002刚体力学习题汇总(答案)
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2
(3) v l
3 gl sin
10、如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分
别为 m 和 2m 的小球，杆可绕 水平光滑固定轴 O 在竖直面 内转动， 转轴 O 距两端分别为
解：受力分析如图，可建立方程：
2mg T2 2ma ┄① T1 mg ma ┄②
1 2 l和 l． 轻杆原来静止在竖 3 3
2、对于一根质量分布均匀的木棒，质量 m,长度为 L,以木棒端点为轴旋转的转动惯量为 J1=
1 2 ml , 3
以 木 棒 中 点 为 轴 旋 转 的 转 动 惯 量 为 J2=
1 2 ml ,则 J1 是 J2 的 12
3、如图 1 所示的圆锥摆，绳长为 l ，绳子一端固定 在 O 点，另一端系一质量为 m 的质点，以匀角速 度 绕竖直轴线作圆周运动， 绳子与轴线的夹角为
得： t
(2)相碰时小球受到的冲量为
2m2 (v1 v2 ) 。 m1 g
Fdt (mv) mv mv
0
由①式求得
Fdt mv mv
0
J 1 Ml 3 l
-3-
Mr Lee 制作，内部交流
a r ， J mr / 2 ┄⑤
2
联立，解得： a
1 11 g ， T mg 。 4 8
9、如图所示，一匀质细杆质量为 m ，长为 l ，可绕
杆于水平位置由静止 过一端 O 的水平轴自由转动， 开始摆下．求：
2 2 2l l mv0 l m v l m( ) 2 2m ( ) 2 3 3 3 3
以逆时针为正向，有：
v0
J v ml
④
由②式
2 v0 v2
3m2 (v1 v 2 ) 1 m2 v1 l m1 l 2 m2 v2 l ，得： 3 m1l
⑤ 又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求 得：
J 2 m
所以
(v0
求得
J 2 J 2 ) v0 2 ml m
由③式得
③
由①式
3g 3 Mgl (1 cos 30) (1 ) 2 J l
1 2
1 2
开始转动到停止转动的过程所需的时间。
1 m1l 2 ) 3 解： 由碰撞时角动量守恒， 考虑到 v1 和 v2 方向相反，
(已知棒绕 O 点的转动惯量 J
Mf
0
l
m1 1 g x d x m1 gl ， l 2
利用角动量定理，有：
1M l J l ) v0 (1 2 ) (1 2 2 3m ml 6(2 3) gl 3m M 12 m
M
0
t
f
dt 0 J ，
即：
1 1 3m (v v ) m1 gl t m1l 2 2 1 2 m1l 2 3
刚体力学重点习题汇总
1、一质量分布均匀的圆盘状飞轮，质量为 20kg ， 半径为 30cm ,其转动惯量为
转动角速度变为
20
。
0.9 kg m 2
，
6、如图 2 所示，一冲击力 F，冲击一质量为 m、 长为 l、竖直悬挂细杆的末端，作用时间为 t , 则 冲击后细杆获得的瞬时角速度 为
5、花样滑冰运动员绕通过自身竖直轴转动，开始 时两臂伸开，转动惯量为 J 0 ，角速度为 0 ，然后 她将两臂收回，使转动惯量减少为
Mr Lee 制作，内部交流
200 9.8 7.6m s 2 15 5 200 2
T
8、 如图， 一轻绳跨过两个质 量为 m 、半径为 r 的均匀圆
1 2 Ml ，碰撞过程极为短暂，可认为 3
棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆 到最大角度 30 ，按机械能守恒定律可列式：
o
撞，设碰撞时间极短。 已知小滑块在碰撞前后 的速度分别为 v1 和 v2 ，如图所示。求碰撞后从细棒
1 l J 2 Mg (1 cos 30) 2 2
可绕垂直于棒一端的水平
A
解: (1)由转动定律，有
轴 O 无摩擦地转动， 它原来 静止在平衡位置上．现有一 质量为 m 的弹性小球飞来， 正好在棒的下端与棒垂直 地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角 度 30°处．
∴
1 1 mg l ( ml 2 ) 2 3 3g 2l 1 1 l mg sin ( ml 2 ) 2 2 2 3
1 T2 r T1r ( Mr 2 ) 2
又， a r 联立以上 4 个方程，得
a m2 g m1 m2 M 2
③ ④
4、哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离 太阳最近距离为 r1 时的速率是 v1 ，它离太阳最远时
v 的速率是 v 2 ，这时它离太阳的距离 r2 = 1 r1 v2
根据动能守恒，有：
(1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过 角时的角速度. (3)杆端点A的线速度。
1 2 1 2 1 2 1 1 mv0 mv m( l ) 2 2m( l ) 2 2 2 2 3 2 3
联立上述两个方程，可解得
6 v0 1 , v v0 5l 5
11、 如图所示，质量为 M ，长为 l 的均匀直棒，
6(2 3) gl M 6
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
mv0l J mvl
1 2 1 1 mv0 J 2 mv 2 2 2 2
上两式中 J
① ②
12、有一质量为 m1 、长为 l 的均匀细棒，静止平放
