命题公式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲 命题公式
主讲人 吴杰
中国地质大学计算机学院
离散数学 中国地质大学 计算机学院
1
主要内容
1 命题的基本概念 2 命题联结词及真值表
3 命题公式与命题符号化
4 命题公式的分类 5 命题公式的等值演算 6 范式
离散数学 中国地质大学 计算机学院
2
1.1 命题与联结词 命题
能够分辨真假的陈述句叫做命题(Proposition)。 该定义有两层含义： (1)命题是陈述句。其他的语句，如疑问句、祈使 句、感叹句均不是命题； (2)这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不 是真就是假，不能不真也不假，也不能既真又假
化）成逻辑语言，即命题公式。然后再根据逻辑 演算规律进行推理演算。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
13
1.2 命题公式
命题符号化 指把一个用自然语言叙述的命题相应 地写成由命题变元、联结词和圆括号表示 的命题公式。符号化应该注意下列事项： 确定给定句子是否为命题。 句子中连词是否为命题联结词。 要正确地表示原子命题和适当选择命题联 结词。
是二元联结词。相当于自然
P
Q
P ∧Q
语言中的“与” 、“并且” 、 0
0
1 0 1
0
0 0 1
“而且” 、“也”等，真值表 0
如右图。
1 1
离散数学 中国地质大学 计算机学院
8
1.1 命题与联结词
析取词“∨” 析取词（Disjunction）
是二元联结词。相当于自然
语言中的“或”、“要么…
P 0 0
6
1.1 命题与联结词
命题联结词及真值表 否定词“¬ ”（或“”） 否定词（Negation） 是一元联结词。相当于自 然语言中的“非”、“不”等， 真值表如右图。
P 0 1 ¬P 1 0
离散数学 中国地质大学 计算机学院
7
1.1 命题与联结词
合取词“∧” 合取词（Conjunction）
5
1.1 命题与联结词
命题常元 命题变元 真值确定的原子命题称为命题常元。 真值不确定的原子命题称为命题变元。
如果命题符号P代表命题常元则意味它是某个
具体命题的符号化，如果P代表命题变元则意味着
它可指代任何具体命题。本书中如果没有特别指
明，通常来说命题符号P等是命题变元，即可指代 任何命题。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
32
1.4 范式
原子命题“P”及其否定“P”统称文字。 文字或者一些文字的合取称为质合取式。 文字或者一些文字的析取称为质析取式(或 称子句)。 P与P称为互补对。 例如，P，P，PQ，PQR等都是 质合取式， P，Q，PQ， PQR等都是 质析取式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
离散数学 中国地质大学 计算机学院
14
1.2 命题公式
命题公式的分类
变元组：设n元公式α中所含有的不同命题 元为P1,P2,…,Pn，我们把这些命题变元组成 的变元组(P1,P2,…,Pn)称为α的变元组。 完全指派：α的变元组(P1,P2,…,Pn)的任意 一组确定的值都称为该公式α关于该变元组 (P1,P2,…,Pn)的完全指派。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
17
1.2 命题公式
子公式（Sub Formula）：设α 为命题公式，β
为α 中的一个连续的符号串，且β 为命题公式，
则称β 为α 的子公式。
例如，设公式α =(PQ)→(P(QR))，则
(PQ)，(QR)，(P(QR))等都是α 的子公式，
而(PQ)→，(P(Q，(QR))等都不是α 的子公
离散数学 中国地质大学 计算机学院
19
1.2 命题公式
对定义的几点说明 1）α 是可满足式的等价定义是：α 至少存在一个 成真指派。 2）重言式一定是可满足式，但反之不真。因而，
若公式 α 是可满足式，且它至少存在一个成假指
派，则称α 为非重言式的可满足式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
20
仍为重言式
与原公式等值
31
1.3 等值演算
限制性命题公式 如果命题公式 α 中只出现命题变元、命题常元、 命题联结词、和，则称α为限制性命题公式。 对偶式 在限制性公式α 中，将联结词换成，将换 成，将0换成1，将1换成0，所得到的公式称为α 的对偶式，记为α *。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
离散数学 中国地质大学 计算机学院
25
1.3 等值演算
（6）德摩根律 (α β )α β ，
(α β )α β
（7）吸收律
α (α β )α ， α (α β )α
（8）零一律
α 11， α 00
离散数学 中国地质大学 计算机学院
26
1.3 等值演算
（9）同一律 α 0α ， α 1α （10）排中律 α α 1 （11）矛盾律 α α 0 （12）蕴含等值式 α β α β
离散数学 中国地质大学 计算机学院
27
1.3 等值演算
