高数定积分概念与性质
6.1 定积分的概念与性质 课件 《高等数学》(高教版)
(2)定积分
是一个数值，它的大小仅与被积函数
和积分区间
关，而与积分区间的分法、点 的选取方法及积分变量的符号无关，即
(3)我们规定：
(4)“分割-近似-求和-取极限”是定积分的思想方法.
有
三、定积分的几何意义
在区间
1、如果函数
几何上表示由曲线
积A，即
2、如果函数
几何上表示由曲线
的相反数，即
数，且
是时间 在区间
上的连续函
，计算质点在这段时间内经过的路程 。
由于速度是变量，即速度
是随着时间
“速度×时间”来计算. 但是，若把时间区间
而变化，因此，路程s不能直接用
分成许多小时间段，因质点运动
的速度是连续变化的，则在每个小段时间内，速度变化不大，可以近似地看作是匀
速的. 于是，在时间间隔很短的条件下，可以用“匀速”近似地代替“变速”，从而
形分割成许多小曲边梯形，每个小区间上对应的小曲边梯形面积近似地看成小矩形，所有的小矩
形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值. 显然分割越细，每个小曲边梯形的顶部越接近平
顶，即每个小曲边梯形越接近小矩形，从而误差就越小. 因此，将区间[, ]无限的细分，并使
每个小曲边梯形的底边长都趋近于零，则小矩形面积之和的极限就可定义为所要求曲边梯形的面
的近似值，即
为底，
.
为高的小矩
(3)求和（近似和）：把n个小曲边梯形面积的近似值累加起来，就得到曲边梯形面积A
的近似值，即
(4)取极限：若记
， 则当
时，所有小区间的长度都趋于
零．如果上述和式的极限存在，这个极限值就是曲边梯形面积的精确值，即
实例2 变速直线运动的路程
高等数学自考5.1定积分的概念与性质
a b
b
b
b
a
说明： 可积性是显然的. 在区间 说明： | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的
23 上一页 下一页
性质6 性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值， 上的最大值及最小值，
性质3 性质3
b
假设a < c < b
c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
例 若 a < b < c,
f ( x )dx .
补充： 的相对位置如何, 上式总成立. 补充：不论 a , b, c 的相对位置如何 上式总成立
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx
§1
定积分的概念与性质
一、定积分概念的引入 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 五、小结
1 上一页 下一页
一、定积分概念的引入
实例1 实例1 （求曲边梯形的面积）
y
y = f (x)
曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
n
2
1 1 1 = 1 + 2 + , 6 n n
λ →0 ⇒n→∞
2
∫0 x
1
2
dx = lim ∑ ξ i ∆xi
λ → 0 i =1
n
1 1 1 1 = lim 1 + 2 + = . n→ ∞ 6 n n 3
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
高等数学PPT课件：定积分的概念与性质
(2) 任取 i xi , f (i )xi (i 1,2, , n)
n
(3) 并作和 S f (i )xi i 1
(4) 记 max{ x1, x2 , , xn },
定积分的概念与性质
性质7(定积分中值定理）f ( x)在[a,b]上 连续,
至少存在一点 [a,b] 积分中值公式
ab f ( x)dx f ( )(b a) (a b).
证
m(b
a)
b
a
f
(
x
)
dx
M(b a)
m
b
1
a
b
a
f
(
x)dx
M
闭区间上连续函数介值定理: [a,b]
f
(
(a b)
平均值公式
27
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
积分中值公式的几何解释
y f ( ) •
y f (x)
O
a
•
bx
曲边梯形的面积 ==矩形的面积
28
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
例
求证
lim
n
na
n
sin xdx x
定积分
definite integral
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 ---一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
高数-定积分的概念
bx
(1)分割 任取一组分点
a x0 x1 x2 ... xn1 xn b
把[a, b]分 割 成n个 子 区 间 ， 第k个 子 区 间 的长度为：xk xk xk1 (k 1,2,n)
直线x xk (k 1,2,...n-1)把曲边梯形分成 n个小曲边梯形；
(2) 近似
t k t k t k 1 (k 1,2, ,n)
(2) 近似
任 取 k [tk1 , tk ],则 在 时 间 段[tk1 , tk ]上 可 看 成
匀 速 运 动 ， 因 而 在[tk1 , tk ]上 走 过 的 路 程
sk v( k )tk
(3). 求和 总路程
n
s v( i )t i i 1
n
lim n
积分上下限的规定
1.当积分上限b小于积分上限a时，规定
b
a
a f ( x)dx b f ( x)dx
即交换积分上下限时，积分值要变号
2 当a b时，规定 a f ( x)dx 0 a
4. 曲线弧 y= f (x) (f (x)>0)与直线 x=a, x=b, y=0 围成的曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
o
x
当 f(x) 在 [a, b] 上有正有负时，分成几段考虑。 y
y f (x)
A1
A3
a
o c A2
d
bx
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
若已知 f (x) 可积，则说明积分值与[a, b] 的
分法和 k 的取法无关， 故可取一种易于
运算的特殊分法与特殊的 ห้องสมุดไป่ตู้ 来求定积分。
（4）取极限
高数《定积分》章节重点--期末重点
1exdx 1ex2dx
0
0
高 3. 积分的导数
变限积分求导公式：
d ( (x) f (t)dt) f ( (x)) (x) f ((x))(x)
dx ( x)
帮
常见题型 1．计算下列各导数:
(1) d x2 1 t3 dt ;
dx 0
解： d x2 1 t3 dt 1 (x2 )3 d (x 2 ) 2x 1 x6 .