在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕通过其 端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。 另有一水 平运动的质量为 m 2 的 小滑块，从侧面垂直于 棒与棒的另一端 A 相碰
当它以每分钟 60 转的速率旋转时，其角动量为
1.8 kg m 2 rad/s ， 其 转 动 动 能 为
1.8 2 J
。
3Ft ml
7、如图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量 均匀分布的圆柱体，其质量为 M ，半径为 r ，在绳 与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的 摩擦，设 m1 ＝50kg， m 2 ＝200 kg, M＝15 kg, r ＝ 0.1 m。 4 倍。
直位置。 今有一质量为 m 的小 球，以水平速度 v 0 与杆下端小球 m 作对心弹性碰 撞，求碰撞后小球的反弹速度和轻杆所获得的角速 度。 解：设碰撞后小球的反弹速度为 v ，轻杆所获 得的角速度为 。以逆时针方向为正向， 根据角动量守恒，有：
(T2 T )r J ┄③
(T T1 )r J ┄④
-1-
1 J 0 ，则此时的 2
刚体力学重点习题汇总
盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为 2m 和 m 的 重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个 定滑轮的转动惯量均为 mr / 2 ，将由两个定滑轮 以及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从静止释 放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
，求质点相对于 O 点的角动量的大小
2
__பைடு நூலகம் ml
sin _____________.
o
解: 分别以 m1 , m 2 滑轮为研究对象， 受力图如图(b) 所示．对 m1 , m 2 运用牛顿定律，有
m ,l
l
m 2 g T2 m2 a T1 m1 a
① ②
图1
F
对滑轮运用转动定律，有 图2
(2)由机械能守恒定律，有
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 v 0 的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量?
解:
∴
3 g sin l
(1)设小球的初速度为 v 0 ，棒经小球碰撞后得
-2-
Mr Lee 制作，内部交流
刚体力学重点习题汇总
到的初角速度为 ，假设小球的速度变为 v ，按题 意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量 守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
(3) v l
3 gl sin
10、如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分
别为 m 和 2m 的小球，杆可绕 水平光滑固定轴 O 在竖直面 内转动， 转轴 O 距两端分别为
解：受力分析如图，可建立方程：
2mg T2 2ma ┄① T1 mg ma ┄②
1 2 l和 l． 轻杆原来静止在竖 3 3
2、对于一根质量分布均匀的木棒，质量 m,长度为 L,以木棒端点为轴旋转的转动惯量为 J1=
1 2 ml , 3
以 木 棒 中 点 为 轴 旋 转 的 转 动 惯 量 为 J2=
1 2 ml ,则 J1 是 J2 的 12
3、如图 1 所示的圆锥摆，绳长为 l ，绳子一端固定 在 O 点，另一端系一质量为 m 的质点，以匀角速 度 绕竖直轴线作圆周运动， 绳子与轴线的夹角为
得： t
(2)相碰时小球受到的冲量为
2m2 (v1 v2 ) 。 m1 g
Fdt (mv) mv mv
0
由①式求得
Fdt mv mv
0
J 1 Ml 3 l
-3-
Mr Lee 制作，内部交流
a r ， J mr / 2 ┄⑤
2
联立，解得： a
1 11 g ， T mg 。 4 8
9、如图所示，一匀质细杆质量为 m ，长为 l ，可绕
杆于水平位置由静止 过一端 O 的水平轴自由转动， 开始摆下．求：
2 2 2l l mv0 l m v l m( ) 2 2m ( ) 2 3 3 3 3
以逆时针为正向，有：
v0
J v ml
④
由②式
2 v0 v2
3m2 (v1 v 2 ) 1 m2 v1 l m1 l 2 m2 v2 l ，得： 3 m1l
⑤ 又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求 得：
J 2 m
所以
(v0
求得
J 2 J 2 ) v0 2 ml m
由③式得
③
由①式
3g 3 Mgl (1 cos 30) (1 ) 2 J l
1 2
1 2
开始转动到停止转动的过程所需的时间。
1 m1l 2 ) 3 解： 由碰撞时角动量守恒， 考虑到 v1 和 v2 方向相反，
(已知棒绕 O 点的转动惯量 J
Mf
0
l
m1 1 g x d x m1 gl ， l 2
利用角动量定理，有：
1M l J l ) v0 (1 2 ) (1 2 2 3m ml 6(2 3) gl 3m M 12 m
M
0
t
f
dt 0 J ，
即：
1 1 3m (v v ) m1 gl t m1l 2 2 1 2 m1l 2 3
刚体力学重点习题汇总
1、一质量分布均匀的圆盘状飞轮，质量为 20kg ， 半径为 30cm ,其转动惯量为
