结构力学 8.位移法(李廉锟_结构力学)解析
力法李廉锟结构力学中南大学PPT课件
§7-4 力法的典型方程
作剪力图的原则是, 截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。
杆AC:
杆CB:
2M/5
C FSCA
3 M / 5 FS CB
C
2 M/5 C
FS BC
B
B
3M/5
A FSAC
M/ 5
M
A M/5
l/2
C
B
6M /5l
FS
A
l/ 2
第36页/共206页
l
3M/ 5l
l
§7-4 力法的典型方程
3）框格法
一个封闭无铰框格
n3
m个封闭
无铰框格
n 3 5 15
第16页/共206页
§7-2 超静定次数的确定
若有铰
h — 单铰数，则
n 3m h
注意：
n 359 6
多少个封闭无铰框格？
第17页/共206页
§7-2 超静定次数的确定 三、计算示例
n6
拆除多余联系变成的静 定结构形式：
第18页/共206页
（6）去掉一个连接n个杆件的刚结点，等于拆掉3(n-1)个约束。
第13页/共206页
§7-2 超静定次数的确定
（7）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。 （8）只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。
注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式，但解除约束的 个数是相同的, 解除约束后的体系必须是几何不变的。
（a）
第30页/共206页
§7-4 力法的典型方程
将
，
，
代入（b）式， 得两次超静定的力法基本方程
（b） （c）
第31页/共206页
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第6章结构位移计算【圣才出品】
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第6章结构位移计算【圣才出品】第6章结构位移计算6.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、结构位移的基本概念（见表6-1-1）★★表6-1-1 结构位移的基本概念二、刚体的虚功原理★★★平衡方程是一种直接的受力分析方法，而虚功原理是一种间接手法。
虚功原理是（任意平衡力系）在（任意可能位移）上所做的总虚功为零。
根据虚设对象不同，刚体的虚功原理分两种应用形式（虚力原理、虚位移原理），具体见表6-1-2。
表6-1-2 刚体的虚功原理三、变形体系的虚功原理（见表6-1-3）★★★表6-1-3 变形体系的虚功原理四、位移计算的一般公式单位荷载法★★★★★基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通过虚力原理中的单位荷载法推导其拉伸、剪切、弯曲变形公式，再对这些局部变形公式进行叠加，得到整体变形公式，最后通过虚功方程推导出位移计算公式，见表6-1-4。
表6-1-4 单位荷载法求变形体系的位移注：为虚设单位荷载在支座处引起的反力；、N、Error!S分别为单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。
拟求位移Δ可以引申理解为广义位移，将结构位移广义化，可以求解两点之间的广义位移。
广义位移、广义单位荷载和外力虚功三者之间满足：W＝1·Δ。
单广义位移分类及单位荷载施加方式见表6-1-5。
表6-1-5 单广义位移分类及单位荷载施加方式五、静定结构在荷载作用下的位移计算（见表6-1-6）★★★★表6-1-6 静定结构在荷载作用下的位移计算注：G为材料的切变模量；A为杆件截面的面积；k为切应力沿截面分布不均匀而引用的改正系数（考试作为已知条件）。
六、图乘法（见表6-1-7）★★★★★。
结构力学第五版 李廉锟 结构位移计算1图文
(1)对静定将结构 ，X /这里C 实a际/ 用b 代的是入刚得体:虚位移原X理，实bP质/上a是
实际受力通状常态取的平衡方程 1 MB 0
(2)虚位移与实际力状态X无关,故可设x
单位位移法
x 1
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
(4)用几何法来解静力平衡问题
第六章 结构位移的计算
力F2所引起的，我们把力在由其他因素引起的位移上所
做的功称为虚功。
F
F
Δ11
Δ12
Δ22
第六章 结构位移的计算
在虚功中，既然做功的力和 相应的位移是彼此无因果关系的 两个因素，所以，可将二者看成 是同一结构的两种独立无关的状 态。其中，力系所属的状态称为 力状态[图(a)]，位移所属的状态 称为位移状态[图(b)]。
第六章 结构位移的计算
要求静定结构的位移，必先求出静定结构的内 力。因此本章可以说是对前面所学的各类静定结构 的内力计算的复习。同时，位移计算又是下章即将 开始学习的超静定结构的基础。
因而,从全课程来看，本章是承上启下的一章， 也是十分重要的内容。
第六章 结构位移的计算
§6-1 概述
1、变形和位移 变形——结构（或其一部分）形状的改变（变形是泛指，有
从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一 个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位 移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可 有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积 却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛 顿米(N·m)或千牛顿米(kN·m)。
