材料力学第2版 课后习题答案 第11章 组合变形时的强度计算
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B
60cm
C
10-9 图示起重结构，A 及 B 处可作铰链支承看待，C、D 与 E 均用销钉连结。AB 柱的 截面为 20cm × 30cm 的矩形。试求其危险截面上的最大正应力。 解：
R A = 25 × 2.4 / 3.6 = 16.6667
N = 25 KN
KN
M max = 25 × 10 3 × 2.4 − 16.667 × 2.4 × 10 3 = 20 A = 0.2 × 0.3 = 0.06 W=
f = 0.5434 2 + 0.259 2 = 0.602 cm
方向 ⊥ 中性轴： α = 25.47
�
15cm
Biblioteka BaiduP2
h
b
10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示， P1 ＝ 800 N ， P2 ＝ 1600 N 。材料许用应力 [σ]=10MPa，弹性模量 E＝10GPa，设梁截面的宽度 b 与高度 h 之比为 1：2。①试选择梁的 截面尺寸；②求自由端总挠度的大小和方向。 解： （ I） M z max = P2 × 1 = 1.6 KN
图
（II）
图
σ max =
N M 20 × 10 3 60 × 10 3 + = + = 153.42 × 10 6 Pa −4 −6 A W 48.5 × 10 401.883 × 10 = 153.42 MPa < [σ ]
P × 93 P × 6 2 (3 × 9 − 6) = 117 P (→) (III) f B = − 3EJ 6 EJ EJ
= −146.2
MPa
σC =
My Mz ⋅ yA − ⋅ z A = −36.42 MPa J zO J yo My J yO
⋅ zB = 17.68 × 10 3 × 80.47 × 10 −3 = 120.56 −8 1180.04 × 10
σB =
MPa
10-6 旋臂 式 吊 车 梁 为 16 号工 字 钢 ， 尺 寸 如 图 所 示 ， 允 许 吊 重 P=10kN ，材 料 的 [ σ ]=160MPa。试校核吊车梁的强度。 解： B 点：
在 S 截面： N = R A ⋅ cos α + (q ⋅ sin α ) ⋅ S =
1 (q ⋅ sin α ) + 1 A W
S=
l d l d + = + ⋅ tan α 0 2 8 cot α 0 2 8
10-11 某厂房柱子，受到吊车梁的铅垂轮压 P＝220 kN，屋 架传给柱顶的水平力 Q =8 kN，及风载荷 q＝1kN/m 的作用。P 力作用线离柱的轴线距离 e＝0.4m，柱子底部截面为矩形，尺 寸为 lm × 0.3m，试计算柱子底部危险点的应力。 解：
fy =
Py l 3
48 EJ z
=
9.66 × 10 3 × 33 = 0.5434 × 10 −2 m 9 4 −8 48 × 10 × 10 × 10 × 10
fz =
Pz l 3 2.59 × 10 3 × 33 = = 0.259 × 10 − 2 m 48 EJ y 48 × 10 × 10 9 × 5625 × 10 −8
M y max = P0 × 2 = 1.6 KN Wz = bh 2 b(2b) 2 2 3 = = b 6 6 3 bh 2 2b 3 1 3 = = b 6 6 3 M z max M y max 1.6 × 10 3 1.6 × 10 3 + = + ≤ [σ ] = 10 × 10 6 3 3 2 1 Wz WY b b 3 3
∗ � 危险点： z = 10 ⋅ sin 43.77 = 6.918
cm cm
y ∗ = 10 ⋅ cos 43.77 � = 7.221 M max = 14 × 1 = 14 KN ⋅ m M y = M max ⋅ cos 45 � = 9.9 M z = M max ⋅ sin 45� = 9.9
MPa (压) < [σ ]
10-7 图示等截面构件的许用应力[ σ ]＝120 MPa，矩形截面尺寸 2.5 × 10cm2，试确定许 用载荷[P]，并作危险截面上的应力分布图，指出最大应力发生在哪一点？
