《挑战中考数学压轴题》之几何证明及通过几何计算进行说理问题
《挑战中考数学压轴题》之几何证明及通过几何计算进行说理问题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△PAD ∽△PEA ．动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b 解得0,1.b c 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x, －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ．此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得12x．所以点A 的横坐标为21．因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282．②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF．所以2(21)tan 2121PFPAE AF．又因为tan tan 21ODPDA DPO OP ，所以∠P AE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：如图2，设点A 的坐标为(x, －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2．所以2tan PFx PAE x AFx ．又因为tan tan ODPDA DPO x OP ，所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．例2 2013年江西省中考第24题某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝12AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．思路点拨1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号①②③④．（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以12MF AC，12MG AB，MF//AC，MG//AB．所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以12EG AC，12DF AB．所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE 的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．。
中考压轴说理问题,8.代数计算及通过代数计算进行说理问题-教师版
代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．思路点拨1．第（1）题判断抛物线与x 轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标分别为 (m ,0)、 (m ＋1,0)，AB ＝1．2．当△ABC 的面积等于1时，点C 到x 轴的距离为2．3．当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，C 、D 到x 轴的距离相等． 4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．满分解答（1）由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a (x －m )( x －m －1)， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (m ,0)、B (m ＋1,0)．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．（2）①由y ＝a (x －m )2－a (x －m ) 211()24a x m a =---， 得抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 因为AB ＝1，S △ABC ＝11124AB a ⨯-=，所以a ＝±8． ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，点C 与点D 到x 轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C 、D 重合，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a -， 将1(0,)4D a -代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a -=+-． 解得12m =-．图1第二种情况：如图2，图3，C 、D 在x 轴两侧，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a ， 将1(0,)4D a 代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a =+-． 解得122m -±=．图2 图3考点伸展第（1）题也可以这样说理： 由于由211()24y a x m a =---，抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 当a ＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x 轴下方，所以抛物线与x 轴由两个交点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x 轴上方，所以抛物线与x 轴由两个交点． 因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点． 第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a [x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ]， 得2222[(21)4()]a m m m a ∆=+-+=＞0．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．例 2 已知抛物线y＝－(x－a n)2＋a n（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）与x轴的交点为A n－1(b n－1,0)和nA n(b n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；（3）探究下列结论：①若用A n－1 A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出A n－1 A n；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．所以符合题意的a1＝1．此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．所以符合题意的a2＝4．此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．（3）①如图1，A0A1＝2．由第（2）题得到，第n条抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n的顶点坐标为(n2，n2)．所以y n＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n－1(n2－n,0)和A n(n2＋n,0)．所以A n－1 A n＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．第一步，由y n＝－(x－a n)2＋a n，得抛物线的顶点坐标为(a n, a n)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知a n＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得12x =-±． 所以点A 的横坐标为21-． 因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282-=-．②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF =-=--=-=-．所以2(21)tan 2121PF PAE AF -∠===--．又因为tan tan 21ODPDA DPO OP∠=∠==-， 所以∠P AE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论△P AD∽△PEA．证明如下：如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．所以2tanPF xPAE xAF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO xOP∠=∠==，所以∠P AE＝∠PDA．因此△P AD∽△PEA．例2 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝12AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1思路点拨1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号①②③④．（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以12MF AC=，12MG AB=，MF//AC，MG//AB．所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以12EG AC=，12DF AB=．所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．。
《挑战压轴题中考数学：精讲解读篇》 第三部分 图形运动 3.2几何证明及通过代数计算进行说理问题
3.2 几何证明及通过代数计算进行说理问题例 13 2014年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a.（2）如图2，点O是AD的中点，连结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3例 14 2014年河北省中考第25题如图1，图2，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB＝P为优弧AB上一点（点P不与A、B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．（1）点O到弦AB的距离是________；当BP经过点O时，∠ABA′＝________；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕BP的长；（3）若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．图1 图2在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连结BE、DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．图1 图2例 16 2014年沈阳市中考第24题如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD 的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上的一个动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连结FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且M、F、C三点在同一条直线上时，求证：ACAM；（3）连结EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．图1 图2 备用图如图1，在平面直角坐标系中，二次函数241227y x =-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），连结AB 、AC ．（1）点B 的坐标为_________，点C 的坐标为_________；（2）过点C 作射线CD //AB ，点M 是线段AB 上的动点，点P 是线段AC 上的动点，且始终满足BM ＝AP （点M 与点A 、B 不重合），过点M 作MN //BC 交AC 于点Q ，交射线CD 于点N （点Q 不与点P 重合），连结PM 、PN ，设线段AP 的长为n ．①如图2，当n ＜12AC 时，求证：△PAM ≌△NCP ； ②直接用含有n 的式子表示线段PQ 的长；③若PM 当二次函数241227y x =-+的图像经过平移同时过点P 和点N 时，请直接写出此时二次函数的表达式．图1 图2例 18 2014年济南市中考第28题如图1，抛物线2316y x =-平移后过点A (8, 0)和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后的抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S 阴影；（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上的一个动点，∠PMN 为直角，边MN 与AP 相交于点N ．设OM ＝t ，试探究：①t 为何值时△MAN 为等腰三角形；②t 为何值时PN 的长度最小，最小长度是多少？图1 图2 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1,－1)，且对称轴为直线x ＝2．点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB＝PA＋1．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；（3）请探究PA＋QB＝AB是否成立，并说明理由；（4）抛物线y1＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB 分成面积比为1∶5的两部分，直接写出此时m的值．图1例 20 2015年上海市崇明县中考模拟第24题如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,－4)、B(－2, 0)、C(4, 0)．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．图1 备用图例 21 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ． （1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标； （2）点P 为抛物线对称轴上一点，连结OA 、OP ． ①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，连结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1例 22 2015年上海市杨浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线21()2y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C ． （1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值；（3）在（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得 ∠DCP ＝∠CAD ，求点P 的坐标．