人教B版数学高一必修2学案1.2.3空间中的垂直关系第一课时

数学人教B 必修2第一章1.2.3 空间中的垂直关系第
一课时
1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质，并能利用以上定理和性质解决空间中的相关垂直性问题．
把直线AB 画成和表示
平面的平行四边形的
一边________.
【做一做1】如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的位置关系为( )．
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．不确定 2．直线与平面垂直的判定定理与推论
(1)判定定理：如果一条直线与平面内的________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线________这个平面．
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．
利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的，因为“任意一条直线”是不方便研究的，因此根据确定平面的条件，找到两条相交直线便可确定一个平面，这样易于判断直线和平面垂直．
【做一做2－1】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( )． A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB
【做一做2－2】已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是( )．
A ．b ⊂平面α
B ．b ⊥平面α
C．b∥平面αD．b与平面α相交但不垂直
1．对直线与平面垂直的理解
剖析：(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直．
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．
(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，如若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．
2．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，探讨这条直线与平面的关系
剖析：给出平面α内的一条直线a，在该平面内与直线a平行的直线有无数条，所有与a垂直的直线，必与a的平行线垂直，却不一定与平面α垂直．如图所示，直线B1C1与平面AC内的直线AB垂直，且在平面AC内与AB平行的所有直线都与B1C1垂直，但直线B1C1∥平面AC．
因此以下两个命题均是错误的，需要引起重视．
命题①：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；
命题②：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．3．教材中的“思考与讨论”
(1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？
(2)如何定义两平行平面的距离？
剖析：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求证：α∥β.
证明：如图所示，设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β相交于直线b，b′和a，a′.
∵AA′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a，AA′⊥a′.
AA′，a，a′都在平面δ内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．
∴a∥a′，∴a′∥α(线面平行的判定定理)．
同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β.
(2)我们可以这样定义两平行平面的距离．
由问题(1)可知，对于两个平行的平面α，β一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平
行平面的公垂线段，如图所示，如果AA′，BB′都是平面α与β的公垂线段，那么AA′∥BB′.根据两个平面平行的性质定理，有AB∥A′B′，所以四边形AA′B′B是平行四边形，故AA′＝BB′.由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等．因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离．
题型一线面垂直的判定定理的应用
【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．
分析：要证B1O⊥平面PAC，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线．
反思：(1)正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一．
本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直．
(2)证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论．
题型二线面垂直性质的应用
【例2】如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF ⊥SC ；
(2)若平面AEF 交SD 于点G ，求证：AG ⊥SD ． 分析：线线垂直通常由线面垂直来证．
反思：线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为： 线面垂直――→定义
线线垂直――→判定定理
线面垂直――→定义
线线垂直
题型三 有关平行、垂直的综合问题 【例3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．
(1)求证：FH ∥平面EDB ；
(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B －DEF 的体积．
分析：(1)证明E 与底面中心G 的连线和FH 平行即可；
(2)先证FH 是平面ABCD 的垂线，再说明AC ⊥BD 与AC ⊥EG 即可得证； (3)关键是抓住四面体的高BF ，再运用体积公式求解．
反思：有关平行、垂直的综合问题，关键要理清几何体的有关线段长度及位置关系，然后再根据目标逐一寻找关键要素，如(1)问中关键是求一平行线，(2)问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡，(3)问中的关键是找准高．
题型四 易错辨析
【例4】已知：线段AB 的中点为O ，O ∈平面α. 求证：A ，B 两点到平面α的距离相等．
错解：如图所示，过点A ，B 作平面α的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则AA 1，BB 1分别是点A ，B 到平面α的距离．又在Rt △AOA 1和Rt △BOB 1中，AO ＝BO ，∠B 1OB ＝∠AOA 1，
∴Rt △AOA 1≌Rt △BOB 1，
∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．
错因分析：一是忽略了AB⊂α的情况说明，二是认为∠AOA1和∠BOB1为对顶角而相等，其实应说明B1，O，A1共线才行．
1将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为()．
A．m⊂α，m∩n＝B，l⊥n，l⊥m⇒l⊥α
B．m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α
C．m⊂α，n⊂α，m∩n＝B⇒l⊥n，l⊥m，l⊥α
D．m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α
2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()．
A．平行B．垂直
C．相交不垂直D．不确定
3下列命题：
①平行于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两直线平行；
③平行于同一直线的两平面平行；
④垂直于同一直线的两平面平行．
其中正确的有()．
A．②和④B．①②和④
C．③和④D．②③和④
4如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为__________．
5如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．
求证：AB⊥平面PCD．
答案：
基础知识·梳理
1．任何直线都垂直AB⊥α垂直垂线垂面垂足垂线段距离任意一条【做一做1】D
2．(1)两条相交(2)也垂直于平行
【做一做2－1】B由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DCB1.
【做一做2－2】B
典型例题·领悟
【例1】证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设其棱长为2a，
因为B1B⊥平面AC，且AC⊂平面AC，
所以B1B⊥AC.又O是正方形ABCD的中心，
所以AC⊥BD.所以AC⊥平面B1BO.
而B1O⊂平面B1BO，所以B1O⊥AC.
又PO2＋OB21＝3a2＋6a2＝9a2，
PD21＋B1D21＝a2＋8a2＝9a2,
PB21＝PD21＋B1D21，所以PO2＋OB21＝PB21.
所以B1O⊥PO.
又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.
【例2】证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，
∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.
∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.
∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，
∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.
∴AG⊥SD.
【例3】(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，由于H为
BC的中点，故GH 1
2AB.又EF
1
2AB，∴EF GH.∴四边形EFHG为平行四边形．
∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，
∴FH∥平面EDB.
(2)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC. 又EF∥AB，∴EF⊥BC.
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.
∴AB⊥FH.
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.
又FH∥EG，∴AC⊥EG.
又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. (3)解：∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，
∴BF⊥平面CDEF.
∴BF为四面体B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2.
V B－DEF＝1
3×
1
2×1×2×2＝
1
3.
【例4】正解：(1)当线段AB⊂平面α时，显然A，B到平面α的距离均为0，相等．
(2)当AB⊄平面α时，如图，分别过点A，B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1，BB1分别是点A，B到平面α的距离，且AA1∥BB1.
∴AA1与BB1确定一个平面，设为β，则α∩β＝A1B1.∵O∈AB，AB⊂β，∴O∈β.
又∵O∈α，∴O∈A1B1.
∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O.
∵∠AOA1＝∠BOB1，AO＝BO，
∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O.∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．
随堂练习·巩固
1．B
2．B一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．
3．A
4．21cm∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.
又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，C为垂足，
∴BC即为B到平面PAC的距离．在Rt△ABC中，
BC＝AB2－AC2＝52－22＝21(cm)．
5．证明：∵α∩β＝AB，PC⊥α，
∴PC⊥AB.同理PD⊥AB.
又PC∩PD＝P，PC，PD⊂平面PCD，
∴AB⊥平面PCD.。