60cm
解：N = P
M max = 60 P × 10 −2 , W = A = 2.5 × 10 = 25cm 2
2.5 × 10 2 = 41.667cm 3 6
N M + ≤ [σ ] A W P = 120 × 10
6
⎛ 1 60 × 10 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ 25 × 10 − 4 41.667 × 10 −6 ⎟ ⎝ ⎠
= 8108 N = 8.108 KN
最大应力点：
10-8 悬重构架如图所示，立柱 AB 系用 No25a 的工字钢制成。许用应力[ σ ]＝160 MPa， 在构架 C 点承受载荷 P＝20kN。①绘立柱 AB 的内力图；②找出危险截面，校核立柱强度； ③列式表示顶点 B 的水平位移。 解： （ i）
10-12 简单夹钳如图示。如夹紧力 P=6kN，材料的许用应力[ σ ]=140MPa。试校核其 强度。 解：
σ =
P Peb 6 × 10 3 6 × 6 × 10 3 × 6 × 10 −2 + 2 = + = 130 × 10 6 Pa = 130 MPa < [σ ] −4 2 −6 A bh 2 × 3 × 10 2 × 3 × 10
cm 4
π 4 bh 3 π 6 × 43 4 Jy = d − = × 10 − = 949.748 32 12 32 12
中性轴：
cm 4
⎛ J ⎞ ⎛ 909.748 ⎞ α = tan −1 ⎜ − z tan ϕ ⎟ = tan −1 ⎜ − tan 45 � ⎟ = −43.77 � ⎜ Jy ⎟ ⎝ 949.748 ⎠ ⎝ ⎠
tan α =
fz 1.95 = f y 0.305
, α = 81.1�
10-4简支梁的受力及横截面尺寸如图示。钢材的许用应力 [ σ ]＝160 MPa，试确定梁危 险截面中性轴的方向与校核此梁的强度。
解： J z =
π 4 bh 3 π 4 × 63 d − = × 10 4 − = 909.748 32 12 32 12
10-13 轮船上救生艇的吊杆尺寸及受力情况如图示， 图中载荷 W 系包括救生艇自重及被 救人员重量在内。试求其固定端 A-A 截面上的最大应力。 解：
N = 18
KN
M = 18 × 1.5 = 27 KN ⋅ m
σ =
N M 18 × 10 3 27 × 10 3 + = + = 160.75 A W π × 12 2 π × 12 2 −4 −6 × 10 × 10 4 32
J y 0 = 1180.04cm 4 ， J z 0 = 4554.55cm4 Wz 0 = 322.06cm3 ， Wy 0 = 146.55cm3
解：
pl = 25 KN ⋅ m 4 M y = M z = M ⋅ cos 45� = 17.68 M max =
KN ⋅ m
My Mz 17.68 × 10 3 × 141.42 × 10 −3 17.68 × 10 3 × 60.95 × 10 −3 σA =− ⋅ yA − ⋅ zA = − − J zO J yo 4554.55 × 10 −8 1180.04 × 10 − 4
Wy =
σ max =
b = 9 cm ， h = 18 cm
⎛ P × 2 3 ⎞ ⎛ P2 × 13 P2 × 13 ⎞ ⎟ +⎜ （II） f = ⎜ 1 + × 1⎟ 1.97 × 10 −2 m = 1.97cm ⎟ ⎜ 3EJ y ⎟ ⎜ 3EJ z 2 EJ z ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
2
2
20cm
MPa
10-14 正方形截面拉杆受拉力 P＝90kN 作 用 ， a＝5cm， 如在杆的根部挖去 1／4 如图示 。 试求杆内最大拉应力之值。 解：
第十章
组合变形的强度计算
10-1 图示为梁的各种截面形状，设横向力 P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平 面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a） 斜弯曲
(b) 平面弯曲