（13）假言易位 α β β α （14）等价等值式 α β (α β )(β α )， α β (α β )(α β ) （15）等价否定等值式 α β α β （16）归谬论 (α β )(α β )α
离散数学 中国地质大学 计算机学院
28
1.3 等值演算
等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的过
程称为等值演算。
代入定理
对于重言式中的任一命题变元出现的每一处 均用同一命题公式代入，得到的仍是重言式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
29
1.3 等值演算
置换定理 设A是公式α 的一个子公式且AB。如 果将公式α 中的子公式A置换成公式B之后， 得到的公式是β ，则α β 。
式，因为它们本身不是公式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
18
1.2 命题公式
重言式/永真式（Tautology）：若公式α 的所有 完全指派均是成真指派，则公式α 称为重言式或 永真式。
矛盾式/永假式（Absurdity）：若公式α 的所有 完全指派均是成假指派，则公式α 称为矛盾式或 永假式。 可满足式（Contingency）：若公式α 中有成真 指派，则公式α 称为可满足式。
Q 0 1
P∨ Q 0 1
要么…”等，真值表如右图。
1
1
0
1
1
1
离散数学 中国地质大学 计算机学院
9
1.1 命题与联结词
蕴含词“” 蕴含词（Implication）
P Q 0 P Q 1
是二元联结词。相当于自然 …就…”、“只有…才…”，
真值表如右图。
语言中的“若…则…”、“如果 0
0
1 1
离散数学 中国地质大学 计算机学院
23
1.3 等值演算
下面给出16组重要的等值式（在后面的推理
演算中以大写字母E加以引用），这些等值式也称
作命题定律，其正确性可以用真值表加以证明。 （1）双重否定律 α (α ) （2）等幂律 α α α ， α α α
离散数学 中国地质大学 计算机学院
24
1.3 等值演算
（3）交换律 α β β α ， α β β α
（4）结合律
( α β ) γ α ( β γ ) ，
(α β )γ α (β γ )
（5）分配律
α (β γ )(α β )(α γ )（对的分配律）
α (β γ )(α β )(α γ )（对的分配律）
离散数学 中国地质大学 计算机学院
30
1.3 等值演算
比较代入定理和置换定理的区别:
代入定理 使用 对象 代换 对象 代换 物 代换 方式 代换 结果
离散数学 中国地质大学 计算机学院
置换定理 任一命题公式
任意重言式
任一命题变元
任一子公式
任一命题公式 代换同一命题变元的所有出现
任一与代换对象等值的命题公 式 代换子公式的某些出现
若干个质析取式的合取式称为合取范式。亦 即该公式具有形式α 1α 2…α n，其中 α i(i=1,2,…,n)为质析取式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
1
0 1
1
0 1
离散数学 中国地质大学 计算机学院
10
1.1 命题与联结词
等价词“ ” 等价词（Equivalence） P 是二元联结词。相当于自然语 0 言中的“等价”、“当且仅当”、 0 “充要条件”等，真值表如右图。
1 1 Q 0 PQ 1
1
0 1
0
0 1
我们给联结词规定优先级顺序：的优先级最 高，接着依次是，，→和。
原子命题（Automic Proposition）：是指不能再
分解为更简单命题的命题；
复合命题（Compound Proposition）：是指由若
干命题用联结词组成的新命题。
例如“雪是白的”是原子命题；“昨天下雨，
而且打雷”，“如果明天天晴我就去打球或者游
泳”都是复合命题。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
33
1.4 范式
定理 （1）质合取式为矛盾式的充要条件：它包 含有一个互补对； （ 2 ）质析取式为重言式的充要条件：它包 含有一个互补对。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
34
1.4 范式
析取范式与合取范式
若干个质合取式的析取式称为析取范式。亦 即该公式具有形式α 1α 2…α n，其中 α i(i=1,2,…,n)为质合取式。
离散数学来自百度文库中国地质大学 计算机学院
15
1.2 命题公式
部分指派：如果仅对变元组中部分变元赋以确定
的值，其余变元没有赋以确定的值，则这样的一
组值称为该公式α关于该变元组(P1,P2,…,Pn)的部 分指派。 例 设α =(P(Q→R))S，其变元组为(P,Q,R,S)。
(P,Q,R,S)=(1,0,1,1)为α 的完全指派，
（4）只有有限次地利用（1）—（3）形成的符号
串才是命题公式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
12
1.2 命题公式
例如，(PQ)，P→(PQ)等都是命题公式， 而CP→Q，R→P等不是命题公式。
命题逻辑里讨论的对象是命题公式，而日常
生活中的推理问题是用自然语言描述的，因此要