帮 （换元法）
解 令 1 e2x =u ，则 u2 1 e2x e2x 1 u2来自 x= 1 ln 1 u2 . 2
数 数 原式
3 2
ud
(
1
ln(1
u
2
))
0
2
0
3 2
u(
1 2
)
2 u 1 u2
du
3 2 0
1
u
2
u
2du
3 2 0
u
2
1
1 u2
1du
.
3
高 高
3 2
x
dx.
（凑微分）
解
原式
0
1
1 cos2
x
d
cos
x
arctan(cos
x)
0
arctan(cos ) arctan(cos 0) ( ) . 4 42
常考题型 3 1 xe2xdx. 0
（分部积分）
帮
数 解
原式 1 2
1 xde2x
0
1 2
xe2 x
1 0
1
帮
lim
x0
x sin t 2dt
0
x3
lim x0
高数上册习题3-4,3-5部分习题解答
x 2 xf ( x )cos f ( t )dt 0
2
2
（4）因为 F ( x ) sin( x t )2 dt
0
x
令 xt u
则t x u
0 x
sin u2 ( 1)du
恒等 x sin u2du ， 0 变形
x 所以 F ( x ) sin u2du sin x 2 . 0
0
（5） F ( x ) tf ( x 2 t 2 )dt .
x 解： （1） F ( x ) 1 t 2 dx 1 x 2 . 0 sin x sin x x （2） F ( x ) cot tdt cot tdt cot tdt x a a
1 1 0 0
解： （1）因为在 0 ,1 上 2 x e x ，所以 2 x dx e x dx . （2）因为在 0 ,1 上 x 2 x 3 ，所以 0 x 2dx 0 x 3dx .
1 1
（3）因为在 1 , 2 上 ln x 1 ，则 ln x (ln x )2 ，所以 1 ln xdx 1 (ln x )2 dx .
习题 3-4
2 2 1 1
定积分的概念与性质
1．等式 ln xdx ln udu 是否成立？为什么？ 解：成立，根据定积分的几何意义， ln xdx 与 ln udu 表示的同一个平面图形面积的代数
1 1 2 2
和。 2．根据定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负. （1） 2 sin xdx ；
（19） sin(ln x )dx ；
高数 第五单元 定积分
第五单元 定积分5-1 定积分概念，性质和微积分基本公式[教学基本要求]高等数学 1．理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理.2．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理.3．掌握牛顿-莱布尼兹公式.微积分 1.了解定积分的概念和几何性质；了解定积分的基本性质和积分中值定理. 2.了解变上限定积分；会求变上限定积分的导数； 3.熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分.[知识要点]1. 定积分的意义中要点可概括为以下五点：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上有意义；（2）把区间[,]a b 任意分割成n 个小区间；（3）作乘积()i i f x ξ⋅∆,i ξ1[,]i i x x -∈且取和1()nn iii S f x ξ==∆∑；（4）求和式nS ，当0λ→时的极限，这个极限不仅存在且与区间[,]a b 的分法和点i ξ的取法无关；（5）这个极限值就称为函数()f x 在[,]a b 上的定积分。
由此可以看出，第一点是条件；第二、三、四是作法，第五点是结论。
再概括就是：“分割取近似，求和取极限”。
提示注意：①定义中所说的极限存在是指对于区间的任意分法，i ξ的任意取法，只要当0λ→时，则积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ都趋于一个共同的数值。
因此有:② 定积分⎰badx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记 法无关，即⎰ba dx x f )(=⎰b adt t f )(=⎰b adu u f )(. ③a b =时，⎰b adx x f )(=⎰aadx x f )(=0. ④ 当a b >时，⎰badx x f )(()abf x dx =-⎰如果函数()f x 在区间[,]a b 上可积，称()f x 在[,]a b 上的定积分存在。
