强力;炼铁厂每炉铁水的含碳量;学生考试分数;机床维修保养时间;某地区酌年降雨量;炮弹弹落点的分布等等,都可以看作是服从或近似服从的正态分布.数学和经验都证明:受大量、独立、均匀小效应影响的随机变量服从正态分布.在数理统计中用于统计推断的许多统计量,不管资料的原分布是什么,只要样本容量n充分地大,它都近似于正态分布某些统计量即使偏离了正态分布,只要偏离量不大,也可以按正态分布处理.因此,正态分布的应用是十分广阔的.关键字正态分布;概率密度函数;标准差;误差目录引言: 01．正态分布概念 02.正态曲线的特性 (1)3.参数μ和σ的意义 (2)4.标准正态分布及正态分布表 (3)4.1.标准正态分布 (3)4.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表 (3)4.3.正态分布表的几种形式 (4)5.正态随机变量落在区间(x1,x2)内的概率计算 (6)5.1.当值机变量ξ～N(0,1)时的概率计算 (7)5.2.当随机变量ξ～N(μ,σ) 时的概率计算 (8)服从一般正态分布的随机变量ξ～N(μ,σ )的分布函数 (8)概率计算 (9)6．正态分布在几个领域内的应用实例 (11)6.1．已知μ, σ求某条件下的概率[8] (11)6.2．已知某条件下的概率,求参数和σ ? (14)6.3．已知μ,σ和区问(a,b)内的变量数,求总变量数 (15)6.4．已知μ,σ及各范围内的概率,求某范围的上、下限 (15)6.5. 用标堆差确定所需测量次教 (17)参考文献 (18)致谢 (21)正态分布的若干理论及其应用数学系2004级1班 王文瑞 数学与应用数学 04104141指导老师李海增引言:正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用,数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.正态分布也具有许多良好的性质,因此在理论研究中正态分布十分重要.1．正态分布概念设连续型随机变量ξ的密度函数(也叫分布密度,概率密度,概率密度函数)为:()()22221σμπσϕ--=x ex ()x -∞<<+∞ (1.1)(其中μσ、是常数,且 0σ>,μ为正态总体的平均值,σ为正态总体的标准差,x 为正态总体中随机抽取得的样本值).则称随机变量ξ服从参数为μσ、的正态分布,记作()2,~σμξN ,式(1.1)是德国著名数学家高斯在找误差分布时于1795年推导发现的,因此正态分布又称高斯分布、误差分布或常态分布.正态分布密度函数()x ϕ的图形如图1所示,这条曲线称“正态分布密度函数曲线”或“正态分布曲线”,简称“正态曲线”,由于它的形状象只钟,又称“钟形曲线”,为纪念高斯又称“高斯曲线”[1].2.正态曲线的特性对式(1.1)进行数学处理,可得正态曲线特性. 对式(1.1)求导,有)(21)(222)(3μπσϕσμ-⋅-='--x ex x (2.1)令()0='x ϕ,则有x μ=,即当x μ=时, ()x ϕ有极大值max ()x ϕ=对式(2.1)求导有:()()()[]22252221σμπσϕσμ--⋅=''--x ex x (2.2)令()0=''x ϕ,则有()22x μσ-= ,即曲线在:x μσ=±处有两个拐点.将正态曲线的特性列入表1.表1 正态曲线特性由表1和图1可知正态曲线有以下特性:1) 曲线以x μ=为对称轴,且在x μ=时取得极大值max ()x ϕ=,曲线由μ起向左右延伸时,不断降低,呈现中间高,两头低的钟的形状.=±处有两个拐点.2)曲线在对称轴两侧xμσϕ越小,当x→±∞时,曲线以x轴为渐3)x的取值范围为整个x轴,x离μ越远, ()x进线.4)曲线总在x轴上方,它于x轴所围面积等于l,对称轴两边曲线下的面积相等各为0.5.机械加工得到的尺寸是服从正态分布的,如在机床上加工100件中mm10±的轴,.003则这100件轴的尺寸有以下统计规律.1)100个尺寸中,在10附近的占的数量最多、这是正态分布的单峰性.2)在这100个尺寸中,约有50个左右大于10,有50个左右小于10,这是正态分布的对称性.3)在这100个尺寸中,大于10.03mm的个数和小于9.97mm个数都很少,这是正态分布的有界性.4)这100个尺寸与标准尺寸10的差的平均值趋与零,这是正态分布的抵偿性.上述四条规律,零件数量越多就越准确[2].3.参数μ和σ的意义μ和σ是正态分布的两个参数,当μ和σ确定后,正态曲线就完全确定了.μ和σ不同,正态曲线的位置和形状则不同.μ是位置参数,它的大小决定曲线在x轴上的位置,σ是形状参数,它的大小决定曲线的高矮胖瘦.若σ不变只让μ变,则曲线形状不变,仅在x 轴上平行移动如图2所示;若μ不变只让σ变,则曲线在x轴上的位置不变,仅形状发生变化,σ越小则曲线越显的高瘦陡峭;σ越大则曲线越显得矮胖平缓,如图3所示:从几何角度看,μ是正态曲线极大值的横坐标、σ是曲线拐点的横坐标到μ之间的距离,或者说σ是凸、凹曲线连接点的横坐标;从物理角度看,μ是正态曲线与x 轴之间的平面图形重心的横坐标.在数理统计中,μ是正态分布的数学期望或叫均值,σ是标准偏差.在计量学中,μ是被测量的真值,σ是表征测量值分散特性的一个度量指标.σ越大,观测值落在μ附近的概率越小,即观测值分散,测量精度低;σ越小,观测值落在μ附近的概率越大,即观测值集中,测量精度高.总之,μ表明了观测值的集中趋势,σ反映了观测值的分散程度.显然我们希望σ越小越好[3].4.标准正态分布及正态分布表称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布,将1,0==σμ代入(1.1)式有:()2221x ex -=πϕ ()x -∞<<+∞()2,~σμξN [1].概率论告诉我们,随机变量的分布函数()F x 等于密度函数()x ϕ在无穷区间(),-∞∞ 上的广义积分,于是标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为:()()()()dt edt t x P x P x F t xx 2221-∞-∞-⎰⎰==<<∞-=<=πϕξξ ()通常用()x Φ表示标准正态分布的分布函数,即:()()()()dt edt t x P x P x t xx2221-∞-∞-⎰⎰==<<∞-=<=Φπϕξξ取不同的x ()x Φ的数值,这就得到“标准正态分布函数数值表”简称“标准正态分布表”或“正态分布表”.有些文献也叫“正态概率曲线下的面积”、“概率积分函数表”、“正态分布积分值”、“误差函数表”、“正态曲线下的面积函数表”、“拉普拉斯函数()dt e x x t ⎰∞--=Φ2221π的值”等不同的名称.(),x -∞内正态曲线与x 轴之间所围曲边梯形的面积,如图(4)所示,这也是将“正态分布表”称作“正态概率曲线下的面积”的道理. 由于密度函数()x ϕ可以在整个x 轴上取值,由密度函数性质得: 12122=-∞+∞-⎰dt et π即正态曲线性质4:曲线与x 轴所围面积为l [4].式通常称概率积分．由于积分的上下限不同,可得到以下几种不同形式的正态分布表.()dt ex xt ⎰∞--=Φ2221π()x -∞<<∞()dt eu ut ⎰-=Φ02221π(0u ≥()dt ez zzt ⎰--=Φ2221πdt et t tx ⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ2212π()dt ek ktx ⎰-=Φ02222π()0k ≥()dt ek k t ⎰∞+-=Φ022021π()00k ≥()()()()()02tx u z k k ⎛⎫ΦΦΦΦΦΦ ⎪⎝⎭、、、、和均有现成表可查. 一种文献只附有一种形式的正态分布表.这六种不同形式的正态分布表,形式虽异,但实质相同,对同一问题,无论用那种形式的表都会得到同一结果.这六种表中,其()()()()x u z k ΦΦΦΦ、、、较为常见．而2t⎛⎫Φ ⎪⎝⎭()0k Φ和则出现较少[5].义如图5所示,,、当0=x ,则有()5.0=Φx ,即:5.021202=-∞-⎰dt et π当,+∞=u 则有()5.0=Φu ,即:5.02122=-∞+⎰dt et π当u x =且均为正值时有:()()5.0=Φ-Φu x当x 为u 的相反数时有:()()5.0=Φ+Φu x当k z x ==时,有:()()()k z u Φ=Φ=Φ2令10======k k t z u x ,由各相应正态分布表查得:()8413.01==Φx ,()3413.01==Φu ,()6826.01==Φz ,()6826.0707.021=Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ,()6826.01==Φk ,()1587.010==Φk , 可以看出: ()()5.0110==Φ=+Φk u ,这从图5、图7及曲线性质4(对称轴两边面积各为0.5)容易得出.由正态曲线的对称性和曲线与x 轴所围面积为1还可以得到以下关系式:()()()x x P x P Φ-=≤-=>11ξξ()()x x Φ-=-Φ1()x Φ [4].5.