图1如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值．图1 图2例 24 2015年北京市中考第28题在正方形ABCD中，BD是一条对角线．点P在射线CD上（与点C、D不重合），连结AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连结AH、PH．（1）若点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP的长的思路．（可以不写出计算结果）图1 备用图如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB=，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1例 26 2015年河南省中考第22题如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连结DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，AEBD＝_________；②当α＝180°时，AEBD＝_________；（2）拓展探究试判断当0°≤α≤360°时，AEBD的大小有无变化？请仅给出图2的情形证明；（3）问题解决当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．图1 图2 备用图如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA、CB相交于点E．（1）如图1，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；（2）如图2，连结OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°．当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．图1 图2例 28 2015年武汉市中考第24题已知抛物线y＝12x2＋c与x轴交于A(－1,0)、B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG ⊥y轴于点G，连结CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）；（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．图1 图2如图1，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5．分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．点D是CB边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数kyx（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连结DE．（1）连结OE，若△EOA的面积为2，则k＝________；（2）连结CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1 备用图例 30 2015年烟台市中考第25题【问题提出】如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC 上，且ED＝EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连结EF．试证明：AB＝DB＋AF．【类比探究】（1）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB、DB、AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如果点E在线段BA的延长线上，其它条件不变，请在图3的基础上将图形补充完整，并写出AB、DB、AF之间的数量关系，不必说明理由．图1 图2 图3如图1，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边上的点D处，已知折痕BE＝55，且43ODOE=.以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图1所示的平面直角坐标系，抛物线l：211162y x x c=-++经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连结MF，求证：MF⊥BD；（3）点P是线段BC上一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD＝DQ？若能，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由.图1例 32 2015年沈阳市中考第24题如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝60°.点E是边AB上一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．（1）当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是__________；②求证：△BCE≌△GCF；③求三角形CEF的面积；（2）当点H落在射线BC上，且CH＝1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．图1 备用图。
2020-2021学年中考数学压轴题的满分攻略-几何计算域说理计算问题
几何计算说理与说理计算问题【真题典藏】1. （2007年上海市第24题）参见《考典35 梯形的存在性问题》第1题，如图1．2. （2008年上海市第24题）如图2，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像经过点A(－1,0)，顶点为B ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标；（2）如果点C 的坐标为(4,0)，AE ⊥BC ，垂足为点E ，点D 在直线AE 上，DE ＝1，求点D 的坐标．图1 图23．（2010年上海市第24题）如图3，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3)．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值．图34．（2012年上海市第24题）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 的图像经过点A(4, 0)、B(－1,0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD ＝t ，点E 在第二象限，∠ADE ＝90°，1tan 2DAE ∠=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA ＝∠OAC 时，求t 的值．图4【满分攻略】我们用三种方法证明第1题（2007年上海市第24题）的第（2）题DC//AB ：方法一，由于点(,)B a b 在双曲线4y x =上，所以4b a=． 因为1A B x DE DB x a ==，414E A y CE a CA y a ===，所以DE CE DB CA=，因此DC//AB ． 这里依据“三角形一边的平行线判定定理推论”． 方法二，因为4tan E E y CE CDE DE x a ∠===，444tan 1A E B E y y AE a ABE BE x x a a --∠====--， 所以CDE ABE ∠=∠，因此DC//AB ．方法三，如图6，由反比例函数的图形与性质，知△AOC 与△BOD 的面积相等．图5中的△ADC 与图6中的△AOC 的面积相等，图5中的△BCD 与图6中的△BOD 的面积相等，经过等量代换，图5中的△ACD 与△BCD 的面积相等．因为这两个三角形是同底CD 的，因此它们是同底等高的三角形，所以DC//AB ．图5 图6 图7其中方法一和方法二是通过计算进行说理，方法三是说理证明．第2题（2008年上海市第24题）的第（2）题求点D 的坐标是几何计算．准备动作：22223(214)(1)4y x x x x x =-++=--+-=--+．罗列点：A(－1,0)，B(1,4)，C(4,0)．画图：先画直线BC ，过点A 向BC 画垂线，垂足为E ．拿起圆规，以E 为圆心，1长为半径画圆，圆与直线AE 有几个交点？这就是行动体现思想，你画图的过程已经体现了分类讨论思想，点D 有两个（如图7）．试问有必要画抛物线吗？解题的过程反复用到数形结合思想——不要问为什么——拿来就用．示范一下：注意标志性语句的引领作用，体现书写的层次性，吸引阅卷老师的注意力．第3题（2010年上海市第24题）的第（1）题做完之后停一停，确认无误之后再作第（2）题，否则就是徒劳无益．第（1）题用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标，无需画图．抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,4)．第（2）题的最大障碍就是画示意图了，事实上，无需画出抛物线，如图8，只要顺次画出点A、对称轴、点P的大概位置（在点A的右下方）、点E、点F，就可以直观感受到，四边形OAPE是等腰梯形，四边形OAPF是平行四边形．说理是关键的一步：平行四边形OAPF的底边OA＝4是确定的，高是点P到x轴的距离，用点P的纵坐标表示为－n，列方程－4 n＝20容易求的n＝－5．解方程－m2＋4m＝－5，会得到m有两个解，根据题目条件“点P(m,n)在第四象限”舍去不合题意的解．如果不用上述几何说理的方法，我们也可以根据点的坐标特征进行说理：这个说理方法的最大困难是用m表示点F的坐标(4－m,n)．图8第4题（2012年上海市第24题），DE和AD横看成岭侧成峰，DE∶AD＝1∶2，既是Rt△ADE 的两条直角边的比，也是两个相似的△DEF和△ADO的斜边比．第（1）题求得抛物线的解析式y＝－2x2＋6x＋8，与y轴交于点C(0，8)．第（2）题，如图9，在Rt △ADE 中，已知1tan 2DAE ∠=，所以12DE AD =． 已知∠ADE ＝∠EFD ＝90°，所以∠DEF 与∠ADO 都是∠EDF 的余角．因此∠DEF ＝∠ADO ．所以△DEF ∽△ADO ．因此12DF EF DE AO DO AD ===，即142DF EF t ==． 于是得到2DF =，12EF t =．所以2OF t =-．图9 图10第（3）题难在示意图怎么画？在森林中认识树木：当∠ECA ＝∠OAC 时，如果延长CE 与x 轴交于点M ，根据等角对等边，那么△MAC 是等腰三角形，MA ＝MC ．这样我们作AC 的垂直平分线先找到点M ，在MC 的适当位置画一个点E ，这样示意图就画好了． 如图10，设AC 的垂直平分线与x 轴交于点M ，那么MA ＝MC ，∠MCA ＝∠MAC ．当∠ECA ＝∠OAC 时，点E 在MC 上．由于12cos AC AO A AC MA==，而OA ＝4，OC ＝8，所以5AC = 因此2102AC MA AO==．所以MO ＝6． 由EF//MO ，得EF CF MO CO =，即18(2)268t t --=．解得t ＝6．考典40几何计算说理与说理计算问题1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 的图像经过点A(4, 0)、B(－1,0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD ＝t ，点E 在第二象限，∠ADE ＝90°，1tan 2DAE ∠=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA ＝∠OAC 时，求t 的值．图12．如图2，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 到∠ACB 两边的距离相等，且PA ＝PB ．（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；（2）设PA ＝m ，PC ＝n ，试用m 、n 的代数式表示△ABC 的周长和面积；（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BCCD AC CD +的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．C B A图23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图3为例说明理由；（2）若∠ABC＝60°，43AB 厘米．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S(平方厘米)，求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图3为例说明理由．图34．在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，∠B＝90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点M 处，将三角板绕点M旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长)，如图4、图5表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点M旋转过程中，当BE＝时，△MEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点M旋转到图1的情形时，求证：MD＝ME；（3）如图6，若将直角三角板的直角顶点M在斜边AC上移动，设AM∶MC＝m∶n(m、n为正数)，试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．图4 图5 图6考典40几何计算说理与说理计算问题1．（1）y ＝－2x 2＋6x ＋8．（2）如图1，在Rt △ADE 中，已知1tan 2DAE ∠=，所以12DE AD =． 已知∠ADE ＝∠EFD ＝90°，所以∠DEF 与∠ADO 都是∠EDF 的余角．因此∠DEF ＝∠ADO ． 所以△DEF ∽△ADO ．因此12DF EF DE AO DO AD ===，即142DF EF t ==． 于是得到2DF =，12EF t =．所以2OF t =-．图1 图2（3）如图2，设AC 的垂直平分线与x 轴交于点M ，那么MA ＝MC ，∠MCA ＝∠MAC ． 当∠ECA ＝∠OAC 时，点E 在MC 上．由于12cos AC AO A AC MA==，而OA ＝4，OC ＝8，所以5AC = 因此2102AC MA AO==．所以MO ＝6． 由EF//MO ，得EF CF MO CO =，即18(2)268t t --=．解得t ＝6． 2．（1）求作点P 的作图痕迹如图3所示．△PAB 是等腰直角三角形，证明如下： 作PM ⊥AC ，PN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ．因为点P 在∠ACB 的平分线上，所以PM ＝PN ．又因为PA ＝PB ，所以Rt △APM ≌Rt △BPN （HL ）．因此∠1＝∠2．又因为∠2与∠BPM 互余，所以∠1与∠BPM 互余，即∠APB ＝90°．所以△PAB 是等腰直角三角形．（2）如图4，在等腰直角三角形PAB 中，PA ＝m ，所以AB ＝2m ． 在等腰直角三角形MPC 中，PC ＝n ，所以CM ＝22n ． 由Rt △APM ≌Rt △BPN ，得AM ＝BN ．所以CA ＋CB ＝2CM ＝2n ．因此△ABC 的周长＝AB ＋CA ＋CB ＝2m ＋2n ．