多普勒效应的又一个数学模型

多普勒效应的又一个数学模型

【摘要】在我们研究多普勒效应时，确定频率变化是通过单位时间的波数来确定的，为了使更多方面理了解多普勒效应公式的推导，在此建立一个新的数学模型。

【关键词】多普勒声效应频率周期

有一道这样的高考题：在高速公路上的超声波测速仪，测迎面过来的小车的速度，它每隔t0秒发出一列信号，每隔t秒接受一列信号（在此信号可理解波数），求车速，由这道题一种的解法分析我们可以建立一种很易理解的数学模型解释多普勒声效应。

分析如下：此为典型的声纳技术应用之一，因为相邻的两列波的时间间隔相同，声波是纵波，设声速为u，则相邻两列波的密部距离l为定值l=ut0，设车速为v，且设每隔t1时间车与一列信号相遇，则（u＋v）t1＝l=ut0 ①；当这列信号与车相遇后立即反射，到与下列波相遇时反射时的距离差s为s＝（u－v）t1，则两列相邻反射信号到达测速仪的时间差内走的距离为s；s＝（u－v）t1=ut ②，联立①②我们得出＝；我们在此可以将波的原周期认为t0，对应频率为f0；波的观测周期为t，对应频率为f0，故可得出＝

我们在具体分析各种多普勒情形，由①可得出声源不动，观测者以v运动的多普勒方程＝＝（显然远离声源时v取负数）

我们再研究观测者不动，声源移动时的情形。重建一个模型：当一个每隔t0时间发出一列声信号的物体以v的速度靠近一个接受信号的静止装置时，则我们设t时间可接受一次信号，与方程②汽车成了声源，测速仪成观测者，此时两列声信号的相距为l=（u-v）t0；则t=＝所以=＝（显然远离时v取负数）

再研究声源以v1，观测者以v运动时的情形；与整道题类似，只是声源与观测者速度不同，此时两列声信号的距离为l=（u-v1）t0，设接受时间为t，则l=（u+v）t；=＝（显然此为相向运动的情形）若两者中任何一个与相向运动方向相反，则将（v1，v）中相反方向的速度取负号；或者说将相向运动方向的速度取正号，反之取负号。这样我们通过模型可建立多普勒声效应的频率公式：＝（u为声速，v1为声源速度，v为观测者速度，相向运动时速度取正值，与相向方向相反速度取负值）

结语：在中学物理中只有提到过声源与观测者靠近时，频率增加，远离时频率减小，其实这个问题完全可以定量求出，多普勒声效应扩展到多普勒效应可广泛应用到天体运动的红移和蓝移；既然能通过简单的数学模型可以解决多普勒效应公式的推导，同时也可以帮助学生自主建立数学模型解决具体问题，还可以作为课外的一种有益补充，使得学生有更好的解决问题的习惯和思维。

参考文献

1 漆安慎等.普通物理教程——力学.高等教育出版社