人教B版数学高一必修2学案1.2.3空间中的垂直关系第一课时

数学人教B 必修2第一章1.2.3 空间中的垂直关系第

一课时

1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质，并能利用以上定理和性质解决空间中的相关垂直性问题．

把直线AB 画成和表示

平面的平行四边形的

一边________.

【做一做1】如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的位置关系为( )．

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．不确定 2．直线与平面垂直的判定定理与推论

(1)判定定理：如果一条直线与平面内的________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线________这个平面．

推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．

利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的，因为“任意一条直线”是不方便研究的，因此根据确定平面的条件，找到两条相交直线便可确定一个平面，这样易于判断直线和平面垂直．

【做一做2－1】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( )． A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB

【做一做2－2】已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是( )．

A ．b ⊂平面α

B ．b ⊥平面α

C．b∥平面αD．b与平面α相交但不垂直

1．对直线与平面垂直的理解

剖析：(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直．

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．

(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，如若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．

2．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，探讨这条直线与平面的关系

剖析：给出平面α内的一条直线a，在该平面内与直线a平行的直线有无数条，所有与a垂直的直线，必与a的平行线垂直，却不一定与平面α垂直．如图所示，直线B1C1与平面AC内的直线AB垂直，且在平面AC内与AB平行的所有直线都与B1C1垂直，但直线B1C1∥平面AC．

因此以下两个命题均是错误的，需要引起重视．

命题①：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；

命题②：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．3．教材中的“思考与讨论”

(1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？

(2)如何定义两平行平面的距离？

剖析：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求证：α∥β.

证明：如图所示，设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β相交于直线b，b′和a，a′.

∵AA′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a，AA′⊥a′.

AA′，a，a′都在平面δ内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．

∴a∥a′，∴a′∥α(线面平行的判定定理)．

同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β.

(2)我们可以这样定义两平行平面的距离．

由问题(1)可知，对于两个平行的平面α，β一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平

行平面的公垂线段，如图所示，如果AA′，BB′都是平面α与β的公垂线段，那么AA′∥BB′.根据两个平面平行的性质定理，有AB∥A′B′，所以四边形AA′B′B是平行四边形，故AA′＝BB′.由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等．因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离．

题型一线面垂直的判定定理的应用

【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．

分析：要证B1O⊥平面PAC，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线．

反思：(1)正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一．

本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直．

(2)证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论．

题型二线面垂直性质的应用

【例2】如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.

(1)求证：AF ⊥SC ；

(2)若平面AEF 交SD 于点G ，求证：AG ⊥SD ． 分析：线线垂直通常由线面垂直来证．

反思：线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为： 线面垂直――→定义

线线垂直――→判定定理

线面垂直――→定义

线线垂直

题型三 有关平行、垂直的综合问题 【例3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．

(1)求证：FH ∥平面EDB ；

(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B －DEF 的体积．

分析：(1)证明E 与底面中心G 的连线和FH 平行即可；

(2)先证FH 是平面ABCD 的垂线，再说明AC ⊥BD 与AC ⊥EG 即可得证； (3)关键是抓住四面体的高BF ，再运用体积公式求解．

反思：有关平行、垂直的综合问题，关键要理清几何体的有关线段长度及位置关系，然后再根据目标逐一寻找关键要素，如(1)问中关键是求一平行线，(2)问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡，(3)问中的关键是找准高．

题型四 易错辨析

【例4】已知：线段AB 的中点为O ，O ∈平面α. 求证：A ，B 两点到平面α的距离相等．

错解：如图所示，过点A ，B 作平面α的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则AA 1，BB 1分别是点A ，B 到平面α的距离．又在Rt △AOA 1和Rt △BOB 1中，AO ＝BO ，∠B 1OB ＝∠AOA 1，

∴Rt △AOA 1≌Rt △BOB 1，