(c) 平面弯曲
(d) 斜弯曲
弯心
弯心
弯心
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
斜弯曲 “×”为危险点位置。
弯扭组合
P × (1.08 + 1.94) = 15.57 KN 1.94 N 1.94 = H 0.8 1.94 H= × 15.57 = 37.76 KN 0.8 H=
No16 工字钢： A = 26.1cm
2
， J z = 1130cm
4
， W z 141cm
3
σ
max
=
N M 37.76 × 10 3 10 × 1.08 × 10 3 + = + = 91.1 A W 26.1 × 10 − 4 141 × 10 −6
σ max =
9.9 × 10 3 × 6.918 × 10 −2 949.748 × 10 −8
+
9.9 × 10 3 × 7.221 × 10 −2 909.748 × 10 −8
= 150.69
MPa ≤ [σ ]
10-5 图示简支梁的截面为200 × 200 × 20（mm）的等边角钢，若 P =25kN，试求最大弯 矩截面上A、B和C点的弯曲正应力。
4
Pz = P sin ϕ = 10 × sin 15� = 2.59 KN Jz =
15 × 20 3 = 10 4 cm 4 12
W z = 10 3 cm 3 Jy =
20 × 153 = 5625 cm 3 12
W y = 750 cm 3 M z max = Py l
4 = 9.66 × 3 = 7.25 KN-M 4
N = P = 220
KN
M max =
1 × 9.5 2 + 220 × 0.4 − 8 × 9.5 = 57.129 2
KN ⋅ m
σ =−
0.41 N M 220 × 10 3 57.129 × 10 3 × 6 ± =− ± = MPa 2 − 1.876 A W 1 × 0.3 0.3 × 1
平面弯曲
斜弯曲
10-2 矩形截面木制简支梁 AB，在跨度中点 C 承受一与垂直方向成 ϕ ＝15°的集中力 P
＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量 E = 1.0 × 10 MPa 。试确定①截面上中性轴的 位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。 解： Py = P cos ϕ = 10 × cos 15 � = 9.66 KN
M y max = σ max =
Pz l 2.59 × 3 = = 1.94 KN-M 4 4
M z max M y max + Wz Wy
7.25 × 10 3 1.94 × 10 3 = 3 + 10 × 10 −6 750 × 10 −6 = 9.84 MPa
中性轴：
⎛ J ⎞ α = tan −1 ⎜ − z tan ϕ ⎟ ⎜ Jy ⎟ ⎝ ⎠ 4 ⎛ 10 �⎞ ⎟ = tan −1 ⎜ − tan 15 ⎜ 5625 ⎟ ⎝ ⎠ = 25.47 �
0.2 × 0.3 2 = 0.003 6
KN ⋅ m
M2 M2
σ =
N M 25 × 10 3 20 × 10 3 + = + = 7.083 A W 0.06 0.003
M Pa
s
10-10 有一等直实心圆杆， 其 B 端为铰支承， A 端靠在光滑 的竖直墙面上（摩擦力可略去）如图示。杆长 L，杆截面直径d， 已知杆的总重 P 及倾角 α 。 试确定自 A 点至由于杆自重产生最 大压应力的横截面之距离 S。 解：设杆的自重为 q （N/M）
轴向分量： q ⋅ sin α 横向分量： q ⋅ cos α
∑MB = 0
RA = q ⋅ l ⋅ cos α 1 = ql cot α 2 sin α 2
1 ql ⋅ cot α ⋅ cos α + q ⋅ sin α × S 2 1 1 1 M ( s ) = ( R A ⋅ sin α ) ⋅ S − (q ⋅ cos α ) ⋅ S 2 = ql cot α sin α ⋅ S − q cos α ⋅ S 2 2 2 2 N M dσ σ = + ， =0 A W ds 1 cos α cos α ⎛1 ⎞ × × 2s ⎟ = 0 ⎜ q ⋅ l ⋅ cot α ⋅ sin α − q × 2 sin α sin α ⎝2 ⎠
