微积分在电磁学中的应用

微积分在电磁学中的应用1 引言微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一,它是用一种运动的思想看待问题,使我们研究变量更加容易.微积分是与应用联系着并发展起来的,它在很多学科中都有着广泛的应用,并发挥着重要的作用,在电磁学方面微积分也对其产生了深刻的影响.本文对使用微积分求一些物理量诸如电场强度、电通量、磁感应强度、电势、感应电动势等进行分析来说明微积分的应用.其基本思想是先把一个复杂的带电体分割成无穷多个电荷元,再求出每一部分对应的值最后利用积分求总值.其中涉及了定积分,二重积分等方面的内容在电磁学中的应用.尤其是在计算积分时应建立适当的坐标系,确定积分微元,正确写出被积函数以及上下限等.本文就微积分在电磁学中的应用的一些具体实例进行探讨,以说明微积分应用之广泛.2 电场中微积分的应用2.1 有关电场的理论2.1.1 场强 比值0Fq →是一个无论大小和方向都与试探电荷无关的矢量(其中F →是两点电荷间的相互作用力, 0q 是很小很小的点电荷,为试探电荷.),它是反映电场本身性质的,我们把它定义为电场强度,简称场强,用E →来表示,即0FE q →→=,用文字来表示就是：某处电场强度定义为这样一个矢量,其大小等于单位电荷在该处所受电场力的大小,其方向与正电荷在该处所受电场力的方向一致.2.1.2 场强叠加原理 如果是几个电荷共同作用于此点,则场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场强度的矢量叠加,这也就是电场强度的叠加原理.2.1.3 电荷的体密度，线密度,面密度 电荷的体密度,就是单位体积内的电荷.取一体积元v ∆包含P 点,设在v ∆内全部电荷的代数和为q ∑,则P 点电荷的体密度定义为e ρ=0limv ∆→q v∆∑,应指出的是这里的“v ∆0→” 是一种数学上的抽象,实际上只要v ∆在宏观上看起来足够小就行了.电荷的线密度,它的物理意义是单位长度内的电荷.如果电荷分布在某根细线或细棒上,在数学上可这样处理,设细线的截面积为s ,电荷的体密度为e ρ.在细线上取长度为l ∆的一段,它的体积为s l ∆,其中包含的电荷量便是△q=e ρs l ∆.设想s 0→,e ρ→∞,但是保持它们的乘积e ρs =e η为一有限值,则e q l η∆=∆,或e η=q l∆∆,e η称为电荷的线密度,在数学上可以写成e η=0lim l q l ∆→∆∆.电荷的面密度,它的物理意义是单位面积内的电荷.在数学上,我们可以把一个导体的表面层的厚度视为δ,层内电荷的体密度为e ρ.取面积为s ∆的一块表面层,它的体积是s δ∆,其中的包含电荷量有q ∆=eρs δ∆,设想0δ→,e ρ→∞,但是保持他们的乘积e ρδ=e σ为一有限值,则q ∆=e σs ∆,或e σ=q s∆∆,e σ称为电荷的面密度,在数学上可以写成e σ= 0lim s ∆→qs ∆∆.2.2 电场中微积分的应用举例例1 均匀带电细杆,长2l ,带电荷q ,求其中垂面上距杆为r 的电场强度[]()137P .dE+dE'图 1解 由于细棒关于其中垂面对称,因此求均匀带电细杆中垂面上的场强分布时,只需求细棒的中垂面与纸面交线为中垂线上任一点p 点处的场强即可.很显然,直接利用公式2014r q E e r πε→→=(其中r e →是单位矢量)求p 处的场强是不可以的.在本例题中,可以把电荷看成在带电细棒上的连续分布.选取棒的中点o 为原点取坐标轴z 沿细棒向上,将整个细棒分割成一对一的线元,线元dz 距o 点距离为z ，p 点距o 点距离为r ,其中每对线元dz 和'dz 对于中垂线op 对称,所产生的元场强dE 和'dE也关于中垂线对称.