正态随机变量落在区间(x 1,x 2)内的概率计算概率统计指出,连续随机变量ξ落在区间()21,x x 内的概率等于它的密度函数()x ϕ在该区间上的定积分,即:()()dx x x x x P x x ⎰=<<2121ϕ对()1,0~ N ξ有:()dt ex x x P x x t ⎰-=<<21222121π(5.1)对()2,~ σμξN 有:()()dt ex x x P x x t ⎰--=<<212222121σμπσ(1.5')式(5.1)的几何意义如图10所示.有了正态分布表,计算上面两个积分就十分容易了 对服从标准正态分布的随机变量,可直接查正态分布表,对服从一般正态分布的随机变量,通过变量置换也可以直接查正态分布表.ξ～N(0,1)时的概率计算若 ()1,0~N ξ,则ξ 落在区间()21,x x :()()()12222211222212212121x x dt edt edt ex x x P x t x t x x t Φ-Φ=-==<<⎰⎰⎰∞--∞---πππ()()12x x ΦΦ和倒1．设 )1,0(~N ξ,求:①()2.13.0<<ξP ;②()3.0<ξP ;③()2.1>ξP()()()3.02.12121212.13.03.022.122.13.02222Φ-Φ=-==<<⎰⎰⎰∞--∞---dt edt edt eP t t t πππξ由正态分布表查得:()88493.02.1=Φ,()61791.03.0=Φ 故有:()26702.061791.088493.02.13.0=-=<<ξP()()61791.03.0213.023.02=Φ==<⎰∞-dt e P t πξ()()()11507.088493.012.112.112.1=-=Φ-=≤-=>ξξP P显见: ()()()12.12.13.03.0=>+<<+<ξξξP P P因为ξ在整个x 轴上取值,故概率必1.这也证明了正态曲线与x 轴所围面积为1[5].ξ～N (μ,σ) 时的概率计算若()2,~σμξN ,则ξ落在区间(b a ,)内的概率,原则上讲只要对它的密度函数在区间(b a ,)上积分()()dt eb a P t b a22221σμπσξ--⎰=<<即可求得.但是实际上这个积分的计算是比较麻烦的,并且由于它有σμ,两个参数,也不可能对不同的μ和σ 一一造表备查.于是设法将服从一般正态分布的随机变量ξ化为服从标准正态分布,利用已有的“正态分布表”,以解决所有正态分布的概率计算问题[6].ξ～N (μ,σ )的分布函数由分布函数的定义可知,服从一般正态分布的随机变量ξ的分布函数为:()()()()dt e x P x P x F x t ⎰∞---=<-∞<=<=22221σμπσξξ作变量置换,令()σμ-=t y 由上式化为:()()()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ==<<∞-=<=⎰-∞--σμπσξξσμx dy ex P x P x F x y )2.2.4(2122由式上式说明通过变量置换可将对服从一般正态分布的随机变量的密度函数的积分化为对服从标准正态分布的密度函数的积分.这为利用“标准正态分布表”打开了大门[1].设()2,~σμξN ,则ξ落在区间()21,x x 内的概率为:()()()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--=Φ-Φ=-==<<⎰⎰⎰⎰⎰-∞---∞--∞--∞---σμσμππσμπσπσπσσμσμ12221222221)1.1.2.5(212121212112221222212x x dy edy ex y x x dt edt edt ex x x P x y x y x t x t x x t 由式令)这里,⎪⎭⎫⎝⎛-Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσμσμ12x x 和可由正态分布表查得.:()()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≤-=>σμξξa a P a P 11例2．设 ()4,1~N ξ,求:①)6.10(<<ξP ;② )3.2(>ξP . 解:这里1=μ, 2=σ; ①()()()210 1.6 1.6101220.30.50.61790.30850.3094x x P μμξσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=Φ-Φ-=-=②()()()2.31 2.32.3 2.3111210.6510.74220.2578P P ξξμσ>=-≤--⎛⎫⎛⎫=-Φ=-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-Φ=-=例3. 设()2,~σμξN ,求()σμξk P <-？ 解: ()σμξk P <-=()σμξσk k P <-<-=()σμξσμk k P +<<-)1.2.2.5(由式⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Φσμσμσμσμk k =()()()12-Φ=-Φ-Φk k k当1=k ,()σμξ<-P =()σμξσμ+<<-P =()112-Φ=218413.0-⨯=0.6826 当,2=k ()σμξ2<-P =()σμξσμ22+<<-P =()122-Φ=197725.02-⨯=0.9545 当,3=k ()σμξ3<-P =()σμξσμ+<<-3P =()9973.0199865.02132=-⨯=-Φ 当,4=k ()σμξ4<-P =()σμξσμ44+<<-P =99993666.0 上例说明,随机变量[1]ξ落在区间()σμσμ+-,内的概率为0.6826,或者说在σμ±范围内的曲边梯形面积占正态曲线下总面积的68.26％;落在区间()σμσμ2,2+-内的概率为0.9545;落在区间()σμσμ3,3+-内的概率为0.9973;落在区间()σμσμ4,4+-内的概率为0.99994.由于落在σμ±范围内观测值为所有观测值的99.3％ ,几乎包括了所有观测值,因此将σμ±作为一个界限范围,这就是常说的“3σ原则”,它在质量管理和质量控制等领域有广泛应用.在误差理论中,称σ3为极限误差.因为随机测量误差落在σ3±范围内的概率为99.76%超出该范围的仅占0.27％.即一万次测量中,极限误差在σ3±范围内的有9973次,超出该范围的仅有27次,这相当于370次测量中约有1次的测量误差有可能超出σ3±范围(0.27％ =27／10000=1／370).若取σ4±为极限误差,那么在15788次测量中才约有1次误差的绝对值超出σ4±范围(0006334％=6.334／100000≈ 1／15788) 而一般的测量,次数最多也不过几十次,因此可以认为,在任何情况下都不会出现绝对值大于σ3的随机误差,故称σ3为极限误差．这就是随机误差有界性的道理.也有些国家将σ2作为极限误差.在不确定度评定中,K 称为包含因子(覆盖因子),它常取2或3,扩展不确定度U 为合成标准不确定度C U 的K 倍.例3的计算结果可用图l1表示用例3的计算方法,取不同的K 值,将得到的一些特定的概率值列入表2.表2 不同K 的概率[7]6．正态分布在几个领域内的应用实例6.1．已知μ, σ求某条件下的概率[8]例4:解:设量规使用期为随机变量ξ,由题意知()28.0,5~N ξ,本题求()()46P P ξξ<>和1)()()()44544 1.250.10560.8P P μξξσ--⎛⎫⎛⎫<=-∞<<=Φ=Φ=Φ-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()4045054040.80.81.25 6.250.105600.1056P P μμξξσσ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<<=Φ-Φ=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=Φ--Φ-=-=2)()()()6561611 1.2510.89440.10560.8P P ξξ-⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭例5:某车间加工一批轴,其直径服从正态分布,平均直径μ=l0mm ,标准差σ=0.015mm .规定直径在(10±0.03)mm 范围内为合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格品的概率.