最新中考数学专题圆的切线
2024年中考重点之圆的切线与切圆定理
2024年中考重点之圆的切线与切圆定理圆是几何学中非常重要的基本形状之一，而关于圆的切线和切圆定理是中考数学中的重点内容之一。
本文将详细介绍圆的切线以及切圆定理的概念和应用。
一、圆的切线1. 切线的定义在平面几何中，切线是一条与圆只有一个交点的直线。
2. 切线的性质（1）切线与半径的关系：切线与半径垂直相交。
（2）切线的方向：切线与半径的夹角为90度。
（3）切线的长度：从切点到圆心的部分是切线的长度。
二、切圆定理1. 切圆定理的表述在一个圆中，如果一条直线通过圆上的两个不同的点，并且这条直线的两端分别与圆相交，那么这条直线就被称为切线，并且它与圆的切点在同一条直径上。
2. 切圆定理的应用（1）切线与半径的关系：由切圆定理可知，切线与半径在切点处构成90度的夹角，因此可以利用这一性质求解有关圆的问题。
（2）求切线长度：利用切圆定理可以通过已知的半径长度和圆心和切点的距离求解切线的长度。
（3）求切点坐标：利用切圆定理可以通过已知的圆心坐标和切线方程求解切点的坐标。
三、例题解析题目：已知一个圆的半径为r，圆心的坐标为(h, k)，直线y = mx + c（m ≠ 0）经过与圆的两个交点，求切线的方程。
解析：根据题目中已知条件，直线y = mx + c与圆相交于两个不同的点。
由于直线是切线，因此切线与直径垂直相交，并且切点在同一条直径上。
设切点的坐标为(x1, y1)，则根据切圆定理，切点的横坐标为h - (km + c)/(m^2 + 1)，纵坐标为k + m(x1 - h)。
由于切线垂直于半径，可以得到切线的斜率为-1/m。
由切点坐标可以确定切线的方程为y - y1 = -(1/m)(x - x1)。
将切点的坐标代入切线方程，可以得到切线的具体方程为y - (k + m(x1 - h)) = -(1/m)(x - (h - (km + c)/(m^2 + 1)))。
至此，我们得到了关于切线的方程。
四、总结本文详细介绍了圆的切线和切圆定理的概念和应用。
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，△ABD=△BO D．（1）求证：AB为△O的切线；（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin△ECD ＝35，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是△O 的切线；（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．（1）求证：BD 是△O 的切线．（2）若OA ＝5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE△AB ，垂足为E（1）若△O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与△O相切.8．如图，AB是△O的弦，OP△OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为√5，OP=1，求BC的长．9．如图，AB是△O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分△CAE交△O于点D，且AE△CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是△O的切线．（2）若BC=3，CD=3 √2，求弦AD的长．10．如图，AB为圆的直径，C是△O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC，垂足为D，已知AC平分△MAD .（1）求证：MC是△O的切线：（2）若AB＝BM＝4，求tan△MAC的值11．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，BD平分∠ABC交△O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.（1）求证：DE与△O相切；（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.12．如图，点O在△APB的平分线上，△O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与△O相切；（2）PO的延长线与△O交于点E．若△O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．13．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，△CBO＝45°，CD△AB，△CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当△BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的△P随点P的运动而变化，当△P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD=CB．（1）如图1，若AC=AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O的直径为√10，sinB=√10，求AD的长；10②若CD=2CE，求cosB的值．15．如图，AB、AC分别是△O的直径和弦，OD△AC于点D，过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是△O的切线；（2）若△ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，△BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，△P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是△P的切线；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE△BD ， BF ⌢=12BD ⌢ ， ∴△BOE ＝△A ，△OBE+△BOE ＝90°，∵△DBC ＝△A ，∴△BOE ＝△DBC ，∴△OBE+△DBC ＝90°，∴△OBC ＝90°，即BC△OB ，∴BC 是△O 的切线；（2）解：∵OB ＝6，△DBC ＝△A ＝60°，BC△OB ， ∴OC ＝12，∵△OBC 的面积＝ 12 OC•BE ＝ 12OB•BC ， ∴BE ＝ OB×BC OC =6×6√312=3√3 ， ∴BD ＝2BE ＝6 √3 ，即弦BD 的长为6 √3 ．2．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，OD为半径，∴DE是⊙O的切线（2）解：作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°，在RtΔADE中，DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形，∴OF=DE=4，在RtΔOAF中，∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33．【答案】（1）证明：作OH△AB，垂足为H∵AC与△O相切，切点为C，∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°，△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC，△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线（2）解：在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35，解得OB=52，OC=32，OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD，△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD，解得：BD=√5．4．【答案】（1）解：结论：CD是△O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴△OCB＝△OBC，∵BC平分△ABD，∴△OBC＝△CBE，∴△OCB＝△CBE，∴OC//BD ，∵CD△BD ，∴CD△OC ，∵OC 是半径，∴CD 是△O 的切线；（2）解：设OA ＝OC ＝r ，设AE 交OC 于点J ．∵AB 是直径，∴△AEB ＝90°，∵OC△DC ，CD△DB ，∴△D ＝△DCJ ＝△DEJ ＝90°，∴四边形CDEJ 是矩形，∴△CJE ＝90°，CD ＝EJ ，CJ ＝DE ，∴OC△AE ，∴AJ ＝EJ ，∵sin△ECD ＝DE CE ＝35，CE ＝5， ∴DE ＝3，CD ＝4，∴AJ ＝EJ ＝CD ＝4，CJ ＝DE ＝3，在Rt△AJO 中，r 2＝（r ﹣3）2+42，∴r ＝256， ∴△O 的半径为256． 5．【答案】（1）解：连接OC ．如图1所示：∵OA＝OC，∴△1＝△2．又∵△3＝△1+△2，∴△3＝2△1．又∵△4＝2△1，∴△4＝△3，∴OC△DB．∵CE△DB，∴OC△CF．又∵OC为△O的半径，∴CF为△O的切线；（2）解：连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴△D＝90°，∴CF△AD，∴△BAD＝△F，∴sin△BAD＝sinF＝BDAB＝35，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC△CF，∴△OCF＝90°，∴sinF＝OCOF＝35，解得：OF＝5．6．【答案】（1）证明：∵△ADO＝△BAD＝30°，∴△DOB＝60°∵△ABD＝30°，∴△ODB＝90°∴OD△BD．∵点D为△O上一点，∴BD是△O的切线．（2）解：∵△DOB＝60°，∴△AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π．7．【答案】（1）解：∵ △O 的半径为52，则CD=5，AB=10，BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径，得DN△BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=12BC=4。
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，而切线与切线定理也是与圆密切相关的概念和定理。
在本文中，我们将对圆的切线和切线定理进行归纳并介绍计算方法。
一、圆的切线圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线。
切线的特点是与圆相切于切点，并且切点在切线上。
根据切线的定义，我们可以得出切线具有以下性质：1. 切线与半径垂直在圆的任意切点处，切线与通过该点的半径垂直相交。
这是切线与圆的一个重要性质，在计算切线时会用到。
2. 切线的切点切线与圆相切于切点，而切点位于切线上。
这也是切线的定义之一，切点的坐标可以通过计算得出。
二、切线定理的计算方法切线定理是描述切线与半径之间的关系的一组定理。
我们将介绍几个常用的切线定理及其计算方法。
1. 切线长定理切线长定理描述了切线和半径之间的关系。
对于与圆相切的切线来说，切线上的两个切点到圆心的距离乘积等于这两个切点分别到圆心的距离的平方。
具体计算方法如下：假设切线与圆相切于点A和点B，圆的半径为r，圆的圆心为O。
则有以下关系成立：AO × BO = AC² = BC²其中，AO和BO分别表示点A和点B到圆心O的距离，AC和BC分别表示点A和点B到圆心O的距离。
2. 外切线定理外切线定理指出，如果一条直线同时与两个相交圆的外切，那么它们的切点与连接圆心的直线构成一个等边三角形。
具体计算方法如下：对于与两个圆相切的外切线来说，它的两个切点与两个圆心之间形成的三角形是等边三角形。
设两个圆的半径分别为r₁和r₂，切点之间的距离为d，则有以下关系成立：d = r₁ + r₂其中，d表示切点之间的距离，r₁和r₂表示两个圆的半径。
三、圆的切线与切线定理的应用举例为了更好地理解切线和切线定理的计算方法，我们举例说明。
例题1：已知一个圆的半径为3 cm，点A是这个圆上的一个切点，连接点A和圆心O的线段OA与圆相交于一点B。
初中数学知识归纳圆的切线与切圆
初中数学知识归纳圆的切线与切圆初中数学知识归纳：圆的切线与切圆圆是数学中重要的几何概念之一，学习圆的性质和应用对于初中数学的学习至关重要。
其中，圆的切线与切圆是我们需要重点掌握的内容之一。
本文将对这一知识点进行归纳总结，帮助大家更好地理解和应用。
第一部分：切线的定义和性质在开始讨论圆的切线与切圆之前，我们首先来了解一下切线的定义和性质。
1. 切线的定义在几何中，圆与直线相切时，我们称这条直线为圆的切线。
切线与圆接触点形成的线段称为切线段。
2. 切线的性质（1）切线与半径垂直切线与半径的相交点处，切线和半径互相垂直。
（2）切线只有一个切点切线与圆只能有一个切点，这是切线独特的性质。
（3）切线和半径的夹角切线和半径之间的夹角可以通过用切点的弧度与此弧对应的圆心角进行计算。
夹角的度数等于其对应的圆心角的一半。
第二部分：切线的判定条件了解了切线的定义和性质后，我们继续学习切线的判定条件。
1. 定理1：半径与切线的垂直性若直线与圆相交于圆心和一点，则该直线为圆的切线。
2. 定理2：切线的唯一性若直线与圆相交于圆上两点，则这条直线不是圆的切线。
3. 定理3：勾股定理若直角三角形中，直角边长分别为a、b，斜边长为c（c为圆的半径），则该直角三角形是一个切三角形。
第三部分：切圆和切线的性质切圆与切线是密切相关的，下面我们来了解一下切圆和切线的性质。
1. 切圆的定义切圆是指在一个圆内部，同时与圆内的一点P相切的圆。
2. 切圆和切线的关系切圆与切线之间有以下关系：（1）切线是切圆的直径线段，直径线段刚好是切线所经过的圆心。
（2）相切的两个圆，切点处的切线是两个圆的公共切线。
第四部分：应用实例下面我们通过几个具体的实例来应用所学的知识。
实例1：已知AB为圆O的直径，且C为圆上一点，求线段AC的长度。
解：根据圆的性质，可知AC为切线段，且与直径垂直，所以AC = AO/2。
实例2：已知圆A和圆B相切于点C，且圆A与直线AB相切于点D，求证：CD是直线BC的角平分线。
求圆的切线方程的几种方法
求圆的切线方程的几种方法圆的切线是通过圆上特定点并且与该点垂直于圆心的直径所确定的线段。
求圆的切线方程有多种方法，下面将介绍其中的几种常见方法。