进行推理演算必须先把自然语言符号化（或形式
1.2 命题公式
3）真值表可用来判断公式的类型： ①若真值表最后一列全为1，则公式为重言式；
②若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式；
③若真值表最后一列中至少有一个 1，则公式为
可满足式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
21
1.3 等值演算
等值式
设α ，β 是两个命题公式，若α ，β
构成的等价式α β 为重言式，则称公式
α 与β 是等值（Equivalent）的，记作
α β 。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
22
1.3 等值演算
注意： 定义中给出的符号与是两个完全 不同的符号。不是命题联结词而是公式 间的关系符号，αβ不表示一个公式，即 不代表命题，它表示公式α与公式β有等值 关系，而是命题联结词，αβ是一个公 式，表示某个命题。然而这两者之间有密 切的联系，即αβ的充要条件是公式αβ 为重言式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
11
1.2 命题公式
命题公式（Propositional Formula）归纳定义如下： （1）命题变元是命题公式； （2）如果α是命题公式，则α也是命题公式； （ 3 ）如果 α 和 β 是命题公式，则 αβ ， αβ ， α→β ， αβ均是命题公式；
离散数学 中国地质大学 计算机学院
3
1.1 命题与联结词
作为命题的陈述句所表示的判断结果称为命 题的真值，真值只取两个值：真或假。凡是与事
实相符的陈述句是真命题，而与事实不符合的陈
述句是假命题。通常用1（或字母T）表示真，用
0（或字母F）表示假。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
4
1.1 命题与联结词 命题的分类
(P,Q,R,S)=(0,0,1,S)为α 的部分指派。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
16
1.2 命题公式
成真指派 对于任一公式α ，凡使得α 为真的指派，不 管是完全指派还是部分指派，都称为α 的成真指 派。 成假指派 凡使得α 为假的指派，也不管是完全指派还 是部分指派，都称为α 的成假指派。 例 设α =(P→(QR))(RS)，则完全指派 (P,Q,R,S)=(0,1,0,1)和部分指派 (P,Q,R,S)=(0,1,0,S)都是α 的成真指派，而指派 (P,Q,R,S)=(1,0,1,0)为α 的成假指派。
主讲人 吴杰
中国地质大学计算机学院
离散数学 中国地质大学 计算机学院
1
主要内容
1 命题的基本概念 2 命题联结词及真值表
3 命题公式与命题符号化
4 命题公式的分类 5 命题公式的等值演算 6 范式
离散数学 中国地质大学 计算机学院
2
1.1 命题与联结词 命题
能够分辨真假的陈述句叫做命题(Proposition)。 该定义有两层含义： (1)命题是陈述句。其他的语句，如疑问句、祈使 句、感叹句均不是命题； (2)这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不 是真就是假，不能不真也不假，也不能既真又假
化）成逻辑语言，即命题公式。然后再根据逻辑 演算规律进行推理演算。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
13
1.2 命题公式
命题符号化 指把一个用自然语言叙述的命题相应 地写成由命题变元、联结词和圆括号表示 的命题公式。符号化应该注意下列事项： 确定给定句子是否为命题。 句子中连词是否为命题联结词。 要正确地表示原子命题和适当选择命题联 结词。
是二元联结词。相当于自然
P
Q
P ∧Q
语言中的“与” 、“并且” 、 0
0
1 0 1
0
0 0 1
“而且” 、“也”等，真值表 0
如右图。
1 1
离散数学 中国地质大学 计算机学院
8
1.1 命题与联结词
析取词“∨” 析取词（Disjunction）
是二元联结词。相当于自然
语言中的“或”、“要么…
P 0 0
6
1.1 命题与联结词
命题联结词及真值表 否定词“¬ ”（或“”） 否定词（Negation） 是一元联结词。相当于自 然语言中的“非”、“不”等， 真值表如右图。
P 0 1 ¬P 1 0
离散数学 中国地质大学 计算机学院
7
1.1 命题与联结词
合取词“∧” 合取词（Conjunction）
5
1.1 命题与联结词
命题常元 命题变元 真值确定的原子命题称为命题常元。 真值不确定的原子命题称为命题变元。
如果命题符号P代表命题常元则意味它是某个
具体命题的符号化，如果P代表命题变元则意味着
它可指代任何具体命题。本书中如果没有特别指
明，通常来说命题符号P等是命题变元，即可指代 任何命题。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
32
1.4 范式