解:设这批轴的直径为随机变量ξ,由题意知()015.0,10~N ξ.03.10>ξ和97.9<ξ为不合格品.1) ()()()9.97109.9710.03110.030.015不合格P P P P ξξξ-⎛⎫=<+>=Φ+-≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()()()()()10.031021212[12]120.015222220.977250.0455-⎛⎫=Φ-+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ+-Φ ⎪⎝⎭=-Φ=-⨯= 2) ()10.03109.97109.9710.030.0150.015合格P P ξ--⎛⎫⎛⎫=<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222120.9772510.9545=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=或 110.04550.9545P P =-=-=合格不合格 例6:某城市平均季降雨量为476mm ,标准差为165mm ,假定该市季降雨量服从正态分布,预测雨量在381mm 到635mm 之间50年内舍有多少年[8]? 解:先求降雨量在381mm -635mm 的概率()()()6354763814763816350.960.581651650.83150.28100.5505P ξ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ=Φ-Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=故降雨量在该范围内50年中的年数为:50×0.5505=27.525≈28(年)[2].例7:测量某目标的距离时发生的误差ξ(以m 米)具有概率密度()()32002022401--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x ex πϕ,求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不大干30m 的概率.解:由题意()240,20~N ξ.在一次测量中误差绝对值小于等于30m 的概率为:()()()3020302030300.25 1.254040P ξ---⎛⎫⎛⎫-<<=Φ-Φ=Φ-Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.59870.10560.4931=-=一次测量中误差绝对值大干30m 的概率为: 5069.04931.01=- 三次测量中误差绝对值大干30m 的概率为: ()1302.04931.013=-三次测量中误差绝对值不大干30m 的概率(即三次测量中至少有一次误差绝对值不大干30m 的概率)为: ()8698.01302.014931.0113=-=--由于三次测量可以看作三次独立试验,于是此题也可按二项分布计算.本题所求概率包括:1)三次测量中有一次的误差不大干30m ;2)三次测量中有二次的误差不大干30m ;3)三次的测量均不大干30m .这里:p =0.4931(上面计算),5069.01=-=p q ,于是有:()()()()3332221113211---++==+=+=+≥n n n n n n q p C q p C q p C P P P P ξξξξ ()()()()()8698.01199.03698.0381.0)5069.0(4931.05069.04931.05069.04931.003332232113=++=++=C C C可见按正态分布和按二项分布计算结果相同.例8:设显像管平均寿命为10年,标准差为3.5年,一年内损坏的可免费掉换.每出售100台电视机(1台有1只显像管),可以预料有多少显像管要免费掉换? 解:设显像管寿命为 ,则 ()5.3,10~N ξ,显像管寿命小于1年的概率为:()()01.00051.057.25.310111≈=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<σμξP故100台中需要掉换的台数为100×0.01=l(台)[9].6.2．已知某条件下的概率,求参数μ 和σ ?例9:有一群男子,4％的身高在m 608.1以下,有52％在m 608.1到m 753.1之间.若身高成正态分布,求这一分布的平均值和标准差[10]？解:由题意得:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<56.052.004.0753.1753.104.0608..1608.1σμξσμξP P ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-15.0753.175.1608.1σμσμ化为: ⎩⎨⎧=--=+-015.0753.1075.1608.1σμσμ解得: ()()⎩⎨⎧==m m 742.1076.0μσ 即这群男子平均身高为m 742.1,标准差为mm 076.0.例10:某电子产品的寿命(以小时计)服从参数μ=160,σ的正态分布,若要求()80.0200120≥≤<ξP ,问允许的σ的最大值为多少? 解:由题意:()200160120160120200404040210.80P ξσσσσσ--⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ=Φ-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即: 90.040≥⎪⎭⎫⎝⎛Φσ反查正态分布表得:28.140≥σ故得 25.31≤σ例11:滚珠直径成正态分布,mm 2=σ,已知4％的滚珠直径大于mm 5.23,求这一分布的平均值.解: ()()04.05.2315.2315.23=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≤-=>σμξξP P即: 96.05.23=⎪⎭⎫⎝⎛-Φσμ反查正态分布表得:75.125.23=-μ解得: mm 20275.15.23=⨯-=μ6.3．已知 μ,σ 和区问(a ,b )内的变量数,求总变量数例12:某正态分布的0.72=μ,,0.12=σ在40与90之间有220个变量值,求整个分布有多少变量值?解:先求变量值在40~90范围内的概率()()()9072.04072.04090 1.5 2.66612.012.00.93320.00380.9294P ξ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ=Φ-Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=故总变量ξ为: 2377.2369294.0220≈=÷ 例13:？解: ()()()5793.04207.012.012.174.85.815.815.8=-=-Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≤-=>ξξP P故总顾客数为: 7255793.0420=÷=ξ(人)6.4．已知μ,σ及各范围内的概率,求某范围的上、下限例14:g ,标准差为60g ,求中等水果的下限与上限的重量.解:由题意知,中等水果下限下x 以下的概率为0.20,上限为上x 以下的概率为(0.20+0.55)=0.75,于是有:()75.0605.241=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<下下下x x x P σμξ ()75.0605.241=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<上上上x x x P σμξ 84.0605.241-=-下x 675.0605.241=-上x反查正态分布表得:g x 1.19184.0605.241=⨯-=下 g x 282675.0605.241=⨯+=上即中等水果下限重量为191g ,上限为282g[2].例15:某公司对职工进行基本理论考试,决定给14％ 的人以优.由以往经验知考试成绩成正态分布,平均分数为80分,标准差为14分,问职工至少考多少分方能得优? 解:设至少考x 分方能得优,由题意:()()14.0148011=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ86.014.011480=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx反查正态分布表得:08.11480=-x 故 9508.11780=⨯+=x (分) 即考生至少得95分方能得优.例16:用某量具测量(5.26±d)mm mm ,标准差为0.02mm ,测量值服从正态分布.要使测量值的95％都在公差范围内,问d 值应定为多少[6]? 的值为随机变量ξ,则()202.0,26.5~N ξ.由题意得() 5.26 5.26 5.26 5.265.26 5.260.020.02210.950.020.020.02d d P d d d d d ξ+---⎛⎫⎛⎫-<<+=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ-=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 975.002.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φd 反查正态分布表得: 96.102.0=d 故有 mm 0392.002.096.1=⨯=σ本例也可以这样解:由表2可知,σμ96.1±的概率为0.95,于是5.26±d =5.26±σ96.1 从而 σ96.1=d mm 0392.002.096.1=⨯=σ6.5. 