变分法与最优控制

其中，c是任意常数，就称为线性泛函。
例如：
J [x(t)] t2 [tx(t) (sin t)x(t)]dt t1
J [x(t)] t2 [ p(t)x(t) q(t)x(t)]dt t1
J [x(t)] x(t) t2
都满足上述两个条件，故均为线性泛函。
5、泛函的变分
宗量的变分
若函数x(t)是变量J的自变量函数，则称x(t)为泛函 J[x(t)]的宗量函数。
如果 J[x0(t)] 是在与 x0(t) 具有一阶或一阶 以上接近度的曲线 x(t) 的泛函中比较得出 的极值，则称为弱极值。
4、线性泛函
连续泛函如果满足下列条件：
（1）叠加原理 ： J[x1(t)+ x2(t)]= J[x1(t)]+ J[x2(t)] （2） 齐次性： J[cx(t)]=c J[x(t)]
宗量的变分是指在同一函数类中的两个宗量函数间的 差：
泛函的变分
当宗量x(t)有变分时，泛函的增量可以表示为
J [x(t)] J [x(t) x(t)] J [x(t)]
线性
主部
L[x(t),x(t)] r[x(t),x(t)]
其中，L[x(t)，x(t)]是关于x(t)的线性连续泛函；
第二讲 变分法与 最优控制
主要内容
2.1 变分法概述 2.2 无约束最优化问题
无约束固定端点泛函极值必要条件 无约束自由端点泛函极值必要条件
2.3 等式约束最优化问题 2.4 变分法求解最优控制问题
引入哈密顿函数求解拉格朗日问题 求解综合型（波尔扎）问题
2.1 变分法概述
1、泛函定义 2、泛函的连续性 3、泛函的极值 4、线性泛函 5、泛函的变分 6、泛函变分的求法 7、泛函变分的规则 8、泛函极值的条件
∣x(t)-x0(t) ∣, t1t t2 对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，
称函数x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。
x
x(t)
x0(t)
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o t1
t2
t
一阶相近
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一 阶导数 x(t) 和 x0(t) 之差的绝对值，即
J
x1
1
dy
2
dx
x0
dx
泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛 函的情况，例如：
1
J 0[x(t) y(t)]dt
J [x(t)] tf L[x(t), x(t),t]dt t0
求一般函数极值 求泛函极值
微分法 变分法
2、泛函的连续性
函数相近(零阶相近)
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值，即
x(t) x0(t) 和 x(t) x0(t)
t1 t t2
都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的。
x
x(t)
x0(t)
注意：一阶相近的两个函数，必然
是零阶相近，反之不成立。
o t1
t2
t
K阶相近
当 x(t) x0 (t) , x(t) x0 (t) , x(k) (t) x0(k) (t) t1 t t2 都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k阶 相近的。
2.1 变分法概述
1、泛函定义
定义： 如果变量y对于某一函数类中的每一个函数 x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就 称变量y为依赖于函数x(t)的泛函，记为： y=J [x(t)]。
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函 的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解 为“函数的函数”。
（证明略）
定理2－2 连续泛函J(x)的二次变分定义为
（证明略）
7、泛函变分的规则
【例2.3】
求泛函
的变分。
8、泛函极值的条件
泛函极值的必要条件： 定理2－3 连续可微泛函J(x) 在x0(t)上达到极值 的必要条件为：J(x)在x=x0处必有
泛函极值的充要条件： 定理2－4 设可微泛函J(x)存在二次变分， 则在 x=x0处达到极小值的充要条件为：
d
[
x(t
),
x0
(t
)]
max
atb
x(t)
x0 (t) ,
x(t)
x0 (t) ,
,
x(k)
(t)
x(k) 0
(t)
k阶距离
（2.2）
显然，式（2.1）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，
而式（2.1）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。
泛函的连续性
如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个>0，
当
时，存在
d[x(t)，x0(t)]<
∣J[x(t)]－J[x0(t)] ∣ < 那么，就说泛函J在点x0(t)处是连续的。
根据所采用的函数之间距离定义的不同，对应的
泛函分别称为零阶连续泛函(2.1)或k阶连续泛函(2.2)。
3、泛函的极值
如果 J[x0(t)] 是在与 x0(t) 仅仅具有零阶 接近度的曲线 x(t) 的泛函中比较得出的极 值，称为强极值。
r[x(t)，x(t)]是关于x(t)的高阶无穷小；
L[x(t)，x(t)]称为泛函的变分，记为
J L[x(t),x(t)]
也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。 当一个泛函具有变分时，称该泛函是可微的。
6、泛函变分的求法
定理2－1 连续泛函J(x)的变分，等于泛
函
对α的导数在α=0 时的值. 即
【例2.1】
是一个泛函。
变量J的值是由函数x(t) 的选取而确定。
当
时, 有
。
当
时, 有
。
【例2.2】曲线的弧长 x
B(x1,y1)
求：平面上连接给定两点A(x0，y0)
和B(x1，y1)的曲线的弧长 J。
o
A(x0,y0)
y=f(x)
t
A、B两点间的曲线方程为：y=f(x)
A、B两点间的弧长为：
函数间距离
在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。
在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体
构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：
零阶距离
d
[
x(t
),
x0
(t
)]
maxx(t
atb
)
x0
(t
)
（2.1）
在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的
k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个 函数间的距离定义为：
同理，设可微泛函J(x)存在二次变分， 则在x=x0处 达到极大值的充要条件为：
主要内容
2.1 变分法概述 2.2 无约束最优化问题
无约束固定端点泛函极值必要条件 无约束自由端点泛函极值必要条件
2.3 等式约束最优化问题 2.4 变分法求解最优控制问题