2．可积函数类：下列函数均可积：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在[,]a b 上单调有界；③()f x 在[,]a b 上有界且至多有有限个第一类间断点3. 定积分的几何意义： 在[,]a b 上，若()0f x ≥，则()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =，两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形的面积.一般情形下⎰badx x f )(的几何意义为：这是介于x 轴，函数()f x 的图形及两条直线x a =，x b =之间各部分面积的代数和（规定对x 轴下方图形的面积赋予负号）.4. 定积分的性质以下均设()f x ，()g x 在[,]a b 上可积① (线性性质)定积分对被积函数具有线性质性，即⎰±badx x g x f )]()([=⎰badx x f )(±⎰badx x f )(，⎰b adx x kf )(=⎰badx x f k )(（k 为常数）②(定积分对积分区间的可加性)设a b c <<，如果将区间[,]a b 分为[,]a c ， [,]c b 则：⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(③如果()f x ()g x ≤（[,]x a b ∀∈）则⎰badx x f )(⎰≤badx x g )(特别地注意：当()0f x ≥，（[,]x ab ∀∈），则⎰≥bax f 0)(；若()f x 在[,]a b 上可积，则|()|f x 在[,]a b 上也可积,且⎰badx x f )(⎰≤badx x f )(④(积分估计)，设,M m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰⑤若()f x 与()g x 在[,]a b 上仅在有限个点处的值不相等，则有⎰badx x f )( =⎰badx x g )(.⑥（积分第一中值定理）设()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少有一个数ξ，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立.提示注意：通常称dx x f a b ba⎰-)(1为函数()f x 在[,]a b 上的平均值.5. 变上限定积分 定积分⎰xadt t f )(是上限变量x 的函数，记作()()xax f t dt Φ=⎰，称为变上限定积分.注：①如果()f x 在[,]a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.②如果()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且有[])()(/x f x x =Φ.③如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ可微，则()()[()]()x a d f t dt f x x dxϕϕϕ'=⎰. ④如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ，)(x ψ均可微，则[]()//()()()()[()]()x x d f t dt f x x f x x dx ψϕψψϕϕ=-⎰ ①②两式合起来就是通常所说的原函数存在定理,它揭示了“连续函数必有原函数”这一基本结论.6．牛顿——莱布尼兹公式若函数()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，则)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰，通常把这一公式又叫做微积分基本公式。
高数讲义第一节定积分的概念与性质(一)
n
Sn f (1) x1 f (2) x2 f (n) xn f ( i ) x i
i1
y
f ( 1)
f ( i )
y f (x)
S1 S2 …… Si … Sn
0 a x0 1 x1 x2 xi1 i xi xn1 xn b x
该时刻的速度记为 v( i )
当区间 [ t i1 , t i ] 很小时，可近似地将物体在该 区间上的运动看作匀速运动
因此物体在 [ t i1 , t i ] 上运动的近似距离为
si v( i) t i ,
n
s sn v(1)t1 v( 2)t2 v( n)tn v( i ) t i
（3）显然，当区间划分得越细，即每个小区间
越窄时，Sn 越接近曲边梯形的面积 S
令
x
max
{
x1
,
x2
,
xn
}
记为
n
max { xi
i
}
所以
S lim Sn
x0
lim
x
0
i1
f
(
i
)
x
i
（二）变速直线运动的距离
作匀速直线运动的物体（常速度记为 v ），在 时间段 [ a , b ] 上运动的距离为：s = v ( b － a )
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积的负值
f
(x)
有正有负时，
b
a
f
(
x
)dx
?