用标堆差确定所需测量次教若某测量器具单次测量的标准差为σ,则多次测量的算术平均值的标准差为n σ=T .将σ作为经验值,用以判断实际工作中用此器具测量一次是否能满足精度要求.若允许的测量极限误差σδ3>,那么测量一次就够了,若σδ3<,则要进行多次测量,这就要满足:n σσδ33=T ≥ (6.5.1) 从而: 23⎪⎭⎫ ⎝⎛>δσn (6.5.2) 或 22233T =⎪⎭⎫ ⎝⎛T >σσn (6.5.3)式中,n —所需测量次数,σ—单次测量标准差,T —算术平均值的标准差,δ—允许测量误差()T =3δ[8]. 例17[9]:用某仪器测一尺寸L,已知该仪器标准差 m μδ1=,谈尺寸允许的测量极限误差m μδ4.1±=,问测量一次能否达到要求？解:因δ=1.4<3σ=3,故测量一次达不到精度要求,应进行多次测量,559.44.13322≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥δσn 可见,至少要测量5次.例l8[10]:某仪器标准差m μσ1=,现要求测量结果的精度,5.0m μ=T 问应测多少次?45.013322222==T =⎪⎭⎫ ⎝⎛T >σσn 可见,至少应测量4次.参考文献[1] 陈希孺.概率与数理统计教程[M]. 第3版.北京:中国科学技术出版社,2007.2[2] 魏宗舒.概率与数理统计教程[M]. 北京:高等教育出版社,2004.4[3] 刘宗鹤等译.概率与统计入门.北京:农业出版社,1986[4] 上海交大应用数学系.概率论与数理统计初步.上海:上海交太出版社,1989.1[5] 沈恒范.概率论讲义[M]. 第2版.北京:人民教育出版社,1983.4[6] 盛骤等.概率论与数理统计[M]. 第3版.北京:高等教育出版社,2001.12[7] 范金城等.概率论与数理统计[M]．西安:西安交大出版社,2001.10月[8] 周富臣等.机械制造计量检测技术手册[J].北京:机槭工业出版社. 2000.10[9] 冯师颜.误差理论与实验数据处理[J]. 北京:科学出版社,1964.6月[10] 张世箕.测量误差与数据处理[M]. 北京:科学出版社,1979.7月Some Theory of Normal Distribution and Its ApplicationsWANG Wen-rui 04104141 Mathematics andApplied MathematicsInstructor LI Hai-zengAbstract:A lot of experiments and theoretical analyses have shown that it is the most common for random variables in the natural word and engineering technology to conform to normal distribution. For e xample: machined components’ geometric size (diameter, length, width, height), strength, weight ,life; random measurement error; persons’ height and weight; crops’ harvest; the number of red blood cells of a healthy person; fiber strength; thecarbon content of per ton liquid iron-making workshop; student’s test scores; machine’s maintenance durations; a year’s rainfall in a certain area; The distribution of shell’s falling points, all the above can be seen as obeying or nearing to obey normal distribution. Mathematics and experience have proved that random variables which stand influences from plentiful, independent, even small effects conform to normal distribution. In mathematical static of inferring many statistics, it is nearing normal distribution as long as the sample size n is adequate, regardless of information’s original distribution. Even though some statistics deviate from the normal distribution, if the deviation amount is not large, they can also be dealt with according to normal distribution. Therefore, the application of the normal distribution is very broad. Keywords:Normal distribution; Probability density function; Standard deviation; Error致谢感谢我的指导老师冯潞强,他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样;他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪,这篇论文的每个细节和每个数据,都离不开他的细心指导,而他开朗的个性和宽容的态度,帮助我能够很快的完成了我的论文.感谢李海增老师对我的论文给予一定指导与关心.感谢我的室友们,从遥远的家来到这个陌生的城市里,是他们和我共同维系着彼此之间兄弟般的感情,维系着寝室那份家的融洽.学习上我们更是互利互助,感谢他们的帮助和各方面的意见,使我的论文得以完善.但愿南下的他们平平安安,也希望挥师北上的我们顺顺利利,用我们学到的知识回报祖国和人民.感谢我的爸爸妈妈,焉得谖草,言树之背,养育之恩,无以回报,你们永远健康快乐是我最大的心愿.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意！探析正态分布的应用摘要：正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布，并且在生物，物理及工程管理领域都有着十分广泛的应用。
概率论正态分布
概率论正态分布正态分布是概率论中最为重要的分布之一，它也被称为高斯分布，是一种连续概率分布。
正态分布在自然界中广泛存在，例如身高、体重、智力等指标都符合正态分布。
正态分布的研究对于统计学、经济学、物理学、生物学等学科都具有重要的意义。
正态分布的概率密度函数可以表示为：$$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$$其中，$mu$ 是均值，$sigma$ 是标准差，$x$ 是随机变量。
正态分布的均值和方差分别为 $mu$ 和 $sigma^2$。
正态分布的图像呈钟形曲线，中心对称。
其中，均值 $mu$ 是曲线的对称轴，标准差 $sigma$ 决定了曲线的宽度。
当$sigma$ 越大时，曲线越平缓；当 $sigma$ 越小时，曲线越陡峭。
正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中的一些：1. 正态分布的均值、中位数和众数相等。
2. 正态分布的曲线在均值处取得最大值。
3. 68.27% 的数据位于均值 $pm$ 1 个标准差之间。
4. 95.45% 的数据位于均值 $pm$ 2 个标准差之间。
5. 99.73% 的数据位于均值 $pm$ 3 个标准差之间。
6. 正态分布可以通过标准正态分布进行标准化，即将原始数据减去均值后除以标准差，得到的数据符合标准正态分布。
正态分布的应用正态分布在实际应用中非常广泛，以下是其中的一些应用：1. 统计学中，正态分布是许多假设检验和区间估计的基础。
2. 生物学中，正态分布可以用来描述许多生物特征，例如身高、体重、血压等。
3. 工程学中，正态分布可以用来描述许多工程参数，例如材料强度、电路噪声等。
4. 经济学中，正态分布可以用来描述许多经济指标，例如收入、消费、通货膨胀等。
5. 金融学中，正态分布可以用来描述许多金融指标，例如股票价格、汇率等。
正态分布的拟合检验在实际应用中，我们经常需要判断一个数据集是否符合正态分布。
概率分布的正态分布与标准化
概率分布的正态分布与标准化正文：概率分布的正态分布与标准化概率分布是概率论中的重要概念，它描述了某个随机变量在不同取值下的概率分布情况。
