变分法与最优控制
教材第2章最优控制中的变分法
在最优控制中由于目标函数是一个泛函数，最优控制的求解可以归结为求泛函极值问 题。变分法是研究泛函极值的一种经典方法，从 17 世纪末开始逐渐发展成一门独立的数学 分支。在力学、光学、电磁学等方面有着广泛的应用。
本章简要介绍经典变分法的基本原理，并把这些原理加以推广，用于解决某些最优控制 问题，重点讨论无约束条件的变分问题、等式约束条件的变分问题以及角点问题。尽管经典 变分法有其局限性，但本章所涉及的变分学及最优控制问题的一些基本概念，在最优控制理 论中是很基本的。建立这些概念对最优控制理论的学习是非常重要的。
∂α
α =0
0 ∂α
α =0
∫ ∫ =
1 0
2[
x(t
)
+
αδx(t )]δx(t )dt
|α =0
=
1 2 x(t )δx(t )dt
0
与【例 2-1】的结果完全一致。
【例 2-3】求泛函
∫ J = t1 L[t , x(t ), x (t )]dt t0
的变分。
解：根据式（2-10），所求变分为：
接近度，反之则不成立。
如果泛函 J[ y1 ( x) + y2 ( x)] = J[ y1 ( x)] + J[ y2 ( x)] （2） J[ay( x)] = aJ[ y( x)]
（2—5） （2—6）
则称该泛函为线性泛函，式中 a 为任意常数。 对于线性泛函，泛函值随宗量 y(x)线性变化，例如：
∫ J = t f L[ x(t), u(t), t] t0
（2—2）
可以表示为这种类型的性能指标称为积分型性能泛函。J 的值取决于 u(t),对于不同的
优化理论课件(变分法与最优控制理论)
优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。
本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。
目录一、什么是动态优化？ (3)（一）动态优化问题的基本要素 (4)（二）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (6)（五）目标泛函 (6)二、变分法 (7)（一）基本问题：固定终结点问题 (7)（1）基本问题及其假定 (7)（2）一阶条件：欧拉方程 (8)（二）推广：多状态变量与高阶导数 (10)（1）多状态变量 (10)（2）高阶导数 (10)（三）可变端点问题 (10)（1）一般性横截条件 (11)（2）垂直终结线问题 (12)（3）水平终结线问题 (12)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(12)（5）截断的垂直终结线问题 (12)（6）截断的水平终结线问题 (13)（7）多变量和高阶导数情形 (13)（四）二阶条件（充分条件） (14)（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (14)（2）凹凸性充分条件 (14)（3）变分 (15)（五）无限期界问题 (16)（1）收敛性 (16)（2）横截条件 (17)（3）充分条件 (17)（六）带约束的优化问题 (17)（1）等式约束 (17)（2）不等式约束 (18)（3）积分约束（等周问题） (19)三、最优控制理论 (20)（一）最优控制理论导论 (20)（二）最大值原理及其横截条件 (21)（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (21)（2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (23)（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (26)（4）推广到多变量 (26)（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (27)（1）最大值原理的经济学解释 (27)（2）现值的汉密尔顿函数 (28)（四）充分条件（二阶条件） (29)（1）曼加萨林定理 (29)（2）阿罗条件 (31)（五）无限期界问题 (31)（1）横截条件与反例 (32)（2）作为充分条件一部分的横截条件 (32)（六）有约束的最优控制问题 (33)（1）涉及控制变量的约束 (33)（2）状态空间约束 (39)四、拉姆齐模型 (43)（一）相关理论发展背景 (43)（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (45)（三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (47)（1）稳定性与渐进稳定性 (47)（2）稳定性判别基本定理 (48)（2）平面动力系统的奇点 (49)一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。
第二章 变分法及其在最优控制中的应用
2 dx 2 2 dx = 2 dt xx dt x t x
= 其中：
xx x xx x x
2 x
2
t
x x
x
x
2 x x
xt
2 x t
所以 式<10>的全导数欧拉方程形式为：
t0 tf
.