第六章 结构位移的计算
既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可 将功分为两种情况：
W总=W刚+W变（W刚=0 刚体虚功原理）
结构力学李廉锟版-矩阵位移法
结构力学
u j 1 v j 1 j 1
EA l 0 0 EA l 0 0 12 EI 6 EI 3 l l2 6 EI 2 EI 2 l l 0 0 12 EI 6 EI 2 l3 l 6 EI 4 EI 2 l l 66 0 0
ui 1
EA l 0 0 e [K ] EA l 0 0
结构力学
u j 1 v j 1 j 1
EA l 0 0 EA l 0 0 12 EI 6 EI 3 l l2 6 EI 2 EI 2 l l 0 0 12 EI 6 EI 2 l3 l 6 EI 4 EI 2 l l 66 0 0
e i e e j
(v je vie )
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21:32
§10-2 单元刚度矩阵
Fxie Fe yi M e i Fe xj Fe yj M e j
{δe } ui vi uj v j (10-4)
T
v1
其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对 应的关系。
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§10-1 概述
4. 结点力和结点位移
结构力学
作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方 向分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。 与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵 位移法的基本未知量。 注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。
2
3
1
4
1
4
2
3
结构力学第8章位移法(f).
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。
原结构的静力平衡条件
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。
r11 7i
6i r12 l
Fl R1P 8
6i r21 l
15i r22 2 l
F R2 P 2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。
自由项 作
位移法基本方程
Z1 1 及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。
由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN· m
i
EI 8m
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
将 r11和R1P代入方程求出
R1P 4kN m Z1 r11 i
r11Z1 r1i Z i r1n Z n R1P 0 ri1Z1 rii Z i rin Z n RiP 0 rn1Z1 rni Z i rnn Z n RnP 0
结构力学中使用位移法来解决带有无限刚性杆结构的解法
结构力学中使用位移法来解决带有无限刚性杆结构的解法【摘要】主要介绍使用位移法来解决带有无限刚性杆件的复杂结构以及由于刚性杆的存在使得结构在发生位移时会产生复杂的牵连位移。
【关键词】位移法无限刚性杆牵连位移1 前言位移法是以结构的节点位移作为基本未知量来求解结构的受力状态。
在解决一般的超静定次数多，用力法不好解决的刚架、桁架以及组合结构中运用的相当广泛。
一般的结构用位移法都好解决，但是带有无限刚性杆的结构就不是那么容易解决的了。
要解决这类问题，第一，我们要了解结构的特点以及支座的类型从而可以判断出该结构的自由度数以及基本未知量。
第二，要了解无限刚性杆在这个结构中处于什么作用？当结构产生位移时，这个无限刚性杆是不是参与进去？如果参与进去将会产生何种位移以及连接在该刚性杆上的杆件会产生什么样的牵连位移？第三，确定好这些内容后，就可以增加相应的约束，以及根据几何关系来确定牵连位移。
所谓的牵连位移，是指由于某些附加条件，使得节点位移之间相互不独立，或者说它们之间存在一定的牵连关系。
如图1所示：如果忽略杆件的轴向变形，那么无论荷载情况如何，根据几何学的原理均可以判定C、D两节点的线位移均在水平方向，而且肯定是相等的，这是很简单的牵连位移。
复杂的牵连位移是指相互不独立的结点位移之间并非简单地相等，它们之间的关系可以用数学表达式表达。
牵连关系可以发生在线位移之间，也可以发生在线位移和角位移之间。
下面我们就用一道例题来详细讲解一下。
2 例题分析如图2所示，该结构为一平面刚架，杆AC、CD、CE长为L，CP长为0.5L，其中P处受一集中力F的作用，刚度EI为常数，其中DB杆的刚度为无穷大。
试用位移法作出该结构的弯矩图。
解：由图可知该结构有三个自由度，分别是E点、C点的角位移以及D点的线位移，因为有刚性杆的存在，当D点向左移动单位位移1时与D连接的杆件DE和DC也会相应的产生角位移和线位移这就构成了复杂的牵连位移，下面我们来一一作为解析。