60cm
C
10-9 图示起重结构，A 及 B 处可作铰链支承看待，C、D 与 E 均用销钉连结。AB 柱的 截面为 20cm × 30cm 的矩形。试求其危险截面上的最大正应力。 解：
R A = 25 × 2.4 / 3.6 = 16.6667
N = 25 KN
KN
M max = 25 × 10 3 × 2.4 − 16.667 × 2.4 × 10 3 = 20 A = 0.2 × 0.3 = 0.06 W=
f = 0.5434 2 + 0.259 2 = 0.602 cm
方向 ⊥ 中性轴： α = 25.47
�
15cm
Biblioteka BaiduP2
h
b
10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示， P1 ＝ 800 N ， P2 ＝ 1600 N 。材料许用应力 [σ]=10MPa，弹性模量 E＝10GPa，设梁截面的宽度 b 与高度 h 之比为 1：2。①试选择梁的 截面尺寸；②求自由端总挠度的大小和方向。 解： （ I） M z max = P2 × 1 = 1.6 KN
图
（II）
图
σ max =
N M 20 × 10 3 60 × 10 3 + = + = 153.42 × 10 6 Pa −4 −6 A W 48.5 × 10 401.883 × 10 = 153.42 MPa < [σ ]
P × 93 P × 6 2 (3 × 9 − 6) = 117 P (→) (III) f B = − 3EJ 6 EJ EJ
= −146.2
MPa
σC =
My Mz ⋅ yA − ⋅ z A = −36.42 MPa J zO J yo My J yO
⋅ zB = 17.68 × 10 3 × 80.47 × 10 −3 = 120.56 −8 1180.04 × 10
σB =
MPa
10-6 旋臂 式 吊 车 梁 为 16 号工 字 钢 ， 尺 寸 如 图 所 示 ， 允 许 吊 重 P=10kN ，材 料 的 [ σ ]=160MPa。试校核吊车梁的强度。 解： B 点：
在 S 截面： N = R A ⋅ cos α + (q ⋅ sin α ) ⋅ S =
1 (q ⋅ sin α ) + 1 A W
S=
l d l d + = + ⋅ tan α 0 2 8 cot α 0 2 8
10-11 某厂房柱子，受到吊车梁的铅垂轮压 P＝220 kN，屋 架传给柱顶的水平力 Q =8 kN，及风载荷 q＝1kN/m 的作用。P 力作用线离柱的轴线距离 e＝0.4m，柱子底部截面为矩形，尺 寸为 lm × 0.3m，试计算柱子底部危险点的应力。 解：
fy =
Py l 3
48 EJ z
=
9.66 × 10 3 × 33 = 0.5434 × 10 −2 m 9 4 −8 48 × 10 × 10 × 10 × 10
fz =
Pz l 3 2.59 × 10 3 × 33 = = 0.259 × 10 − 2 m 48 EJ y 48 × 10 × 10 9 × 5625 × 10 −8
M y max = P0 × 2 = 1.6 KN Wz = bh 2 b(2b) 2 2 3 = = b 6 6 3 bh 2 2b 3 1 3 = = b 6 6 3 M z max M y max 1.6 × 10 3 1.6 × 10 3 + = + ≤ [σ ] = 10 × 10 6 3 3 2 1 Wz WY b b 3 3
∗ � 危险点： z = 10 ⋅ sin 43.77 = 6.918
cm cm
y ∗ = 10 ⋅ cos 43.77 � = 7.221 M max = 14 × 1 = 14 KN ⋅ m M y = M max ⋅ cos 45 � = 9.9 M z = M max ⋅ sin 45� = 9.9
MPa (压) < [σ ]
10-7 图示等截面构件的许用应力[ σ ]＝120 MPa，矩形截面尺寸 2.5 × 10cm2，试确定许 用载荷[P]，并作危险截面上的应力分布图，指出最大应力发生在哪一点？
60cm
解：N = P