△ABC 的面积可以这样割补：S △ABC ＝S 正方形MPNC －S △PAB 221122n m =-． （3）如图5，作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，那么四边形CEDF 是正方形，CD ＝2DE ＝2DF ．设AD ＝x ，BD ＝y ．由DF BD y AC BA x y ==+，DE AD x BC AB x y==+，两式相加，得1DF DE AC BC +=． 于是得到2CD CD AC BC +=．图3 图4 图53．（1）如图6，∠B 与∠1都是∠C 的余角，所以∠B ＝∠1．∠BMP 与∠NMQ 都是∠PMN 的余角，所以∠BMP ＝∠NMQ ．所以△PBM ∽△QNM ．（2）①当∠ABC ＝60°时，∠C ＝30°，cot 3CM C NM ∠=由△PBM ∽△QNM ，得BM BP NM NQ =． 而已知BM ＝CM ，所以3BP NQ=． 因为3BP t =，所以NQ ＝t ．因此点Q 的运动速度为每秒1厘米．②在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，3AB =AC ＝12，3BC =在Rt △CMN 中，3BC =C ＝30°，所以CN ＝8．因此AN ＝4，AQ ＝4＋t ．如图7，当P 在BA 上时，0≤t ≤4，433AP t =-． 此时2113(433)(4)8322S AP AQ t t t =⋅=-+=-+． 如图8，当P 在BA 的延长线上时， t ＞4，343AP t =-． 此时2113(343)(4)8322S AP AQ t t t =⋅=-+=-．图6 图7 图8（3）如图9，过点C 作AB 的平行线交BM 的延长线于P ′， 那么△QCP ′是直角三角形，P ′Q 2＝P ′C 2＋CQ 2．因为P ′C//AB ，M 是BC 的中点，所以BP ＝CP ′，PM ＝P ′M ． 所以QM 垂直平分PP ′，PQ ＝P ′Q ．于是得到PQ 2＝BP 2＋CQ 2．图9第（3）题容易想到代数方法，通过计算得到结论：22222233)(4)41664PQ AP AQ t t t t =+=++=-+， 222(3)3BP t t ==，222(124)1664CQ t t t =--=-+． 所以PQ 2＝BP 2＋CQ 2．4．（1）0，2，422-422+．（2）如图10，△MGD ≌△MHE ，MD ＝ME ．（3）如图11，△AGM 和△MHC 都是等腰直角三角形，Rt △AGM ∽Rt △MHC ． 因此MG MA m MH MC n==．又因为△MGD ∽△MHE ，所以MD MG m ME MH n ==．图10图11后叙一、这不是一本中考的试题集，这是一本关于中考解题策略的书，如叙家常．二、本书分三部分，我们把每一部分概论中的第一句话摘录如下：简单题错失一道将悔恨不已，因此要加强简单题的准确性训练．简答题丢失一步将满分无望，因此要加强简答题的规范性训练．压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练．三、我们摘录每一部分的高频词语和经典语句：第一部分的高频词语有：粗心，不要口算，即刻回头检查．第二部分的经典语句有：没有不会的，只有不对的；重温课本；想好了再写——时间诚可贵，答对价更高；标志性语句的引领，表明书写的层次，吸引阅卷老师的眼球；踩分点；中考的版面有限，不能写到框外，要注意扑捉命题意图哦！第三部分的经典语句有：导航仪不代表体力——想的对不等于能做对；拿起尺、规画图，答案就在图形中；你的思想还不成熟——数形结合思想，分类讨论思想；歇歇脚再走，否则徒劳无益．四、一位上高一的学生来看我，说他离梦想的那所市重点高中就差0.5分，要是再降1分，他肯定被录取了．我笑笑．他纳闷．我解释说，例如数学，上海考生约10万人，减去极端高分和极端低分2万人，那么分数集中在100—140分之间的40分，平均每分2000人．中考1分意味着什么呢？五、这本书剖析近6年的中考数学题目——应该注意的问题、容易出现的失误、思维的出发点、书写的规范——你标记了多少认同的地方？六、本书最牛的一句话——选择放弃也是一种好的策略，保证其他题目准确无误也是高分——压轴题中你不会的那道小题，可能绝大多数人都不会．例如2012年最后两道压轴题皆因辅助线而难倒众生，其实第25题第（2）题需要添加的辅助线，本来是常见的联结两个中点构造三角形的中位线，但是因为图形中其它线条的干扰，使众多考生没有发现这条辅助线．如果添加了这条辅助线，那么问题一下子就解决了．七、或许你做对了，但是你写的字让人误解或者费解，吃亏的不是别人．这句话开始说过，这里再说一次；这句话语文老师一定也说过，理化和英语老师同样说过．八、好运留给有准备的人——祝你好运！。
几何证明及通过几何计算进行说理问题
§3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题初中数学总共学过多少个公式?A. 10个左右B. 50个左右C. 100个左右D. 200个左右大多数老师回答这个问题,中庸一点,选择100个左右.如果不包含图形的周长、面积公式,不包含统计学中的公式,因为教材版本不同,初中数学就7个或8个公式.代数公式有平方差公式、完全平方公式、一元二次方程的求根公式、两点间的距离公式、抛物线的顶点坐标公式、中点坐标公式.几何公式有n边形的内角和公式、正n边形的中心角公式.有人发问,a2+b2=c2, x1+x2=-, x1x2=,难道不是公式吗?这些真的不是公式,是定理的数学表达式.初中数学,其实就这点事.这一节的题目类型多,不方便细分.常见的题目结构,三个小题可能属于不同类型,但是都相互关联.例如第(1)小题进行一个确定的几何计算,或明确的几何证明.第(2)小题改变其中的一个条件,问上述结论是否依然成立.第(3)题把条件再一般化,通过计算或说理,探求上述结论是否依然成立.这样的题目结构,在图形变换的题目中比较多,尤其是图形的旋转更多.我们把图形旋转的性质复习一下:性质1,图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应角相等.这个性质好懂,就是全等三角形的对应边相等,对应角相等.性质2,旋转角等于对应线段所在直线的夹角.这个性质往往被忽略,用了都说好.如图1、图2、图3中,△ABC和△CDE都是等边三角形,那么直线AD和直线BE的夹角都是60°.这是为什么呢?图形在变,不变的是旋转的性质,△BCE绕着点C顺时针旋转60°可以与△ACD重合,所以旋转角为60°.根据性质2,旋转角等于对应线段所在直线的夹角,可知对应线段AD与BE 所在直线的夹角为60°.图1 图2 图3平面内,如图1,在平行四边形ABCD中,AB=10, AD=15, tan∠A=.点P为AD边上任意一点,连结PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1) 当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;(2) 当tan∠ABP∶tan∠A=3∶2时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号);(3) 若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留π).图1 备用图请打开几何画板文件名“17河北25”,拖动点P在AD上运动,可以体验到,点Q可以落在直线AD、DC和BC上.1.第(1)题看似很简单,其实不简单.要分类讨论,备用图已经暗示了.2.第(2)题:在△PAB中,已知两角及夹边,作高设高就可以解决问题了.3.第(3)题就是求扇形的面积,圆心角是90°.4.第(3)题:分三种情况讨论,其中点Q落在直线AD和BC上,示意图可以准确画出来.点Q落在直线DC上,示意图不能准确画出来.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连结DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.(1) 观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;(2) 探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连结MN、BD、CE,判断△PMN的形状,并说明理由;(3) 拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4, AB=10,请直接写出△PMN 面积的最大值.图1 图2请打开几何画板文件名“17河南22”,拖动点D绕点A旋转,观察左图,可以体验到,△ABD与△ACE保持全等,对应线段的夹角为90°,PM、PN分别为两个三角形的中位线.观察右图,可以体验到,在△AMN中,AM和AN是定值,当点M落在NA的延长线上时,MN取得最大值,此时等腰直角三角形PMN的面积最大.1.图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应线段所在直线的夹角等于旋转角.2.已知三个中点,不由得要想到三角形的中位线.3.要探求△PMN面积的最大值,首先这个三角形的形状是等腰直角三角形,只要探求斜边最大或者直角边最大就可以了.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连结B'C'.当α+β=180°时,我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.特例感知(1) 在图2、图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC;②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.图1 图2图3 图4猜想论证(2) 在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.拓展应用(3) 如图4,在四边形ABCD中,∠C=90°,∠D=150°,BC=12, CD=2, DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.请打开几何画板文件名“17江西23”,拖动点B'绕点A旋转,可以体验到,△C'EA与△ABC保持全等,AD等于BC的一半.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,可以体验到,点P在AD和BC的垂直平分线的交点.1.特例感知可以通过计算得到结论,但是对于证明没有很大的方法暗示.2.如果一下子想到“倍长中线”法,就比较容易证明了.3.第(3)题先确定PA=PD, PB=PC,那么通过作图可以找到点P在AD与BC的垂直平分线上.再通过计算证明∠APD+∠BPC=180°.事实上,先构造等边三角形PAD更简单.如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B,与y轴交于点C,它的顶点为M,对称轴与x轴相交于点N.(1) 用b的代数式表示点M的坐标;(2) 当tan∠MAN=2时,求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值.请打开几何画板文件名“17静安24”,拖动点N运动,观察∠MAN的正切值的度量值,可以体验到,当tan∠MAN=2时,△OBC是等腰直角三角形.1.第(1)题需分三步:根据抛物线的解析式写出对称轴x=b;代入点A的坐标,用b表示c;求x=b时y的值,得到顶点的纵坐标.2.第(2)题:先根据tan∠MAN=2求b的值,确定点B、C的坐标,再作BC边上的高AH,解直角三角形ABH和直角三角形ACH.如图,已知抛物线y=ax+bx-3经过点A(7, -3),与x轴正半轴交于B(m, 0)、C(6m, 0)两点,与y轴交于点D.(1) 求m的值;(2) 求这条抛物线的表达式;(3) 点P在抛物线上,点Q在x轴上,当∠PQD=90°且PQ=2DQ时,求点P、Q的坐标.请打开几何画板文件名“17浦东24”,拖动点Q在x轴上运动,可以体验到,点P有两次机会可以落在抛物线上,其中一次点P与点C重合.1.列关于a、b、m的三元一次方程组,可以同时解答第(1)、 (2)两题.2.第(3)题:先不要考虑抛物线的存在,在x轴上取一个点Q,构造∠DQP=90°且PQ=2DQ,过点P作x轴的垂线段PH,就得到两个相似比为2∶1的直角三角形相似.最后可以用结果验证点P、Q的位置.问题提出(1) 如图1, △ABC是等边三角形,AB=12,若点O是△ABC的内心,则OA的长为.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=12, AD=18.如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图3所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头时,既要确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水.于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌),同时,再合理设计好喷灌龙头的射程就可以了.如图3,已测出AB=24m, MB=10m, △AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E,又测得DE=8m.请你根据以上提供的信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?为什么?(结果保留根号或精确到0.01米).图1 图2 图3请打开几何画板文件名“17陕西25”,拖动点F在圆弧上运动,可以体验到,当点F落在MO的延长线上时,MF取得最大值.1.等边三角形是轴对称图形,矩形和圆既是轴对称图形,也是中心对称图形.2.第(3)题:阅读之后,需要理出这样的思路:求最大射程其实就是在圆弧上找一点F,求MF的最大值.在△MOF中,OF是圆的半径,是定值,MO也是定值,所以当点F落在MO的延长线上时,MF最大.如图1,已知平行四边形ABCD, AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为(1, -4),点D的坐标为(-3, 4),点B在第四象限,点P是平行四边形ABCD边上的一个动点.(1) 若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标;(2) 若点P在边AB、AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上,求点P的坐标;(3) 若点P在边AB、AD、CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).图1 图2请打开几何画板文件名“17绍兴24”,拖动点P在AB、AD边上运动,可以体验到,点Q 有4次机会可以落在直线y=x-1上.点击按钮“第(3)题”,拖动点P在AB、AD、CD边上运动,可以体验到,点M'有4次机会可以落在坐标轴上.1.第(2)题:要进行两次分类.题目不难,容易搞乱,慢慢来.先设点P的坐标,再写对称点Q的坐标,然后把点Q代入直线y=x-1的解析式.重复4次.2.第(3)题:如果点M'落在y轴上,那么四边形GMPM'是正方形,但是这样的正方形只存在点P在AB上的情况.3.第(3)题:如果点M'落在x轴上,设点P的横坐标为m,设M'(n, 0),列关于m、n的方程组.四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连结CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D、F在直线CE同侧),连结BF.(1) 如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长;(2) 如图2,当点E在线段AD上时,且AE=1.①求点F到AD的距离;②求BF的长;(3) 若BF=3,请直接写出此时AE的长.图1 图2 备用图请打开几何画板文件名“17沈阳24”,拖动点E在直线AD上运动,可以体验到,点F有两次机会落在☉B上,☉B的半径设置为3.1.第(2)题:由EC和EF的关系入手,比较容易找到解题思路.