而正态分布是一种常见的概率分布形式，它在统计学和自然科学领域具有广泛的应用。
本文将对正态分布进行介绍，并讨论与其相关的标准化方法。
一、正态分布的定义与特点正态分布又称为高斯分布，它的概率密度函数具有以下形式：f(x) = (1/(σ√(2π))) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的特点如下：1. 正态分布是一个钟形曲线，呈现对称性，左右两端的概率较小，中间部分的概率较大。
2. 均值决定了正态分布的位置，标准差决定了正态分布的形状。
3. 68%的数据位于均值附近的一个标准差范围内，95%的数据位于两个标准差范围内，99.7%的数据位于三个标准差范围内。
二、正态分布的应用由于正态分布具有较好的性质和广泛的应用，因此被广泛应用于各个领域。
以下是正态分布在统计学和自然科学领域中的一些应用：1. 统计学分析：许多统计学方法假设数据服从正态分布，如t检验、方差分析等。
2. 财务分析：股票价格变化、货币汇率波动等现象一般服从正态分布。
3. 生物学研究：身高、体重、智力水平等人体特征往往具有正态分布。
4. 工程领域：产品质量、机械故障率等参数可以用正态分布进行建模。
三、正态分布的标准化在实际应用中，为了更好地利用正态分布的性质，常常需要对其进行标准化处理。
标准化可以将不同均值和标准差的正态分布转化为具有均值为0、标准差为1的标准正态分布。
标准化的方法如下：1. Z分数标准化法：对于给定的随机变量X，其标准化后的变量Z可以通过以下公式计算：Z = (X - μ) / σ其中，μ是原始数据的均值，σ是原始数据的标准差。
标准化后，Z的均值为0，标准差为1，可以直接用于比较和分析。
2. 标准正态分布表：标准正态分布表是根据标准正态分布计算出来的，可以用于计算标准化后的分布中某个区间的概率值。
正态分布特征范文
正态分布特征范文正态分布是一种连续概率分布，又称高斯分布。
它是统计学中最为重要和最常用的概率分布之一，具有以下几个特征：1.对称性：正态分布是一种对称分布，其概率密度曲线呈钟形状，以均值为中心对称。
2.单峰性：正态分布只有一个峰值，其概率密度在峰值处达到最大值，并逐渐趋于零。
3.均值：正态分布的均值被定义为曲线的对称轴，用μ表示。
均值确定了分布的位置和集中程度。
4.标准差：正态分布的标准差是描述数据分散程度的一个重要指标，用σ表示。
标准差越小，数据越集中在均值周围，反之越分散。
5.弱尾性：正态分布的尾部衰减比较缓慢，即概率密度在离均值较远的地方仍然有一定的值存在，这被称为正态分布的"弱尾性"。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/σ√(2π)) * exp(-(x-μ)²/(2 σ²))其中，x为随机变量的取值，μ为均值，σ为标准差，π为圆周率，exp为自然对数。
正态分布具有许多重要的应用1.自然科学研究：很多自然现象的测量结果往往服从正态分布。
例如，身高、体重、心率等生物学特征，以及温度、压力、光强等物理量，都可以用正态分布来描述。
2.统计推断：许多统计学方法的理论基础是建立在正态分布的假设下进行的。
例如，参数估计、假设检验、回归分析等，都需要假设数据服从正态分布。
3.财务和经济领域：股票市场、商品价格、利率等金融指标的波动通常服从正态分布。
经济学家在宏观和微观领域的研究中也经常使用正态分布。
4.质量控制：正态分布广泛应用于质量控制领域，用于评估产品的质量特性是否符合标准，以及控制制造过程中的变异性。
总之，正态分布具有对称性、单峰性和弱尾性等特征，是一种重要的概率分布。
它不仅在自然科学中有广泛的应用，还是统计推断、金融和经济分析、质量控制等领域的重要工具。
正态分布 概率
正态分布概率2篇正态分布是概率统计学中重要的概率分布之一，也称为高斯分布。
它在自然界和人类社会的各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、经济学、生物学等。
本文将从概念、性质和应用等方面介绍正态分布的基本知识。
一、概念正态分布是一种对称的连续型概率分布，它的密度函数呈钟形曲线，中心峰对应的是均值，标准差则决定了曲线的陡峭程度。
正态分布的概率密度函数可以用数学公式表示为：f(x) = (1/(σ√(2π))) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))其中，μ为均值，σ为标准差，exp代表自然对数的底e的指数函数。
二、性质正态分布有许多重要的性质。
首先，它是一个光滑的曲线，且在均值处取得峰值。
其次，它是一个对称分布，其左右两侧的概率密度相等。
此外，正态分布的均值、中位数和众数都是相等的，并且它的标准差可以度量数据集的离散程度。
正态分布还有一个重要的性质是可加性。
如果将两个正态分布的随机变量相加，得到的结果仍然是一个正态分布。
这一性质使得正态分布在概率统计学中具有广泛的应用。
三、应用正态分布在许多领域中都有重要的应用。
其中之一是在自然科学研究中的数据建模。
正态分布可以用来描述许多自然现象，例如物理实验中的测量误差、地震活动的震级分布等。
在这些应用中，正态分布可以帮助研究人员分析和解释复杂的数据。
另一个重要的应用领域是经济学和金融学。
许多经济学模型和金融资产定价模型都假设数据服从正态分布。
这使得经济学家和金融学家能够更好地理解和预测市场行为。
此外，正态分布还被广泛应用于质量控制和工程设计中。
例如，在生产制造中，正态分布可以用于控制产品质量和确定产品的合格标准。
在工程设计中，正态分布可以用来估计产品的寿命和可靠性。
总结起来，正态分布作为概率统计学中重要的概率分布之一，其概念、性质和应用都具有重要的意义。
通过对正态分布的研究和应用，我们能够更好地理解和分析各个领域中的数据，并从中获得有益的信息。
数学正态分布论文
华北水利水电大学North China University of water conservancy and hydroelectric power高等数学（2）结课论文题目：正态分布及其应用课程名称：高等数学（２）学院名称：资源与环境学院专业班级：测绘工程１３班成员组成：慕克歌（２０１２０１３３１）游春林（２０１２０１３３０）赵聪（２０１２０１３２５）联系电话：游春林130****8656指导老师：张广强２０１３年６月９日正态分布及其简单应用摘要：正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
它概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。
该分布由两个参数——平均值和方差决定。
它是一种最常见的连续性随机变量的概率分布，其概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。
其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
关键字：高斯分布、概率分布、平均值、方差、钟形曲线、连续性随机变量Normal Distribution And Simple AppliationAbstract:the normal distribution, Gauss distribution, a probability is very important in mathematics, physics and engineering fields distribution, has a great influence in many aspects. A distribution is the most important it in probability theory, a distribution is the most common. The distribution of the two parameters -- mean and variance to decide. It is the probability distribution is one of the most common continuous random variables, the probability density function curve to mean the symmetrical central line, the variance is smaller, more focusedon the distribution of mean value. The curve of a bell, so people often call the bell curve.Keywords: Gauss distribution, probability distribution, average value, variance, the bell curve, continuous random variables【一】背景正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
大学概率论-正态分布及标准化 论文