【方法一：向径垂直于切线】设圆心为O，半径为r，圆上一点为P，切点为A，连接O和P。
由于切线与向径垂直，所以OP与PA垂直。
根据垂直关系，我们可以得到以下的条件：1.斜率关系：由于向径OP与切线的斜率相乘等于-1，即斜率m1*m2=-1、假设斜率为m，则有m*∞=-1（∞代表垂直线的斜率）即m=0。
所以切线的斜率为0。
2.切点坐标关系：假设切线方程为y = kx + b，由于切点A的坐标为(x1, y1)，代入切线方程中即可求得切线的方程。
【方法二：利用切线的性质求斜率和截距】在方法一中，我们先求出了切线的斜率为0。
然后，我们可以利用切点的特性求出切线的截距。
1.斜率求解：由于切线的斜率为0，所以利用两点的斜率公式，我们可以得到以下的关系式：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y1-y1)/(x1-x1)=0即y1-y1=0，即y1=y12.求截距：假设切点坐标为(x1,y1)，则切线方程为y=b。
因为切点A在切线上，所以代入切线方程中即可求出截距。
【方法三：利用切线与半径的垂直性质】由于切线与半径垂直，所以可以利用向径的特性求出切线的斜率和截距。
1.斜率求解：假设斜率m，则向径OP的斜率为m1=(y-y1)/(x-x1)。
根据垂直性质，切线的斜率m与向径的斜率m1满足m*m1=-12.求截距：设切线方程为y = kx + b。
代入切点(x1, y1)得到：y1 = k * x1 + b。
再根据切线与半径垂直的性质，可以利用点斜式的截距形式求解截距。
【方法四：坐标代入法】设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，切点坐标为(x1,y1)。
则可以把切线方程代入圆方程，将圆方程中的x和y替换成x1和y1，即可得到切线方程。
【方法五：利用直角三角形的性质】在方法一中，我们已经得到了切线与向径OP垂直，假设角POA为θ，则tanθ = m = (y1 - y) / (x1 - x)。
九年级圆的切线知识点
九年级圆的切线知识点圆是几何学中的一种基本图形，它具有很多重要的性质和知识点。
其中，圆的切线是一个非常重要的概念。
下面，我将为大家介绍九年级圆的切线的相关知识点。
一、什么是切线在圆的几何中，切线是指与圆相切且只有一个交点的直线。
切线的特点是与圆的切点处的切线段垂直于半径。
根据切线与半径的关系可以推导出切线的性质。
二、切线的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的切点处的切线段垂直。
2. 切线与半径的夹角：切线与从切点到圆心的半径之间的夹角为90度。
3. 切线的斜率：切线的斜率等于切线与圆心连线的斜率的负倒数。
4. 切线的长度：切线的长度等于与圆心连线的长度的平方减去半径的平方再开根号。
三、切线的证明1. 证明切线与半径的关系：我们可以通过作图来证明切线与半径的切点处的切线段垂直。
首先，以圆心为原点建立坐标系，假设切点坐标为(x0, y0)，圆的半径为r。
则圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。
假设切线过切点的斜率为k，则切线的方程为y - y0 = k(x -x0)。
由于切点处的切线段垂直于半径，所以切线的斜率等于半径与切线的夹角的正切值。
即k = -x0 / y0。
将k带入切线的方程得到y - y0 = (-x0 / y0)(x - x0)。
将切线与圆的方程联立解得切点坐标(x0, y0)。
由此可证明切线与半径的切点处的切线段垂直。
2. 证明切线与半径的夹角为90度：我们可以通过证明切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1来证明切线与半径的夹角为90度。
假设切点坐标为(x0, y0)，圆的半径为r。
则切线的斜率为- x0 / y0，半径的斜率为y0 / x0。
由于切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1，所以切线与半径的夹角为90度。
四、切线的应用圆的切线在很多问题中都有重要的应用。
比如，切线的长度可以用来计算切点到圆心的距离，这对于解决与切线和半径有关的问题非常有用。
切线还可以用来解决与切线和直线的交点有关的问题，如切线与直线的夹角等。
九年级数学圆切线知识点
九年级数学圆切线知识点在九年级数学学习中，圆切线是一个重要的知识点。
本文将介绍圆的切线的定义、性质以及相关的定理。
一、圆切线的定义和性质圆是一个平面上的闭合曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。
圆周上的任意一条线段称为弦，连接圆周上两个点的最短线段称为弦。
如果在圆上有一条线段，且这条线段的每一个端点都在圆上，那么这条线段就是圆的切线。
根据圆的定义和性质，圆的切线有一些重要的性质：1. 切线与半径垂直：圆的切线与半径的形成的角是直角。
2. 唯一性：一个圆上的任意点只有唯一一条切线与之相切。
3. 切线长度：当切线与半径形成的角不等于90度时，切线与圆心的距离是半径的长度。
4. 相交性质：如果两个圆相交，那么它们的切线会相交于相交点。
二、圆切线的定理除了基本的定义和性质外，还有一些与圆切线相关的定理。
下面将介绍一些常见的定理：1. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么这条直线与半径的形成的角是直角。
2. 弦切定理：如果一条弦与一个切线相交，那么切线与弦间的角等于弦上对应的圆心角。
3. 切线长定理：如果两条切线（包括弦）与一个圆相交，那么这两条切线的长度的乘积等于这两条切线分别与圆心连线长度的平方。
4. 切线角定理：如果两条切线（包括弦）与一个圆相交，那么这两条切线所对应的圆心角相等。
三、习题练习现在我们来做一些练习题，以加深对圆切线知识点的理解。
1. 在圆 O 上，切线 AB，C 是正切点。
若弧 AC 的度数是120度，求角 BAC 的度数。
解答：由弧与切线的性质可得，角 BAC 的度数等于弧 AC 的度数的一半，即 120/2 = 60 度。
2. 已知圆心角 ADC 的度数是135度，弦 AC 与切线 AB 相交于点 E，求角 BDE 的度数。
解答：根据弦切定理可知，角 BDE 等于弦 AC 对应的圆心角ADC 的度数减去切线 AB 与弦 AC 间夹角的度数，即 135 - 90 = 45 度。
通过以上的练习题，我们可以灵活运用圆切线的性质和定理来解决问题。
2023年九年数学中考专题训练——证明圆的切线
中考专题训练——证明圆的切线1．如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，过O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．（1）求证：直线CD是O的切线；（2）求证：2=⋅OA DE CE2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．3．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与△O相切于点D，OB 与△O相交于点E．（1）求证：AC是△O的切线；（2）若BD3BE＝1．求阴影部分的面积．4．如图，△O是Rt△ABC的外接圆，△ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切△O于点A，且PA＝PB，(1)求证：PB是△O的切线；△ACB＝60°，求△O的半径．(2)已知PA5．如图，AB为△O的直径，AC、DC为弦，△ACD=60°，P为AB延长线上的点，△APD=30°．（1）求证：DP是△O的切线；（2）若△O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．6．如图，AD是△O的弦，AB经过圆心O，交△O于点C．△DAB=△B=30°．（1）直线BD是否与△O相切？为什么？（2）连接CD，若CD=5，求AB的长．7．如图，△ABC内接与△O，AB是直径，△O的切线PC交BA的延长线于点P，OF△BC 交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF（1）判断AF与△O的位置关系并说明理由；（2）若△O 的半径为4，AF=3，求AC 的长．8．如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，过点B 作BC △AD ，交⊙O 于点C ，连接AC ，过点C 作CD △AB ，交AD 于点D ，连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的直线于点P ，且∠BCP ＝△ACD ．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若AB ＝6BC ＝10，求⊙O 的半径及PC 的长．9．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 平分⊙DAB 交⊙O 于点C ，过点C 的直线垂直于AD 交AB 的延长线于点P ，弦CE 交AB 于点F ，连接BE ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若PC ＝PF ，试证明CE 平分⊙ACB ．10．如图，等圆1O 和2O 相交于A ，B 两点，2O 经过1O 的圆心1O ，两圆的连心线交1O 于点M ，交AB 于点N ，连接BM ，已知23AB（1）求证：BM 是2O 的切线；（2）求AM 的长．11．如图，已知△PDC 是△O 的内接三角形，CP=CD ，若将△PCD 绕点P 顺时针旋转，当点C 刚落在△O 上的A 处时，停止旋转，此时点D 落在点B 处．（1）求证：PB 与△O 相切；（2）当△DPC=30°时，求△O 的半径长．12．如图，已知点E 在直角△ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的△O 与直角边BC 相交于点D ，AD 平分△BAC ．（1）求证，BC 是△O 的切线．（2）若BE ＝2，BD ＝4，求△O 的半径．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，D 在AB 的延长线上，CA CD =，120ACD ∠=，10BD =．()1求证：CD 是O 的切线；()2求O 的半径．14．如图，O 的直径AB 的长为2，点C 在圆周上，30CAB ∠=，点D 是圆上一动点，//DE AB 交CA 的延长线于点E ，连接CD ，交AB 于点F ．()1如图1，当45ACD ∠=时，求证：DE 是O 的切线；()2如图2，当点F 是CD 的中点时，求CDE 的面积．15．如图，AB为O的直径，点D为O上的一点，在BD的延长线上取点C，使⊥于点F．=，AC与O交于点E，DF ACDC BD求证：（1）DF是O的切线；（2）2=⋅．DB CF AB=，点O在AB上，O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D 16．如图，AB AC⊥于F．作DF AC()1求证：DF是O的切线；()2若AC与O相切于点G，O的半径为3，1CF=，求AC长．17．如图点A、B、D、E在O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是O 的直径，D是BC的中点，过D作AC的垂线，垂足为F．()1求证：DF是圆O的切线；()2若:6:5AE AO=，2DF=，求圆O的直径．18．如图，AB为O的直径，BC、AD是O的切线，切点分别为B、A，过点O作⊥，EC交BC于点C，交AD于点E．EC OD()1求证：CE 是O 的切线；()2若1AE =，3AD =，求阴影部分的面积．（结果保留π）19．AC 为O 的直径，B 是O 外一点，AB 交O 于E 点，过E 点作O 的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点．()1求证：BC 是O 的切线；()2求证：EM FM =．20．如图，PA 与△O 相切于点A ，过点A 作AB△OP ，垂足为C ，交△O 于点B ．连接PB ，AO ，并延长AO 交△O 于点D ，与PB 的延长线交于点E ．（1）求证：PB 是△O 的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE 的值．参考答案：1．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OD ，OE ，证明△OAD△△OED ，得△OAD=△OED=90°，进而得CD 是切线；（2）连接OC ，得AM△BN ，得,DEO OEC ∆∆，再证明2.OE DE CE =•，进而得出结论2.OA DE CE =•．【解析】解(1)如图,连接,OE OD 、 DA 是O 的切线，90OAD ︒∠=在AOD ∆和EOD ∆中, , ,,OA OE DA DE OD OD ===()AOD EOD SSS ∴∆∆≌90,OAD OED ︒∴∠=∠=,OE CD ∴⊥CD ∴是O 的切线.(2)连接,OC AM BN DC 、、是O 的切线，90OAD OBC DEO OEC ︒∴∠=∠=∠=∠=//,AM BN ∴180ADE BCE ︒∴∠+∠=又AM BN DC 、、是O 的切线，CE CB ∴=,OD 平分,ADE OC ∠平分, .BCE ∠()111809022ODE OCE ADE BCE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=⨯= 又90ODE DOE ︒∠+∠=,OCE DOE ∴∠=∠又90DEO OEC ︒∠=∠=,,DEO OEC ∴∆∆OE DE CE OE∴= 2.OE DE CE ∴=•又,OA OE =2.OA DE CE ∴=•【点评】本题考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．2．（1）见解析；（2）DF＝【分析】（1）连接OD，求出AC△OD，求出OD△DE，根据切线的判定得出即可；（2）求出△1=△2=△F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．