结构力学 8.位移法(李廉锟_结构力学)解析
结构力学
2. 基本结构的确定
Z2
Z2
1
Z1
Z2
Z11
Z1 q Z1
1
Z2
3
Z1
Z2
Z2
1
Z1
Z11
Z1
Z1
q
Z1
3
Z2
3
Z2
1
基本结构
31
3
基本结构
2
2
2
2
2
1) 附加刚臂 (用符号“ ”表示) 只控制结点转 动，不控制结点移动。
2)附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动， 不控制结点转动。
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二、位移法思路
B
B B
FC
l
A
l/ 2 l/ 2
结构力学
B
B B
A
B
F
B
θB为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。
由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移θB。 将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆
端弯矩为：
M BC
4EI l
B
Fl 8
M CB
2EI l
B
Fl 8
M BA
4EI l
杆端剪力的一般为
FSAB
6iAB l
( A
B
2
ΔAB l
)
FF SAB
FSBA
6iAB l
( A
B
2
ΔAB l
)
FF SBA
（8-3）
中南 等截面直杆的转角位移方程 结构力学
2、一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB
A
F
A
EI A
结构力学 位移法
n EAi 2 ∑ ⋅ sin α i ∆ = F p li i =1
荷载之间的关系。 荷载之间的关系。 由基本方程得
(e)
上式就是位移法的基本方程 位移法的基本方程， 上式就是位移法的基本方程，它反映了结构的结点位移与结构的结点
Fp ∆= n EAi ⋅ sin2 αi ∑l i =1 i
由虎克定律得
(b)
图(a)
ui =
则：FN i
FN i l i EAi
(c)
∆
ui
EAi = u i (u i = ∆ sin α i ) (d) li
图(c)
上式就是拉压杆的刚度方程 它反映了杆端力F 与杆端位移u 拉压杆的刚度方程， 上式就是拉压杆的刚度方程，它反映了杆端力 N i与杆端位移 i 之间的 关系。 式代入(a)式得 关系。把(d)式代入 式得 式代入
F
p
2 1
Z
1
Z
1
Z
1
3
图(b) 图(a)
图(c)
如果能求出转角Z 则各杆（ 杆 如果能求出转角 1，则各杆（12杆、13杆）的内力均可按前面的 杆 力法求得。因此，在位移法中，以结点位移 作为基本未知量 作为基本未知量， 力法求得。因此，在位移法中，以结点位移Z作为基本未知量，并以 单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时， 单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时， 需要解决下面三个问题： 需要解决下面三个问题： (1)位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量） 位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量） 位移法的基本未知量的数目 (2)单跨超静定梁分析 单跨超静定梁分析 (3)相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解
李廉锟《结构力学》(上册)课后习题详解(8-11章)【圣才出品】
第8章位移法复习思考题1．位移法的基本思路是什么？为什么说位移法是建立在力法的基础之上的？答：（1）位移法的基本思路位移法的基本思路是首先确定原结构的基本未知量，加入附加联系从而得基本结构，令各附加联系发生与结构相同的结点位移；再根据在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力偶或反力均等于零的条件，建立方程，求出未知位移；最后求出结构反力和内力。
（2）位移法是建立在力法的基础之上的原因因为位移法的基本结构是两端固定的或一端固定一端铰支的单跨超静定梁。
位移法进行计算是以这些基本结构为基础的，需要用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力，才能继续进行位移法以后的求解。
2．位移法的基本未知量与超静定次数有关吗？答：位移法的基本未知量与超静定次数无关。
因为位移法的基本未知量是指独立的结点的角位移和独立的结点的线位移，而这两个量与超静定次数并无关系。
3．位移法的典型方程是平衡条件，那么在位移法中是否只用平衡条件就可以确定基本未知量，从而确定超静定结构的内力？在位移法中满足了结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）没有？在力法中又是怎样满足结构的位移条件和平衡条件的？答：（1）在位移法中只用平衡条件就可以确定基本未知量，从而确定超静定结构的内力。
（2）在位移法中已满足结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）。
因为在位移法的假设和取基本未知量时，结构的支承条件和变形连续条件就已经考虑进去了，所以位移法中结构的位移条件自动满足，故只需要平衡条件就可以确定基本未知量了。