题目：浅谈正态分布及其标准化院系：卓越学院班级：经管班姓名：郭佳妮学号：15031206目录一．浅谈正态分布 (3)1.正态分布的概率密度函数 (3)数学期望 (4)方差 (4)2.正态分布的分布函数 (5)3.正态分布的性质 (6)二．正态分布的标准化 (7)一．浅谈正态分布如果影响该事件的因素有无穷多个,而每个因素的影响又是无穷小,那么这个事件就服从正态分布例如：测量某零件的尺寸时,由于温度、湿度等众多因素的微小影响,使得测量结果出现误差,这种误差就服从正态分布大误差出现的概率很小,经常出现的误差概率就高,就象一条钟型曲线,即正态分布曲线从这条曲线可以看出正态分布曲线关于x=μ对称，并在x=μ取到最大值1.正态分布的概率密度函数记作X～N(μ，σ^2)数学期望μ为正态分布的E（x），即为数学期望，又称为均值在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
E(X) = X1*p(X1） + X2*p(X2） + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)性质设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。
以下是数学期望的重要性质：1.E（C）=C2.E（CX）=CE（X）证明方差σ^2为正态分布的方差，（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
性质1.设C是常数，则D（C）=02.设X是随机变量，C是常数，则有3.D(X+C)=D(X)3.D(X+C)=E((X+C-E(X+C))^2)=E((X-E(X))^2)=D(X)2.正态分布的分布函数f（x）为x=A事件的概率，即为p（x=a）F（x）为x在区间（-∞，a）上的概率介绍F（x）3.正态分布的性质关于x=μ对称，在任意h>0时都有P{μ-h<x<μ}=P{μ<x<μ+h}当x=μ时取到最大值F（μ）=1/√（2π）σ代入即可4.标准正态分布正态分布的特殊情况，当期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ^2=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的分布之一。
它的形状呈钟形曲线，被广泛应用在各个领域，由于其重要性，也被称为“常态分布”或“高斯分布”。
本文将对正态分布的概念、性质以及使用方法进行介绍。
一、概念和性质正态分布的概念最初由德国数学家高斯提出，并且在很多实际问题中都能够很好地适应数据分布。
正态分布的概率密度函数可以用以下形式表示：$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$其中，$x$ 表示随机变量的取值，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
正态分布的均值决定了其分布的中心位置，标准差则决定了分布的形状的宽度。
正态分布具有以下几个重要的性质：1. 正态分布是对称的。
其概率密度函数关于均值对称，即在均值两侧的概率是相等的。
2. 均值、中位数和众数相等。
在正态分布中，这三个统计量都落在分布的中心位置。
3. 标准差决定形状。
标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。
4. 经典的“68-95-99.7”法则。
在正态分布中，约有68%的数据点落在一个标准差内，约有95%的数据点落在两个标准差内，约有99.7%的数据点落在三个标准差内。
二、正态分布的应用正态分布在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例：1. 自然科学与工程领域。
在物理学、化学、生物学、电子工程等领域，很多现象都服从正态分布。
例如，测量的误差、物理实验的结果、机械零件的尺寸等都可以用正态分布进行建模和分析。
2. 金融与经济学。
正态分布在金融与经济学中有着广泛的应用。
股票价格、汇率变动、经济指标等的波动性通常都可以用正态分布进行建模。
3. 社会科学。
正态分布在统计学、心理学、人口学等社会科学领域也有重要应用。
例如，智力测验、身高分布、心理测量等都可以用正态分布来描述。
4. 质量管理与过程控制。
在企业的生产与服务过程中，正态分布可以用来分析质量数据，判断生产过程是否稳定，并进行质量改进与控制。
浅谈正态分布在现实生活中的应用论文doc
浅谈正态分布在现实生活中的应用论文doc浅谈正态分布在现实生活中的应用摘要：无论从理论和实际应用的观点来看，正态分布毫无疑问是概率论和数理统计中的重要分布。
它的重要性质是由于实际中遇到的随机变量有许多服从正态分布或近似服从正态分布的。
（例如，气象学中的温度、湿度、降雨量，有机体的长度、重量，智能测度的评分，实验中的测量误差，经济学中的众多度量等等）正态分布是许多重要分布的极限分布；许多非正态分布变量是正态分布变量的函数；正态分布的概率密度和分布函数具有各种优良性质等。
本文总结分析了正态分布和标准正态分布的性质和特点，然后着重分析了正态分布在医学，岗位测评，试卷命题难度评价，天气预报等实际问题中的应用。
关键词：正态分布；标准正态分布；统计量一、 正态分布的有关知识1、正态分布的定义设连续型随机变量X 具有概率2()(2)()2x f x μσπσ--=⋅，x -∞<<∞ (1.1)其中μ(-∞<μ<∞)，(0)σσ>为常数，则称x 服从以,μσ为参数的正态分布，正态分布又称高斯分布，记为2(,)XN μσ。
2、 正态分布的图形特点为了画出正态分布的图形，先对概率密度做几点讨论：（1）()0f x >，即整个概率密度曲线都在x 轴的上方；（2）令x c μ=+，(0)x c c μ=->，分别代入()f x ，由（1.1）式可得()()f c f c μμ+=- 且()()f c f μμ+≤ ()()f c f μμ-≤故()f x 以x μ=为对称轴，并在x μ=处达到最大值()2f μπσ=⋅（3）当x →±∞时，()0f x →，这说明曲线()f x 向左右伸展时越来越贴近以x 轴，即()f x 以x 轴为渐近线。
（4）用求导的方法可以证明x μσ=±为，为()f x 的两个拐点的横坐标。
综上，即可画出正态分布的概率密度曲线如图1，它是一条关于x μ=对称的钟形曲线。
概率与统计中的正态分布与标准正态分布
概率与统计中的正态分布与标准正态分布概述：在概率与统计学中，正态分布（Normal Distribution）是一种经常被应用于描述各种现象的概率分布。
它的形态特征被认为是最常见的分布形态之一。
本文将介绍正态分布的概念、特性以及与标准正态分布的关系。
一、正态分布的概念与特性正态分布又称为高斯分布（Gaussian Distribution），它是以其创始人卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）命名的。
正态分布的概率密度函数可以用以下数学公式表示：f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，f(x)表示变量x的概率密度函数；μ是均值（mean），代表分布的中心位置；σ是标准差（standard deviation），用于衡量分布的离散程度；π是圆周率，e是自然对数的底。
正态分布具有以下特性：1. 正态分布是一个对称分布，其形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐逼近于x轴，无限延伸。
2. 标准差的大小决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽，反之亦然。
3. 正态分布的总面积等于1，它关于均值μ对称，且均值、中位数和众数都相等。
二、标准正态分布标准正态分布（Standard Normal Distribution）是一种特殊的正态分布，其均值（μ）为0，标准差（σ）为1。
标准正态分布的概率密度函数可以用以下数学公式表示：φ(x) = 1/√(2π) * e^(-x^2/2)标准正态分布的随机变量常用字母Z表示。
Z的取值范围为负无穷到正无穷，其概率密度函数图像呈现出对称的钟形曲线。
在实际应用中，标准正态分布可以通过查找Z表或使用计算机软件进行计算和查找。
三、正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布之间存在着一种转化关系。
对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准正态分布的随机变量，X为正态分布的随机变量，μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
概率论文正态分布
正态分布在生活中的应用X班XX XX XXX【部分名词解释】正态分布：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ^2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。
【引入】正态分布是一个具有神秘色彩的分布。
我们知道，对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布。