【解析】（1）证明：连接OD，△AB是△O的直径，△△ADB＝90°，△AD△BC，又△AB＝AC，△△1＝△2，△OA＝OD，△△2＝△ADO，△△1＝△ADO，△OD△AC，△DE△AC，△△ODF＝△AED＝90°，△OD△ED，△OD 过O ，△DE 与△O 相切；（2）解：△AB ＝AC ，AD △BC ，△△1＝△2，CD ＝BD ，△CD ＝BF ，△BF ＝BD ，△△3＝△F ，△△4＝△3+△F ＝2△3，△OB ＝OD ，△△ODB ＝△4＝2△3，△△ODF ＝90°，△△3＝△F ＝30°，△4＝△ODB ＝60°，△△ADB ＝90°，△△2＝△1＝30°，△△2＝△F ，△DF ＝AD ，△△1＝30°，△AED ＝90°，△AD ＝2ED ，△AE 2+DE 2＝AD 2，AE ＝3，△AD ＝3△DF ＝3【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．3．（1）见解析；（236-π 【分析】（1）连接OD ，作OF△AC 于F ，如图，利用等腰三角形的性质得AO△BC ，AO 平分△BAC ，再根据切线的性质得OD△AB ，然后利用角平分线的性质得到OF=OD ，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）设△O 的半径为r ，则OD=OE=r ，利用勾股定理得到222r (3)(r 1)+=+，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到△B=30°，△BOD=60°，则△AOD=30°，于是可计算出AD ===2S△AOD -S 扇形DOF 进行计算．【解析】解：（1）证明：连接OD ，作OF△AC 于F ，如图，△△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，△AO△BC ，AO 平分△BAC ，△AB 与△O 相切于点D ，△OD△AB ，而OF△AC ，△OF ＝OD ，△AC 是△O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，设△O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，△r 2+2＝（r+1）2，解得r ＝1，△OD ＝1，OB ＝2，△△B ＝30°，△BOD ＝60°，△△AOD ＝30°，在Rt△AOD 中，AD == △阴影部分的面积＝2S△AOD ﹣S 扇形DOF21601212360π⋅⋅=⨯⨯.6π= 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．4．（1）详见解析；（2）△O 的半径为1.【分析】（1）连结OB ，由OA =OB ，得△OAB =△OBA ，再根据P A =PB ，得△P AB =△PBA ，从而得出△P AO =△PBO ，由P A 是△O 的切线可推得△PBO =90°，即OB △PB ，所以PB 是△O 的切线；（2）连结OP ，根据P A =PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，再由OA =OB ，则点O 在线段AB 的垂直平分线上，从而得出OP 垂直平分线段AB ，根据BC △AB ，得出PO △BC ，则△AOP =△ACB =60°．在Rt△APO 中，利用tan△AOP AP AO=，求出AP ，即可得出答案． 【解析】（1）连结OB ．△OA =OB ，△△OAB =△OBA ．△P A =PB ，△△P AB =△PBA ，△△OAB +△P AB =△OBA +△PBA ，即△P AO =△PBO ．又△P A 是△O 的切线，△△P AO =90°，△△PBO =90°，△OB △PB ．又△OB 是△O 半径，△PB 是△O 的切线；（2）连结OP ．△P A =PB ，△点P 在线段AB 的垂直平分线上．△OA =OB ，△点O 在线段AB 的垂直平分线上，△OP 垂直平分线段AB ．又△BC △AB ，△PO △BC ，△△AOP =△ACB =60°．在Rt△APO 中，△tan△AOP AP AO ==tan60°3AP 3=△AO =1，△△O 的半径为1．【点评】本题考查了切线的判定和性质、线段的垂直平分线以及解直角三角形的综合运用． 5．（1）证明见解析；（22933()22cm . 【分析】（1）连接OD ，求出△AOD ，求出△DOB ，求出△ODP ，根据切线判定推出即可．（2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．【解析】解：（1）证明：连接OD ，△△ACD=60°，△由圆周角定理得：△AOD=2△ACD=120°．△△DOP=180°﹣120°=60°．△△APD=30°，△△ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．△OD△DP．△OD为半径，△DP是△O切线．（2）△△ODP=90°，△P=30°，OD=3cm，△OP=6cm，由勾股定理得：．△图中阴影部分的面积221603933333()236022 ODP DOBS S S cm 扇形6．（1）相切，理由见解析；（2）AB=15．【分析】（1）连接OD，通过计算得到△ODB=90°，证明BD与△O相切．（2）△OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长【解析】解：（1）直线BD与△O相切．如图连接OD，CD，△△DAB=△B=30°，△△ADB=120°，△OA=OD，△△ODA=△OAD=30°，△△ODB=△ADB﹣△ODA=120°﹣30°=90°．所以直线BD与△O相切；（2）连接CD，△COD=△OAD+△ODA=30°+30°=60°，又OC=OD△△OCD是等边三角形，即：OC=OD=CD=5=OA，△△ODB=90°，△B=30°，△OB=10，△AB=AO+OB=5+10=15．7．（1）AF与△O的位置关系是相切，理由见解析；（2）AC=245．【解析】解：（1）连接OC，如图所示：△AB是△O直径，△△BCA=90°，△OF△BC，△△AEO=90°，△1=△2，△B=△3，△OF△AC，△OC=OA，△△B=△1，△△3=△2，在△OAF和△OCF中，{32OA OCOF OF=∠=∠=，△△OAF△△OCF （SAS ），△△OAF=△OCF ，△PC 是△O 的切线，△△OCF=90°，△△OAF=90°，△FA△OA ，△AF 是△O 的切线；（2）△△O 的半径为4，AF=3，△OAF=90°，△FA△OA ，OF△AC ，△AC=2AE ，△OAF 的面积=12AF•OA=12OF•AE ， △3×4=5×AE ，解得：AE=125， △AC=2AE=245．8．(1)PC 与⊙O 相切；(2)r ＝PC ＝152. 【分析】(1)过C 点作直径CE ，连接EB ，由CE 为直径得△E+△BCE=90°，由AB△DC 得△ACD=△BAC ，而△BAC=△E ，△BCP=△ACD ，所以△E=△BCP ，于是△BCP+△BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；(2)根据切线的性质得到OA△AD ，而BC△AD ，则AM△BC ，根据垂径定理有BM=CM=12BC=5，根据等腰三角形性质有，在Rt△AMC 中根据勾股定理计算出AM 的长度，设⊙O 的半径为r ，则OC=r ，OM=AM -r ，在Rt△OCM 中，根据勾股定理计算出CE=2r ，利用中位线性质得BE 的长度，然后判断Rt△PCM△Rt△CEB ，根据相似比可计算出PC ．【解析】解：(1)PC与⊙O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，△CE为直径，△△EBC＝90°，即∠E+△BCE＝90°，△AB△DC，△△ACD＝△BAC，△△BAC＝△E，△BCP＝△ACD．△△E＝△BCP，△△BCP+△BCE＝90°，即∠PCE＝90°，△CE△PC，△PC与⊙O相切；(2)△AD是⊙O的切线，切点为A，△OA△AD，△BC△AD，△AM△BC，△BM＝CM＝12BC＝5，△AC＝AB＝6，在Rt△AMC中，AM22AC CM5设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r ＝5r，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即5r)2+52＝r2，解得：r＝5△CE＝2r＝5OM＝5r＝5△BE＝2OM＝△△E＝△MCP，△Rt△PCM△Rt△CEB，△PCCE＝CMEB，△PC＝152．故答案为(1)PC与⊙O相切；(2)r＝PC＝15 2.【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质．9．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）连接OC，如图，先证明△2=△3得到OC△AD，然后利用平行线的性质得到OC△CD，从而根据切线的判定定理得到PD是△O的切线；（2）先证明△1=△PCB，再根据等腰三角形的性质得△PCF=△PFC，然后利用△PCF=△PCB+△BCF，△PFC=△1+△ACF，从而可判断△BCF=△ACF．【解析】证明：（1）连接OC，如图，△AC平分△DAB，△△1＝△2，△OA＝OC，△△1＝△3，△△2＝△3，△OC△AD，△AD△CD，△OC △CD ，△PD 是△O 的切线；（2）△OC △PC ，△△PCB +△BCO ＝90°，△AB 为直径，△△ACB ＝90°，即△3+△BCO ，△△3＝△PCB ，而△1＝△3，△△1＝△PCB ，△PC ＝PF ，△△PCF ＝△PFC ，而△PCF ＝△PCB +△BCF ，△PFC ＝△1+△ACF ，△△BCF ＝△ACF ，即CE 平分△ACB ．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理． 10．（1）详见解析；（2）43【分析】（1）连接O 2B ，由MO 2是△O 1的直径，得出△MBO 2=90°从而得出结论：BM 是△O 2的切线；（2）根据O 1B=O 2B=O 1O 2，则△O 1O 2B=60°，再由已知得出BN 与O 2B ，从而计算出弧AM 的长度．【解析】（1）连接2O B ，△2MO 是1O 的直径，△290MBO ∠=，△BM 是2O 的切线；（2）△1212O B O B O O ==，△1260O O B ∠=，△AB =△BN =△22O B =， △120241803AM BM ππ⨯===． 【点评】本题考查了切线的判定和性质、弧长的计算以及相交两圆的性质，是基础知识要熟练掌握．11．（1）详见解析；（2）2．【分析】（1）连接OA 、OP ，由旋转可得：△P AB △△PCD ，再由全等三角形的性质可知AP =PC =DC ，再根据△BP A =△DPC =△D 可得出△BPO =90°，进而可知PB 与△O 相切； （2）过点A 作AE △PB ，垂足为E ，根据△BP A =30°，PB△P AB 是等腰三角形，可得出BE =EPP A =2，PB 与△O 相切于点P 可知△APO =60°，故可知P A =2．【解析】（1）证明：连接OA 、OP ，OC ，由旋转可得：△PAB△△PCD ，△PA=PC=DC ，△AP=PC=DC ，△AOP=△POC=2△D ，△APO=△OAP=，又△△BPA=△DPC=△D ，△△BPO=△BPA+=90°△PB 与△O 相切；（2）解：过点A 作AE△PB ，垂足为E ，△△BPA=30°，PB=2，△PAB是等腰三角形；△BE=EP=，PA===2又△PB与△O相切于点P，△△APO=60°，△OP=PA=2．【点评】本题考查的是切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质及锐角三角函数的知识，能根据题意作出辅助线是解答此题的关键．12．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）先连接OD，再由OD△AC和AC△BC可知OD△BC从而得证；（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出．【解析】（1）证明：连接OD，△AD平分△BAC△△1=△2△OA=OD△△1=△3△△2=△3；△OD△AC，又△AC△BC，△OD△BC，△BC是△O的切线，（2）解：△BC与圆相切于点D．△BD2=BE•BA，△BE=2，BD=4，△BA=8，△AE=AB﹣BE=6，△△O的半径为3．【点评】本题考查切线的判定, 相似三角形的判定与性质．解题关键是熟练掌握、恰当选择切线的判定方法.13．（1）详见解析；（2）10．【分析】（1）连接OC ，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，证得△OCD=90°，即可证得CD 是△O 的切线；（2）根据直角三角形有一个角是30度，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得OB=BD.【解析】()1证明：连接OC ，∵CA CD =，120ACD ∠=，∴30A D ∠=∠=，∴223060COD A ∠=∠=⨯=，∴180603090OCD ∠=--=，∴OC CD ⊥，∵OC 是O 的半径，∴CD 是O 的切线；()2由()1得：90OCD ∠=，在直角OCD 中，△30D ∠=，∴2OD OC =，∵OC OB =，∴2OD OB =，∴10OB BD ==，∴O 的半径是10．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，直角三角形的性质，切线的判定定理，难度适中．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．14．（1）见解析；（233． 【分析】（1）如图1中，连接OD ，欲证明ED 是切线，只要证明△EDO=90°即可．（2）如图2中，连接BC ，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD 、DE 即可．【解析】()1证明：如图1中，连接OD ．△45C ∠=，△290AOD C ∠=∠=，△//ED AB ，△180AOD EDO ∠+∠=，△90EDO ∠=，△ED OD ⊥，△ED 是O 切线．()2解：如图2中，连接BC ，△CF DF =，△AF CD ⊥，△AC AD =，△ACD ADC ∠=∠，△//AB ED ，△ED DC ⊥，△90EDC ∠=，在RT ACB 中，△90ACB ∠=，30CAB ∠=，2AB =，△1BC =，AC =△12CF AC ==2CD CF == 在RT ECD 中，△90EDC ∠=，CD 30E CAB ∠=∠=，△2EC CD ==，3ED =，△12ECD S ED CD =⋅⋅= 【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型．