问题：求 u * (t )，使被控过程状态由 x (t 0) 转移到 x (t f ) ，并使目标函数
J 最小。
, t ) 代入<4> 解：把<1 >式化为u的显函数形式，即 u F ( x, x 式，则有： . tf J [ x(t ), x(t ), t ]dt 5
a
b
x 的函数
) ) F ( x, y, y F ( x, y, y ]dx J [ y y a y y
b
泛函 J [ y ( x)]的变分 J 可通过增量形式求取：
泛函增量为： J J [ y( x) y( x)] J [ y( x)]
L[ y( x), y( x)] R[ y( x), y( x)]
2、 泛函的极值的定义：
若 泛函 J [ y ( x)] 在任何一条与 y y 0 ( x) 曲线接近的曲 线上的值均不小于 J [ y ( x)] ，即： ， J [ y( x)] J [ y0 ( x)] 0 则称泛函 J [ y ( x)] 在曲线上达到极小值。 泛函极值是一个相对概念 ， y ( x) 实际为相对于y0 ( x) 的一个微 小变化，变化形式有上述两种 :
1 3
x(t )
最优控制问题的变分法解析
最优控制问题的变分法解析在控制论中，最优控制问题是寻找系统在给定约束条件下的最佳控制策略，以使所定义的性能指标取得最优值。
变分法是一种重要的数学工具，被广泛应用于解决最优控制问题。
本文将通过对最优控制问题的变分法解析，探讨其原理、应用和解决方法。
一、最优控制问题的基本原理最优控制问题的基本原理可以通过变分法进行分析。
变分法是数学中研究函数极值问题的一种方法，其关键思想是将函数的变分（变化量）与被考察函数的变化率联系起来。
在最优控制问题中，我们希望找到一个控制函数，使得系统的性能指标（如代价函数）取得最优值。
二、最优控制问题的数学描述最优控制问题通常使用微分方程或差分方程来描述系统的动力学行为。
假设系统的动力学方程为：```dx(t)/dt = f(x(t), u(t))```其中，x(t)为系统的状态向量，u(t)为系统的控制向量，f(x(t), u(t))表示系统的动力学行为。
我们的目标是通过选择合适的控制函数u(t)来最小化一个代价函数J，即：```J = ∫ L(x(t), u(t)) dt + Φ(x(T))```其中，L(x(t), u(t))为运动学指标函数，Φ(x(T))为终点状态指标函数。
通过变分法我们可以得到最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程：```L_x - d/dt(L_u) = 0```其中，L_x表示L对x的偏导数，L_u表示L对u的偏导数。
三、最优控制问题的解决方法解决最优控制问题的一种常用方法是动态规划。
基本思想是将问题分解为一系列子问题，并利用最优子结构性质递归求解。
通过将最优控制问题转化为一组哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，可以得到最优控制的解析解。
此外，还可以采用数值方法，如离散化法和优化法，求得数值近似解。
四、最优控制问题的应用领域最优控制问题在许多领域都有着广泛的应用。
在经济学中，最优控制可用于优化投资组合、经济增长模型等；在工程领域，最优控制可用于优化控制系统、自动驾驶等；在生物学中，最优控制可用于优化生态系统管理、生物过程模型等。
第4章 最优控制与变分法
第4章 最优控制与变分法
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
4.1 最优控制问题的数学描述 4.2 无约束条件的动态最优化问题 4.3 带等式约束的动态最优化问题 4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第4章 最优控制与变分法 3、约束条件的数学描述 、
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一般约束条件可用如下的等式约束方程或 不等式约束方程来描述： 不等式约束方程来描述：
