数列最值

数列最值的求法

一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.

二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等. 【方法讲评】

方法一 函数的方法

使用情景 比较容易求出函数的表达式

解题步骤

一般先求出函数的表达式，再利用函数的方法求出数列的最值.

【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值.

【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看作是一个关于n 的二次函数

2n S An Bn =+，利用图像解答.

【反馈检测1】 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；

（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由. 方法二 数形结合法

使用情景

比较容易求出数列的通项

解题步骤 先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.

【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*

N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5

a 的等比中项为2.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当

n

S S S n +++Λ212

1最大时，求n 的值.

【点评】（1）等差数列的通项n a 可以看作是一个关于n 的一个一次函数，画出函数的图像，比较直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.（2）注意数列{}n a 中，由 于9a 0=，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零”项，以免得出错误的结论. 学.科.网

【例3】已知数列{}n a 中，79

()80

n n a n N n *-=∈-则在数列{}n a 的前n 项中最小项和最大项分别是

（ ）

A.150,a a

B. 18,a a

C. 89,a a

D.950,a a

【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.

【反馈检测2】已知等差数列{n a },*

n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1

302

n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.

方法三 单调性法

使用情景 数列的单调性比较容易确定

解题步骤

先求数列的通项，再对通项的单调性进行研究.

【例4】 已知数列}{n a 的通项公式n

n n a )10

)(

1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值.

【点评】（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果

110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->⇒-<⇒单调递增；单调递减.方法二是作商判断，如果 111(0){}1(0){}n n n n n n n n

a a

a a a a a a ++>>⇒<>⇒单调递增；单调递减. 【例5】设单调递增函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且1

()12

f =-．

⑴一个各项均为正数的数列{}n a 满足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；

⑵在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：

1212221(21)(21)(21)n n n a a a n a a a ⋅≥+---K K K K

对一切*

n N ∈成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由．

⑵假设M 存在满足条件， 即121221(21)(21)(21)

n n

n M n a a a ≤

+---L L 对一切*n N ∈恒成立．

令1212()21(21)(21)(21)

n n

n g n n a a a =

+---L L ，

∴1(1)2313(21)(21)

n g n n n n ++=

+⨯⨯⨯⨯-+L L ，

故22

(1)484

1()

483

2123

g n n n g n n n n n +++=

=

>++++， (1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥=

23

． ∴23

0M <≤

【点评】（1）本题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；（2）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.

【反馈检测3】 已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()

1,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上．

（1）求数列{}n a 的通项公式；