原子命题“P”及其否定“P”统称文字。 文字或者一些文字的合取称为质合取式。 文字或者一些文字的析取称为质析取式(或 称子句)。 P与P称为互补对。 例如，P，P，PQ，PQR等都是 质合取式， P，Q，PQ， PQR等都是 质析取式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
离散数学 中国地质大学 计算机学院
14
1.2 命题公式
命题公式的分类
变元组：设n元公式α中所含有的不同命题 元为P1,P2,…,Pn，我们把这些命题变元组成 的变元组(P1,P2,…,Pn)称为α的变元组。 完全指派：α的变元组(P1,P2,…,Pn)的任意 一组确定的值都称为该公式α关于该变元组 (P1,P2,…,Pn)的完全指派。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
17
1.2 命题公式
子公式（Sub Formula）：设α 为命题公式，β
为α 中的一个连续的符号串，且β 为命题公式，
则称β 为α 的子公式。
例如，设公式α =(PQ)→(P(QR))，则
(PQ)，(QR)，(P(QR))等都是α 的子公式，
而(PQ)→，(P(Q，(QR))等都不是α 的子公
离散数学 中国地质大学 计算机学院
19
1.2 命题公式
对定义的几点说明 1）α 是可满足式的等价定义是：α 至少存在一个 成真指派。 2）重言式一定是可满足式，但反之不真。因而，
若公式 α 是可满足式，且它至少存在一个成假指
派，则称α 为非重言式的可满足式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
20
仍为重言式
与原公式等值
31
1.3 等值演算
限制性命题公式 如果命题公式 α 中只出现命题变元、命题常元、 命题联结词、和，则称α为限制性命题公式。 对偶式 在限制性公式α 中，将联结词换成，将换 成，将0换成1，将1换成0，所得到的公式称为α 的对偶式，记为α *。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
离散数学 中国地质大学 计算机学院
25
1.3 等值演算
（6）德摩根律 (α β )α β ，
(α β )α β
（7）吸收律
α (α β )α ， α (α β )α
（8）零一律
α 11， α 00
离散数学 中国地质大学 计算机学院
26
1.3 等值演算
（9）同一律 α 0α ， α 1α （10）排中律 α α 1 （11）矛盾律 α α 0 （12）蕴含等值式 α β α β
离散数学 中国地质大学 计算机学院
27
1.3 等值演算
（13）假言易位 α β β α （14）等价等值式 α β (α β )(β α )， α β (α β )(α β ) （15）等价否定等值式 α β α β （16）归谬论 (α β )(α β )α
离散数学 中国地质大学 计算机学院
28
1.3 等值演算
等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的过
程称为等值演算。
代入定理
对于重言式中的任一命题变元出现的每一处 均用同一命题公式代入，得到的仍是重言式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
29
1.3 等值演算
置换定理 设A是公式α 的一个子公式且AB。如 果将公式α 中的子公式A置换成公式B之后， 得到的公式是β ，则α β 。
式，因为它们本身不是公式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
18
1.2 命题公式
重言式/永真式（Tautology）：若公式α 的所有 完全指派均是成真指派，则公式α 称为重言式或 永真式。
矛盾式/永假式（Absurdity）：若公式α 的所有 完全指派均是成假指派，则公式α 称为矛盾式或 永假式。 可满足式（Contingency）：若公式α 中有成真 指派，则公式α 称为可满足式。
Q 0 1
P∨ Q 0 1
要么…”等，真值表如右图。
1
1
0
1
1
1
离散数学 中国地质大学 计算机学院
9
1.1 命题与联结词
蕴含词“” 蕴含词（Implication）
P Q 0 P Q 1
是二元联结词。相当于自然 …就…”、“只有…才…”，
真值表如右图。
语言中的“若…则…”、“如果 0
0
1 1
离散数学 中国地质大学 计算机学院
23
1.3 等值演算
下面给出16组重要的等值式（在后面的推理
演算中以大写字母E加以引用），这些等值式也称
作命题定律，其正确性可以用真值表加以证明。 （1）双重否定律 α (α ) （2）等幂律 α α α ， α α α
离散数学 中国地质大学 计算机学院
24
1.3 等值演算
（3）交换律 α β β α ， α β β α
（4）结合律
( α β ) γ α ( β γ ) ，
(α β )γ α (β γ )
（5）分配律
α (β γ )(α β )(α γ )（对的分配律）
α (β γ )(α β )(α γ )（对的分配律）
离散数学 中国地质大学 计算机学院
30
1.3 等值演算
比较代入定理和置换定理的区别:
代入定理 使用 对象 代换 对象 代换 物 代换 方式 代换 结果
离散数学 中国地质大学 计算机学院