A1 A2
A3 A4
b
a f
( x)dx
高数讲义第一节定积分的概念与性质(二)
1 ba
b
a f (x)d x
b
a f ( x)d x f ( ) (b a)
性质7（中值定理）：如果 f (x) 在区间 [ a , b ]
上连续，则至少存在一点 [ a , b ] , 使得
b
a
f (x)d x
f ( )
(b a)
f ( )
1 ba
b
a
f
(x)d x
y
f ( )
y f (x)
例1：比较积分
2
1
ln x d x
和
2
1
(ln
x
)
2
d
x
的大小。
解： 因为在区间 [ 1 ，2 ] 上， 0 ln x 1
且除 x 1外, 恒有 ( ln x) 2 ln x ,
因此
2
1
(ln
x
)
2
d
x
2
1 ln x d x
推论2：
b
b
f (x)d x | f (x) |d x
(a b)
值两和边最同大除值以，b则－对a任(何注一意常到数bc－: ma >0c) M ,
至少存在一点m
1
b
[
a
b
aa,
bf
(]x，)d x使得M:
f ( ) = c
即常数
c 1 ba
b
a f (x)d x
介于 m 和 M 之间
由介值定理的推论，至少存在一点 [ a , b] , 使得
或写成
f ( )
（二）基本性质
性质1：代数和的积分等于积分的代数和，即
b
b
b
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
同济大学高等数学§3.1定积分的概念与性质
。
y f (x)
3．若
f
( x)C[a,b]，且 f ( x)
有正有负时，则
b a
f ( x)dx
等于由连续曲线 y f ( x) ，直线 x a ， xb 及 x 轴 所
围成的几个曲边梯形面积的代数和，在 x 轴 上方的面积
取正号，在 x 轴 下方的面积取负号。
y
A1
ao
y f (x)
A2
A3
b
∴ f ( x) 在[0，1]上单增， f ( x) f (0)0 ，
即 xln (1 x)0 ，故 xln(1 x) 。
∴由性质 5 知
1 xdx
0
1
ln(1
0
x
)dx
。
例
4．证明不等式
2 4e
2
e
x
2
x
dx
2e
2
。
0
证：设 f (x) ex2x ，则 f (x)C[0, 2] 。
f ( x)(2x 1)e x 2 x ，令 f ( x)0 ，得驻点x 1 ，
b
f
() a
f ( x)g( x)dx
b
a g( x)dx
，即
b a
f
( x)g( x)dx
f
()
b a
g(
x)dx
。
推论：若 f ( x)C[a,b]，则 [a,b] ，使得
b a
f
(
x)dx
f
()(ba)
。
在[a, b] 上以连续曲线
y
y f ( x) 为曲边的曲边梯 形面积等于以区间[a, b] f ()
x
b
高数考研基础班第五章 定积分
b−a 解 [ 理 为f ( x)在 a, b]上 平 值. 的 均
= f (ξ )
因 故它是有限个数的平均值概念的推广. 故它是有限个数的平均值概念的推广
1 n = lim ∑ f (ξi ) n→∞ n i =1
9
5.积分上限函数 积分上限函数
Φ( x) = ∫ f (t)dt
a
x a
x
认识它吗？ 认识它吗？
x
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a a
x
+ lim
x →b
x →+∞
∫
x
x a
f ( t )dt
∫
b
a
f ( x )dx = lim− ∫ f ( t )dt
a
(b瑕点)
11
二、与概念有关的问题
定积分定义 ☆定积分定义
O
∫
b a
0 x
则下列结论正确的是（ 则下列结论正确的是（C ） 5 3 B. F (3) = F (2) A. F (3) = − F ( − 2) 4 4 5 3 D. F (−3) = − F (−2) C. F ( − 3) = F (2) 4 4
3 F (3) = F ( − 3) = π 8
F (2) = F ( −2) =
λ → 0 i =1
n
∫
b
a
f ( x)dx.
T2
1
4
变速直线运动的路程
s = lim
∑ v (τ i ) ∆ t i = ∫T λ→0
i =1
n
v(t )dt.
