微积分在电磁学中的应用

微积分在电磁学中的应用

1 引言

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一,它是用一种运动的思想看待问题,使我们研究变量更加容易.微积分是与应用联系着并发展起来的,它在很多学科中都有着广泛的应用,并发挥着重要的作用,在电磁学方面微积分也对其产生了深刻的影响.本文对使用微积分求一些物理量诸如电场强度、电通量、磁感应强度、电势、感应电动势等进行分析来说明微积分的应用.其基本思想是先把一个复杂的带电体分割成无穷多个电荷元,再求出每一部分对应的值最后利用积分求总值.其中涉及了定积分,二重积分等方面的内容在电磁学中的应用.尤其是在计算积分时应建立适当的坐标系,确定积分微元,正确写出被积函数以及上下限等.本文就微积分在电磁学中的应用的一些具体实例进行探讨,以说明微积分应用之广泛.

2 电场中微积分的应用

2.1 有关电场的理论

2.1.1 场强 比值0

F

q →

是一个无论大小和方向都与试探电荷无关的矢量(其中F →是两点电荷间

的相互作用力, 0q 是很小很小的点电荷,为试探电荷.),它是反映电场本身性质的,我们把它定义为电

场强度,简称场强,用E →

来表示,即0

F

E q →

→

=

,用文字来表示就是：某处电场强度定义为这样一个矢量,其大小等于单位电荷在该处所受电场力的大小,其方向与正电荷在该处所受电场力的方向一致.

2.1.2 场强叠加原理 如果是几个电荷共同作用于此点,则场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场强度的矢量叠加,这也就是电场强度的叠加原理.

2.1.3 电荷的体密度，线密度,面密度 电荷的体密度,就是单位体积内的电荷.取一体积元v ∆包含P 点,设在v ∆内全部电荷的代数和为

q ∑,则P 点电荷的体密度定义为e ρ=0

lim

v ∆→q v

∆∑,应指出

的是这里的“v ∆0→” 是一种数学上的抽象,实际上只要v ∆在宏观上看起来足够小就行了.

电荷的线密度,它的物理意义是单位长度内的电荷.如果电荷分布在某根细线或细棒上,在数学上可这样处理,设细线的截面积为s ,电荷的体密度为e ρ.在细线上取长度为l ∆的一段,它的体积为

s l ∆,其中包含的电荷量便是△q=e ρs l ∆.设想s 0→,e ρ→∞,但是保持它们的乘积e ρs =e η为

一有限值,则e q l η∆=∆,或e η=

q l

∆∆,e η称为电荷的线密度,在数学上可以写成e η=0lim l q l ∆→∆∆.

电荷的面密度,它的物理意义是单位面积内的电荷.在数学上,我们可以把一个导体的表面层的厚度视为δ,层内电荷的体密度为e ρ.取面积为s ∆的一块表面层,它的体积是s δ∆,其中的包含电荷量有q ∆=e

ρs δ∆,设想0δ→,e ρ→∞,但是保持他们的乘积e ρδ=e σ为一有限值,则

q ∆=e σs ∆,或e σ=

q s

∆∆,e σ称为电荷的面密度,在数学上可以写成e σ= 0lim s ∆→q

s ∆∆.

2.2 电场中微积分的应用举例

例1 均匀带电细杆,长2l ,带电荷q ,求其中垂面上距杆为r 的电场强度

[]()

137P .

dE+dE'

图 1

解 由于细棒关于其中垂面对称,因此求均匀带电细杆中垂面上的场强分布时,只需求细棒的中

垂面与纸面交线为中垂线上任一点p 点处的场强即可.很显然,直接利用公式2

01

4r q E e r πε→

→

=

(其中r e →

是单位矢量)求p 处的场强是不可以的.在本例题中,可以把电荷看成在带电细棒上的连续分布.选

取棒的中点o 为原点取坐标轴z 沿细棒向上,将整个细棒分割成一对一的线元,线元dz 距o 点距离为z ，p 点距o 点距离为r ,其中每对线元dz 和'dz 对于中垂线op 对称,所产生的元场强dE 和'

dE

也关于中垂线对称.它们在垂直于op 方向上的分量相互抵消矢量和为零,在中垂面上(称为r

方向)场强大小为2dE cos a .这时dE

就可以用2

01

4dq

dE r

πε=

得出,由题及上图可知,带电细棒的线密度2e q l η=

,线元dz 的带电量为e dq dz η=,线元dz 距p cos a =,所以

22

01

4e dz

dE r z ηπε=

+,细棒在p 点的总场强r E 是所有这样一对对场强dE 和'

dE 的矢量和,方向为r 方

向.因为电荷是连续分布的,求和实际上是沿细棒积分.令细棒在z 轴所在平面与细棒的中垂面线上任一

点

p

处的场强为

E

,则根据以上的分

析

223/20

2cos 2

4()l

l

e r rdz

E E dE a r z ηπε====+⎰⎰

. 3 电通量中微积分的应用

3.1 有关电通量的理论

3.1.1 当所取的面与该处场强垂直时,电通量E E s φ∆=∆.

3.1.2 当所取的面与该处场强不垂直时,通过一面元s ∆的电通量定义为该点场强的大小E 与

s ∆在垂直于场强方向的投影面积'

s ∆=cos s θ∆的乘积,其中θ是面元s ∆的法线矢量n →与场强E →

的

夹角.

3.2 有关电通量的计算中微积分的应用举例 例2 求通过包围点电荷q 的同心球面的电通量.

解 以点电荷q 所在处为中心,任意长r 为半径做一球面,根据库仑定律,在球面上各点场强大小一

样——E=01

4πε2

q

r ,场强的方向沿半径向外辐射.在球面上任意取一面元ds ,其外法线矢量n →也是沿

半径方向向外的,即n →

和E →

的夹角

θ0=,所以通过ds 的电通量为

cos E d E ds θΦ==Eds =

14πε2

q

r ds ,通过整个闭合球面的电通量为：22

2

2

0000

()()

4444E S S q q q q

dS dS r r

r

r

ππεπεπεεΦ==

=

=

⎰⎰

⎰⎰

.

4 电磁感应中微积分的应用

4.1 有关电磁感应的理论

我们知道载流导线产生的磁场的基本规律是毕奥-萨伐尔定律,写成微分的形式,则有

03

4I dl r

d B r

μπ→→

→

⨯=

.整个闭合回路产生的磁场是各电流元的迭加. 4.2 有关电磁感应计算中微积分的应用举例 例3 考虑在直导线旁任意一点p 的磁感应强度

[]()

1353P .