也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态。
对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常。
这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布。
还有一个角度，如果有若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况。
这是反向推导的过程。
【大量个体的分布】大量个体做同一件事，或者为同一目标去发挥，水平（成绩）分布近似为正态分布。
既然正态分布在大量个体角度是许多单位为同一个目标去发挥的结果统计，我们就要对正常的“表现情况”进行统计，而忽略“各怀各的想法”的发挥统计。
首先要去进行统计来验证这个假设的正确性，也就是说，找一些许多人参与的事，看看水平分布情况。
这里是我们对104位06级男同学的跳远成绩的统计结果。
根据上文所述的条件，“大量个体”在这里有104人；“同一目标”都是尽量向远处跳，应该是没有故意不好好干的情况。
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一。
它的形状对称、钟形曲线使得它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍正态分布的定义、性质以及如何使用正态分布进行概率计算和统计推断。
一、正态分布的定义正态分布，又称高斯分布，是一种连续型的概率分布。
它的概率密度函数（probability density function, PDF）可以用以下公式表示：f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差，e是自然对数的底数。
二、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中的几个：1. 对称性：正态分布的概率密度函数关于均值对称。
即当x接近μ时，f(x)的值趋近于最大值。
2. 峰度：正态分布的峰度是3，意味着它的尾部相对较重。
3. 范围：正态分布的取值范围是(-∞, +∞)，即负无穷到正无穷。
4. 均值和标准差：正态分布的均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的形状。
68%的数据在均值的一个σ范围内，95%的数据在两个σ范围内，99.7%的数据在三个σ范围内。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
以下是正态分布常见的几个应用场景：1. 抽样分布近似：中心极限定理表明，当样本容量足够大时，许多随机变量的抽样分布可以近似为正态分布。
2. 参数估计：在统计推断中，我们经常使用正态分布来估计未知参数的置信区间。
通过样本数据的均值和标准差，我们可以计算出参数估计的置信区间。
3. 假设检验：正态分布在假设检验中也有着重要的应用。
我们可以通过计算检验统计量并参考正态分布的分位数，判断某个假设是否成立。
4. 质量控制：正态分布在质量控制中常用于确定过程的稳定性。
通过统计过程得到的样本数据，可以进行正态性检验，判断过程是否受到特殊因素的影响。
四、正态分布的计算与推断在实际应用中，我们经常需要计算正态分布的概率值或进行统计推断。
概率论论文正态分布
哈尔滨工业大学正态分布初探课程：概率论与数理统计姓名：***院系：英才学院飞行器设计与工程班级：1236005学号：**********指导老师：***二零一三年十一月三十正态分布初探林海奇（哈尔滨工业大学飞行器设计与工程）摘要：正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
[1]自然界的一切分布的极限分布均为正态分布，并且正态分布具有许多良好的性质，在数学、医学、统计学和日常生活中的方方面面应用十分广泛。
关键词：正态分布发展历史性质应用一：正态分布的发展历史正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。
高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这无不说明在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
正态分布与概率
正态分布与概率全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为重要的一种连续概率分布，也是最具代表性的一种概率分布。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学等领域，它的特点是对称的钟形曲线。
正态分布在数学领域有着广泛的应用，尤其在统计学中，被认为是最为常见的分布形式，它的性质也被广泛地应用于各种实际问题中。
正态分布的形状是一个对称的钟形曲线，曲线的中心位于均值处，曲线在均值两侧逐渐下降，呈现出一种尾部渐进斜的形态。
在正态分布中，均值（μ）等于中位数，而众数也等于均值，因此正态分布具有对称性。
正态分布的标准差（σ）越大，曲线越矮胖，标准差越小，曲线越瘦高。
正态分布的概率密度函数表达式为：\[f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]μ为均值，σ为标准差，e为自然对数的底。
这个概率密度函数描述了在给定均值和标准差的情况下，某一特定取值的概率密度。
正态分布具有很多重要的性质，其中最为著名的就是“三σ原则”，这个原则规定了在正态分布中，根据概率密度函数曲线的性质，大约68.27%的数据落在均值附近的1个标准差范围内，95.45%的数据落在两个标准差范围内，99.73%的数据落在三个标准差范围内。
这个原则在实际应用中有广泛的应用，它表明了正态分布对于数据的分布情况有着很好的描述能力。
在统计学中，正态分布的性质使得其成为了许多统计方法的基础，例如假设检验和置信区间估计。
在进行假设检验时，我们通常会根据正态分布的性质来计算p值，来判断样本数据是否与某个假设相符。
而在置信区间估计中，我们通常也借助于正态分布的性质来计算置信区间，来估计总体参数的取值范围。
正态分布还在自然科学和社会科学中有着广泛的应用。
在自然科学中，很多自然规律和现象都能够用正态分布进行描述，例如身高、体重等指标。
在社会科学中，正态分布也经常被用来对人类行为和特征进行分析，例如IQ分布等。
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是统计学中最为重要的一种概率分布。
它常用于研究连续型随机变量，具有广泛的应用。
正态分布的形态呈钟形曲线，对称分布在均值两侧。
在本文中，我们将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、正态分布的定义与性质正态分布的形式化定义如下：对于一个连续型随机变量X，如果其概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差，则X服从正态分布，记为X~N(μ, σ^2)。
正态分布的性质如下：1. 正态分布的均值、中位数和众数相等，称为位置参数。
2. 正态分布的曲线关于均值对称。
3. 正态分布的标准差描述曲线的宽度，标准差越大，曲线越矮胖；标准差越小，曲线越高瘦。
4. 正态分布的概率密度总和为1。
5. 正态分布的标准差决定了曲线在均值附近的陡峭程度。
二、正态分布的标准化与标准正态分布由于正态分布无法直接计算概率，因此引入了标准化的概念，即将正态分布转化为标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
标准化的方法为：Z = (X - μ) / σ，其中Z表示标准正态随机变量，X是原始随机变量，μ和σ分别是原始随机变量的均值和标准差。
标准正态分布的概率可以查表得到，或者使用计算工具进行计算。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 身高和体重身高和体重往往符合正态分布。
通过对一定人群的测量，我们可以得到人群身高和体重的分布情况，从而能够更好地了解人群的整体特征。
2. 产品质量控制大多数产品的质量参数符合正态分布。
通过对产品进行抽样检测，可以根据正态分布的性质来判断产品的合格率，并进行质量控制。
3. 股票收益率股票收益率往往符合正态分布。
通过分析股票的历史数据，可以了解股票价格的波动情况，并进行风险评估。
4. 考试成绩大多数考试成绩符合正态分布。
概率分布的正态分布与标准化
概率分布的正态分布与标准化正文：概率分布是统计学中的一个重要概念，它描述了随机变量在各个取值上的概率分布情况。
正态分布是一种特殊的概率分布，也称为高斯分布或钟形曲线分布。
正态分布在统计学和自然科学的研究中具有广泛的应用，能够描述许多自然现象的分布规律。
本文将介绍正态分布以及与之相关的标准化概念。
正态分布是一种以均值μ和方差σ²为参数的连续概率分布。
其概率密度函数可以用以下公式表示：P(x) = (1/√(2πσ²)) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))其中，x代表随机变量的取值，μ代表均值，σ²代表方差。