2.存在定理 存在定理
定理的证明省略,只要求记住结论 定理的证明省略 只要求记住结论. 只要求记住结论
高等数学(微积分)课件--§6.1定积分的概念与性质
y = f (x)
O a
b x
3
无限细分、无限求和
处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！
y y= f (x)
O
a
b
x
4
曲边梯形的面积计算—分割
设函数在区间[a,b]上连续, y=f(x)≥0 y 分割：
任意插入n-1个分点：
a x0 x1 xn 1 xn b
T1 t0 t1 t n 1 t n T2
把[T1,T2]分成n小段[ti-1, ti] (i=1,2,…,n),每小段 时间长度∆ti= ti- ti-1 ;相应地,位移也分成n段∆si v ②取近似: ∆siv(i)∆ti (i=1,2,…,n) v vt ③求和:
浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一)
微积分
第六章 定积分
§6.1定积分的概念与性质 §6.2微积分基本定理 §6.3定积分计算方法 §6.4定积分的应用 §6.5广义积分初步
1
§6.1定积分的概念与性质
一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 在本节中我们将从一些实际问题的计算里 提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问 题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性 质、几何意义。
s v i ti
i 1 n
④取极限: 所求位移为
s lim
0
T1
T2
v t (其中 maxt )
i i i 1
1i n i
n
O
t 0 ... ti 1 t i ... t n
t
10
解决此类求和问题的数学模式
高数积分总结
高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1如果在区间I上，可导函数F (x)的导函数为f(x)，即对任一x I , 都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x) 就称为f(x)( 或f(x)dx) 在区间I 上的原函数。
定义2:在区间I上，函数f (x)的带有任意常数项的原函数称为f (x)(或者f(x)dx )在区间I上的不定积分，记作f(x)dx 。
性质1:设函数f(x) 及g(x) 的原函数存在，则[ f(x) g ( x)] dx f (x)dx g(x)dx 。
性质2:设函数f(x) 的原函数存在，k 为非零常数，则kf(x)dx k f (x)dx 。
2、换元积分法(1) 第一类换元法:定理1:设f(u) 具有原函数，(x) 可导，则有换元公式f[ (x)] '(x)dx [ f( )d ] 。
其中1(x)是 x (t)的反函数。
例:: dx求2 2x a(a 0) 解 •/ 1 tan 21 sec 2t , 设xta nt2t-，那么x 2a 2、a 2a 2tan 2t a\ 1asect,dx asec f tdt ，•/ sectdx2 2x a2 .a sec t1( dt asectdx22x adx22■- x a2 2——，且 sect tant 0 ar~22\ x aIn sect sectdttant CC ln(x > x 2 a 2) C 1 , C 1C ln a例：求 2cos2xdx解 2cos2xdx cos2x?2dx cos2x?(2x)'dx cos d 将 2x 代入，既得2cos2xdx sin2x C(2)第二类换元法：定理2:设x (t)是单调的、可导的函数，并且'(t) 0.又设f[ (t)] '(t)具有原函数，则有换元公式f(x)dx [ f[ (t)] '(t)dt]t i (x)于是tan 213、分部积分法 定义：设函数 (x)及 (x)具有连续导数。
高数：定积分的概念与微积分基本定理
性质1
b[ a
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)
g(
x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f
(i )xi
lim
0
i 1
g(i )xi
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
x2
sin x ecos2 x
第八讲 定积分的概念与微积分基本定理
1 定积分的概念与性质 2 变上限积分的概念与定理 3 牛顿-莱布尼茨公式 4 讨论或证明变上限积分的特性
1.1 问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
1
lim
n
n i 1
高等数学-第5章 5.1 定积分的概念与性质
第5章 定积分及其应用定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.§5.1 定积分的概念与性质一、引例 1. 曲边梯形的面积在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。
但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。
现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。
怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。
简言之，就图5.3图5.1图5.2是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。
我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ： （1）分割 用1n +个分点01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ，把区间],[b a 分成n 个小区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=- ，经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ∆= ，则所求曲边梯形的面积可表示为121nn i i A A A A A ==∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑。
2014.11高数第五章 一元函数的积分学1-2节
x[ a ,b ]
x[a,b]
b
m(b a) ≤
f (x)dx ≤ M (b a)
a
估值定理
证：由于 m≤ f (x)≤M
则
b
b
b
mdx≤ f (x)dx ≤ Mdx
a
a
a
故
m(b a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b a)
a
y
y
y
M
m
x
0a
b x 0a
b x 0a
b
例3. 估计 1 e x2 dx的值. 1
于是，若F(x)是 f (x)的一个原函数则 {F(x)+C|CR}
为f (x) 的全体原函数.
设 f (x)R( [a, b] ), 有
x
a f ( tx)d xt (a≤ x≤b)
称为积分上限函数. 记为
y
Φ (x)
x
f (t)d t
a
0a
x bx
定理1. 若f (x)R([a, b])，则
x0 x x0
x
' (x)=f (x)
推论1. (原函数存在定理). 若 f (x)C( [a, b] ), 则
f (x)在[a, b]上存在原函数，且Φ (x)
x
f (t)d t
a
为 f(x)的一个原函数.