15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线定理得到OD △AC ，根据平行线的性质得到DF △OD ，根据切线的判定定理证明即可；（2）证明△CDF △△CAD ，根据相似三角形的性质定理证明即可．【解析】证明（1）如图1，连接OD ．△OA =OB ，BD =DC ，△OD △AC ．△DF △AC ，△DF △OD ，△DF 是△O 的切线；（2）如图2，连接AD ．△AB 为△O 的直径，△△ADB =△ADC =90°，△AD △BC ．又△BD =DC ，△AB =AC ．△DF △AC ，△△DFC =90°，△△DFC =△ADC =90°．又△△C=△C，△△CDF△△CAD，△CD ACCF CD，即：CD2=CF•AC．又△BD=CD，AB=AC，△DB2=CF•AB．【点评】本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．16．（1）见解析；（2）8.【分析】（1）连接OD，由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可确定出DF为圆O的切线；（2）连接OG，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OG垂直于AC，利用三个角为直角且邻边相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形，且边长为3，设AB=AC=x，表示出OA与AG，在直角三角形AOG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长．【解析】解：（1）连接OD．△AB=AC，△△B=△C．△OB=OD，△△B=△ODB，△△ODB=△C，△OD△AC．△DF△AC，△OD△DF，则DF为圆O的切线；（2）连接OG．△AC与圆O相切，△OG△AC，△△OGF=△GFD=△ODF=90°，且OG=OD，△四边形ODFG 为边长为3的正方形，设AB=AC=x，则有AG=x﹣3﹣1=x﹣4，AO=x﹣3．在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2，即（x﹣3）2=（x﹣4）2+32，解得：x=8，则AC=8．【点评】本题考查了切线的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．17．（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）连结AD 、OD ，如图，先证明OD 为△BAC 的中位线，根据三角形中位线性质得OD△AC ，由于DF△AC ，则OD△DF ，于是根据切线的判定定理得DF 是圆O 的切线； （2）作OH△AE 于H ，如图，易得四边形OHFD 为矩形，得到OH=DF=2，设AE=6x ，则AO=5x ，根据垂径定理得到AH=EH=12AE=3x ，在Rt △AOH 中利用勾股定理得到OH=4x ，则4x=2，解得x=12，然后计算10x 即可． 【解析】()1证明：连结AD 、OD ，如图，∵D 是BC 的中点，而OA OB =，∴OD 为BAC 的中位线，∴//OD AC ，∵DF AC ⊥，∴OD DF ⊥，∴DF 是圆O 的切线；()2解：作OH AE ⊥于H ，如图，则四边形OHFD 为矩形，∴2OH DF ==，∵:6:5AE AO =，∴设6AE x =，5AO x =，∵OH AE ⊥， ∴132AH EH AE x ===， 在Rt AOH 中，∵5OA x =，3AH x =， ∴224OH OA AH x -=，∴42x =，解得12x =， ∴2105AB OA x ===，即圆O 的直径为5．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．18．（1）详见解析；（2）33π．【分析】（1）首先作OH△CD ，垂足为H ，由BC 、AD 是△O 的切线，易证得△BOC△△AOE （ASA ），继而可得OD 是CE 的垂直平分线，则可判定DC ＝DE ，即可得OD 平分△CDE ，则可得OH ＝OA ，证得CD 是△O 的切线；（2）首先证得△AOE△△ADO ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OA 的长，然后利用三角函数的性质，求得△DOA 的度数，继而求得答案．【解析】解：（1）作OH CD ⊥，垂足为H ，△BC 、AD 是O 的切线，△CBO OAE 90∠∠==，在BOC 和AOE 中，CBO OAE OB OA BOC AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△BOC AOE ≅，△OC OE =，又△EC OD ⊥，△DE DC =，△ODC ODE ∠∠=，△OH OA =，△CD 是O 的切线；()2△E AOE 90∠∠+=，DOA AOE 90∠∠+=，△E DOA ∠∠=，又△OAE ODA 90∠∠==，△AOE ADO ∽， △EA OA OA AD =， △2OA EA AD 133=⋅=⨯=，△OA 0>，△OA△OA tanE AE= △DOA E 60∠∠==，△DA DH =，OAD OHD 90∠∠==，△DOH DOA 60∠∠==，△120π211S 33π22360⨯⨯=⨯⨯=阴影部分．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）连接CE ，根据等腰三角形的性质得到△1=△2，由弦切角定理得到△2=△BAC ，根据圆周角定理得到△AEC=90°，于是得到△BAC+△3=90°，等量代换得到△1+△3=90°，求得△ACB=90°，即可得到结论；（2）由BC△AC ，EF△AC 求得EF△BC ，于是得到△AEM△△ABD ，△ANF△△ACD ，根据相似三角形的性质得到EM AM BD AD ＝，MF AM CD AD ＝，等量代换得到EM FM BD CD＝，根据比例的性质即可得到结论． 【解析】()1连接CE ， △DE CD =，△12∠∠=，△DE 是O 的切线，△2BAC ∠∠=，△AC 为O 的直径，△AEC 90∠=，△BAC 390∠∠+=，△1390∠∠+=，△ACB 90∠=，△BC 是O 的切线；()2△1390∠∠+=，△BC AC ⊥，△EF AC ⊥，△EF//BC ，△AEM ABD ∽，ANF ACD ∽， △EM AM BD AD =，MF AM CD AD =， △EM FM BD CD=， △12∠∠=，△1B 2BED 90∠∠∠∠+=+=，△B BED ∠∠=，△DE BD =，△BD CD =，△EM FM =．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）725【解析】分析：（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OB ，证明OB△PE 即可．（2）要求sinE ，首先应找出△E 所在的直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE 既可放在直角三角形EAP 中，也可放在直角三角形EBO 中，所以利用相似三角形的性质求出EP 或EO 的长即可解决问题解析：（1）证明：连接OB△PO△AB ，△AC=BC ，△PA=PB,在△PAO 和△PBO 中PA PB AO BO PO PO =⎧⎪=⎨⎪=⎩, △△PAO 和△△PBO ，△△OBP=△OAP=90°，△PB 是△O 的切线．（2）连接BD ，则BD△PO ，且BD=2OC=6在Rt△ACO中，OC=3，AC=4△AO=5在Rt△ACO与Rt△PAO中，△APO=△APO，△PAO=△ACO=90°△△ACO∼△PAO△AO PO CO AO=△PO=253，PA=203△PB=PA=20 3在△EPO与△EBD中，BD△PO△△EPO△△EBD△BD EB PO EP=，解得EB=1207，PE=50021，△sinE=725 PAEP=.点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．。
2022年中考数学专项复习----圆的切线教案
2022年中考数学专项复习—-圆的切线教案一、引言圆是中学数学中的重要概念之一，它具有许多重要的性质和定理。
其中，切线是与圆相切于一点且与圆没有交点的直线。
掌握圆的切线的相关知识和方法对于解决与圆相关的问题至关重要。
本教案旨在帮助学生全面理解并能够灵活运用圆的切线的性质和定理，提高解题能力。
二、知识点1.切线的定义2.圆的切线与切点的性质3.圆的切线定理4.圆内切线和圆外切线的性质三、教学内容与方法1. 切线的定义教学内容首先，介绍切线的定义：切线是与圆相切于一点且与圆没有交点的直线。
教学方法通过示意图和实际生活中的例子，向学生解释切线的定义。
引导学生观察切线与圆的关系，并帮助学生理解切线的特点。
2. 圆的切线与切点的性质教学内容介绍圆的切线与切点的性质： - 切线与半径的垂直关系 - 切线与切点的唯一性 - 切点在切线上的确定教学方法通过示意图和具体的例子，向学生展示圆的切线与切点的性质。
引导学生发现并理解这些性质，并通过练习题巩固学习成果。
3. 圆的切线定理教学内容介绍圆的切线定理： - 切线与半径的垂直关系定理 - 相交弧与切线的垂直关系定理教学方法通过具体的例子和推导过程，向学生阐述圆的切线定理。
引导学生通过观察和分析，理解切线定理的原理，并通过练习题加深理解。
4. 圆内切线和圆外切线的性质教学内容介绍圆内切线和圆外切线的性质： - 圆内切线的性质 - 圆外切线的性质教学方法通过示意图和实际问题，向学生介绍圆内切线和圆外切线的性质。
引导学生发现和总结这些性质，并通过练习题巩固所学知识。
四、教学步骤1.导入：通过提问和小组讨论，引导学生回忆并复习圆的基本概念和性质。
2.讲解：分步讲解切线的定义和切线与切点的性质。
3.实例：通过具体的问题和练习题，引导学生应用所学知识，解决与切线相关的问题。
4.总结：归纳和总结切线的性质和定理。
5.练习：提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
6.拓展：引导学生思考和探索更多与切线相关的问题。
中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________⊥于点D，E是AC上一点，以BE为直径的O交1．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC∠=︒．BC于点F，连接DE，DO，且90DOB(1)求证：AC是O的切线；(2)若1DF=，DC=3，求BE的长．、2．如图，在O中，BC为非直径弦，点D是BC的中点，CD是ABC的角平分线．∠=∠；(1)求证：ACD ABC(2)求证：AC是O的切线；(3)若1BD=，3BC=时，求弦BD与BD围城的弓形面积．是O的切线；=，且AC BD已知等腰ABC，AB=AC为直径作O交BC于点延长线于点F．是O的切线；CD=2，求O的半径．与O相离，，交O于点A是O上一点，连于点C，且PB(1)求证：PB是O的切线；(2)若25AC=，OP=5，求O的半径．6．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且AOD EOD．∠=∠(1)求证：AB是O的切线；BC=，AC=8，求O的半径．(2)若107．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦．(1)尺规作图：过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点D （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若2BD OB ==，求AC 的长．8．如图，ABCD 的顶点,,A B C 在O 上，AC 为对角线，DC 的延长线交O 于点E ，连接,,OC OE AE ．(1)求证：AE BC =；(2)若AD 是O 的切线6,40OC D =∠=︒，求CE 的长．9．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．(1)证明：BC 是O 的切线；(2)若42BD BE ==，，求AB 的长．10．如图，已知O 的弦AB 等于半径，连接OA 、OB ，并延长OB 到点C ，使得BC OB =，连接AC ，过点A 作AE OB ⊥于点E ，延长AE 交O 于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若6BC =，求AD 的长．11．如图，线段AB 经过O 的圆心.O 交O 于A ，C 两点，AD 为O 的弦，连接BD ，30A ABD ∠=∠=︒连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点F ．(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若1BC =，求BF 的长．12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点,CD BD ABC CBD ⊥∠=∠．(1)求证：CD 为O 的切线．(2)当1,4BD AB ==时，求CD 的长．13．如图 已知AB 是O 的直径 BC AB ⊥于B E 是OA 上的一点ED BC ∥交O 于D OC AD ∥ 连接AC 交ED 于F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若8AB = 1AE = 求ED EF 的长．14．如图 AB 是O 的直径 AC BC ，是弦 点D 在AB 的延长线上 且DCB DAC ∠=∠ O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若O 的半径为2 30D ∠=︒ 求AE 的长．15．如图 已知AB 是O 的直径 点P 在BA 的延长线上 弦BC 平分PBD ∠且BD PD ⊥于点D ．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若8cm 6cm AB BD ， 求弧AC 的长．为O的直径在O上连接的延长线交于E．是O的切线；∠tan BDF为O的直径的平分线交O于点E BC的延长线于点(1)求证：DE 为O 切线；(2)若10AB = 6BC = 求DE 的长．18．如图 O 是ABC 的外接圆 点D 在BC 延长线上 且满足CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若AC 是BAD ∠的平分线 3sin 5B =4BC = 求O 的半径．参考答案：1．