圆锥曲线中距离的最值问答

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圆锥曲线中距离的最值问题

沙洋中学张仙梅

一．求圆锥曲线上一点到对称轴上一定点的距离的最值

例1：已知椭圆

2

4

x

+y2=1，点A（1

2

，0），点P是椭圆上任意一点，求|PA|的最值。

变式1：已知椭圆

22

1

169

y x

，点A（0 ，2），点P是椭圆上任意一点，求|PA|的最

值。

变式2：已知双曲线

22

1

169

y x

，点A（0 ，2），点P是双曲线上任意一点，求|PA|的

最值。

变式3：已知抛物线24

y x，点A（1

2

，0），点P是抛物线上任意一点，求|PA|的最

值。

变式4：已知椭圆

2

4

x

+y2=1和圆22

(4)1

x y各有一点A、B，求AB的最大值。

变式5：已知椭圆

2

10

x

+y2=1和圆22

(3)5

x y各有一点A、B，求AB的最大值。

二．求圆锥曲线上一点P到定直线的距离的最值

例2：已知椭圆C：

22

1

94

x y

，直线l：x+2y+18=0。

（1）在椭圆上求一点P1，使点P1到直线l的距离最近，并求出最近距离。（2）在椭圆上求一点P2，使点P2到直线l的距离最远，并求出最远距离。

变式1：已知椭圆C：

22

1

916

x y

，直线l：x-y-24=0。

（1）在椭圆上求一点P1，使点P1到直线l的距离最近，并求出最近距离。（2）在椭圆上求一点P2，使点P2到直线l的距离最远，并求出最远距离。

变式2：已知抛物线C：24

x y，直线l：20

x y。

在抛物线求一点P，使点P到直线l的距离最近，并求出最近距离。三．利用第一定义求最值

例3：设F1、F2分别是椭圆C：

22

1

43

x y

的左右焦点，P为椭圆上一点，M为圆

（x-4)2+(y-3)2=1上一点，则|PM|+|PF1|的最大值等于___________，最小值等于__________

变式1：已知直线l 经过抛物线C ：2

4y

x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点 。

（1）若AF =4，求点A 的坐标；

（2）求线段AB 的长的最小值。

（3）过A 、B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，求AC

BD 的最小值。

变式2：已知在直线l ：9

0x y 上任取一点P ，过点P 以椭 圆C ：

2

21123

x y 的焦

点为焦点作椭圆。

（1）点P 在何处时，所求椭圆的长轴最短？ （2）求长轴最短时椭圆方程。

四．利用第二定义求最值

已知定点P，焦点F，当与焦点F的相应准线和点P在圆锥曲线两侧时，在圆锥曲线上求一点M，使1

MP MF

e

取最小值的问题，就要用第二定义求。

例4：已知椭圆C：

22

1

43

x y

内有一点P（1,-1）,F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一

点M，使2

MP MF取得最小值，求点M的坐标及最小值。

变式1：已知点P（1,-3）,F为椭圆

22

1

1612

x y

的右焦点，在椭圆上有一点Q，当

1

2

QF PQ取得最小值时，求点Q的坐标及最小值。

变式2：如图所示，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东300方向2km处。河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到B、C修建公路的费用分别为a万元/km,2a万元/km，那么修建这条公路的总费用最低是

变式3：设F1、F2分别是双曲线：

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

的左右焦点，点P在双曲线

上，求

12

PF PF的最值。若是椭圆呢？