将线段EC绕着点E逆时针旋转90°可以得到EF,如果将直角三角形EDC绕点E逆时针旋转90°,点F到AD的距离就一目了然.2.第(3)题:容易想到分两种情况,但是点E在AD的延长线上时,线段EC需要顺时针旋转90°得到EF,这样才符合题意中点D、F在直线CE同侧.阅读理解如图1,图形l外一点P与图形l上各点连结的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.例如:图2中,线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.图1 图2 图3解决问题如图3,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(8, 4)、 (12, 7),点P 从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.(1) 当t=4时,求点P到线段AB的距离;(2) t为何值时,点P到线段AB的距离等于5?(3) t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题结果)请打开几何画板文件名“17泰州25”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,点P 在半径为5的☉A的弦EF的两个端点时,点P到线段AB的距离等于5.点击屏幕左下方的按钮“点P到线段AB的距离等于6”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,点P在半径为6的☉A的弦EF上时,点P到线段AB的距离等于6.但是点P运动到点F右侧时,依然存在点P到线段AB的距离等于6,直到半径为6的☉P与直线AB相切为止.1.第(1)题:一目了然,求线段PA的长度.2.第(2)题:以A为圆心、5为半径画圆,可以找到两个点P,使得PA=5.在这里有一个非常微妙的位置,就是t=11与t=的大小关系.当t=时,以5为半径的☉P与直线AB相切,切点恰在点A的左侧,看图的话感受不到的.3.第(3)题:要分情况计算,比较大小.这里要用到近似数的大小比较.将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(, 0),点B(0, 1),点O(0,0).P是边AB上的一点(点P不与点A、B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'.(1) 如图1,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标;(2) 如图2,当P是AB的中点时,求A'B的长;(3) 当∠BPA'=30°时,求点P的坐标(直接写出结果即可).图1 图2请打开几何画板文件名“17天津24”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当点P运动到AB的中点时,四边形BOPA'是菱形.观察∠BPA'的度量值,可以体验到,∠BPA'=30°存在两种情况.1.第(3)题主要有两大障碍,一是无图,二是存在两种情况,其中点A'落在直线AB下方的情况容易忽视.2.第(3)题可以这样画示意图:如图3,画∠MAN=30°,在AM上取一点P,以P为圆心、PA 为半径画圆.在PM的两侧画∠MPA'=30°与圆交于点A'.这样就得到了两个点A'.如图4、图5,画∠APA'的平分线,所在直线与x轴的交点就是原点O.然后补全图形.图3 图4 图5如图,已知矩形ABCD中,AB=4, AD=m.动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位长度的速度向点A运动,连结CP,作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s).(1) 若m=6,求当P、E、B三点在同一直线上时对应的t的值;(2) 已知m满足:在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E 到直线BC的距离等于3,求所有这样的m的取值范围.请打开几何画板文件名“17无锡28”,拖动点C运动可以改变AD的长度,可以体验到,A、P重合,E在BC上方且到BC等于3时,AD取得最小值.恰好有两个点E时,另一个点P'恰好经过点A.1.第(1)题的障碍是画示意图.以C为圆心、CD为半径画圆,BP切圆C于点E.2.第(2)题考虑两个临界时刻:AD最小时,A、P重合,点E在BC的上方,距离BC等于3; AD最大时,A、D重合,点E在BC的下方,距离BC等于3.已知点A(-1, 1)、点B(4, 6)在抛物线y=ax2+bx上.(1) 求抛物线的解析式;(2) 如图1,点F的坐标为(0, m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连结FH、AE,求证:FH∥AE.(3) 如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点,点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度;同时点Q从原点O出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度,点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,QM=2PM,直接写出t的值.图1 图2请打开几何画板文件名“17武汉24”,拖动点Q运动,观察点M、M'与抛物线的位置关系,可以体验到,点M、M'都可以两次落在抛物线上.1.第(2)题先用m表示点G的坐标,再计算tan∠AEO=tan∠FHO.2.第(3)题关键的一步是发现P、Q两点间的位置关系,原来P、Q两点间的水平距离等于2为定值,竖直距离等于t.3.第(3)题第二步,用m表示点M的坐标,QM=2PM分两种情况.4.第(3)题第三步,将点M的坐标代入抛物线的解析式求t的值.如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1, BC=,点E在边CD上移动,连结AE,将多边形ABCE沿直线AE折叠,得到多边形AB'C'E,点B、C的对应点分别为B'、C'.(1) 当B'C'恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;(2) 若B'C'分别交边AD、CD于点F、G,且∠DAE=22.5°(如图2),求△DFG的面积;(3) 在点E从点C移动到点D的过程中,求点C'运动的路径长.图1 图2请打开几何画板文件名“17宿迁26”,拖动点E从点C向点D运动,可以体验到,点C'的运动轨迹是一段圆弧,圆心是点A,半径是AC长.1.第(1)题:当B'C'恰好经过点D时,就有两个直角三角形相似.2.第(2)题:当∠DAE=22.5°时,就有等腰直角三角形出现.3.第(3)题:先探求点C'的轨迹.由于AC'=AC=定值,所以点C'在以A为圆心的圆上运动.已知正方形ABCD, P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连结EA、EC.(1) 如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证EA=EC;(2) 如图2,若点P在线段AB的中点,连结AC,判断△ACE的形状,并说明理由;(3) 如图3,若点P在线段AB上,连结AC,当EP平分∠AEC时,设AB=a, BP=b,求a∶b 及∠AEC的度数.图1 图2 图3请打开几何画板文件名“17枣庄24”,双击按钮“P是AB的中点”,可以体验到,∠CAE=90°.双击按钮“EP平分∠AEC”,可以体验到,BC=BE.1.第(1)题的图形中,点E在AC的垂直平分线上.2.第(2)题的图补全矩形DCFH, ∠CAE的两个邻角都是45°.3.第(3)题是典型的“平分+平行”,三个角相等,用正切值相等列方程.如图,在等腰直角三角形ACB中,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连结AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1) 若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示);(2) 用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.请打开几何画板文件名“17北京28”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,AP、AQ和MQ保持相等,△ACP与△QNM保持全等.1.已知AC垂直平分PQ,连结AQ,把所有等于α的角都标注出来.2.第(1)题的结论暗示了AQ=MQ.3.探究PQ与BM的数量关系,首先想到把BM放置在等腰直角三角形中,寻找中间的等量代换.折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对着矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图1),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(如图2).第二步,如图3,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的点P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC.图1 图2 图3(1) 说明△PBC是等边三角形.【数学思考】(2) 如图4,小明画出了图3的矩形ABCD和△PBC.他发现,在矩形ABCD 中把△PBC经过变化,可以得到图5中更大的等边三角形.请描述图形变换过程.图4图5(3) 已知矩形一边长为3cm,另一边长为a cm.对于每一个确定的a值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围;【问题解决】(4) 用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需要正方形的边长的最小值为cm.请打开几何画板文件名“17南京27”,拖动点E在上运动,可以体验到,直角三角形BEF绕点B旋转,当点F落在正方形MBGH的边MH上时,正方形MBGH的边长最小.1.如果题目太长,读不懂问题间的关系,不影响做题,可以把每个题目独立起来.2.第(2)题的变换方式不一,可以先旋转再放大,也可以在CD边上取点C',以BC'为边构造新的等边三角形.3.第(3)题的分类临界点怎么找?画水平放置的线段BC=3cm,过B、C分别画BC的垂线,在BC上方寻找临界位置的A、D两点.第一个临界图形:画等边三角形MBC,过点M画BC的平行线得到A、D两点.第二个临界图形:画等边三角形ABM,使得点M落在右侧直线上.4.第(4)题就是一道无图几何计算题,正方形内有一个内接的直角三角形,直角边长为1和4,求正方形的边长.如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=-x2-x+8与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点M、N分别是OA、AB的中点, Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE 始终保持边DE经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边CD与y轴交于点G.(1) 填空:OA的长是, ∠ABO的度数是度;(2) 如图2,当DE∥AB时,连结HN.①求证:四边形AMHN是平行四边形;②判断点D是否在该抛物线的对称轴上,并说明理由;(3) 如图3,当边CD经过点O时(此时点O与点G重合),过点D作DQ∥OB,交AB的延长线于点Q,延长ED到K,使DK=DN,过点K作KI∥OB,在KI上取一点P,使∠PDK=45°(点P、Q 在直线ED的同侧),连结PQ,请直接写出PQ的长.图1 图2 图3请打开几何画板文件名“17沈阳25”,双击按钮“DE∥AB”,可以体验到,点D正好落在抛物线的对称轴上.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,双击按钮“CD过O”,可以体验到,△OAN是等边三角形,△DQN∽△OBN, △ODM是等腰三角形.1.第(2)题:根据MH与AN平行且相等证明平行四边形,再证明等腰三角形DHN,然后计算点D到y轴的距离,和对称轴方程进行比较.2.第(3)题:线条错综复杂,其实和抛物线无关.从画△ABO开始,把图形重新画一遍,很多的数量关系和角的大小就在画图过程中感觉到了.3.画图过程中,点D是控制点.点D在射线NO上,并且MD=MN.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10, BC=6,点P从点A出发,沿折线AB-BC向终点C 运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P的运动时间为t秒.(1) 求线段AQ的长(用含t的代数式表示);(2) 连结PQ,点PQ与△ABC的一边平行时,求t的值;(3) 如图2,过点P作PE⊥AC于点E,以PE、EQ为邻边作矩形PEQF,点D为AC的中点,连结DF.设矩形PEQF与△ABC重叠部分的面积为S.①当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式;②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2时t的值.图1 图2请打开几何画板文件名“17长春23”,拖动点Q由C向A运动,可以体验到,PQ先后与BC、AB平行.重叠部分的形状依次是矩形、直角梯形、五边形和矩形.1.当PQ与△ABC的一边平行时,那么一定存在一个3∶4∶5的直角三角形.2.用t表示线段的长,有一个容易出错:点P在BC上时,CP=6-3(t-2).3.第(3)题把面积比转化为DQ与EQ的比.。
2018年中考压轴题汇编《几何证明及通过几何计算进行说理》