置换定理 任一命题公式
任意重言式
任一命题变元
任一子公式
任一命题公式 代换同一命题变元的所有出现
任一与代换对象等值的命题公 式 代换子公式的某些出现
若干个质析取式的合取式称为合取范式。亦 即该公式具有形式α 1α 2…α n，其中 α i(i=1,2,…,n)为质析取式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
1
0 1
1
0 1
离散数学 中国地质大学 计算机学院
10
1.1 命题与联结词
等价词“ ” 等价词（Equivalence） P 是二元联结词。相当于自然语 0 言中的“等价”、“当且仅当”、 0 “充要条件”等，真值表如右图。
1 1 Q 0 PQ 1
1
0 1
0
0 1
我们给联结词规定优先级顺序：的优先级最 高，接着依次是，，→和。
原子命题（Automic Proposition）：是指不能再
分解为更简单命题的命题；
复合命题（Compound Proposition）：是指由若
干命题用联结词组成的新命题。
例如“雪是白的”是原子命题；“昨天下雨，
而且打雷”，“如果明天天晴我就去打球或者游
泳”都是复合命题。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
33
1.4 范式
定理 （1）质合取式为矛盾式的充要条件：它包 含有一个互补对； （ 2 ）质析取式为重言式的充要条件：它包 含有一个互补对。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
34
1.4 范式
析取范式与合取范式
若干个质合取式的析取式称为析取范式。亦 即该公式具有形式α 1α 2…α n，其中 α i(i=1,2,…,n)为质合取式。
离散数学来自百度文库中国地质大学 计算机学院
15
1.2 命题公式
部分指派：如果仅对变元组中部分变元赋以确定
的值，其余变元没有赋以确定的值，则这样的一
组值称为该公式α关于该变元组(P1,P2,…,Pn)的部 分指派。 例 设α =(P(Q→R))S，其变元组为(P,Q,R,S)。
(P,Q,R,S)=(1,0,1,1)为α 的完全指派，
（4）只有有限次地利用（1）—（3）形成的符号
串才是命题公式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
12
1.2 命题公式
例如，(PQ)，P→(PQ)等都是命题公式， 而CP→Q，R→P等不是命题公式。
命题逻辑里讨论的对象是命题公式，而日常
生活中的推理问题是用自然语言描述的，因此要
进行推理演算必须先把自然语言符号化（或形式
1.2 命题公式
3）真值表可用来判断公式的类型： ①若真值表最后一列全为1，则公式为重言式；
②若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式；
③若真值表最后一列中至少有一个 1，则公式为
可满足式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
21
1.3 等值演算
等值式
设α ，β 是两个命题公式，若α ，β
构成的等价式α β 为重言式，则称公式
α 与β 是等值（Equivalent）的，记作
α β 。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
22
1.3 等值演算
注意： 定义中给出的符号与是两个完全 不同的符号。不是命题联结词而是公式 间的关系符号，αβ不表示一个公式，即 不代表命题，它表示公式α与公式β有等值 关系，而是命题联结词，αβ是一个公 式，表示某个命题。然而这两者之间有密 切的联系，即αβ的充要条件是公式αβ 为重言式。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
11
1.2 命题公式
命题公式（Propositional Formula）归纳定义如下： （1）命题变元是命题公式； （2）如果α是命题公式，则α也是命题公式； （ 3 ）如果 α 和 β 是命题公式，则 αβ ， αβ ， α→β ， αβ均是命题公式；
离散数学 中国地质大学 计算机学院
3
1.1 命题与联结词
作为命题的陈述句所表示的判断结果称为命 题的真值，真值只取两个值：真或假。凡是与事
实相符的陈述句是真命题，而与事实不符合的陈
述句是假命题。通常用1（或字母T）表示真，用
0（或字母F）表示假。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
4
1.1 命题与联结词 命题的分类
(P,Q,R,S)=(0,0,1,S)为α 的部分指派。
离散数学 中国地质大学 计算机学院
16
1.2 命题公式
成真指派 对于任一公式α ，凡使得α 为真的指派，不 管是完全指派还是部分指派，都称为α 的成真指 派。 成假指派 凡使得α 为假的指派，也不管是完全指派还 是部分指派，都称为α 的成假指派。 例 设α =(P→(QR))(RS)，则完全指派 (P,Q,R,S)=(0,1,0,1)和部分指派 (P,Q,R,S)=(0,1,0,S)都是α 的成真指派，而指派 (P,Q,R,S)=(1,0,1,0)为α 的成假指派。