它们在垂直于op 方向上的分量相互抵消矢量和为零,在中垂面上(称为r方向)场强大小为2dE cos a .这时dE就可以用2014dqdE rπε=得出,由题及上图可知,带电细棒的线密度2e q l η=,线元dz 的带电量为e dq dz η=,线元dz 距p cos a =,所以22014e dzdE r z ηπε=+,细棒在p 点的总场强r E 是所有这样一对对场强dE 和'dE 的矢量和,方向为r 方向.因为电荷是连续分布的,求和实际上是沿细棒积分.令细棒在z 轴所在平面与细棒的中垂面线上任一点p处的场强为E,则根据以上的分析223/202cos 24()lle r rdzE E dE a r z ηπε====+⎰⎰. 3 电通量中微积分的应用3.1 有关电通量的理论3.1.1 当所取的面与该处场强垂直时,电通量E E s φ∆=∆.3.1.2 当所取的面与该处场强不垂直时,通过一面元s ∆的电通量定义为该点场强的大小E 与s ∆在垂直于场强方向的投影面积's ∆=cos s θ∆的乘积,其中θ是面元s ∆的法线矢量n →与场强E →的夹角.3.2 有关电通量的计算中微积分的应用举例 例2 求通过包围点电荷q 的同心球面的电通量.解 以点电荷q 所在处为中心,任意长r 为半径做一球面,根据库仑定律,在球面上各点场强大小一样——E=014πε2qr ,场强的方向沿半径向外辐射.在球面上任意取一面元ds ,其外法线矢量n →也是沿半径方向向外的,即n →和E →的夹角θ0=,所以通过ds 的电通量为cos E d E ds θΦ==Eds =14πε2qr ds ,通过整个闭合球面的电通量为：22220000()()4444E S S q q q qdS dS r rrrππεπεπεεΦ====⎰⎰⎰⎰.4 电磁感应中微积分的应用4.1 有关电磁感应的理论我们知道载流导线产生的磁场的基本规律是毕奥-萨伐尔定律,写成微分的形式,则有034I dl rd B rμπ→→→⨯=.整个闭合回路产生的磁场是各电流元的迭加. 4.2 有关电磁感应计算中微积分的应用举例 例3 考虑在直导线旁任意一点p 的磁感应强度[]()1353P .图 2解 将本题中的直导线分割为许多无穷小的电流元,根据右手定则可知任意电流元I d l →产生的元磁场d B →的方向都一致,垂直纸面向里.根据毕奥-萨伐尔定律的微分形式034I d l rd B rμπ→→→⨯=,可知任一电流元在直导线旁任一点p 处的磁感应强度034I d l rd B r μπ→→→⨯=,由图可知0r 为p 到直线的距离即op ,又因为整根导线在p 点产生的磁感应强度方向相同,所以直导线在p 点产生的总磁感应强度B →的大小就是d B →的代数和,022sin l r θ=+,而B →=d B →∑,因为电流元足够小,而且分割成为无穷多个小的电流元,所以求和号可以变成积分号,所以对于直导线12A A 来说B →=221102sin 4A A A A I dl d B rμθπ→→=⎰⎰（*） 如图2所示 ,为求积分我们可以将对电流元长度的积分转化成对角度θ的积分.设dl 到o 距为l ,则l =cos()cos r r πθθ-=-0sin()sin r r r πθθ=-=则0cot l r θ=-,0sin r r θ=,02sin r d dl θθ=,代入（*）式 得 221102sin 4A A A A I dl B d B rμθπ==⎰⎰212202sin 4sin sin r I d r θθμθθπθθ=⎰=21004I r θθμπ⎰sin d θθ=0120(cos cos )4Ir μθθπ- 式中1θ,2θ是导线两端,a b 处θ角的数值.5 电势中微积分的应用5.1 有关电势的理论静电场中任意一点p 的电势等于把单位正电荷从该点沿任意路径移动到电势为零的参考点的过程电场力做的功.