（3）力法的典型方程实质上就是满足结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）。
力法是在满足平衡条件下进行分析的，只要结构不破坏，平衡条件会自动满足。
4．在什么条件下独立的结点线位移数目等于使相应铰结体系成为几何不变所需添加的最少链杆数？答：不考虑受弯直杆的轴向变形（即受弯直杆两端距离不变）的条件下，独立的结点线位移数目等于使相应铰结体系成为几何不变所需添加的最少链杆数。
结构力学课件：第八章《位移法》解析
r11Z1+ ···+ r1iZi+ ···+ r1nZn+R1P=0 ····················································
ri 1Z1+ ···+ ri iZi+ ···+ ri nZn+Ri P=0
(8—6）
····················································
FP=20kN MBA
EI 3m 3m
M BA
M BC
(c)
q=2kN/m
EI
6m
(d)
(e)
M
BA
4i B
Pl 8
M BC
3i B
ql 2 8
M BA M BC 0 得:
B
6 7i
17
3)由结点B的平衡条件建立 位移法方程见图(e)
4)计算杆端总弯矩
M
AB
2i(
6) 7i
15
16.72(k N
这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
1
2
例如图示刚架
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返10回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
李廉锟《结构力学》(上册)课后习题详解(8-11章)【圣才出品】
第8章位移法复习思考题1．位移法的基本思路是什么？为什么说位移法是建立在力法的基础之上的？答：（1）位移法的基本思路位移法的基本思路是首先确定原结构的基本未知量，加入附加联系从而得基本结构，令各附加联系发生与结构相同的结点位移；再根据在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力偶或反力均等于零的条件，建立方程，求出未知位移；最后求出结构反力和内力。
（2）位移法是建立在力法的基础之上的原因因为位移法的基本结构是两端固定的或一端固定一端铰支的单跨超静定梁。
位移法进行计算是以这些基本结构为基础的，需要用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力，才能继续进行位移法以后的求解。
2．位移法的基本未知量与超静定次数有关吗？答：位移法的基本未知量与超静定次数无关。
因为位移法的基本未知量是指独立的结点的角位移和独立的结点的线位移，而这两个量与超静定次数并无关系。
3．位移法的典型方程是平衡条件，那么在位移法中是否只用平衡条件就可以确定基本未知量，从而确定超静定结构的内力？在位移法中满足了结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）没有？在力法中又是怎样满足结构的位移条件和平衡条件的？答：（1）在位移法中只用平衡条件就可以确定基本未知量，从而确定超静定结构的内力。
（2）在位移法中已满足结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）。
因为在位移法的假设和取基本未知量时，结构的支承条件和变形连续条件就已经考虑进去了，所以位移法中结构的位移条件自动满足，故只需要平衡条件就可以确定基本未知量了。
（3）力法的典型方程实质上就是满足结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）。
力法是在满足平衡条件下进行分析的，只要结构不破坏，平衡条件会自动满足。
4．在什么条件下独立的结点线位移数目等于使相应铰结体系成为几何不变所需添加的最少链杆数？答：不考虑受弯直杆的轴向变形（即受弯直杆两端距离不变）的条件下，独立的结点线位移数目等于使相应铰结体系成为几何不变所需添加的最少链杆数。
李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【课后习题】(位移法)【圣才出品】
第8章位移法复习思考题1．位移法的基本思路是什么？为什么说位移法是建立在力法的基础之上的？答：（1）位移法的基本思路位移法的基本思路是首先确定原结构的基本未知量，加入附加联系从而得基本结构，令各附加联系发生与结构相同的结点位移；再根据在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力偶或反力均等于零的条件，建立方程，求出未知位移；最后求出结构反力和内力。
（2）位移法是建立在力法的基础之上的原因因为位移法的基本结构是两端固定的或一端固定一端铰支的单跨超静定梁。
位移法进行计算是以这些基本结构为基础的，需要用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力，才能继续进行位移法以后的求解。
2．位移法的基本未知量与超静定次数有关吗？答：位移法的基本未知量与超静定次数无关。
因为位移法的基本未知量是指独立的结点的角位移和独立的结点的线位移，而这两个量与超静定次数并无关系。