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2017年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1例2 2017年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例1 2017年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△CFG的高，也可以是△CFG的中线．思路点拨1．△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．满分解答（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．所以13AE ADEC DB==．所以213EC=．解得EC＝6．（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．图2 图3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC 于F，那么四边形CEDF是平行四边形．如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．图5 图6如图7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．图7 图8例2 2017年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM＋PN等于正六边形的3条边长．△AOM≌△BOP，△COP≌△DON，所以OM＝OP＝ON．还可以体验到，△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形．思路点拨1．第（1）题的思路是，把PM＋PN转化到同一条直线上．2．第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P．于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形．3．第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形．如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠MON＝120°．满分解答（1）①∠MPN＝60°．②如图4，延长FA、ED交直线B C与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、△EPN′都是等边三角形．所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a．图4 图5 图6（2）如图5，联结OP ．由（1）知，AM ＝BP ，DN ＝CP ．由AM ＝BP ，∠OAM ＝∠OBP ＝60°，OA ＝OB ， 得△AOM ≌△BOP ．所以OM ＝OP ．同理△COP ≌△DON ，得ON ＝OP ． 所以OM ＝ON ．（3）四边形OMGN 是菱形．说理如下：由（2）知，∠AOM ＝∠BOP ，∠DON ＝∠COP （如图5）．所以∠AOM ＋∠DON ＝∠BOP ＋∠COP ＝60°．所以∠MON ＝120°． 如图6，当OG 平分∠MON 时，∠MOG ＝∠NOG ＝60°．又因为∠AOF ＝∠FOE ＝∠EOD ＝60°，于是可得∠AOM ＝∠FOG ＝∠EON ． 于是可得△AOM ≌△FOG ≌△EON ． 所以OM ＝OG ＝ON ．所以△MOG 与△NOG 是两个全等的等边三角形．所以四边形OMGN 的四条边都相等，四边形OMGN 是菱形．考点伸展在本题情景下，菱形OMGN 的面积的最大值和最小值各是多少？因为△MOG 与△NOG 是全等的等边三角形，所以OG 最大时菱形的面积最大，OG 最小时菱形的面积最小．OG 的最大值等于OA ，此时正三角形的边长为a ，菱形的最大面积为232a ． OG 与EF 垂直时最小，此时正三角形的边长为32a ，菱形的最小面积为2338a ．例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD ∽△PEA．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得12x =-±． 所以点A 的横坐标为21-．因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282-=-．②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF =-=--=-=-．所以2(21)tan 2121PF PAE AF -∠===--．又因为tan tan 21ODPDA DPO OP∠=∠==-， 所以∠PAE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△PAD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△PAD ∽△PEA ．证明如下：如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2．所以2tan PF x PAE x AF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO x OP∠=∠==， 所以∠PAE ＝∠PDA ．因此△PAD ∽△PEA ．。
挑战中考数学压轴题(全套)
么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，
FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝
3(m
1)．
3
所以OB2＝BM2＋OM2＝(5
m)21(m
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
2
挑战中考系列(数学)
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝3
(－2x2－6x)＝3(x
3
)2
27．
2
2
4
例2
P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心
O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分
线上，同时又在不确定的
BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以
AP为
自变量，求S的函数关系式．图文解析
问题1，为什么设
AP＝2m呢？这是因为线段A以减少一些分数运算．这不影响求
S的最小值．
问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？
如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是
FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．
x的值；若不
存在，请说明理由；图1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为
S1、S2，若S＝S1＋
2022年中考压轴题汇编《几何证明及通过几何计算进行说理》含答案
3.2几何证明及通过几何计算(jì suàn)进行说理问题例1 2021年杭州市中考(zhōnɡ kǎo)第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上(biān shàn ɡ)，DE⊥AC于点E．（1）若，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段(xiànduàn)EC上，点G在射线(shèxiàn)CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP 可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1例2 2021年安徽省中考(zhōnɡ kǎo)第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上(biān shànɡ)的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证(qiúzhèng)：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点(zhōnɡ diǎn)，联结OM、ON．求证(qiúzh èng)：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3例3 2022年上海市黄浦区中考(zhōnɡ kǎo)模拟第24题已知二次函数(hánshù)y＝－x2＋bx＋c的图像(tú xiànɡ)经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数(hánshù)的解析式；（2）若点A是第一象限(xiàngxiàn)内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．3.2几何证明(zh èngm íng)及通过几何计算进行说理问题答案例1 2021年杭州市中考(zh ōn ɡ k ǎo)第22题如图1，在△ABC 中，BC ＞AC ，∠ACB ＝90°，点D 在AB 边上(bi ān sh àn ɡ)，DE ⊥AC 于点E ．（1）若13AD DB ，AE ＝2，求EC 的长； （2）设点F 在线段(xi àndu àn)EC 上，点G 在射线(sh èxi àn)CB 上，以F 、C 、G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD 于点P ．问：线段CP 可能是△CFG 的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15杭州22”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，CP 既可以是△CFG 的高，也可以是△CFG 的中线．思路点拨1．△CFG 与△EDC 都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．满分(mǎn fēn)解答（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．所以(suǒyǐ)．所以(suǒyǐ)．解得EC＝6．（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等(xiāngděng)，分两种情况：①如图2，当∠1＝∠2时，由于(yóuyú)∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．图2 图 3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形．如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．图5 图6如图7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．图7 图8例2 2021年安徽省中考(zhōnɡ kǎo)第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上(biān shànɡ)的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证(qiúzhèng)：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点(zhōnɡ diǎn)，联结OM、ON．求证(qiúzh èng)：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3 动感体验请打开几何(jǐ hé)画板文件名“14安徽23”，拖动点P运动，可以(kěy ǐ)体验到，PM＋PN等于(děngyú)正六边形的3条边长．△AOM≌△BOP，△COP ≌△DON，所以(suǒyǐ)OM＝OP＝ON．还可以(kěyǐ)体验到，△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形．思路点拨1．第（1）题的思路是，把PM＋PN转化到同一条直线上．2．第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P．于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形．3．第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形．如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠MON＝120°．满分解答（1）①∠MPN＝60°．②如图4，延长FA、ED交直线B C与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、△EPN′都是等边三角形．所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a．图4 图5 图6（2）如图5，联结OP．由（1）知，AM＝BP，DN＝CP．由AM＝BP，∠OAM＝∠OBP＝60°，OA＝OB，得△AOM≌△BOP．所以OM＝OP．同理△COP≌△DON，得ON＝OP．所以OM＝ON．（3）四边形OMGN是菱形．说理如下：由（2）知，∠AOM＝∠BOP，∠DON＝∠COP（如图5）．所以∠AOM＋∠DON＝∠BOP＋∠COP＝60°．所以∠MON＝120°．如图6，当OG平分∠MON时，∠MOG＝∠NOG＝60°．又因为∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，于是可得∠AOM＝∠FOG＝∠EON．于是可得△AOM≌△FOG≌△EON．所以OM＝OG＝ON．所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形．所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形．考点伸展在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？因为(yīn wèi)△MOG与△NOG是全等的等边三角形，所以(suǒyǐ)OG最大时菱形(línɡ xínɡ)的面积最大，OG最小时菱形(línɡ xínɡ)的面积最小．OG的最大值等于(děngyú)OA，此时正三角形的边长为a，菱形的最大面积为．OG与EF垂直时最小，此时正三角形的边长为，菱形的最小面积为．例3 2022年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数(hánshù)y＝－x2＋bx＋c的图像(tú xiànɡ)经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数(hánshù)的解析式；（2）若点A是第一象限(xiàngxiàn)内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数(hánshù)图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．满分解答（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．（2）①如图1，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．此时y A＝2x A．解方程－x2＋1＝2x，得．所以点A的横坐标为．因此正方形ABCD的面积等于．②设OP与AB交于点F，那么．所以．又因为，所以∠PAE＝∠PDA．又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．图1 图2考点(kǎo diǎn)伸展事实上，对于(duìyú)矩形ABCD，总有结论(jiélùn)△PAD∽△PEA．证明(zhèngmíng)如下：如图2，设点A的坐标(zuòbiāo)为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．所以．又因为，所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．内容总结（1）3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2021年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若，AE＝2，求EC的长最新精品 Word 欢迎下载可修改。
专题训练12 几何证明及通过几何计算进行说理问题——2019年4月大连8道题目
