运筹学-第六章 图论1

6、图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
e1
e1=[v1,v1] e3=[v1,v3] =[v
e3 v3
v1
e2 v2
e5
e4
若e=[vi，vj]， vi，vj是e的端点 e为vi或vj的关联边
e6
v4
e7
e8
v5
若vi、vj与同一条边关联，则称vi和vj相邻 与同一条边关联，则称v 若ei和ej有相同的端点，则称边ei和ej相邻 有相同的端点，则称边e
6.3.1 Dijkstra算法
求网络上的一点到其它点的最短路
这是解决网络中某一点到其它点的 最短路问题时目前认为的最好方法。 最短路问题时目前认为的最好方法。
基本思路：
假定v1
v2
v3 v2 v2
v4 是 v1 v3 是 v1 v3
V4的最短路 V3的最短路 v4
则 v1
v1
算法步骤：
①从点1出发，因L(1,1)=0，在点1处 从点1出发， L(1,1)=0，在点1 标记 0 ②从点1出发，找相邻点r使得边L(1,r) 从点1出发，找相邻点r使得边L(1,r) 权数（距离）最小， 权数（距离）最小，若L(1,r) = 标于点r L(1,1)+ d(1,r) 将 L(1,r) 标于点r处。并 将边1r变红。 1r变红 将边1r变红。
若边e的两个端点相重，称该边为环 若边e的两个端点相重，称该边为环 如果两个点之间的边多余一条，称为 如果两个点之间的边多余一条， 具有多重边 具有多重边 对无环、无多重边的图称作简单图 对无环、无多重边的图称作简单图
与某一个点vi相关联的边的数目称为点 与某一个点v 度或限度） vi的次（度或限度） 次为奇数的点称作奇点 次为奇数的点称作奇点 次为偶数的点称作偶点 次为偶数的点称作偶点 次为0的点称作孤立点 次为0的点称作孤立点
例3’：用避圈法求改图的最小部分树
A 2 S 5 1 4 C 2 B 3 4 E 5 1 D 5 7 T 7
破圈法 破圈法
A 2 S 4 C 1 4 2 B 3 E 5 1 D 5 7 T
7
破圈法 破圈法
A 2 S 1 C 4 2 B 3 E 5 1 D 5 7 T
7
破圈法 破圈法
A 2 S 1 C 4 2 B 3 E 5 1 D 5 7 T
3
v1 23 v6 28 v5 36 25 1
v2 20 4 v7 9 16 17 v4 v3 15
3
破圈法
从网络图N中任取一回路，去掉 这个回路中权数最大的一条边，得 一子网络图N1，在N1再取一回路， 再去掉这个回路中权数最大的一条 边，得一子网络图N2；一直继续 下去不含回路止。
破圈法 破圈法
6.2.3 避圈法和破圈法
避圈法： 1、从图中任选一点vi，让vi∈v，图中其余点均包含 在 v； 2、从v与 v 的连线中找出最小边，这条边一定包含 在最小部分树内，将这条边设为[vi，vj]并加粗，作 为标记 v 3、令V∪Vi V， \vi v 4、重复2、3步，一直到图中所有点均包含在v中为止
链、路
点和边的交替序列 = {v 0 , e1 , v1 ,L, e k , v k }
若其中各边e1,e2,…,ek互不相同,且任意 vi,t-1和vit(2≤t≤k)均相邻，称 为 链 如果链中的所有顶点v0,v1,…,vk也不 相同称作路
对起点与终点相重合的链称作圈 对起点与终点相重合的链称作圈 对起点与终点相重合的路称作回路 对起点与终点相重合的路称作回路 在一个图中，如果每一对顶点之间至 在一个图中， 少存在一条链，称这样的图为连通图 连通图， 少存在一条链，称这样的图为连通图， 否则称该图是不连通 不连通的 否则称该图是不连通的
避圈法
例2：
A 2 S 5 1 4 C 2 B 3 4 E 5 1 D 5 7 T 7
v A 2 S 5 1 4 C 2 B 3 4
v
7 5 1 E D 5 7 T
v A 2 S 5 1 4 C 2 B 3 4
v
7 5 1 E D 5 7 T
v A 2 S 5 1 4 C 2 B 3 4
v
7 5 1 E D 5 7 T
A C
D
B
A D C
B
6.1 图的基本概念
图论是专门研究图的理论的 一门数学分支， 一门数学分支，主要研究点 几何关系。 和线之间的 几何关系。
定义：（图 定义：（图） ：（ 设G=（V，E） G=（ 其中：V= （ v1， v2，…... vm） 其中： 是m个顶点集合； 个顶点集合； E= （ e1， e2，…... en） 是n条边集合。 条边集合。 如果给图中的点和边赋以具体含义和 权数， 权数，把这样的图称为网络图
v1 e5
v2 e1 e3 e2
v3
e6 e4 e7
v4 e8
v5
（a）的部 分图 v1 e5 e1 e3
v2
v3
v4
v5
例1： 有甲、乙、丙、丁、戊、已六名 运动员报名参加A、B、C、D、 E、F六个项目的比赛。各个运 动员报名参加的比赛项目如下 表，问六个项目的比赛顺序应 如何安排，能做到每名运动员 都不连续地参加两项比赛。
完全图
一个简单图中若任意两点之间均有边 相连，称这样的图为完全图 含有n个顶点的完全图，其边数为
C
2 n
1 = n ( n 1) 2
偶图 如果图的顶点能分成两个互不相交的
非空集合v1和v2，使在同一集合中任 意两个顶点均不相邻，称这样的图为 偶图。 V1和v2之间的每一对不同顶点都有一 条边相连，称为完全偶图 V1含m个顶点，v2含n个顶点，其边数 为m*n条
以下说法哪些是正确的： 以下说法哪些是正确的： 1 在树中任意两点之间必有一条而且只 有一条通路。 有一条通路。 2 在树中划去一条边，则树不连通。 在树中划去一条边，则树不连通。 3 在数中不相邻的两个顶点之间加一条 可得一个且仅得一个圈。 边，可得一个且仅得一个圈。 4 树中边数有ne=p-1（p为顶点数） 树中边数有n =p为顶点数）
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、V2、v3相邻的点有v5、v4、v6 L1p=min{L12+d25,L12+d24,L13+d34,L13+d36} =min{5+7,5+2,2+7,2+4}=6=L36
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
6.2.1图的最小部分树 图的最小部分树
如果G1是G2的部分图，又是树图，则 称G1是G2的部分树。 一般G2含有多个部分树，其中树枝总 长最小的部分树称为最小部分树
定理1：图中任一个点i，若j是与i相邻 点中距离最近的，则边[i，j]一定必 含在该图的最小部分树内。 推论：把图的所有点分成v和 v 两个 集合，则两集合之间连线的最短边一 定包含在最小部分树内。
3
v1 23 v6 1 v7 9 4
v2
v3
3 v5 17 v4
6.3 最短路问题
最短（ 最短（通）路问题是最重要的 优化问题之一， 优化问题之一，例如各种管道的铺 线路的安排、厂区的布局、 设、线路的安排、厂区的布局、设 备的更新及运输网络的最小费用流 。（最短距离 费时最少、 最短距离、 等。（最短距离、费时最少、费用 最省） 最省）
10 v7
6
2
6
v6
2
2 2 5 1
7 5 3 5
1
3
3
5
5
1
7
4
6
7
0
2
2
2 5 1
①从点1出发，因L11=0， 从点1出发， =0， 在点1 在点1处标记 0
7
1
3
3
5
5 3
5
1
5 7
7
4
6
2
2
5