【分析】此题重点考查圆周角定理 切线的判定定理 勾股定理 三角形的中位线定理 等腰三角形的“三线合一” 线段的垂直平分线的性质等知识 正确地作出辅助线是解题的关键．是O的切线；+=314是O的直径90︒则22BE=+4(22)⊥AD BC是O的半径是O的切线．）连接EFDC=DF33+=+BD DF∠OE DOBDE=．3是O的直径90︒．中EF=中BE=(3)23312π- 【分析】此题考查了解直角三角形 切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法 ．（1）点D 是BC 的中点 可以得到BD CD = 即可得到DBC DCB ∠∠= 再根据角平分线的定义得到ACD BCD ∠∠= 进而得到结论；（2）连接OC OD OB 则可得到OD BC ⊥ 然后根据等边对等角可以得到90OCD ACD ∠∠+=︒ 即可得到结论（3）先求出60ODB ∠=︒ 继而利用OBD OBD S S S=-阴影部分扇形求得答案．【详解】（1）解：如图 ∵点D 是BC 的中点∵BD CD =∵DBC DCB ∠∠=又∵CD 是ABC 的角平分线∵ACD BCD ∠∠=∵ACD ABC ∠∠=；（2）证明：如图 连接OC OD OB∵点D 是BC 的中点∵OD BC ⊥∵90ODC BCD ∠∠+=︒∵OD OC =∵ODC OCD ∠∠=又∵ACD BCD ∠∠=∵90OCD ACD ∠∠+=︒即OC AC ⊥∵OC 是O 的半径∵AC 是O 的切线；Rt BDE 中 ODB ∠=60ODB =︒OB OD =∵OBD 是等边三角形BOD ∠=OBD S S==阴影部分．(1)见解析(2)23进而得出BFG 是等边三角形 是O 的切线；）解：如图所示∵OD AC ⊥∵AD CD =∵BD AC =∵BD AC =∵AD BC =∵AD CD BC ==；∵AB 为半圆O 的直径∵90CAB CBA ∠+∠=︒∵30DAC CAB ABD ∠=∠=∠=︒∵60GBF G ∠=∠=︒ 12GB AG =∵BFG 是等边三角形 223AB AG BG BG =-=∵3233BF BG AB ===． 【点睛】本题考查了切线的判定 弧与弦的关系 直径所对的圆周角是直角 勾股定理 等边三角形的性质与判定 垂径定理 熟练掌握以上知识是解题的关键．4．(1)证明(2)233【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用 掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．（1）连接OD 证明ODB C ∠=∠ 推出AC OD ∥ 即可证明结论成立；（2）连接AD 在Rt CED 中 求得利用三角形函数的定义求得30C ∠=︒ 60AOD ∠=︒ 在Rt ADB 中 利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【详解】（1）证明：连接OD又OB OD=B ODB∴∠=∠ODB∴∠=∠AC OD∥DF AC⊥OD DF∴⊥DF∴是O的切线；（2）连接AD设O半径为Rt CED中3,CE CD=22ED CD∴=-又cosCE CCD ∠=30C∴∠=︒30B∴∠=︒60AOD=∠AB是O的直径．90ADB∴∠=︒12AD AB r ∴== ∵AB AC =∵2CD BD ==又222AD BD AB +=2222(2)r r ∴+=233r ∴=(负值已舍)． 5．(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查的是勾股定理的应用 等腰三角形的性质 切线的判定 熟练的证明圆的切线是解本题的关键；（1）连接OB 证明PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠ 再证明90PBC OBA ∠+∠=︒即可；（2）设O 的半径为r 表示()()22222255PC AC AP r =-=-- 222225PB OP OB r =-=- 再利用PB PC =建立方程求解即可．【详解】（1）解：连接OB∵PB PC = OA OB =∵PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠∵OP l ⊥ OAB PAC ∠=∠∵90BCP CAP BCP OAB ∠+∠=︒=∠+∠∵90PBC OBA ∠+∠=︒∵90OBP ∠=︒∵OB PB ⊥是O 的切线；）设O 的半径为l 2AC =2AC AP =-PB BP 2OP OB =-∵O 的半径为【点睛】．(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查切线的判定和性质证AOB EOB ≌ 得出的半径为r 则OE OA =根据AOB EOB ≌得求得4CE = 在Rt OCE 中运用勾股定理列式求出r 的值即可． ）证明：在AOB 和EOB 中∵()SAS AOB EOB ≌OAF OEF ∠=∠BC 与O 相切OE BC ⊥90OAB OEB ∠=∠=︒AF是O 的半径是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，，∵22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==∵8OC r =-∵,AOB EOB ≌∵6BE AB ==∵10,BC =∵1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=∵()22248r r +=-解得3r =．∵O 的半径为3．7．(1)作图见解析(2)4π3【分析】本题考查了作图 复杂作图 切线的性质 等边三角形的判定与性质 弧长的计算 熟练掌握切线的性质 弧长公式是解答本题的关键．（1）根据题意 连接OC 作OC CD ⊥ 交AB 的延长线于点D 由此得到答案． （2）根据题意 得到OBC △是等边三角形 求出120AOC ∠=︒ 再利用弧长公式 得到答案．【详解】（1）解：如图所示 CD 即为所求．（2）如图所示 连接BCBD）证明：在ABCD中AE AD ∴=∵AE BC =．（2）解：连接OA 过点O 作OF CE ⊥于点F 如图所示：AD 是O 的切线OA AD ∴⊥OA BC ∴⊥AB AC ∴=40AEC B D ︒∠=∠=∠=40ACB B ∴∠=∠=︒在ABCD 中 AD BC ∥40DAC ACB ∴∠=∠=︒又180100DAE D AEC ∠=︒-∠-∠=︒60CAE DAE CAD ∴∠=∠-∠=︒2120COE CAE ∴∠=∠=︒OC OE =30OCE ∴∠=︒OF CE ⊥22cos3063CE CF OC ∴==⋅︒=．【点睛】本题主要考查了切线的性质 解直角三角形 圆周角定理 平行四边形的性质垂径定理 等腰三角形的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握相关的判定和性质．9．(1)证明详见解析；(2)8．【分析】本题考查了切线的判定 勾股定理等知识 熟练掌握切线的判定定理 勾股定理是解题的关键．（1）连接OD 根据平行线判定推出OD AC ∥ 推出OD BC ⊥ 根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出3OD OA OE === 再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：连接OD∵OA OD =∵OAD ODA ∠=∠∵AD 平分BAC ∠∵BAD CAD ∠=∠∵ODA CAD ∠=∠∵OD AC ∥∵180C ODC ∠+∠=︒∵90C ∠=︒∵90ODC ∠=︒∵OD BC ⊥∵OD 为半径∵BC 是O 的切线；（2）解：设OD OE r ==在Rt ODB △中 42BD BE ==，∵2OB r =+由勾股定理 得：()22242r r +=+ 解得：3r =∵3OD OA OE ===∵628AB =+=．10．(1)证明见解析；(2)63．【分析】（1）先证明OAB 是等边三角形 再由性质得出60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒ 再由BC AB =和角度和差即可求解；（2）先根据等边三角形性质求出132OE OA == 再根据勾股定理求得33AE = 最后由垂径定理即可求解；此题考查了等边三角形的判定与性质 勾股定理和垂径定理 解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）证明：∵AB OA OB ==∵OAB 是等边三角形∵60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒∵BC OB =∵BC AB =∵1302BAC BCA OBA ∠=∠=∠=︒ ∵90OAC OAB BAC ∠=∠+∠=︒又∵OA 为O 的半径∵AC 是O 的切线；（2）解：∵6BC =∵6AB OA OB ===∵AD OB ⊥于点E∵30OAE ∠=︒∵132OE OA == ∵2233AE OA OE =-=∵AE OB ⊥∵263AD AE ==．11．(1)见解析∠=）证明：BAD60︒6090︒-︒=OD是O的半径∴直线BD是O的切线；==（2）解：设OD OC△中sin30在Rt BDO解得：1r==+OB OCDE是O的直径∴∠=︒DFE90∠=∠即DFB BDE∠=∠DBF DBE∴△∵BDEBFD△BF BD∴=BD BE337BF ∴= 解得：377BF =． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质 相似三角形的性质和判定 圆周角定理 勾股定理等知识点 作出辅助线构造出相似三角形是解题关键．12．(1)见详解(2)3【分析】（1）连接OC 由∠=∠OCB ABC ABC CBD ∠=∠ 得OCB CBD ∠=∠ 则OC BD ∥ 所以18090OCD D ∠=︒-∠=︒ 即可证明CD 为O 的切线；（2）由AB 为的直径 得90ACB ∠=︒ 则ACB D ∠=∠ 而ABC CBD ∠=∠ 所以C ABC BD ∽△△ 则AB CB CB BD = 可求得CB BD AB =⋅ 由勾股定理得22CD CB BD =-．【详解】（1）证明：连接OC 则OC OB =OCB ABC ∴∠=∠ABC CBD ∠=∠OCB CBD ∴∠=∠OC BD ∴∥CD BD ⊥90D ∴∠=︒18090OCD D ∴∠=︒-∠=︒OC 是O 的半径 且CD OC ⊥CD ∴为O 的切线．（2）解：AB 为的直径ABC∠=ABC CBD ∴∽∴AB CBCB BD=1,4BD AB==1 CB BD AB∴=⋅=22CD CB BD∴=-=CD∴的长是【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质AD OC∥ADO∴∠OA OD=ADO DAO ∴∠=∠DOC BOC ∴∠=∠OD OB OC OC ==，ODC OBC ∴≌△△∴OBC ODC ∠=∠BC AB ⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线；（2）如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB = 1AE =1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=， 227DE BM OD OE ==-=令=7CM x CB CD x ==+， 7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7)7x x ∴+=+解得：37x =47BC ∴=DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽是O的切线．2）在Rt△是O的切线得出Rt EAD中【详解】（1）证明：连接．是O的直径+∠OCA OCBDCB OCB+∠OCD=︒．90是半径经过O的半径外端∵CD 是O 的切线．（2）解：在Rt OCD △中∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 2OC =∵4OD =．∵6AD AO OD =+=．∵AE 是O 的切线 切点为A∵OA AE ⊥．在Rt EAD 中∵90EAD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AD =∵3tan 306233AE AD =⋅︒=⨯=． 15．(1)见解析(2)4π3【分析】本题考查圆与三角形的综合问题 掌握与圆有关的性质 正确作出辅助线是关键．（1）连接OC 根据条件证明OC BD ∥ 即可证明；（2）根据PCO PDB ∽可得PA 利用余弦值可求出COP ∠ 通过弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接OC 如图∵OC OB =∵OCB OBC ∠=∠∵弦BC 平分PBD ∠∵DBC OBC ∠=∠∵OCB DBC ∠=∠．∵OC BD ∥∵BD PD ⊥∵OC PD ⊥．为O 的半径是O 的切线；）解：连接OC∵PCO PDB ∽OC PO BD PB= 8cm AB = BD =14cm 2OC AB ==4468PA PA +=+ Rt OCP 中cos COP ∠=60COP =︒AC 的长=(1)证明见解析； 是O 的切线；证明FBD FDA ∽ 得到1tan tan 4BD A BDF AD ∠=∠== 进而得到164DF = 即可求解； 本题考查了切线的判定 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 余角性质 根据题意 正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连结OD∵CO AB ⊥∵90E C ∠+∠=︒∵FE FD = OD OC =∵E FDE ∠=∠ ∠=∠C ODC∵90FDE ODC ∠+∠=︒∵90ODF ∠=︒∵OD DF ⊥∵FD 是O 的切线；（2）解：连结AD ,OD BD 如图∵AB 为O 的直径∵90ADB ∠=︒∵90∠+∠=︒A ABD∵OB OD =∵OBD ODB ∠=∠∵90A ODB ∠+∠=︒∵FBD FDA ∽DF BD AF AD= 在Rt △ABD 中 tan ∠164DF = 3DF =的平分线交O 于点E∵ED OE ⊥∵DE 为O 切线．（2）过点O 作OM BC ⊥于点M 10AB = 6BC =则132MC MB BC ===,152OB OE AB === 四边形OEDM 时矩形∵DE OM =根据勾股定理 得224DE OM OB BM ==-=．18．(1)见解析(2)103【分析】（1）连接OA OC 与AB 相交于点E 如图 由OA OC = 可得OAC OCA ∠=∠ 根据圆周角定理可得12B AOC ∠=∠ 由已知CAD B ∠=∠ 可得2AOC CAD ∠=∠ 根据三角形内角和定理可得180OCA CAO AOC ∠+∠+∠=︒ 等量代换可得90CAO CAD ∠+∠=︒ 即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠ 由已知可得BAC B =∠∠ 根据垂径定理可得 OC AB ⊥ BE AE = 在Rt BEC △中 根据正弦定理可得3sin 45CE CE B BC === 即可算出CE 的长度 根据勾股定理可算出22BE BC CE =-的长度 设O 的半径为r 则125OE OC CE r =-=- 在Rt AOE △中 222OA OE AE =+ 代入计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OA OC 与AB 相交于点E 如图OA OC =OAC ∴∠AC AC =∴12B ∠=CAD ∠=AOC ∴∠=OCA ∠+2CAO ∴∠+CAO ∴∠+OAD ∴∠OA 是O 的半径AD ∴是O 的切线；（2）解：AC 是∠BAC DAC ∴∠=∠CAD B ∠=∠BAC B ∴∠=∠OC AB ∴⊥ BE =在Rt BEC △中4BC =sin CE B BC ∴=125CE ∴=BE BC ∴=设O 的半径为r ，则125OE OC CE r =-=-在Rt AOE △中222OA OE AE =+ 222121655r r ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：103r =． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，勾股定理及解直角三角形， 熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．。