转动角速度变为
20
。
0.9 kg m 2
，
6、如图 2 所示，一冲击力 F，冲击一质量为 m、 长为 l、竖直悬挂细杆的末端，作用时间为 t , 则 冲击后细杆获得的瞬时角速度 为
5、花样滑冰运动员绕通过自身竖直轴转动，开始 时两臂伸开，转动惯量为 J 0 ，角速度为 0 ，然后 她将两臂收回，使转动惯量减少为
Mr Lee 制作，内部交流
200 9.8 7.6m s 2 15 5 200 2
T
8、 如图， 一轻绳跨过两个质 量为 m 、半径为 r 的均匀圆
1 2 Ml ，碰撞过程极为短暂，可认为 3
棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆 到最大角度 30 ，按机械能守恒定律可列式：
o
撞，设碰撞时间极短。 已知小滑块在碰撞前后 的速度分别为 v1 和 v2 ，如图所示。求碰撞后从细棒
1 l J 2 Mg (1 cos 30) 2 2
可绕垂直于棒一端的水平
A
解: (1)由转动定律，有
轴 O 无摩擦地转动， 它原来 静止在平衡位置上．现有一 质量为 m 的弹性小球飞来， 正好在棒的下端与棒垂直 地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角 度 30°处．
∴
1 1 mg l ( ml 2 ) 2 3 3g 2l 1 1 l mg sin ( ml 2 ) 2 2 2 3
1 T2 r T1r ( Mr 2 ) 2
又， a r 联立以上 4 个方程，得
a m2 g m1 m2 M 2
③ ④
4、哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离 太阳最近距离为 r1 时的速率是 v1 ，它离太阳最远时
v 的速率是 v 2 ，这时它离太阳的距离 r2 = 1 r1 v2
根据动能守恒，有：
(1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过 角时的角速度. (3)杆端点A的线速度。
1 2 1 2 1 2 1 1 mv0 mv m( l ) 2 2m( l ) 2 2 2 2 3 2 3
联立上述两个方程，可解得
6 v0 1 , v v0 5l 5
11、 如图所示，质量为 M ，长为 l 的均匀直棒，
6(2 3) gl M 6
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
mv0l J mvl
1 2 1 1 mv0 J 2 mv 2 2 2 2
上两式中 J
① ②
12、有一质量为 m1 、长为 l 的均匀细棒，静止平放
在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕通过其 端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。 另有一水 平运动的质量为 m 2 的 小滑块，从侧面垂直于 棒与棒的另一端 A 相碰
当它以每分钟 60 转的速率旋转时，其角动量为
1.8 kg m 2 rad/s ， 其 转 动 动 能 为
1.8 2 J
。
3Ft ml
7、如图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量 均匀分布的圆柱体，其质量为 M ，半径为 r ，在绳 与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的 摩擦，设 m1 ＝50kg， m 2 ＝200 kg, M＝15 kg, r ＝ 0.1 m。 4 倍。
直位置。 今有一质量为 m 的小 球，以水平速度 v 0 与杆下端小球 m 作对心弹性碰 撞，求碰撞后小球的反弹速度和轻杆所获得的角速 度。 解：设碰撞后小球的反弹速度为 v ，轻杆所获 得的角速度为 。以逆时针方向为正向， 根据角动量守恒，有：
(T2 T )r J ┄③
(T T1 )r J ┄④
-1-
1 J 0 ，则此时的 2
刚体力学重点习题汇总
盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为 2m 和 m 的 重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个 定滑轮的转动惯量均为 mr / 2 ，将由两个定滑轮 以及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从静止释 放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
，求质点相对于 O 点的角动量的大小
2
__பைடு நூலகம் ml
sin _____________.
o
解: 分别以 m1 , m 2 滑轮为研究对象， 受力图如图(b) 所示．对 m1 , m 2 运用牛顿定律，有
m ,l
l
m 2 g T2 m2 a T1 m1 a
① ②
图1
F
对滑轮运用转动定律，有 图2
(2)由机械能守恒定律，有
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 v 0 的值； (2)相撞时小球受到多大的冲量?
解:
∴
3 g sin l
(1)设小球的初速度为 v 0 ，棒经小球碰撞后得
-2-
Mr Lee 制作，内部交流
刚体力学重点习题汇总
到的初角速度为 ，假设小球的速度变为 v ，按题 意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量 守恒定律和机械能守恒定律，可列式：