湍流的模拟

Reynolds Stress Models
事实上即是导出: 将雷诺应力与关联函数
vi'
v
' j
vk'
的方程
抛弃湍流有效粘性的假设，直接建立雷诺应力微分方程。
雷诺应力模型
湍流模式理论局限性
▪ 对经验数据的依赖性;
▪ 将脉动运动的全部细节一律抹平从 而丢失大量重要信息;
▪ 目前各种模型，都只能适用于解决 一种或者几种特定的湍流运动。
湍流定性认识
固壁湍流（Wall turbulence）/自由湍流（Free turbulence）；
各向同性湍流（Isotropic turbulence）/异向湍流（ heterogeneous turbulence）；
湍流定量描述
Baidu Nhomakorabea流尺度（Turbulence scale）： 时间尺度/长度尺度
尺度 lK 表示，
它决定于单位质量能量的耗散速率 和流体运动速
度 。
为此，定义Kolmogorow长度尺度 lK 为
1
lK
3
4
湍流精细结构认识的可行性
Kolmogorov尺度 一般为Re-3/4
例： 如：Re=105，反应特征尺度为0.2m； 则：lk=Re-3/4 =0.2（mm） 一个小涡团每个坐标方向上分5个网格（很粗糙！）， 涡团上为125个网格， 那么：为了研究该体系湍流精细结构，所需网格数为： 103× 103 × 103 ×125=1011
N-S（纳维-斯托克斯）方程表明质量力、粘性切应力 与压强共同确定了流体流动规律。
湍流流场数值模拟方法
传统模 式理论
大涡模拟
格子气
常用数值 模拟方法
直接 模拟
离散涡方法
传统模式理论基础
Reynolds平均法 在这类方程中，将非稳态N-S方程对时间作平均，
即把湍流运动看成二个流动的叠加: 时间平均流动 瞬时脉动流动。
物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来。它需要把第 一个节点布置在对数律层，对第一个节点的值由公式确定。 不需要对壁面内的流动进行求解，可直接得到与壁面相邻 控制体积的节点变量。各种改进的壁面函数法越来越准确 的模拟壁面的相关特性。
低Re数的k-模型的处理
为了使k-模型能够计算到壁面，出现了各种低Re数的k- 模型，它实际上是对k-模型的控制方程的各个项作出相应 的修改，以体现壁面附近流动的各种真实特征。
而在Re数比较低的区域，湍流发展不充分，湍流的脉 动影响可能不如分子粘性大，在贴近壁面的底层内， 流动可能处于层流状态。
必须采用特殊的处理，一般有二种解决方法， 1) 壁面函数法 2)低Re数的k- 模型。
壁面函数法的处理
壁面函数法的基本思想是： 对于湍流核心区的流动使用k-模型求解; 而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的
显然计算量非常巨大！
流体运动
层流
➢ 小Re
➢ 流体运动看上 去规则，各部分 好像是分层流动
➢ 质点的迹线或 流场的流线光滑
➢物理理解清楚
湍流
➢ 大Re
➢ 流体运动 看起来极不规 则
➢脉动与旋涡 叮
➢物理理解很 不清楚
Re vl
圆管流动的临界雷诺数：
Re vD 2100
美国MIT气象学家罗伦兹（Lorenz） 及其混沌理论
湍流强度（Turbulence intensity） 湍流脉动强度
湍流能谱（turbulent spectrum ） 湍流脉动动能按涡团频率的分布
湍流的认识
从物理机理上说: 可以把湍流看成是各种不同尺度的涡旋叠合而成的，这 些涡的大小及旋转方向分布是随机的。 大尺度的涡旋主要由流动的边界条件所决定，其尺寸可与流场的大小 相比拟，是引起低频脉动的原因; 小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只有流场尺度的千 分之一，是引发高频脉动的原因。
第二部分 传统湍流模型
流体控制方程组
Navier-Stokes 方程
fx
p x
xx
x
yx
y
zx
z
fy
p y
xy
x
yy
y
zy
z
fz
p z
xz
x
yz
y
zz
z
du
dt
dv
dt
dw
dt
[ u
t
[ v
t
[ w
t
(V
(V
(V
• • •
)u] )v] )w]
湍流大涡模拟简介
大尺度涡 流
场 小尺度涡
决定湍流流场的基本形态和性质； 流场质量、能量的主要携带者； 高度各向异性,无法建立统一模型。