2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明【含答案】
2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明1．如图，直线AD 经过⊙O 上的点A ，△ABC 为⊙O 的内接三角形，并且∠CAD ＝∠B.（1）判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠CAD ＝30°，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）2．已知：如图， 是 上一点，半径 的延长线与过点 的直线交于 点，A ⊙O OC AB OC =BC ，． AC =12OB（1）求证： 是 的切线；AB ⊙O （2）若 ， ，求弦 的长．∠ACD =45°OC =2CD 3．如图，内接于圆O ，AB 为直径，与点D ，E 为圆外一点，，与BC 交于△ABC CD ⊥AB EO ⊥AB 点G ，与圆O 交于点F ，连接EC ，且．EG =EC（1）求证：EC 是圆O 的切线；（2）当时，连接CF ，∠ABC =22.5°①求证：；AC =CF ②若，求线段FG 的长．AD =14．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，求△ABC的面积．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE（1）求证:直线DE是⊙O的切线103（2）若BE＝，AC＝6，OA＝2，求图中阴影部分的面积6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；10（3）若CD=1，EF= ，求AF长．7．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且3ME＝1，AM＝2，AE＝．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，且PA ＝PB ，点M 是⊙O 外一点，MB 与⊙O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作交⊙O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．AC ∥OM（1）求证：MC 是⊙O （2）若，，连接PC ，求PC 的长．OB =152BC ＝129．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的圆O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED=45°．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 半径为6cm ，AE=10cm ，求∠ADE 的正弦值．10．如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径的半圆O ，与斜边AC 交于D ，E 是BC 边上的中点，连结DE ．（1）DE 与半圆O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD 、AB 的长是方程x 2﹣10x+24=0的两个根，求直角边BC 的长．11．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积．312．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，求证：△BDE △BAD∼（3）若BE ＝，sinB ＝，求AD 的长．523513．如图，已知 内接干 ， 是 的直径， 的平分线交 于点 ，ΔABC ⊙O AB ⊙O ∠CAB BC D 交 于点 ，连接 ，作 ，交 的延长线于点 .⊙O E EB ∠BEF =∠CAE AB F（1）求证： 是 的切线；EF ⊙O （2）若 ， ，求 的半径和 的长.BF =10EF =20⊙O AD 14．如图，在中，，以AC 为直径的分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的△ABC AC =AB ⊙O 延长线上，．2∠BCP =∠BAC（1）求证：CP 是的切线；⊙O （2）若， ，求点B 到线段AC 的距离．BC =6tan∠BCP =1215．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，P 为AB 延长线上一点，∠BCP ＝∠BAC ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，交AB 于点E ，（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：△PEC 是等腰三角形；（3）若AC ＋BC ＝2时，求CD 的长．16．如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=1，ED=2．（1）求证：∠ABC=∠D；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，理由是：作直径AE，连接CE，∵AE为直径，∴∠ACE＝90°，∴∠E+∠EAC＝90°，∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠E，∴∠E＝∠DAC，∴∠EAC+∠DAC＝90°，即OA⊥AD，∵OA过O，∴直线AD与⊙O（2）解：连接OC，过O作OF⊥AC于F，则∠OFA＝90，∵∠CAD＝30°，∠DAO＝90°，∴∠OAC＝60°，∵OC＝OA＝1，∴△OAC是等边三角形，∴AC＝OA＝1，∠AOC＝60°，∵OA ＝OC ，OF ⊥AC ，∴AF ＝FC ＝ ，12由勾股定理得：OF ＝，12−(12)2=3∴阴影部分的面积为： 60π×12360−12×1×32=π6−34【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）作直径AE ，连接CE ，求出∠OAD ＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出△OAC 是等边三角形，再分别求出△OAC 和扇形OCA 的面积，即可得出答案.2．【答案】（1）证明：如图，连接OA ；∴OC=BC=AC=OA. ∴△ACO 是等边三角形.∵OC =BC,AC =12OB,∵AC=BC ， ∴∠CAB=∠B ， 又∠OCA 为△ACB 的外角，∴∠O =∠OCA =60∘，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B ， ∴ 又 ∴AB 是∠B =30∘,∠OAC =60∘，∴∠OAB =90∘， 的切线⊙O （2）解：作AE ⊥CD 于点E ， ∴∵∴在Rt △∠O =60∘，∠D =30∘.∠ACD =45∘，AC =OC =2，ACE 中, ∵∴∴∴CE =AE =2；∠D =30∘，AD =22，DE =3AE =6，CD =DE +CE =6+ 2.【知识点】圆周角定理；切线的判定【解析】【分析】（1） 如图，连接OA ，根据题意得出OC =BC =AC =OA . 根据三边相等的三角形是等边三角形得出 △ACO 是等边三角形 ，根据等边三角形的性质得出∠O=∠OCA=60°,根据等边对等角得出 ∠CAB =∠B ， 根据三角形外角的定理得出 ∠OCA =∠CAB +∠B =2∠B ，故∠B=30°,根据角的和差得出∠OAB=90°，故 AB 是 的切线 ；⊙O （2） 作AE ⊥CD 于点E ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠D=30°,然后根据等腰直角三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系得出CE,DE 的长，进而根据线段的和差即可算出答案。
中考数学专题突破：证明圆的切线
中考数学专题突破：证明圆的切线方法一：等角代换（☆☆☆☆☆）方法二：利用平行线的性质（☆☆）方法三：证明三角形全等或相似（☆）方法四：算出角度方法五：勾股定理方法一：等距替换（找到一个等于90度的角度）【2021山东潍坊22】如图，ab为半圆o的直径，ac是⊙o的一条弦，d为的中点，作de⊥ac，交ab的延长线于点f，连接da．（1）求证：ef为半圆o的切线；【分析】（1）证明：连接OD，∵ D是的中点，∴∠cad=∠bad，∵oa=od∴∠糟糕的=∠阿多∴∠计算机辅助设计=∠阿多∵判定元件⊥交流电，∴∠e=90°∴∠cad+∠eda=90°，即∠ado+∠eda=90°，∴od⊥ef，∴ef为半圆o的切线；[2022年山东德州20号]如图所示，已知RT△ 美国广播公司，∠ C=90°，D是BC的中点，AC为直径的⊙o交ab于点e．（1）求证：de是⊙o的切线；【分析】（1）证明：连接oe、ec，∵ AC是直径⊙ 哦，∵ AEC=∠ BEC=90°，∵ D是BC的中点，∵ ed=DC=BD，∵ 1 = ∠ 2.∵ OE=OC，∵ 3 = ∠ 4.∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠oed=∠acb，∵∠acb=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线；[2022湖北咸宁]如图所示，在哪里？在ABC，AB？交流电，⊙ O和以ab为直径的边缘bc,ac分别交于d,e两点，过点d作df?ac，垂足为点f.（1）验证：DF是⊙ o；【解析】（1）证明：如图，连接od，作og⊥ac于点g，，∵ob=od，∴∠odb=∠b，和∵ AB=AC，∵ C=∠ B∵ ODB=∠ C∵ DF⊥ 交流电，∵ DFC=90°，∵ ODF=∠ DFC=90°，∵ DF是⊙ o【2021四川泸州】如图，△abc内接于⊙o，bd为⊙o的直径，bd与ac相交于点h，ac的延长线与过点b的直线相交于点e，且∠a=∠ebc．（1）求证：be是⊙o的切线；[答：]（1）证明：连接CD，∵bd是直径，∴∠bcd=90°，即∠d+∠cbd=90°，∵∠a=∠d，∠a=∠ebc，∴∠cbd+∠ebc=90°，∴be⊥bd，∴be是⊙o切线．[2022山东滨州23]如图所示，E点为△ ABC，AE的延长线在点F处与BC相交，并与⊙ ABC交叉⊙ o在D点；连接BD并通过d点做一条直线DM，以便∠ BDM=∠ 数模转换器（1）求证：直线dm是⊙o的切线；A.obmdecf【分析】证明：（1）如图1所示，连接do并延伸交叉点⊙ o至G点，连接BG；∵点e是△abc的内心，∴ad平分∠bac，∴∠bad＝∠dac．[∵∠g＝∠bad，∴∠mdb＝∠g，≓ DG是直径⊙ 哦，⊙ GBD＝90°，⊙ g＋∠ BDG＝90°。
初中数学圆切线知识点汇总
初中数学圆切线知识点汇总学校数学圆的切线学问点篇1圆的切线学问常常运用在中考试题中，接下来让我们来学习学校数学圆的切线学问吧。
圆的切线垂直于过切点的半径;经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：(1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。
(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。
〖有关圆的计算公式1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长)5.圆锥侧面积S=πrl6.圆锥侧面绽开图(扇形)的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点，则有pC^2=pA·pB割线定理与切割线定理相像两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点则pA1·pB1=pA2·pB2温馨提示：学校数学圆的切线学问总结，信任聪慧的大家都记忆于心了吧。
学校数学圆的切线学问点篇2一、合理设计课堂结构和问题。
新课程理念及新基础训练理念都提倡“把课堂还给同学，让课堂布满生命活力”，让同学真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使同学的思维处于活跃状态，乐观思索问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。
动得有序，动而不乱。
课堂教学要的不是喧闹场面，而是对问题的深化讨论和思索。
因此，依据这节课的教学内容，我设计了三个活动：（一）、在动手画图的过程中，经受动脑思索、归纳、总结的过程。