M max = 60 P × 10 −2 , W = A = 2.5 × 10 = 25cm 2
2.5 × 10 2 = 41.667cm 3 6
N M + ≤ [σ ] A W P = 120 × 10
6
⎛ 1 60 × 10 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ 25 × 10 − 4 41.667 × 10 −6 ⎟ ⎝ ⎠
= 8108 N = 8.108 KN
最大应力点：
10-8 悬重构架如图所示，立柱 AB 系用 No25a 的工字钢制成。许用应力[ σ ]＝160 MPa， 在构架 C 点承受载荷 P＝20kN。①绘立柱 AB 的内力图；②找出危险截面，校核立柱强度； ③列式表示顶点 B 的水平位移。 解： （ i）
10-12 简单夹钳如图示。如夹紧力 P=6kN，材料的许用应力[ σ ]=140MPa。试校核其 强度。 解：
σ =
P Peb 6 × 10 3 6 × 6 × 10 3 × 6 × 10 −2 + 2 = + = 130 × 10 6 Pa = 130 MPa < [σ ] −4 2 −6 A bh 2 × 3 × 10 2 × 3 × 10
cm 4
π 4 bh 3 π 6 × 43 4 Jy = d − = × 10 − = 949.748 32 12 32 12
中性轴：
cm 4
⎛ J ⎞ ⎛ 909.748 ⎞ α = tan −1 ⎜ − z tan ϕ ⎟ = tan −1 ⎜ − tan 45 � ⎟ = −43.77 � ⎜ Jy ⎟ ⎝ 949.748 ⎠ ⎝ ⎠
tan α =
fz 1.95 = f y 0.305
, α = 81.1�
10-4简支梁的受力及横截面尺寸如图示。钢材的许用应力 [ σ ]＝160 MPa，试确定梁危 险截面中性轴的方向与校核此梁的强度。
解： J z =
π 4 bh 3 π 4 × 63 d − = × 10 4 − = 909.748 32 12 32 12
10-13 轮船上救生艇的吊杆尺寸及受力情况如图示， 图中载荷 W 系包括救生艇自重及被 救人员重量在内。试求其固定端 A-A 截面上的最大应力。 解：
N = 18
KN
M = 18 × 1.5 = 27 KN ⋅ m
σ =
N M 18 × 10 3 27 × 10 3 + = + = 160.75 A W π × 12 2 π × 12 2 −4 −6 × 10 × 10 4 32
J y 0 = 1180.04cm 4 ， J z 0 = 4554.55cm4 Wz 0 = 322.06cm3 ， Wy 0 = 146.55cm3
解：
pl = 25 KN ⋅ m 4 M y = M z = M ⋅ cos 45� = 17.68 M max =
KN ⋅ m
My Mz 17.68 × 10 3 × 141.42 × 10 −3 17.68 × 10 3 × 60.95 × 10 −3 σA =− ⋅ yA − ⋅ zA = − − J zO J yo 4554.55 × 10 −8 1180.04 × 10 − 4
Wy =
σ max =
b = 9 cm ， h = 18 cm
⎛ P × 2 3 ⎞ ⎛ P2 × 13 P2 × 13 ⎞ ⎟ +⎜ （II） f = ⎜ 1 + × 1⎟ 1.97 × 10 −2 m = 1.97cm ⎟ ⎜ 3EJ y ⎟ ⎜ 3EJ z 2 EJ z ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
2
2
20cm
MPa
10-14 正方形截面拉杆受拉力 P＝90kN 作 用 ， a＝5cm， 如在杆的根部挖去 1／4 如图示 。 试求杆内最大拉应力之值。 解：
第十章
组合变形的强度计算
10-1 图示为梁的各种截面形状，设横向力 P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平 面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a） 斜弯曲
(b) 平面弯曲
(c) 平面弯曲
(d) 斜弯曲
弯心
弯心
弯心