由大涡非线性作用产生； 流场能量的主要耗散者； 近似各向同性,可以考虑建立统一模型。
工程实际高雷诺数湍流流场直接模拟计算量太大
大涡 模拟 思想
为 什 么 要大 涡 模 拟？
零方程– Prandtal混合长度理论
• 1925年提出. 通过比较湍流扩散和分子扩散过程, 提出了 新参数lm的概念;
• 混合长度定义：
脉动微团在经历这段距离内保持有不变的脉动速度值。
表示：微流微团的作用范围。
T
lm2
d vx dy
• 湍流应力和局部平均速度梯度的联系是通过混合长度和 湍流黏度建立的是一个局部平衡的概念。
湍流运动的构成: 大尺度的涡破裂后形成小尺度的涡，较小尺度的涡破裂 后形成更小的涡。大尺度的涡从主流获得能量，通过涡间的转化将能量 传给小尺度的涡。最后由于粘性的作用，小尺度的涡不断消失，机械能 就转化(即耗散)为流体的热能。同是，由于边界的作用，扰动及速度梯 度的影响，新的涡又不断产生。
湍流一个重要特点: 物理量脉动，非稳态N-S方程对湍流运动仍是适用的。
雷诺方程：以时均值 vz 为控制变量
vz
1
0 vzd
0
vz
x
1
vz 0 x
d
1
x
0 vzd
vz x
vz
x
1
vz 0 x
d
1 x
0 vzd
0
vz 1 vz vz d 1 vz d 1 vz d vz
x 0 x
0 x
0 x
x
u(x,t) u (x) u'(x,t)
对大尺度涡进行直接模拟 小尺度涡对大涡的影响用模型进行模拟
大涡模拟
设想：在各种不同类型的流动中，大涡运动 是不同的，小涡运动是类似的；
对大涡直接求解，小涡湍流模型求解
大涡定义 过滤速度/过滤函数
过滤速度：ui (x,t)
G(
x,
x
'
,
)ui
(
x
'
,
t
'
)dx
仍需要定义混合长度L
混合长度的定义
对于自由剪切流
lm (x) y(x)
充分发展的湍流管流
lm R
0.14 0.08(1
y
R)2
0.06(1
y
R)4
单方程模型
在RL方程和连续性方程的基础上,再建立一个湍流动能方程 来使方程组封闭。
k
1 2
ui'
u
' j
1 (u 'u ' 2
v'v'
w'w' )
k3/2
l
为计算的封闭性，再引入耗散率的控制方程。这就是k-二 方程模型。
双方程模型
k-双方程湍流模型
分子粘性引起 的耗散
近壁区的处理
以上模型均是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建 立的，是针对高Re数的湍流计算模型，适用于离开壁 面一定距离的湍流区域。这里的Re数是以湍流脉动动 能的平方根作为速度(又称湍流Re数)计算的，是分子 扩散造成的动力粘性。
湍流数值模拟
参考书
岑可法 樊建人《燃烧流体力学》 水利电力出版社 周力行 《湍流两相流动和燃烧的理论与数值模拟》科
学出版社 范维澄 《流动及燃烧的模型与计算》中国科学技术
大学出版社
考 试 时 间: 11月10日14:00—16:00
主要内容
湍流认识及N-S 方程 传统湍流模型 湍流直接数值模拟 湍流模型在Fluent中的应用
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect）是指在一个动力系统中，初始条件下微 小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌现象。
“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了 关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于 决定论式可预测的幻想。
奇异吸引子 混沌的生机之源在于混沌系统内的奇异吸引子。奇异吸引子是非 平衡非线性系统演化的一种归宿，是系统总体稳定和局部不稳定 共同作用的产物，是混沌系统规律秩序的线索。
在应力方程模型中，对二个脉动值乘积的时均值方程直 接求解，而对三个脉动值乘积的时均值，采用模拟方式 计算，这就是Reynolds应力方程模型(RSM)。
为了减轻RSM的计算工作量，将Reynolds应力用代数方 程式而不是用微分方程来求解，用代数方程去近似的模 拟微分方程，这就是代数应力方程模型(ASM)。
单方程模型缺陷
通过一定假设和变换，得到最终方程： 体现了湍流经历!