得到“经过半径外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线”的结论。
（二）、分析结论。
2023九年级数学下册中考专题训练——圆的切线的证明【含答案】
2023九年级数学下册中考专题训练——圆的切线的证明A AM⊙O B⊙O BD⊥AM D BD1. 如图，点是直线与的交点，点在上，垂足为，与⊙O C OC∠AOB∠B=60∘交于点，平分，．AM⊙O(1) 求证：是的切线；DC=2π(2) 若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．AB⊙O AC BD⊙O OE∥AC BC E B 2. 如图，已知是的直径，，是的弦，交于，过点⊙O OE D DC BA F作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．DC⊙O(1) 求证：是的切线；∠ABC=30∘AB=8CF(2) 若，，求线段的长．△ABC∠B=∠C=30∘O BC O OB3. 如图，中，，点是边上一点，以点为圆心、为半径的圆A BC D经过点，与交于点．AC⊙O(1) 试说明与相切；AC=23(2) 若，求图中阴影部分的面积．ABC⊙O B C D⊙O E BC OE 4. 如图，割线与相交于，两点，为上一点，为弧的中点，BC F DE AC G∠ADG=∠AGD交于，交于，．AD⊙D(1) 求证明：是的切线；∠A=60∘⊙O4ED(2) 若，的半径为，求的长．5. 如图，， 分别是半 的直径和弦， 于点 ，过点 作半 的切线 AB AC ⊙O OD ⊥AC D A ⊙O ， 与 的延长线交于点 ．连接 并延长与 的延长线交于点 ．AP AP OD P PC AB F(1) 求证： 是半 的切线；PC ⊙O (2) 若 ，，求线段 的长．∠CAB =30∘AB =10BF 6. 如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 的中点， 为 延长线上一点，AB ⊙O C ⊙O D AC E OD 且 ， 与 交于点 ，与 交于点 ．∠CAE =2∠C AC BD H OE F(1) 求证： 是 的切线．AE ⊙O (2) 若 ，，求直径 的长．DH =9tanC =34AB 7. 如图， 是 的直径， 是 的弦，， 与 的延长线交于点 ，点 AB ⊙O AC ⊙O OD ⊥AB OD AC D 在 上，且 ．E OD CE =DE(1) 求证：直线 是 的切线．CE ⊙O (2) 若 ，，．OA =23AC =3CD =8. 如图， 是的直径，弦 于点 ，点 在直径 的延长线上，AB ⊙O CD ⊥AB E G DF ．∠D =∠G =30∘(1) 求证： 是 的切线．CG ⊙OCD=6GF(2) 若，求的长．AB⊙O AC D BC D EF AC9. 如图，是的直径，是弦，是的中点，过点作垂直于直线，垂E AB F足为，交的延长线于点．EF⊙O(1) 求证：是的切线．B OF⊙O3(2) 若点是的中点，的半径为，求阴影部分面积．PB⊙O B PO⊙O E F B PO BA 10. 如图，切于点，直线交于点，，过点作的垂线，垂D⊙O A AO⊙O C BC AF足为点，交于点，延长交于点，连接，．PA⊙O(1) 求证：直线为的切线；BC=6AD:FD=1:2⊙O(2) 若，，求的半径的长．AC⊙O B⊙O∠ACB=30∘CB D11. 如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得CB=BD D DE⊥AC E CA BE，过点作，垂足在的延长线上，连接．BE⊙O(1) 求证：是的切线；BE=3(2) 当时，求图中阴影部分的面积．AB⊙O AP⊙O A BP⊙O C12. 已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点．∠P=35∘∠ABP(1) 如图①，若，求的度数；D AP CD⊙O(2) 如图②，若为的中点，求证：直线是的切线．Rt△ABC∠C=90∘D AB AD⊙O BC13. 如图，在中，，点在上，以为直径的与相交于点E AE∠BAC，且平分．BC⊙O(1) 求证：是的切线；∠EAB=30∘OD=3(2) 若，，求图中阴影部分的面积．⊙O PA PC PH∠APB⊙O H H 14. 如图，在中，是直径，是弦，平分且与交于点，过作HB⊥PC PC B交的延长线于点．HB⊙O(1) 求证：是的切线；HB=6BC=4⊙O(2) 若，，求的直径．AB⊙O BD⊙O BD C AB=AC AC15. 已知：是的直径，是的弦，延长到点，使，连接，过D DE⊥AC E点作，垂足为．DC=BD(1) 求证：；DE⊙O(2) 求证：为的切线．AB⊙O C⊙O D AB∠BCD=∠A16. 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且．CD⊙O(1) 求证：是的切线；⊙O3CD=4BD(2) 若的半径为，，求的长．△ABC AC⊙O△ABC∠ABC⊙O17. 如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交D D DE∥AC BC E于点，过点作交的延长线于点．DE⊙O(1) 求证：是的切线．AB=45BC=25DE(2) 若，，求的长．AB O AD∠DBC=∠A18. 如图，是半圆的直径，为弦，．BC O(1) 求证：是半圆的切线；OC∥AD OC BD E BD=6CE=4AD(2) 若，交于，，，求的长．△ABC AO⊥BC O⊙O AC D BE⊥AB 19. 如图，是等边三角形，，垂足为点，与相切于点，交AC E⊙O G F的延长线于点，与相交于，两点．AB⊙O(1) 求证：与相切；ABC8BF(2) 若等边三角形的边长是，求线段的长．AC⊙O BC⊙O P⊙O PB AB 20. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接，，∠PBA=∠C．PB⊙O(1) 求证：是的切线；OP OP∥BC OP=8⊙O22BC(2) 连接，若，且，的半径为，求的长．答案1. 【答案】(1) ，，∵∠B=60∘OB=OC是等边三角形，∴△BOC，∴∠1=∠2=60∘平分，∵OC∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90∘，∴∠OAM=90∘是的切线．∴AM⊙O(2) ，，∵∠3=60∘OA=OC是等边三角形，∴△AOC，∴∠OAC=60∘，∵∠OAM=90∘，∴∠CAD=30∘，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=23∴S阴影=S梯形OADC−S扇形OAC =12(4+2)×23−60⋅π×16360=63−8π3.2. 【答案】(1) 连接，OC，∵OE∥AC，∴∠1=∠ACB是的直径，∵AB⊙O，∴∠1=∠ACB=90∘，由垂径定理得垂直平分，∴OD⊥BC OD BC，∴DB=DC，∴∠DBE=∠DCE又，∵OC=OB，∴∠OBE=∠OCE即，∠DBO=∠OCD为的切线，是半径，∵DB⊙O OB，∴∠DBO=90∘，∴∠OCD =∠DBO =90∘即 ，OC ⊥DC 是 的半径，∵OC ⊙O 是 的切线．∴DC ⊙O (2) 在 中，，Rt △ABC ∠ABC =30∘ ，又 ，∴∠3=60∘OA =OC 是等边三角形，∴△AOC∴∠COF =60∘在 中，，Rt △COF tan∠COF =CF OC ．∴CF =433. 【答案】(1) 连接 ．OA ，∵OA =OB ．∴∠OAB =∠B ，∵∠B =30∘ ．∴∠OAB =30∘ 中：，△ABC ∠B =∠C =30∘ ．∴∠BAC =180∘−∠B−∠C =120∘ ．∴∠OAC =∠BAC−∠OAB =120∘−30∘=90∘ ，∴OA ⊥AC 是 的切线，即 与 相切．∴AC ⊙O AC ⊙O (2) 连接 ．AD ，∵∠C =30∘∠OAC =90∘ ．∴OC =2OA 设 的长度为 ，则 ．OA x OC =2x 在 中，，．△OAC ∠OAC =90∘AC =23根据勾股定理可得：，x 2+(23)2=(2x )2解得：，（不合题意，舍去）．x 1=2x 2=−2 ，∴S △OAC =12×2×23=23，S 扇形OAD =60360×π×22=23π ．∴S 阴影=23−23π答：图中阴影部分的面积为 ．23−23π4. 【答案】(1) 连接 ．OD 为 的中点，∵E BC ，∴OE ⊥BC ，∵OD =OE ，∴∠ODE =∠OED ，∴∠AGD +∠OED =∠EGF +∠OED =90∘ ，∵∠AGD =∠ADG ，即 ，∴∠ADG +∠ODE =90∘OD ⊥AD 是 的切线．∴AD ⊙O (2) 作 于 ．OH ⊥ED H ，∴DE =2DH ，∵∠ADG =∠AGD ，∴AG =AD ，∵∠A =60∘ ，∴∠ADG =60∘，∴∠ODE =30∘ ，∵OD =4 ，∴DH =32OD =23 ．∴DE =2DH =435. 【答案】(1) 连接 ，OC ， 经过圆心 ，∵OD ⊥AC OD O ，∴AD =CD ，∴PA =PC 在 和 中，△OAP △OCP {OA =OC,PA =PC,OP =OP,，∴△OAP ≌△OCP (SSS ) ，∴∠OCP =∠OAP 是 的切线，∵PA ⊙O ．∴∠OAP =90∘，即 ，∴∠OCP =90∘OC ⊥PC 是 的切线．∴PC ⊙O (2) 是直径，∵AB ，∴∠ACB =90∘，∵∠CAB =30∘，∴∠COF =60∘ 是 的切线，，∵PC ⊙O AB =10 ，，∴OC ⊥PF OC =OB =12AB =5 ，∴OF =OC cos∠COF =10 ．∴BF =OF−OB =56. 【答案】(1) 是 的中点，∵D AC ，∴OE ⊥AC ，∴∠AFE =90∘ ，∴∠E +∠EAF =90∘ ，，∵∠AOE =2∠C ∠CAE =2∠C ，∴CAE =∠AOE ，∴∠E +∠AOE =90∘ ，∴∠EAO =90∘ 是 的切线．∴AE ⊙O (2) ，∵∠C =∠B ，∵OD =OB ，∴∠B =∠ODB ，∴ODB =∠C ，∴tanC =tan∠ODB =HF DF =34 设 ，，∴HF =3x DF =4x ，∴DH =5x =9，∴x =95 ，，∴DE =365HF =275 ，，∵∠C =∠FDH ∠DFH =∠CFD ，∴△DFH ∼△CFD ，∴DF CF =FH DF，∴CF =365×365275=485 ，∴AF =CF =485设 ，OA =OD =x，∴OF =x−365 ，∵AF 2+OF 2=OA 2 ，∴(485)2+(x−365)2=x 2解得：，x =10 ，∴OA =10 直径 为 ．∴AB 207. 【答案】(1) 连接 ，OC ，∵OD ⊥AB ，∴∠AOD =90∘ ，∴∠D +∠A =90∘ ，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∵CE =DE ，∴∠ECD =∠D ，∵∠ACO +∠DCE =90∘ ，∴∠OCE =90∘ ，∴OC ⊥CE 直线 是 的切线．∴CE ⊙O (2)5【解析】(2) 连接 ，BC 是 的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ACB =90∘ ，∴∠AOD =∠ACB ，∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADO，∴AO AC =AD AB ，∴233=AD43 ，∴AD =8 ．∴CD =AD−AC =58. 【答案】(1) 连接 ．OC ，，∵OC =OD ∠D =30∘ ．∴∠OCD =∠D =30∘ ，∵∠G =30∘ ．∴∠DCG =180∘−∠D−∠G =120∘ ．∴∠GCO =∠DCG−∠OCD =90∘ ．∴OC ⊥CG 又 是 的半径．∵OC ⊙O 是 的切线．∴CG ⊙O (2) 是 的直径，，∵AB ⊙O CD ⊥AB ．∴CE =12CD =3 在 中，，，∵Rt △OCE ∠CEO =90∘∠OCE =30∘ ，．∴EO =12CO CO 2=EO 2+CE 2设 ，则 ．EO =x CO =2x ．∴(2x )2=x 2+32解得 （舍负值）．x =±3 ．∴CO =23 ．∴FO =23在 中，△OCG ，，∵∠OCG =90∘∠G =30∘ ．∴GO =2CO =43 ．∴GF =GO−FO =239. 【答案】(1) 连接 ，连接 ，OD AD 点 是 的中点，∵D BC ，∴∠1=∠2 ，∵OA =OD ，∴∠2=∠3即 ，∠1=∠2=∠3 ，∴∠1=∠3 ，∴AE ∥OD ，∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF 即 是 的切线．EF ⊙O(2) 点是 的中点， 半径为 ，∵B OF ⊙O 3 ，∴BF =OB =3由（）可知 ，1OD ⊥EF 在 中，Rt △ODF ，∵sinF =OD OF =36=12 ，，∴∠F =30∘∠DOF =60∘故S 阴影=S △ODF −S 扇ODB=12OD ⋅DF−60∘360∘π×32=3×332−32π=32(33−π).故阴影面积为：．32(33−π)10. 【答案】(1) 如图，连接 ．OB 是 的切线，∵PB ⊙O ．∴∠PBO =90∘ ， 于 ，∵OA =OB BA ⊥PO D ，．∴AD =BD ∠POA =∠POB 又 ，∵PO =PO ．∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO =∠PBO =90∘ 直线 为 的切线．∴PA ⊙O (2) ，，，∵OA =OC AD =BD BC =6 ．∴OD =12BC =3设 ．AD =x ，∵AD:FD =1:2 ，．∴FD =2x OA =OF =2x−3在 中，由勾股定理，得 ．Rt △AOD (2x−3)2=x 2+32解之得，，（不合题意，舍去）．x 1=4x 2=0 ，．∴AD =4OA =2x−3=5即 的半径的长 ．⊙O 511. 【答案】(1) 如图所示，连接 ，BO ，∵∠ACB =30∘ ，∴∠OBC =∠OCB =30∘，，∵DE ⊥AC CB =BD 中，，∴Rt △DCE BE =12CD =BC ，∴∠BEC =∠BCE =30∘ 中，，∴△BCE ∠EBC =180∘−∠BEC−∠BCE =120∘ ，∴∠EBO =∠EBC−∠OBC =120∘−30∘=90∘ 是 的切线．∴BE ⊙O (2) 当 时，，BE =3BC =3 为 的直径，∵AC ⊙O ，∴∠ABC =90∘又 ，∵∠ACB =30∘ ，∴AB =tan 30∘×BC =3 ，，∴AC =2AB =23AO =3 ∴S 阴影部分=S 半圆−S Rt △ABC =12π×AO 2−12AB ×BC=12π×3−12×3×3=32π−32 3.12. 