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
斜弯曲 “×”为危险点位置。
弯扭组合
P × (1.08 + 1.94) = 15.57 KN 1.94 N 1.94 = H 0.8 1.94 H= × 15.57 = 37.76 KN 0.8 H=
No16 工字钢： A = 26.1cm
2
， J z = 1130cm
4
， W z 141cm
3
σ
max
=
N M 37.76 × 10 3 10 × 1.08 × 10 3 + = + = 91.1 A W 26.1 × 10 − 4 141 × 10 −6
σ max =
9.9 × 10 3 × 6.918 × 10 −2 949.748 × 10 −8
+
9.9 × 10 3 × 7.221 × 10 −2 909.748 × 10 −8
= 150.69
MPa ≤ [σ ]
10-5 图示简支梁的截面为200 × 200 × 20（mm）的等边角钢，若 P =25kN，试求最大弯 矩截面上A、B和C点的弯曲正应力。
4
Pz = P sin ϕ = 10 × sin 15� = 2.59 KN Jz =
15 × 20 3 = 10 4 cm 4 12
W z = 10 3 cm 3 Jy =
20 × 153 = 5625 cm 3 12
W y = 750 cm 3 M z max = Py l
4 = 9.66 × 3 = 7.25 KN-M 4
N = P = 220
KN
M max =
1 × 9.5 2 + 220 × 0.4 − 8 × 9.5 = 57.129 2
KN ⋅ m
σ =−
0.41 N M 220 × 10 3 57.129 × 10 3 × 6 ± =− ± = MPa 2 − 1.876 A W 1 × 0.3 0.3 × 1
平面弯曲
斜弯曲
10-2 矩形截面木制简支梁 AB，在跨度中点 C 承受一与垂直方向成 ϕ ＝15°的集中力 P
＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量 E = 1.0 × 10 MPa 。试确定①截面上中性轴的 位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。 解： Py = P cos ϕ = 10 × cos 15 � = 9.66 KN
M y max = σ max =
Pz l 2.59 × 3 = = 1.94 KN-M 4 4
M z max M y max + Wz Wy
7.25 × 10 3 1.94 × 10 3 = 3 + 10 × 10 −6 750 × 10 −6 = 9.84 MPa
中性轴：
⎛ J ⎞ α = tan −1 ⎜ − z tan ϕ ⎟ ⎜ Jy ⎟ ⎝ ⎠ 4 ⎛ 10 �⎞ ⎟ = tan −1 ⎜ − tan 15 ⎜ 5625 ⎟ ⎝ ⎠ = 25.47 �
0.2 × 0.3 2 = 0.003 6
KN ⋅ m
M2 M2
σ =
N M 25 × 10 3 20 × 10 3 + = + = 7.083 A W 0.06 0.003
M Pa
s
10-10 有一等直实心圆杆， 其 B 端为铰支承， A 端靠在光滑 的竖直墙面上（摩擦力可略去）如图示。杆长 L，杆截面直径d， 已知杆的总重 P 及倾角 α 。 试确定自 A 点至由于杆自重产生最 大压应力的横截面之距离 S。 解：设杆的自重为 q （N/M）
轴向分量： q ⋅ sin α 横向分量： q ⋅ cos α
∑MB = 0
RA = q ⋅ l ⋅ cos α 1 = ql cot α 2 sin α 2
1 ql ⋅ cot α ⋅ cos α + q ⋅ sin α × S 2 1 1 1 M ( s ) = ( R A ⋅ sin α ) ⋅ S − (q ⋅ cos α ) ⋅ S 2 = ql cot α sin α ⋅ S − q cos α ⋅ S 2 2 2 2 N M dσ σ = + ， =0 A W ds 1 cos α cos α ⎛1 ⎞ × × 2s ⎟ = 0 ⎜ q ⋅ l ⋅ cot α ⋅ sin α − q × 2 sin α sin α ⎝2 ⎠