k t
U j
k x j
Pk
x j
(1
( t k
) k ) x j
f (k, Lmix )
单方程事实上并未完全使湍流运行微分方程组真正封闭，还需 要引用Prandtl混合长度的概念，但事实上l的数值很难确定。
湍流脉动的长度标尺，一般不等于混合长度。为了计算需要 引入它的控制方程。在一方程模型中，湍流长度标尺是由经 验公式给出的，其实它也应是一个变量，需要通过微分方程 计算。
第一部分 湍流认识及N-S 方程
湍流的认识
所谓湍流的确切定义尚难明确，认为它具有：
(1) 不规则性 只能用统计方法 (2) 扩散性 传递速度加快 (3) 具有明显的旋涡脉动 （尺寸大小：含能大、小， 脉动具有耗散性） (4) 是一种流动（是流体受约束转弱的自收运动状态）
• 湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。 • 湍流中流体的各个物理参数，如速度、压力、温度等都随时 间与空间发生随机变化。
湍流流场涡结构图
大尺度涡
小尺度涡
湍流旋涡结构包括大尺度涡和小尺度涡
Kolmogorow长度尺度 lK
叠加在大尺度气流上有许许多多很小尺寸的涡，这 些涡是大涡不断破裂所形成的。这些小涡使当地气流的 流型迅速发生变化，湍流能量的耗散即发生在这些最小 的结构中。
而分子粘性起着把小尺寸涡的动能耗散为热能的作 用，这一最小的湍流流动结构尺寸可用Kolmogorow长度
前提: 流体微团做湍流脉动引起的动量交换机理可以与气体 分子运动引起的应力机理相类似。
湍流模型
零方程模型
单方程模型 双方程模型
Reynolds应力模型（RSM）
非线性 k 模型 多尺度 k 模型 RNG k 模型
代数应力模型（ASM）
FLT模型 SSG模型
零方程-- Boussinesq涡粘模型 (湍流粘性系数法)
依据N-S方程定义：
k
t
Uj
k x j
Rij
Ui x j
ui' xk
ui' xk
x j
(
k x j
1 2
ui'ui'u
' j
p'u' j )
这里：k具有速度的尺度； 仍需要假设
在混合长度理论中，湍流粘性系数仅与时均速度场有关，而 与湍流的特性参数无关，一方程模型改进了这一缺点。它引 入了湍流脉动动能的平方根，作为湍流脉动速度的代表。
基于Boussinesq1877年的假设，它将湍流脉动所造成的 附加应力(Reynolds应力)同层流运动应力那样与时均的 应变率关联起来.
vi'
v
' j
T
(
vi x j
v j xi
)
T为湍流粘性系数,是标量且为常数;
这一假设并无物理基础，且采用各向同性的湍流动力粘 度来计算湍流应力，难于考虑旋转流动和表面曲率变化 的影响，但以此为基础的湍流模型目前在工程计算却应 用最为广泛。
如: 控制方程中的扩散项包括湍流扩散和分子扩散二部分; k的控制方程中壁面脉动动能的耗散是各向异性。
Reynolds应力模型(RSM和ASM)
上述方程湍流模型都假定湍流粘性系数是各向同性的; 采用了湍流粘性的假设,用有效粘性系数和平均速度梯 度的乘积来模拟雷诺应力。这些模型难于反映旋转流动 及流动方向表面曲率变化的影响，有必要对湍流脉动应 力直接建立微分方程求解。
即: 增加一个方程：k与L的组合量。
双方程模型
设想：1、将两个特征量k、l均处理为由各自微分方程控 制的因变量，建立以k、l为因变量为基础的N-S方程。
2、建立一个是k方程，另一个是z方程，即：
z=km/ln
k- 双方程模型
引入一个耗散率的概念，表示各向同性的小尺度涡的 机械能转化为热能的速率。
时间平均方程
雷诺应力!
所得时均的N-S方程中包含了脉动量乘积的时均值等未知 量，称为Reynolds应力，它包括了六个未知量。显然方程 的个数小于未知量的个数。要让方程封闭，必须作出假设。
湍流模式理论简介
湍流模式理论以Reynolds时均运动方程和脉动 运动方程为基础，依靠理论与经验的接合，引 进一系列模型假设，从而建立一组描写湍流平 均量的方程组。