【答案】(1) 是 的直径， 是 的切线，∵AB ⊙O AP ⊙O ，∴AB ⊥AP ；∴∠BAP =90∘又 ，∵∠P =35∘ ∴∠ABP =90∘−35∘=55∘(2) 如图，连接 ，，．OC OD AC 是 的直径，∵AB ⊙O （直径所对的圆周角是直角），∴∠ACB =90∘ ；∴∠ACP =90∘又 为 的中点，∵D AP （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；∴AD =CD 在 和 中，△OAD △OCD {OA =OC,OD =OD,AD =CD, ，△OAD ≌△OCD (SSS ) （全等三角形的对应角相等）；∴∠OAD =∠OCD 又 是 的切线， 是切点，∵AP ⊙O A ，∴AB ⊥AP ，∴∠OAD =90∘ ，即直线 是 的切线．∴∠OCD =90∘CD ⊙O13. 【答案】(1) 平分 ，∵AE ∠BAC ，∴∠CAE =∠EAD ，∵OA =OE ，∴∠EAD =∠OEA ，∴∠OEA =∠CAE ，∴OE ∥AC ，∴∠OEB =∠C =90∘ ，∴OE ⊥BC 是 的切线．∴BC ⊙O (2) ，∵∠EAB =30∘ ，∴∠EOD =60∘ ，∴∠OEB =90∘ ，∴∠B =30∘ ，∴OB =2OE =2OD =6 ，∴BE =OB 2−OE 2=33，，∴S △OEB =932S 扇形=3π2 ．∴S 阴影=932−3π214. 【答案】(1) 如图，连接 ．OH 平分 ，∵PH ∠APB ．∴∠HPA =∠HPB ，∵OP =OH ．∴∠OHP =∠HPA ．∴∠HPB =∠OHP ．∴OH ∥BP ，∵BP ⊥BH ．∴OH ⊥BH 是 的切线．∴HB ⊙O (2) 如图，过点 作 ，垂足为 ．O OE ⊥PC E ，，，∵OE ⊥PC OH ⊥BH BP ⊥BH 四边形 是矩形．∴EOHB ，．∴OE =BH =6OH =BE ．∴CE =OH−4 ，∵OE ⊥PC．∴PE =EC =OH−4=OP−4在 中，，．Rt △POE OP 2=PE 2+OE 2 ．∴OP 2=(OP−4)2+36 ．∴OP =132 ．∴AP =2OP =13 的直径是 ．∴⊙O 1315. 【答案】(1) 连接 ，AD 是 的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ADB =90∘又 ，∵AB =AC ．∴DC =BD (2) 连接半径 ，OD ，，∵OA =OB CD =BD ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =∠CED 又 ，∵DE ⊥AC ，∴∠CED =90∘ ，即 ，∴∠ODE =90∘OD ⊥DE 是 的切线．∴DE ⊙O 16. 【答案】(1) 连接 ．OC 是 的直径， 是 上一点，∵AB ⊙O C ⊙O ，即 ．∴∠ACB =90∘∠ACO +∠OCB =90∘ ，，∵OA =OC ∠BCD =∠A ，∴∠ACO =∠A =∠BCD ，即 ，∴∠BCD +∠OCB =90∘∠OCD =90∘ 是 的切线．∴CD ⊙O (2) 在 中，，，，Rt △OCD ∠OCD =90∘OC =3CD =4 ，∴OD =OC 2+CD 2=5 ．∴BD =OD−OB =5−3=217. 【答案】(1) 连接 ，OD 是 的直径，∵AC ⊙O，∴∠ABC =90∘ 平分 ，∵BD ∠ABC ，∴∠ABD =45∘ ，∴∠ODE =90∘ ，∵DE ∥AC ，∴∠ODE =∠AOD =90∘ 是 的切线．∴DE ⊙O (2) 在 中，，，Rt △ABC AB =45BC =25 ，∴AC =AB 2+BC 2=10 ，∴OD =5过点 作 ，垂足为 ，C CG ⊥DE G 则四边形 为正方形，ODGC ，∴DG =CG =OD =5 ，∵DE ∥AC ，∴∠CEG =∠ACB ，∴tan∠CEG =tan∠ACB ，即 ，∴CG GE =AB BC 5GE =4525解得：，GE =52 ．∴DE =DG +GE =15218. 【答案】(1) 是半圆 的直径，∵AB O ，∴BD ⊥AD ，∴∠DBA +∠A =90∘ ，∵∠DBC =∠A ，即 ，∴∠DBA +∠DBC =90∘AB ⊥BC 是半圆 的切线．∴BC O (2) ，∵OC ∥AD ，∴∠BEC =∠D =90∘ ，，∵BD ⊥AD BD =6 ，∴BE =DE =3 ，∵∠DBC =∠A ，∴△BCE ∽△BAD ，即 ，∴CE BD =BE AD 46=3AD ．∴AD =4.519. 【答案】(1) 过点 作 ，垂足是 ．O OM ⊥AB M 与 相切于点 ，∵⊙O AC D ，∴OD ⊥AC ，∠ADO =∠AMO =90∘ 是等边三角形，，∵△ABC AO ⊥BC 是 的角平分线，∴OA ∠MAD ，，∵OD ⊥AC OM ⊥AB ．∴OM =OD 与 相切．∴AB ⊙O (2) 过点 作 ，垂足是 ，连接 ．O ON ⊥BE N OF ，，∵AB =AC AO ⊥BC ∴ 是 的中点，O BC ，∴OB =12BC =12×8=4 在直角 中，，，△ABC ∠ABE =90∘∠MBO =60∘ ，∴∠OBN =30∘ ，，，∵ON ⊥BE ∠OBN =30∘OB =4 ，，∴ON =12OB =2BN =42−22=23 ，∵AB ⊥BE ∴四边形 是矩形，OMBN ．∴BN =OM =23 ．∵OF =OM =23由勾股定理得 ．NF =(23)2−22=22 ．∴BF =BN +NF =23+2220. 【答案】(1) 连接 ，如图所示：OB 是 的直径，∵AC ⊙O ，∴∠ABC =90∘ ，∴∠C +∠BAC =90∘ ，∵OA =OB ，∴∠BAC =∠OBA ，∵∠PBA =∠C ，即 ，∴∠PBA +∠OBA =90∘PB ⊥OB 是 的切线．∴PB ⊙O (2) 的半径为 ，∵⊙O 22，，∴OB =22AC =42 ，∵OP ∥BC ，∴∠CBO =∠BOP ，∵OC =OB ，∴∠C =∠CBO ，∴∠C =∠BOP 又 ，∵∠ABC =∠PBO =90∘ ，∴△ABC ∽△PBO ，即 ，∴BC OB =AC OP BC 22=428 ．∴BC =2。
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中考数学专题圆的切线晃位置关系
第一部分真题精讲
【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tan C=1
2
，求⊙O的直径．
A
【例2】已知：如图，⊙O为ABC
∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF
∠，过点A作AD BF
⊥
于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1
BD=，
1
tan
2
BAD
∠=，求⊙O的半径
.
F
C
F
C
【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交 于点F ，且8BE =
，tan BFA ∠=
O 的半径长.
【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin E ∠的值．
【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .
（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.
G F
E
D
C
B
A
C
第二部分 发散思考
【思考1】如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.
【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。
同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB 就会得到一个和C 一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。
第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。
【思考2】已知：AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交 ⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB . （1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径等于4，4
tan 3
ACB ∠=
，求CD 的长. 【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。
重点在于如何利用∠D=∠ACB 这个条件，去将他们放在RT 三角形中找出相等，互余等关系。
尤其是将∠OBD 拆分成两个角去证明和为90°。
【思考3】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC
于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=13
时，求⊙O 的半径.
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。
主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。
放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。
A B
C D O
【思考4】如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，
D 为BC 上一点， C
E ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就
是无切线问题的代表。
此题的关键在于如何在图形中找到和BD 相等的量来达到转化的目的。
如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考5】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．
（1） 求证：DE 是⊙O 的切线；
（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。
题目中虽未给出AC 评分角EAD 这样的条件，但是通过给定
CE=CF ，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC 和△CAF 是全等的。
于是问题迎刃而解。
第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。
F A O B C
D
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.
∴ ∠EAB +∠E =90°. ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ，
∴ ∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线. （2）解：由（1）可知∠ABE =90°.
∵ AE =2AO =6, AB =4,
∴ 5222=-=
AB AE BE . ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB ,
∴ .cos cos E BAD ∠=∠ ∴ .AE
BE
AD AB = .6
524=AD 即
∴ 5
5
12=
AD .
【思考2解析】 解：（1）直线BD 与⊙O 相切． 证明：如图3，连结OB ．-
∵ ∠OCB =∠CBD +∠D ，∠1=∠D ， ∴ ∠2=∠CBD ． ∵ AB ∥OC ， ∴ ∠2=∠A ． ∴ ∠A =∠CBD ． ∵ OB=OC ，
∴ 23180BOC ∠+∠=︒， ∵ 2BOC A ∠=∠，
∴ 390A ∠+∠=︒． ∴ 390CBD ∠+∠=︒． ∴ ∠OBD =90°．
∴ 直线BD 与⊙O 相切．
（2）解：∵ ∠D =∠ACB ，4
tan 3
ACB ∠=， ∴ 4
tan 3
D =
． 在Rt △OBD 中，∠OBD =90°，OB = 4，4
tan 3
D =， ∴ 4sin 5
D =，5sin OB
OD D
=
=．
D
∴ 1CD OD OC =-=．
【思考3解析】
1）证明：连结OM ，则OM OB =． ∴12∠=∠．
∵BM 平分ABC ∠． ∴13∠=∠． ∴23∠=∠． ∴OM BC ∥．
∴AMO AEB ∠=∠．
在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线， ∴AE BC ⊥． ∴90AEB ∠=°． ∴90AMO ∠=°． ∴OM AE ⊥． ∴AE 与O ⊙相切．
（2）解：在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，
∴1
2
BE BC ABC C =
∠=∠，． ∵1
4cos 3
BC C ==，，
∴1
1cos 3
BE ABC =∠=，．
在ABE △中，90AEB ∠=°， ∴6cos BE
AB ABC
=
=∠．
设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-． ∵OM BC ∥，
∴AOM ABE △∽△．
∴
OM AO
BE AB =
． ∴626
r r -=． 解得3
2
r =．
∴O ⊙的半径为3
2
．
【思考4解析】
证明：如图3，在AE 上截取AF=BD ，连结CF 、CD ．
在△ACF 和△BCD 中，
, , , AC BC CAF CBD AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △ACF ≌△BCD ．
B
∴ CF=CD .
∵ CE ⊥AD 于E ， ∴ EF=DE .
∴ AE AF EF BD DE =+=+.
【思考5解析】 证明：（1）连接OC,
,,,1 2.,2 3.1 3.//..AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴又是
的切线.
00(2)6,1
3.2
3,6,
30.60.
9,
19
22
,3.
AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC BC OB =∴==
=∆==+=∴∠=∠=∆=+=∴==
∆∠=∴==0解：在中，在中， A 在中，COD=60。