3．位移法的典型方程是平衡条件，那么在位移法中是否只用平衡条件就可以确定基本未知量，从而确定超静定结构的内力？在位移法中满足了结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）没有？在力法中又是怎样满足结构的位移条件和平衡条件的？答：（1）在位移法中只用平衡条件就可以确定基本未知量，从而确定超静定结构的内力。
（2）在位移法中已满足结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）。
因为在位移法的假设和取基本未知量时，结构的支承条件和变形连续条件就已经考虑进去了，所以位移法中结构的位移条件自动满足，故只需要平衡条件就可以确定基本未知量了。
（3）力法的典型方程实质上就是满足结构的位移条件（包括支承条件和变形连续条件）。
力法是在满足平衡条件下进行分析的，只要结构不破坏，平衡条件会自动满足。
4．在什么条件下独立的结点线位移数目等于使相应铰结体系成为几何不变所需添加的最少链杆数？答：不考虑受弯直杆的轴向变形（即受弯直杆两端距离不变）的条件下，独立的结点线位移数目等于使相应铰结体系成为几何不变所需添加的最少链杆数。
结构力学位移法详解
结构力学位移法详解结构力学是一门研究物体受力和变形关系的科学，它对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。
结构力学包括静力学和动力学两个方面，其中位移法是解决结构静力学问题的一种重要方法。
位移法是一种基于结构位移的方法，通过建立结构的位移方程来求解结构中的受力和变形情况。
相比于应力法，位移法在简化问题过程中能够更好地处理约束条件和边界条件，使得解题更加简化和精确。
在位移法中，首先需要确定结构的边界条件，即结构的约束条件和边界条件。
然后根据结构的受力平衡和力的平衡条件，建立结构的位移方程。
位移方程是一个描述结构变形情况的方程，通过解这个方程可以得到结构的位移分布。
位移方程的建立通常需要以结构单元为基础，将整个结构分解为不同的单元进行分析。
每个单元之间通过节点连接，将力和位移传递给下一个单元。
而每个单元的位移方程则可以通过应力-应变关系、平衡方程和简化条件得到。
在求解位移方程时，常常使用有限差分法、有限元法或弹性力学公式等数值方法来近似求解。
这些数值方法将结构离散化，并通过数值计算得到结构的位移分布。
在得到结构的位移分布后，可以进一步计算结构的应力和应变分布，以及其它受力和变形相关的参数。
这样，就可以对结构的安全性和机械性能进行评估和优化。
总结起来，位移法是通过建立结构的位移方程来求解结构静力学问题的一种方法。
通过分析结构的位移分布，可以得到结构的应力和应变情况，进而评估结构的安全性和机械性能。
在实际工程问题中，位移法经常用于分析和设计各类结构，具有重要的实际应用价值。
结构力学位移法解析
第十章位移法§10－1 概述位移法——以结点位移（线位移，转角）为基本未知量的方法。
基本概念：以刚架为例（图10-1）基本思路：以角位移Z1为基本未知量平衡条件——结点1的力矩平衡位移法要点：一分一合①确定基本未知量（变形协调）基本体系－独立受力变形的杆件②将结构拆成杆件－杆件分析（刚度方程－位移产生内力、荷载产生内力）③将结构杆件合成结构：整体分析——平衡条件——建立方程§10－2 等截面直杆的转角位移方程单跨超静定梁——由杆端位移求杆端力——转角位移方程矩阵形式一、端（B端）有不同支座时的刚度方程（1）B端固定支座（2）B端饺支座（3）B端滑动支座二、由荷载求固端力（3*，4，11*，12，19，20）（1）两端固定（2）一端固定，一端简支（3）一端固定，一端滑动（可由两端固定导出）三、一般公式叠加原理杆端位移与荷载共同作用杆端弯矩：（10-1）位移法意义（对于静定、超静定解法相同）基本未知量－被动（由荷载等因素引起）→按主动计算——位移引起杆端力＋荷载的固端力→结点满足平衡正负号规则——结点转角（杆端转角）弦转角——顺时针为正杆端弯矩位移法三要素：1.基本未知量－独立的结点位移2.基本体系－原结构附加约束，分隔成独立变力变形的杆件体系。
3.基本方程－基本体系在附加约束上的约束力（矩）与原结构一致（平衡条件）§10－3基本未知量的确定角位移数＝刚结点数（不计固定端）线位移数＝独立的结点线位移观察几何构造分析方法——结点包括固定支座）变铰结点铰结体系的自由度数＝线位移数――即使其成为几何不变所需添加的链杆数。
§10－4典型方程及计算步骤典型方程（10－5、6）无侧移刚架的计算无侧移刚架－只有未知结点角位移的刚架（包括连续梁）（△＝0） 有侧移刚架计算有侧移刚架――除结点有位移外还有结点线位移求解步骤：（1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系，（2）作荷载、Z i = 1 —— ()()01i P i i M M ∆∆==、图（3）求结点约束力矩：荷载 —— 自由项R Ip ，及ΔJ = 1 —— 刚度系数 k IJ（4）建立基本方程：[k IJ ]{ Z i } + { R Ip } = {0} —— 附加约束的平衡条件 求解Z i （Δi ）(5) 叠加法作i i P Z M M M ∑+=§10－5 直接建立位移法方程求解步骤：（1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系，（2）写杆端弯矩（转角位移方程）（3）建立位移法方程—— 附加约束的平衡，求解Z i(4) 叠加法作i i P Z M M M ∑+=§10－6 对称性利用对称结构对称荷载作用 —— 变形对称，内力对称（M 、N 图对称，Q 图反对称——Q 对称）反对称荷载作用 —— 变形反对称，内力反对称（M 、N 图反对称，Q 图对称——Q 反对称）—— 取半跨对称结构上的任意荷载 ——对称荷载＋反对称荷载§10－7支座位移和温度改变时的计算一、支座位移的计算超静定结构：支座有已知位移 —— 引起内力位移法计算：基本未知量、（基本体系）、基本方程及解题步骤与荷载作用时一样 区别在于固端力——自由项： R 1P ——荷载引起R 1C —— 支座位移引起二、温度改变时的计算与支座位移相同，超静定结构：温度改变 —— 内力固端力（相当荷载作用）（表11—1，5、11、15）Δt = t 1 — t 2 ——M 图，受拉面在温度铰低一侧。