专题训练十二几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 如图（原图只有一个坐标系），在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；（3）如果点P在（1）中求出的二次函数的图像上，且tan∠PCA＝12，求∠PCB的正弦值．例2 如图，已知A(－2, 0)、C(0, 6)两点，直线x＝2与x轴交于点H，P是直线x＝2上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．10例3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A(3,0)，B(－1,0)，C(0,－3)，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q的坐标．例4 如图1，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(1, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠CAO＝∠BCO；（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB＋∠ACB＝∠BCO，求直线CP的表达式．12例5 如图1，二次函数y＝ax2－4ax＋2的图像与y轴交于点A，且过点B(3,6)．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数的对称轴的对称点为C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．例6 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．14例7 如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．例8 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(4, 0)，B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）当m＝1时，求AE的长；（2）当0＜m＜3时，若平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（3）是否存在m的值，使得平行四边形DEF A为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．16。
初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题第二部
初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题 第二部例11、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，BC AC =，P 为AB 的中点，PF PE ⊥分别交AC 、BC 于E 、F .想一想、思一思、咱来探究PE 、PF 的数量关系.证明：过点Ｐ作ＡＣ，ＢＣ的垂线，垂足为Ｍ，Ｎ∴△ＰＥＭ≌△ＰＦＮ（ＡAS ）ＰＥ和ＰＦ是相等的关系例12、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，BC AC =，P 为AB 上一点，且PB k AP ⋅=，PF PE ⊥分别交AC 、BC 于E 、F . 想一想、思一思、咱来探究PE 、PF 的数量关系.证明：过点Ｐ作ＡＣ，ＢＣ的垂线，垂足为Ｍ，Ｎ∴△ＰＥＭ∽△ＰＦＮ（ＡA Ａ）ＰＥ＝k ·ＰＦ例13、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC 中，BC AC =，P 为AB 上一点，且PB k AP ⋅=，︒=∠+∠180C EPF ，EPF ∠的两边分别交AC 、BC 于E 、F .想一想、思一思、咱来探究PE 、PF 的数量关系.证明：M P ∥BC P N ∥AC MP=PQ∠EPQ =∠NPF ∠EQP =∠PNF∴△EPQ ∽△FPNMP ：PN ＝EP ：PF△AMP ∽△PNBAM ＝MPAP ：PB ＝EP ：PFEP ＝k ·PF例14、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，CD CB =，︒=∠+∠180CDE ABC ，DE AB =.想一想、思一思、咱来探究：AF 与EF 之间的数量关系证明：过点E 作AB 的平行线交BD 于G平行三角相等，EG ＝ED ＝AB∴△ABF ≌△EGF （ＡAS ）AF=EF证明二：在BD 上取一点G ，使BG ＝DG由角证AB 与EG 平行，从而全等证明三：延长AB 、DE 交于G ，模型就改变了例15、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，CDCB=，︒=∠+∠180CDEABC，DEkAB⋅=.想一想、思一思、咱来探究：AF与EF之间的数量关系证明：过点E作AB的平行线交BD于G平行三角相等，∴△ABF∽△EGFAF＝k·EF例16、如图，直线L1、L2相交于点A，点B、点C分别在直线L1、L2上，AB＝k﹒AC，连结BC，点D是线段AC上任意一点（不与A、C重合），作∠BDE=∠BAC=α，与∠ECF的一边交于点E，且∠ECF=∠ABC.⑴如图1，若k=1，且∠α=90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明；⑵如图2，若1≠k，时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明.证明：（1）连接BE．∵∠ECF=∠ABC，∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BCE=∠BAC；∵∠BDE=∠BAC=α=90°，∴B、E、D、C四点共圆，∴∠BED=∠BCA，∴△BED∽△BCA，∴BD：DE=AB：AC=k=1，∴BD=DE．（2）连接BE．∵∠ECF=∠ABC，∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BCE=∠BAC；∵∠BDE=∠BAC=α，∴B、E、D、C四点共圆，∴∠BED=∠BCA，∴△BED∽△BCA，∴BD：DE=AB：AC=k，∴BD=k•DE．问题解析（1）连接BE．若k=1，且∠α=90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出；（2）连接BE．若k≠1，且∠α≠90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出．名师点评本题考点：确定圆的条件；圆周角定理．考点点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．解题的关键是确定B、E、D、C四点共圆．二．倍长中线法：例17、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，点E是BC中点，CDE∠，=BAE∠求证：CDAB=例18、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，AD是△ABC的中线，AB＝k﹒AC，点E是AC延长线上一点，且∠AEF=∠BAD，EF交BA延长线于点F.想一想、思一思、咱来探究AE、AF的数量关系.AE=kAF证明：延长AD到G,使DG=AD,连接BG、CG,则ABGC是平行四边形,AB∥=CG∴∠BAG=∠AGC就是∠BAD=∠AGC而∠BAD=∠AEF∴∠AGC=∠AEF又∠FAE=∠ACG(平行线内错角相等)∴△AEF∼△CGA∴AE/AF=CG/AC∴AE/AF=AB/AC因为AB=kAC∴AE=kAF例19、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC中，ABCD=，∠，AE是BD边的中线.求证：AE=BAD∠BDA=AC2证明：延长AE到F，使EF＝AE∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠BDA+∠BDF＝∠ADFAB＝BD＝CD＝DF∴△ADF≌△ADC（SAS）AC＝2AE例20、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，ADAB⋅=，k∠，AE是BD边的中线，且C=BAD∠BDA∠.EAD∠=想一想、思一思、咱来探究AE、AC的数量关系.证明：延长AE到F，使EF＝AE∠ADC ＝∠B+∠BAD ＝∠BDA+∠BDF ＝∠ADF ∴△FDA ∽△ADCAE ＝21k ·AC。
初三几何证明及通过几何证明进行说理问题
A B C O xy【例1】 如图，二次函数242y ax ax =-+的图像与y 轴交于点A ，且过点B （3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A 的坐标；（2）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ， 试求CAB ∠的正切值；（3）若在x 轴上有一点P ，使得点B 关于直线AP 的对称点1B 在y 轴上， 试求点P 的坐标．几何证明及通过几何证明进行说理问题A BC D 【例2】 已知半圆O 的直径6AB =，点C 在半圆O 上，且tan 22ABC ∠=D 为AC 上一点，联结DC ．（1）求BC 的长；（2）若射线DC 交射线AB 于点M ，且MBC ∆与MOC ∆相似，求CD 的长；（3）联结OD ，当OD //BC 时，作DOB ∠的平分线交线段DC 于点N ，求ON 的长．O CB A y x 【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()10A ，、 ()40B ，两点，与y 轴交于点()02C ，.（1）求抛物线的表达式；（2）求证：CAO BCO ∠=∠；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式.【例4】 已知二次函数2y x bx c =-++的图像经过点P （0，1）与Q （2，3-）．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数 图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：PAD ∆∽PEA ∆．【例5】 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C （0，3-），且OA = 2OC ．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M 的坐标；（2）求tan ∠MAC 的值；（3）如果点D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD = 45°，求点D 的坐标．。
中考数学几何证明压轴题
中考数学几何证明压轴题(i (2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论.3、如图13- 1, 一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 勺两条边分别重合在一起?现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0(点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.(1) 如图13- 2,当EF 与AB 相交于点M GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM FN 的长度，猜想BM FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；(2) 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时x 线段.FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M 线段BD 的延长线与F 时，(1)中的猜想还成立吗？若成立，F O(1)若 s i n /A G ) B( E ) 5 勺延长线相交于点N,此弭■若不成辺CD 于E ，连结ADg BD 3 OC OD 且0吐5 E(2)若图/3ADO / EDO= 4： 1,求13形OAC(阴影部分)的面积(结果保留5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，CHLAB 于点H,直线AC 与过B 点的切线相交于点 D, E 为CH 中点，连接 A ￥延长交BD 于点F ,直线FCF中考专题训练1、如图，在梯形ABCD 中，AB// CD , / BCD=90 ,且AB=1,BC=2 tan / ADC=2.(1) 求证：DC=BC;⑵E 是梯形内一点, F 是梯形外一点，且/ EDC 2 FBC DE=BF 试判断△ ECF的形状，并证明你的结论;(3)在(2)的条件下，当BE: CE=1: 2，ZBEC=135 时，求 sin / BFE 的值.2、已知：如图，在□ ABCD 中，E 、F 分别为边AB CD 的中点，BD 是对角线，AG// DB 交CB 的(1) 求证：△ ADE^A CBF ； D ( F ) 4、如图, =rD -，求CD 的长 C D M B勺直径AB 垂请证立，请说明理由. AG交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD中点；(2)求证：CG是O 0的切线；(3)若FB=FE=2求。
挑战2024数学中考压轴题几何证明及通过几何计算进行说理
挑战2024数学中考压轴题几何证明及通过几何计算进行
说理
一、证明：若圆的切点A、B，关于C的对称点是A'、B'，则证明：
AA'的中点等于BB'的中点。
证明：
因为ABC是一个等腰三角形，ACB的两条边分别等于AB的两条边，
从而使得AA'的长度等于BB'的长度，连接AC，则AA'的中点等于BB'的
中点，即证毕。
二、证明：已知直线l1垂直抛物线的焦点F，点A在抛物线上，则
AF的中点M，经过抛物线的另一焦点。
证明：
因为抛物线的两个焦点F1和F2到直线l1是垂直的，由直线垂直定理，可知点F1和F2到AF的距离分别是相等的，从而可知AF的中点M到
F1和F2的距离也是相等的，从而可以说明M经过抛物线的另一焦点，即
证毕。
三、证明：已知空间两条直线l1、l2有两个公共点A、B，则AB经过l1、l2的交点。
证明：
证明采用反证法：假设AB不经过l1、l2的交点，即意味着AB中存
在一个点出现在l1、l2两条直线的同一侧，但是由于l1、l2有两个公共
点A、B，从而说明l1、l2有两个公共点A、B，而A、B必须在l1、l2的
两侧，从而A、B必定会经过这两条直线的交点，即证毕。
四、证明：已知圆C1的半径r1，圆C2的半径r2，C1和C2的圆心分别是O1、O2，则证明：当r1＞r2时，C1圆的外切线与C2的内切线存在两个交点。
证明：
首先因为C1的半径r1大于C2的半径r2。
最新整理近几年(18-20)精选全国部分地区中考数学压轴题专题十一几何证明及通过几何计算进行说理问题
挑战中考压轴题---中考冲刺系列2021版专题十一：几何证明及通过几何计算进行说理问题【例1】（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN 的面积．【例2】（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E 是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【例3】（2020•泰州）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．（1）求证：△MEP≌△MBQ．（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B'，若点B'落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．【精练·每日1题】【精练】（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．。
济南创佳教育2014挑战中考压轴1_图形运动中的函数关系问题