例1.
d x sin t
sin x
[
d t] .
dx 1 t
x
d [ x2 et d t] x2 u d [ u et d t] du
从而 x0, x[a, b]有
|Φ (x) Φ (x0 ) |
x
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2. 右矩形公式
ba n
( y0
y1
yn1)
ab f (x)dx y1x y2x ynx
ba n
(
y1
y2
yn
)
3. 梯形公式
ab f (x) dx
y
n1 i1
1[ 2
yi1
yi ]x
O a xi1xi
bx
b
n
a
1 2
i2xi
i2 n3
且只有有限个间断点
(证明略)
y
y x2
O
i 1x
n
n
i1
f
(i )xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 n(n 1)(2n 1) 注 6
注. 当n 较大时, 此值可作为
1 (1 1)(2 1) 6n n
01 x2 dx 的近似值
n k 0
nn 0
O12
nn
(n1) π π x
n
n1 1 x
n
思考: 如何用定积分表示下述极限
提示:
I lim 1 n sin k π π n π k 1 n n
lim 1 sin n π lim 1 sin (n 1) π
n n n n n
n
1
1
0 f (x) dx 0
1
1
即 0 x dx 0 ln (1 x) dx
作业
P235 *2 (2) ; 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 12(3) ; 13 (1) , (5)
第二节
放映结束 感谢各位观看！
谢 谢！
让我们共同进步
a
a f (x)dx 0
( k 为常数)
b
b
b
4. a[ f (x) g(x)]dx a f (x) dx a g(x) dx
n
证:
左端
lim [ f
0 i1
( i )
g( i )]xi
n
n
lim
0 i1
f
( i )xi
lim
0
i1
1
01
4 x2
d
x
的近似值.
0 1
0.0 0.1
(取 n = 10, 计算时取5位小数)
2 0.2
解:计算yi(见右表)
3 0.3 4 0.4
用梯形公式得
I 3.13993
用抛物线法公式得 I 3.14159
5 0.5 6 0.6 7 0.7
积分准确值为
8 0.8
I
14 0 1 x2
3. 积分中值定理
连续函数在区间上的平均值公式
思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
解:
I lim 1 n1sin k π π 1
π
sin x dx
n π k0 n n π 0
O π 2π
nn
或
I lim n1sin(π k ) 1
1
sinπ x dx
则
n
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
•观察与思考
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少 时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何 变化?
怎样求曲边梯形的面积？
解决步骤 :
1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
7. 设 M max f (x), m min f (x) , 则
[a, b]
[a, b]
(a b)
例4. 试证:
证:
设
f (x)
sin x , x
则在
(0
,
π 2
) 上,
有
f
( x)
x cos
x sin x2
x
cos x x2
在区间
i
xi1 xi b x
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx
lim
0
i 1
f
(i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
解决步骤: 1) 分割.
n 个小段
将它分成 在每个小段上物体经
过的路程为
2) 近似.
得
si v(i )ti (i 1, 2,, n)
3) 求和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
第五章 定积分
不定积分 积分学
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
一、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成 的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
d
x
π
3.1415926
9 0.9 10 1.0
yi 4.00000 3.96040 3.84615 3.66972 3.44828 3.20000 2.94118 2.68456 2.43902 2.20994 2.00000
四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
b
2. a dx b a
1 n
n i1
f
(i )
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例5. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
T2
2
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
近似计算 2. 定积分的性质
矩形公式 梯形公式 抛物线法公式
1 0
x2
dx
lim
0
n i 1
i 2 xi
lim
n
1 3
y
y x2
O
i 1x
n
注
例2. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim
1
n
1 i
n n i1
n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
n
p
解:
(1)
lim
1
n
n n i1
1
i n
n
lim
证: 设 f (x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为 m, M ,
则由性质7 可得
根据闭区间上连续函数介值定理, 在[a,b]上至少存在一
使
因此定理成立.
性质7
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
Oa bx
lim
n
(x
tan
x)
0
f
(
π 2
)
f
(x)
f
(0 )
即
2 f (x) 1, π
x
(0,
π 2
)
故
π 2 0
2
dx
π
2 f (x) dx
0
π
2 1dx
0
即
1
π
2 0
sin x
x
dx
π 2
8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
(x) dx
f
( )(b a)
g
(
i
)x
i
=
右端
证: 当 a c b 时,
a
因在
上可积 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
c
b
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
f ( i )xi f ( i )xi f ( i )xi
[a, b]
[a, c]
[c, b]
令 0