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B
M
AB
2EI l
B
（8-1）
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§8-1 概述
结构力学
B
B B
FC
考虑结点B的平衡条件, 由∑MB=0，
l
A
有 M BA M BC 0 （8-2）
l/ 2 l/ 2
将（8-1）代入式（8-2）得
B
F
B
B
MBC MBA
4EI l
B
4EI l
B
Fl 8
0
于是
B
Fl 2 64EI
将θB 回代入公式 (8-1) 则各杆的杆端弯矩即可确定。 然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再利用平衡 条件作出剪力图和轴力图。
结构力学
提出问题：
1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷 载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求 得)
2、哪些结点的位移作为基本未知量。
3、如何确定基本未知量。
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§8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学
本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度 改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力结 果。
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§8-1 概述
结构力学
位移法思路： 1、设定某些结点的位移为基本未知量，取
单个杆件作为计算的基本单元；
2、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示, 而各杆端位移与其所在结点的位移相协调；
3、由平衡条件求出基本位移未知量，由此 可求出整个结构（所有杆件）内力。
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§8-1 概述
结构力学
第八章 位移法
§8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8-6 对称性的利用
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§8-1 概述
结构力学
已有的知识：
（1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
MF q
M
A
B
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A
θA
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B
θB
AB
§8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学
FP x 1. 先求杆端位移引起的弯矩
取简支梁基本结构
y
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1 2
A B
作出 M1
11
22
l 3EI
、 M 2 、 R （略）
12
21
l 6EI
1
2
AB l
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§8-1 概述
结构力学
位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发 展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比 结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。
F l/2
A
B
C
EI = 常数
l
D
l
l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
二、位移法思路
B
B B
FC
l
A
l/ 2 l/ 2
结构力学
B
B B
A
B
F
B
θB为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。
由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移θB。 将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆
端弯矩为：
M BC
4EI l
B
Fl 8
M CB
2EI l
B
Fl 8
M BA
4EI l