2014济南创佳教育挑战中考《挑战中考压轴》————图形运动中的函数关系问题姓名： 班级： 座号： 二—1：由比例线段产生的函数关系问题 1．（2010年上海市第25题）如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P.（1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值； （3）若1tan 3BPD ∠=，设CE x =，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式.二—2：由面积公式产生的函数关系问题2．（2010年江西省第24题）如图，已知经过原点的抛物线x x y 422+-=与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m （0>m ）个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P . （1）求点A 的坐标，并判断PCA ∆存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设CDP ∆的面积为S ，求S 关于m 的关系式.三—1：代数计算及通过代数计算进行说理问题 3．（2011年河北省第26题）如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y =x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，xyD A C O P－5）、D （4，0）.⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）；⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N .①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S=218； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围.三—2：几何证明及通过几何计算进行说理问题 4．（2011年上海卢湾模拟第24题）已知：抛物线2y ax bx c=++经过点()0,0O ，()7,4A ，且对称轴l 与x 轴交于点()5,0B . （1）求抛物线的表达式；（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，点55,2C ⎛⎫⎪⎝⎭是BF 上一点，将BOC ∆沿着直线OC翻折，B 点与线段EF 上的D 点重合，求D 点的坐标；（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线DG 交CO 于点H ，:1:4DOH DHC S S ∆∆=，求G 点坐标.OBCDEFxy(第24题图)l《挑战中考压轴》参考答案————图形运动中的函数关系问题二—1：由比例线段产生的函数关系问题 1．（2010年上海市第25题）（1）解：∵∠B ＝30°∠ACB ＝90°∴∠BAC ＝60° ∵AD=AE ∴∠AED ＝60°=∠CEP ∴∠EPC ＝30° ∴三角形BDP 为等腰三角形 ∵△AE P 与△BDP 相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1∴在RT △ECP 中，EC=12EP=12（2）过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB ＝90°∴△ADQ 与△ABC 相似 ∴AD AQ AB AC = 即113a x =+，∴31a x =+ ∵在RT △ADQ 中 2222328111x x DQ AD AQ x x +-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭∵DQ AD BC AB= ∴228111x x x x x +-+=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似， ∴AE ADAC AF =，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP == (3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =- ∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x ====++ ∴5533,44x xAB BC ++== FQAE D PCB济南创佳教育∴三角形ABC 的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0二—2：由面积公式产生的函数关系问题 2．（2010年江西省第24题）（1）令0422=+-x x ，得2,021==x x .∴点A 的坐标为（2，0）. …………………………2分 PCA ∆是等腰三角形. ………………………………3分 （2）存在.2,====CD OA m AD OC .……………………5分(3)当0＜m ＜2时，如图1，作x PH ⊥轴于H ，设),(p p y x P . ∵A(2,0), C(m ,0),∴m AC -=2. ∴222mAC CH -==. ∴2222+=-+==m m m OH x p 把22+=m x p 代入x x y 422+-=，得2212+-=m y p . ∵2==OA CD ,∴221)221(2212122+-=+-∙∙=∙=m m HP CD S .………………9分当2=m 时，PCD ∆不存在当2>m 时，如图2，作x PH ⊥轴于H ，设),(p p y x P . ∵A （2，0），C （m ，0），∴2-=m AC ，∴22-=m AH . ∴22222+=-+==m m OH x p图1 图2把22+=m x p 代入x x y 422+-=， 得2212+-=m y p .∵2==OA CD ，∴221)(221212+=-∙∙=∙=m y HP CD S p ………………12分说明：采用p y HP CD S ∙∙=∙=22121思路求解，未排除2=m 的，扣1分.三—1：代数计算及通过代数计算进行说理问题 3．（2011年河北省第26题）三—2：几何证明及通过几何计算进行说理问题4．（2011年上海卢湾模拟第24题）解（1）由题意得5,20,4974b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩…………………………（1分）解，得4,2140,210.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴24402121y x x =-+.…………………………………………（3分）（2）∵BOC ∆与DOC ∆重合，55,2OB BC ==，∴55,2BO DO CD BC ====，90OBC ODC ∠=∠=︒，∴90EDO FDC ∠+∠=︒，又90EDO EOD ∠+∠=︒，∴EOD FDC ∠=∠，∵90OED DFC ∠=∠=︒，∴EOD ∆∽FDC ∆，………（2分） ∴5252ED EO OD FC DF CD ====，……………………………………………………（1分） ∵四边形OEFB 是矩形，∴EF OB =，EO FB =，设FC x =，则2,52ED x DF x ==-，∴104EO x =-，∴51042x x -=+，解，得32x =，∴3,4ED EO ==，∴()3,4D .…………（1分） （3）过点H 作HP OB ⊥，垂足为点P .∵:1:4DOH DHC S S ∆∆=，∴14DOH DHC S OH S HC ∆∆==，…………………………………（1分） ∵HP OB ⊥，CB OB ⊥，∴HP ∥BC ， ∴15OH OP PH OC OB BC ===，∴11,2OP PH ==，∴11,2H ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………（1分） ∴经过点()3,4D ，11,2H ⎛⎫⎪⎝⎭的直线DG 的表达式为7544y x =-，……………（1分）∴155,2G ⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………………………………（1分）《挑战中考压轴》————图形的平移、翻折与旋转姓名： 班级： 座号： 四—5：四边形：1．（2011年北京房山中考模拟第24题）如图，抛物线332-+=ax ax y （a ＞0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，点 A 在点B 的左侧，且31tan =∠OCB ． （1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，△ACD 的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时点D 的坐标；（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在求点P 坐标；若不存在，请说明理由．四—6：圆： 2．（2011年南京第26题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ． ⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．四—7：函数的图像及性质（1）： 3．（2010年眉山第26题）如图，Rt△ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．（24题图）(备用图) AB C P Q O(第26题)四—8：函数的图像及性质（2）： 4．（2010年长春第26题）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为(3，3)，AD 为斜边上的高．抛物线x ax y 22+=与直线x y 21=交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ．(1)求OA 所在直线的解析式． (2)求a 的值．(3)当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式．(4)如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝23．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．《挑战中考压轴》————图形的平移、翻折与旋转五—1：四边形：1．（2011年北京房山中考模拟第24题）解：（1）由已知可得C （0，3-），∵31tan =∠OCB ，∠COB =90°，∴31=OC OB ， ∴B （1,0） ------ 1分 ∵抛物线332-+=ax ax y （a ＞0）过点B ，∴033=-+a a ， ∴43=a∴抛物线的解析式为349432-+=x x y ------- 3分（2）如图1，∵抛物线对称轴为23-=x ，B （1,0）∴A （4-,0）联结OD ， ∵点D 在抛物线349432-+=x x y 上 ∴设点D （x ，349432-+x x ），则 ACDAOD DOC AOCS S S S ∆∆∆∆=+-OOA ABB CCP DEQ P DN MR Eyyxx图①图②=()2139114334324422x x x ⎛⎫⨯--++⨯--⨯⨯ ⎪⎝⎭=2362x x -- ---------------------------------------------------------5分 ∴S=()23262x -++ ------------------------------------------------------- 6分 ∴当2-=x 时，△ACD 的面积S 有最大值为6.此时，点D 的坐标为（2-，29-）． -------------------------------------------------------- 7分（3）①如图2，当以AC 为边，CP 也是平行四边形的边时， CP ∥AE ，点P 与点C 关于抛物线的对称轴对称，此时P(3-，3-).②如图3，当以AC 为对角线，CP 为边时，此时P 点的坐标是(3-，3-)--------- 9分 ③如图4、图5，当以AC 为边，CP 是平行四边形的对角线时，点P 、C 到x 轴的距离相等，则349432-+x x =3，解得2413±-=x ，此时P （2413--，3）（如图4） 或（2413+-，3）（如图5） -------------------------------------------------------------- 11分综上所述，存在三个点符合题意，分别是1P (3-，3-)，2P (2413--，3），3P (2413+-，3）．----- 12分五—2：圆： 2．（2011年南京第26题）.解⑴直线AB 与⊙P 相切．如图，过点P 作PD ⊥AB , 垂足为D ．在Rt △A BC 中，∠ACB ＝90°，∵AC =6cm ，BC =8cm ，图 2图 3 图4图5济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼11EN MDCBAOyx∴2210AB AC BC cm =+=．∵P 为BC 的中点，∴PB =4cm ．∵∠P DB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ．∴△PBD ∽△ABC ． ∴PD PB AC AB =,即4610PD =，∴PD =2.4(cm) ． 当 1.2t =时，2 2.4PQ t ==(cm)∴PD PQ =，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径． ∴直线AB 与⊙P 相切．⑵ ∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径．∴152OB AB cm ==． 连接OP ．∵P 为BC 的中点，∴132OP AC cm ==． ∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切． ∴523t -=或253t -=，∴t =1或4． ∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4．五—3：函数的图像及性质（1）： 3．（2010年眉山第26题）解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ …（1分） ∴2254()32m =⨯-+∴16m =- ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+ …………（4分） （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴225AB OA OB =+=∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………（5分） ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）当5x =时，2210554433y =⨯-⨯+=当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+=∴点C 和点D 在所求抛物线上． …………………………（7分） （3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：48,33k b ==-．∴4833y x =- ………（9分）济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼12∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ． 则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，……………………（10分） ∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）． ………………………………（12分）五—3：函数的图像及性质（2）： 4．（2010年长春第26题）济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼13。
挑战中考数学压轴题(第九版精选)之欧阳道创编
