《挑战中考数学压轴题》之几何证明及通过几何计算进行说理问题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题

例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题

已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．

①求正方形的ABCD 的面积；

②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．

动感体验

请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．

请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．

思路点拨

1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．

2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．

满分解答

（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得

1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.

b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．

（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．

解方程－x 2＋1＝2x ，得1x =-

所以点A 1．

因此正方形ABCD 的面积等于21)]12=-

②设OP 与AB 交于点F ，那么211)31)PF OP OF =-=-=-=．

所以2

tan 1

PF PAE AF ∠==．

又因为tan tan 1OD PDA DPO OP

∠=∠==， 所以∠P AE ＝∠PDA ．

又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．

图1 图2

考点伸展

事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：

如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2． 所以2

tan PF x PAE x AF x

∠===． 又因为tan tan OD PDA DPO x OP

∠=∠==， 所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．

例2 2013年江西省中考第24题

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：

在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．

①AF＝AG＝1

2

AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；

（3）类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DF A＝∠EGA保持不变．

请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DF A＝∠EGA保持不变．

思路点拨

1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．

2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？

满分解答

（1）填写序号①②③④．

（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．

因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，

所以F、G分别是AB、AC的中点．

又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．

所以

1

2

MF AC

=，

1

2

MG AB

=，MF//AC，MG//AB．

所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．

所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．

因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，

所以

1

2

EG AC

=，

1

2

DF AB

=．

所以MF＝EG，DF＝NG．

所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．

（3）△MDE是等腰直角三角形．

图4 图5

考点伸展

第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE 的过程有一些不同．

如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．

如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．

如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．