或静电场中任意一点的电势为电场强度沿任意路径从p 点到0V =的参考点的线积分,即0V P PV E d l →→==⎰处.5.2 有关电势计算中微积分的应用举例 例4 求点电荷q 电场中的电势分布[]()239P .解 设无穷远处为电势零点,在电场中的分析我们知道,点电荷的电场分布,有204r q E e r πε→→=,根据电势的定义,在点电荷q 的电场分布中,任一p 点的电势为22000444rPrrq q q V Ed l e d r d r rrrπεπεπε→→→→∞∞∞====⎰⎰⎰.当场源电荷0q >,电场中各点的电势都为正值,并且离q 越远,电势越低,在无限远处电势为零,无限远处的零电势是正电荷电场中电势的最小值.若0q <,电场中各点的电势为负值,并且离q 越远,电势越高,无限远处的零电势是负电荷电场中电势的最大值.例5 求均匀带电球面的电场中的电势分布,已知球面半径为R ,带电量为q . 解 设无限远处为电势零点, 在电场中的分析我们知道带电球面的电场分布为204r q E e rπε→→=(r R ≥),0E →= ( r R <),球面外的电场与点电荷的电场一样,所以带电球面外任意一点的电势与点电荷的相同,即 04q V rπε=(r R ≥),球面内的电势可根据定义求得20044R rRRPq q V Ed l Ed r Ed r d r rRπεπε∞→→→→→→∞∞==+==⎰⎰⎰⎰(r R <).6 感应电动势计算中的微积分的应用6.1 有关感应电动势的理论6.1.1 动生电动势是在稳恒磁场中运动中的导体内产生感应电动势,动生电动势可以看作是洛伦兹力引起的.6.1.2 自由电子受到的洛伦兹力为()f e V B =-⨯,f 的方向可由安培定则判断.电动势是反映电源性能的物理量,是衡量电源内部非静电力大小的物理量.电动势定义为单位正电荷从负极通过电源内部移动到正极的过程中,非静电力做的功.在这里,非静电力就是作用在单位正电荷上的洛伦兹力,作用在单位正电荷上的非静电力可以用一个等效的非静电场表示,这个非静电场的场强为K f E V B e →→→→==⨯-.动生电动势就是()K E dl V B d l ε→→→→++--==⨯⎰⎰.当V B ⊥时,单位正电荷受力的方向与dl 的方向一致,所以上式的积分化为VBdl Blv ε+-==⎰.6.2 有关感应电动势计算中的微积分的应用举例例 6 长度为L 的一根铜棒,其一端B 固定,在均匀磁场中一角速度ω旋转,线速度的方向与磁场垂直,如图3所示.求这根铜棒两端的电位差BA U .设磁场的方向垂直纸面向外.A图3解 铜棒旋转时切割磁感应线,故棒两端之间有感应电动势.棒上所有的线速度不同,因为棒与磁场垂直,由BLV ε=,导体棒上各点产生的电动势不同.这就需要用微积分的方法解决本题,将导体棒ab 分割成无穷多个线元dl ,设dl 到B 端距离为l ,则dl 处速度v l ω=,线元dl 产生感应电动势()d V B dl VBdl B ldl εω=⨯==由于将导体棒分割成无穷多个线元,故导体棒产生的点电动势为这些线元产生的电动势d ε的积分,即220011|22LLd B ldl B l B L εεωωω====⎰⎰.其中B 端是负极,A 端是正极.因此B A U U <,两者差ε,所以21()()2BAU U B U A B L εω=-=-=.6.3 有关感生电动势的理论6.3.1 当导体回路静止不动时,由于磁场的大小或方向的变化所产生的感应电动势,称为感生电动势.6.3.2 空间的磁场随时间变化时,在其周围也激发一种电场叫做感应电场。