目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例2 2014年武汉市中考第24题例3 2012年苏州市中考第29题例4 2012年黄冈市中考第25题例5 2010年义乌市中考第24题例6 2009年临沂市中考第26题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题例2 2014年长沙市中考第第26题例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例42012年扬州市中考第27题例5 2012年临沂市中考第26题例62011年盐城市中考第28题1.3 因动点产生的直角三角形问题例12015年上海市虹口区中考模拟第25题例22014年苏州市中考第29题例3 2013年山西省中考第26题例4 2012年广州市中考第24题例5 2012年杭州市中考第22题例6 2011年浙江省中考第23题例7 2010年北京市中考第24题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题例2 2014年陕西省中考第24题例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题例42012年福州市中考第21题例5 2012年烟台市中考第26题例6 2011年上海市中考第24题例7 2011年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题例3 2012年上海市松江中考模拟第24题例4 2012年衢州市中考第24题例5 2011年义乌市中考第24题1.6 因动点产生的面积问题例1 2015年河南市中考第23题例22014年昆明市中考第23题例3 2013年苏州市中考第29题例4 2012年菏泽市中考第21题例5 2012年河南省中考第23题例62011年南通市中考第28题例72010年广州市中考第25题1.7因动点产生的相切问题例12015年上海市闵行区中考模拟第24题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8因动点产生的线段和差问题例1 2015年福州市中考第26题例22014年广州市中考第24题例3 2013年天津市中考第25题例4 2012年滨州市中考第24题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例12015年呼和浩特市中考第25题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年宁波市中考第26题例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2014年黄冈市中考第25题例3 2013年菏泽市中考第21题例4 2012年广东省中考第22题例5 2012年河北省中考第26题例6 2011年淮安市中考第28题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例12015年北京市中考第29题例2 2014年福州市中考第22题例3 2013年南京市中考第26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12015年杭州市中考第22题例2 2014年安徽省中考第23题例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例12015年泰安市中考第15题例2 2014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例12015年扬州市中考第17题例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例12015年上海市长宁区中考模拟第18题例2 2014年泰州市中考第16题4.5四边形例12015年安徽省中考第19题例2 2014年广州市中考第8题4.6圆例12015年兰州市中考第15题例22014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例12015年青岛市中考第8题例2 2014年苏州市中考第18题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入ky，得k＝8．x（2）将点B(n, 2)，代入8y x =，得n ＝4． 所以点B 的坐标为(4, 2)． 设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B(4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A(2, 4)、B(4, 2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB ＝22，BC ＝42，∠ABC ＝90°． 图2所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝122422⨯⨯＝8． （3）由A(2, 4)、D(0, 2)、C (0,－2)，得AD ＝22，AC ＝210． 由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC =时，CE ＝AD ＝22．此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD=时，21021022=．解得CE ＝102．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4 考点伸展第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例22014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ 的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ 与△ABC 相似，存在两种情况：① 如果BP BA BQ BC =，那么510848t t =-．解得t ＝1． ② 如果BP BC BQ BA =，那么588410t t =-．解得3241t =． 图3 图4（2）作PD ⊥BC ，垂足为D ．在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cosB ＝45，所以BD ＝BPcosB ＝4t ，PD ＝3t ．当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ． 所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78t =．图5 图6（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ．由于H 是PQ 的中点，HF//PD ，所以F 是QD 的中点．又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．考点伸展本题情景下，如果以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切，求t 的值．如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP ⊥AB ，就是BP BC BQ BA=，3241t =． 如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ ⊥BC ，就是BP BA BQ BC =，t ＝1．如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径PQ半径等于FC ＝48=． 解得12873t =，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ′A ＝∠B 的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点C 的坐标为(0, 4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)． 图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A(1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14b b =-．解得8b =±Q 为(1,2+．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
2014挑战中考压轴题3.2几何证明及通过几何计算进行说理
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)． （1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ． 动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ．此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得12x =-±． 所以点A 的横坐标为21-．因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282-=-．②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF =-=--=-=-．所以2(21)tan 2121PF PAE AF -∠===--．又因为tan tan 21ODPDA DPO OP∠=∠==-， 所以∠P AE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2．所以2tan PF x PAE x AF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO x OP∠=∠==， 所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．例2 2013年江西省中考第24题某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝12AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DF A＝∠EGA保持不变．请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DF A＝∠EGA保持不变．思路点拨1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号①②③④．（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以12MF AC=，12MG AB=，MF//AC，MG//AB．所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以12EG AC=，12DF AB=．所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．。
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3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．
①求正方形的ABCD 的面积；
②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．
动感体验
请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．
请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．
思路点拨
1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．
2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．
满分解答
（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得
1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.
b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．
（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．
解方程－x 2＋1＝2x ，得1x =-
所以点A 1．
因此正方形ABCD 的面积等于21)]12=-
②设OP 与AB 交于点F ，那么211)31)PF OP OF =-=-=-=．
所以2
tan 1
PF PAE AF ∠==．
又因为tan tan 1OD PDA DPO OP
∠=∠==， 所以∠P AE ＝∠PDA ．
又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．
图1 图2
考点伸展
事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：
如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2． 所以2
tan PF x PAE x AF x
∠===． 又因为tan tan OD PDA DPO x OP
∠=∠==， 所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．
例2 2013年江西省中考第24题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：
在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．
①AF＝AG＝1
2
AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DF A＝∠EGA保持不变．
请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DF A＝∠EGA保持不变．
思路点拨
1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．
2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？
满分解答
（1）填写序号①②③④．
（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，
所以F、G分别是AB、AC的中点．
又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．
所以
1
2
MF AC
=，
1
2
MG AB
=，MF//AC，MG//AB．
所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．
所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．
因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，
所以
1
2
EG AC
=，
1
2
DF AB
=．
所以MF＝EG，DF＝NG．
所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．
（3）△MDE是等腰直角三角形．
图4 图5
考点伸展
第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE 的过程有一些不同．
如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．
如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．
如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．。