投资的收益和风险问题

A 投资的收益和风险问题

摘要：某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市

场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中

项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4

每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第

三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项

目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。

对于第一问，我们建立了一个优化的线性规划模型，得到不错的结果。根据

我们的结果，我们认为五年末所得利润最大可为：37.94亿。具体如何安排五年

内的投资，可看下面的详细解答。

对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率时，通过分析，发

现数据中存在着相互的联系。由此，我们建立了一个统计回归模型: x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2

经过代入数据检验，可以看出，模型数据与原20年内的实际数据拟合得很好。

通过这个模型，我们预测了今后5年各个项目的到期利润率。如第一个项目今后

五年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年： 0.1572。（其他几个项目的预测祥见下面的解答）

考虑风险损失率时，我们定义起计算式为：f=d*p;d为该项目20年内的到期利

润率的标准差，p为到期利润率；

考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的

模型：

x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5

y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5

(两个项目互相影响的模型)

x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5

y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5

z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5

(三个项目互相影响的模型)

通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。而且得到的结果也较为

满意。

对与第三问，我们利用0-1变量，建立起一优化的线性规划模型。

关键词：线性规划，统计自回归模型，风险损失率，0-1变量法，数据拟合

（一）问题一的提出

项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年

初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收

本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，

到第五年末回收本利。公司财务分析人员给出一组实验数据，试根据实验数据确定5年内如

何安排投资？使得第五年末所得利润最大？

模型的建立和解决

符号说明：

Z: 利润

Xij: 第i 年对第j 项目的投资额

s.t. subject to，引出目标约束条件。

max z=1.8x27+1.45x35+1.5x36+1.55x38+1.25x43+1.27x44+1.1x51+1.11x52

st

2)x11+x12+x13+x14+x15+x16<=200000

3)-0.1x11-0.11x12+x13+x14+x15+x16+x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27<=200000

4)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14+x15+x16+0.1x21+0.11x22+x23+x24+x25+x26+x27+x3 1+x32+x33+x34+x35+x36+x38<=200000

5)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14-0.45x15-0.5x16+0.1x21+0.11x22-0.25x23-0.27x24 +x25+x26+x27-0.1x31-0.11x32+x33+x34+x35+x36+x38+x41+x42+x43+x44<=200000

6)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14-0.45x15-0.5x16+0.1x21+0.11x22-0.25x23-0.27x24 -0.45x25-0.5x26+x27-0.1x31-0.11x32-0.25x33-0.27x34+x35+x36+x38-0.1x41-0.11x42+x 51+x52<=200000

7)x17=0

8)x18=0

9)x28=0

10)x37=0

11)x45=0

12)x46=0

13)x47=0

14)x48=0

15)x53=0

16)x54=0

17)x55=0

18)x56=0

19)x57=0

20)x58=0

21)x11<=60000

22)x21<=60000

23)x31<=60000

24)x41<=60000

25)x51<=60000

26)x12<=30000

27)x22<=30000

28)x32<=30000

31)x13<=40000

32)x23<=40000

33)x33<=40000

34)x43<=40000

35)x14<=30000

36)x24<=30000

37)x34<=30000

38)x44<=30000

39)x15<=30000

40)x25<=30000

41)x35<=30000

42)x16<=20000

43)x26<=20000

44)x36<=20000

45)x27<=40000

46)x38<=30000

(二)问题二的提出

公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。

8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投