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§8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学
1、两端固定的等截面直杆
MAB A A
A
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§8-1 概述
B
FC
结构力学
F
C B
B B
l
l/ 2 l/2
A
三次超静定图示刚架
l/ 2 l/ 2
力 法：三个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
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§8-1 概述
结构力学
力法与位移法必须满足的条件：
1. 力的平衡; 2. 位移的协调;
3. 力与位移的物理关系。
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本未知力,计算出全部的内力和相应的位移。
在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存 在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基 本未知量, 运用结点或截面的平衡条件——建立位移 法方程——求出未知位移——利用位移与内力之间确 定的关系计算相应的内力。
X
1
M AB
4i A
2iB
6i l
AB
M
F AB
X
2
M BA
4iB
2iA
6i l
AB
M
F BA
其中： i EI
l
称杆件的线刚度。
转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation
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§8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移 法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:
A
B
两端固定梁
A
B
一端固定、一端铰支梁
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(4-1) 。
仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(4-1) 。
位移法的基本假定：
（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形 和剪切变形的影响。 （2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是 微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持 不变。
注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为 了减少基本未知量，简化计算。
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§8-1 概述
解出
X1
4EI l
A
2EI l
B
6EI l2
AB
X2
2EI l
A
4EI l
B
6EI l2
AB
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§8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学
2. 荷载等外因引起的弯矩
荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样可
用力法求解，表示
， 。 M
F AB
M
F BA
由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：
（3）超静定结构的内力分析和位移计算
力法。
已解得如下单跨 A
B
超静定梁的结果: A
B
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§8-1 概述
P
结构力学
力法计算太困难了
用力法计算，9 个基本未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
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§8-1 概述
结构力学
一、位移法的提出(Displacement Method)
FP x
y
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§8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学
位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：
(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或支 座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉 纤维一侧。剪力的规定同前.
(2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端 在垂直于杆轴方向上的相对线位移ΔAB（侧移）以使 杆件顺时针转动为正,反之为负。