正态分布的特点是呈现出典型的钟形曲线，它的均值位于曲线的中心，而标准差决定曲线的宽窄程度。
正态分布具有一些重要的性质，包括对称性、尾部递减性和中心极限定理。
对称性意味着曲线关于均值μ对称，左右两侧的概率相等。
尾部递减性表示随着距离均值的增大，概率密度逐渐减小。
中心极限定理则说明了正态分布在随机变量进行独立同分布的加总过程中逼近于正态分布。
标准化是指将不同的正态分布转化为具有相同均值和标准差的标准正态分布。
标准正态分布的均值为0，标准差为1。
标准化可以通过以下步骤实现：1.对原始数据进行中心化，即将每个数据减去均值μ。
2.将中心化后的数据除以标准差σ。
标准化后的数据可以用来进行各种统计推断和比较。
例如，可以比较不同正态分布的相对位置及形状，判断某个取值在整个分布中的相对位置。
在实际应用中，正态分布和标准化常常与假设检验、置信区间估计、回归分析等统计方法相结合。
通过将数据转化为标准正态分布，可以简化计算和分析过程。
总结：本文介绍了概率分布中的正态分布以及与之相关的标准化概念。
正态分布是一种重要的概率分布，具有钟形曲线和许多重要性质。
标准化是将不同的正态分布转化为标准正态分布的过程，用来进行统计推断和比较。
正态分布和标准化在统计学和自然科学的研究中具有广泛的应用，能够描述诸多自然现象的分布规律。
论正态分布的重要性和意义(终审稿)
论正态分布的重要性和意义文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-论正态分布的重要性和意义一、正态分布的概论正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。
二、正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布。
其重要性我们可以从以下两方面来理解：（1）一方面。
正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来.若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
例如，产品尺寸是一类典型的总体。
对于成批生产的产品.如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定.而且不存在产生系统误差的明显因素。
那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。
又如测量的误差,炮弹落点的分布,人的生理特征的量:身高.体重等,农作物的收获量等等.都服从或近似服从正态分布。
（2）另一方面.正态分布具有许多良好的性质.很多分布可以用正态分布来近似描述.另外.一些分布又可以通过正态分布来导出.因此在理论研究中正态分布也十分重要。
正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
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正态分布
------概率论论文在高中的一堂数学课上，老师向同学们简单的介绍了一下概率论，这是我第一次接触到正态分布。
但却使我深深的被它吸引从此便对它有了浓厚的兴趣.不过在高中的学习对于这方面的知识学习只是浅尝辄止。
令我兴奋的是，在这学期文海玉老师的概率论与数理统计课上又重新接触到了正态分布这方面的知识,这无疑重新燃起了我的兴趣.下面是我对正态分布的一些浅显的认识。
让我们先从正态分布的发展史说起, 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
后来到1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了这个学说.按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差(近似地)服从正态分布。
拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。
因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一(算术平均的优良性，误差的正态性) 为出发点。
但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。
拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意。
了解完发展史,我们会有疑问,发展到现在的概率论中的正态分布的确切定义到底是什么?
正态分布的概率密度函数均值为μ方差为σ2 (或标准差σ)是高斯函数的一个实例：。
如果一个随机变量X服从这个分布，我们写作X~ N(μ,σ2). 如果μ = 0并且σ = 1，这个分布被称为标准正态分布，这个分布能够简化为。
下边是给出了不同参数的正态分布的函数图。
正态分布中一些值得注意的量：
∙密度函数关于平均值对称
∙平均值是它的众数（statistical mode）以及中位数（median）∙函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内∙95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内
∙99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内
∙99.993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内
∙反曲点（inflection point）在离平均值的距离为标准差之处累积分布函数
上图所示的概率密度函数的累积分布函数
累积分布函数是指随机变量X小于或等于x的概率，用密度函数表示为
正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：
标准正态分布的累积分布函数习惯上记为Φ，它仅仅是指μ = 0，σ = 1时的值，
将一般正态分布用误差函数表示的公式简化，可得：
它的反函数被称为反误差函数，为：
该分位数函数有时也被称为probit函数。
probit函数已被证明没有初等原函数。
正态分布的分布函数Φ(x)没有解析表达式，它的值可以通过数值积分、泰勒级数或者渐进序列近似得到。
生成函数
动差生成函数
动差生成函数被定义为exp(tX)的期望值。
正态分布的矩生成函数如下：
可以通过在指数函数内配平方得到。
特征函数
特征函数被定义为exp(itX)的期望值，其中i是虚数单位. 对于一个正态分布来讲，特征函数是：
把矩生成函数中的t换成it就能得到特征函数。
正态分布具有以下的性质.
1.如果且a与b是实数，那么aX + b∼N(aμ + b,(aσ)2) .
2.如果与是统计独立的正态随机变量，那
么:
o它们的和也满足正态分布
(proof).
o它们的差也满足正态分布
.
o U与V两者是相互独立的。
3.如果和是独立正态随机变量，那么:
o它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
其中K0是贝塞尔函数（modified Bessel function）
o它们的比符合柯西分布，满足X / Y∼Cauchy(0,σX / σY).
4.如果为独立标准正态随机变量，那么服从自由度
为n的卡方分布。
最后让我们通过实例分析,感受正态分布的神奇之处.你会发现其实正态分布离我们的生活很近很近!
医学参考值
某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。
其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。
医学参考值范围亦称医学正常值范围。
它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。
制定正常值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的“正常人”，所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群；其次需根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如80%，90%，95%和99%，常用95%；根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，如白细胞计数过高过低皆属不正常须确定双侧界值，又如肝功中转氨酶过高属不正常须确定单侧上界，肺活量过低属不正常须确定单侧下界。
另外，还要根据资料的分布特点，选用恰当的计算方法。
常用方法有：
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布的资料。
双侧界值：X+-u(u)^S单侧上界：X+u(u)^S，或单侧下界：X-u(u)^S
习和掌握正态分布以及灵活的应用正态分布概率曲线在我们的日常生活和学习中极其重要的意义.。