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的质心距离地面的高度， 解 ： 设 x(t)为 M的质心距离地面的高度 ， 由牛顿第 为 的质心距离地面的高度
（4-1） ）
J = θ ( x, t ) t
（4-9） ）
性能指标如式(4-9)所示的问题称为迈耶问题 。 所示的问题称为迈耶问题。 性能指标如式 所示的问题称为迈耶问题 该类问题只关注始端和终端时刻的系统状态， 该类问题只关注始端和终端时刻的系统状态 ， 而 不关心系统的运动过程， 因此性能指标只是始端、 不关心系统的运动过程 ， 因此性能指标只是始端 、 终端时刻和状态的一个函数。 终端时刻和状态的一个函数。
第4章 最优控制与变分法
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变分法与最优控制问题
变分法与最优控制问题在数学和物理学中，变分法是一种用于求解最优化问题的数学方法，特别适用于求解函数als^565^到l=0的极值点。
最优控制问题是指在给定约束条件下，寻找使得控制系统性能指标最优的控制策略。
本文将介绍变分法与最优控制问题的基本概念和应用。
一、变分法的基本概念变分法是一种通过将问题转化为变分问题，再利用变分法原理对变分问题进行求解的方法。
变分法关注的是函数als^565^的泛函ls^565^= ∫f(als^565^, al'=I0'~I1'，其中als^565^是取决于一个或多个独立变量al的函数。
变分问题就是要找到使得泛函ls^565^达到极值的函数als^565^。
二、变分法的应用变分法在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在最优控制问题中。
最优控制问题是指在给定的系统模型和性能指标下，寻找使得性能指标最优的控制策略。
变分法在最优控制问题中起到了重要的作用。
在最优控制问题中，我们需要根据系统的状态变量和控制变量，构建系统的数学模型。
然后，通过构建性能指标，将最优控制问题转化为求解一个泛函的极小值问题。
利用变分法的原理，我们可以获得泛函的欧拉-拉格朗日方程，从而得到系统的最优控制策略。
最优控制问题的解决可以为实际应用提供最佳的控制策略。
三、变分法与最优控制问题的应用举例为了更好地理解变分法与最优控制问题，我们举一个简单的例子来说明其应用。
假设有一辆汽车行驶在一段道路上，我们的目标是寻找一种最优的加速度控制策略，使得汽车在最短的时间内到达目的地。
在这个问题中，车辆的位置可以用参数x表示，车辆的速度可以用参数v表示，我们的目标是找到使得到达目的地时间最短的速度曲线v(t)。
首先，我们需要建立车辆的数学模型，这里我们假设车辆的运动服从牛顿第二定律。
通过构建性能指标，我们可以得到泛函的表达式：ls^565^ = ∫[1 + (dht/dt)^2]dt其中dht/dt=t。
最优控制变分法
x(t ) x (t ) (t )
将式(1· 2—5)两边对 t 求导，可得
将式(1· 2—5)、(1· 2—6)代入式(1· 2—3)，又得
x(t ) x (t ) (t )
(1· 2—6)
J [ x] L[ x (t ) (t ), x (t ) (t ), t ]dt (1· 2—7) 在式(1· 2—7)中，每选择一个 (t ) ，都可作一条 J [x] 曲 线。选择各式各样的容许的 (t )，可以作出一族 J [x] 曲线，
二、固定端点时间、无约束条件的变分问题 这一节，我们讨论一类最简单的变分问题，即无约束条件、 端点时间固定，只有一个自变量函数的拉格郎问题。通过这个问 题来引出欧拉方程和横截条件。 求解变分问题，就是要把使泛函达到极值的那个自变量函数 找出来，这就需要利用欧拉方程和横截条件。因此，欧拉方程和 横截条件是求解变分问题的基础。 在推导欧拉方程和横截条件时要使用一个定理，这个定理叫 作变分法的基本颈备定理。 本节首先介绍基本预备定理，接着推导欧拉方程，然后讨论 横截条件，最后讨论泛函取极值的充分条件。
2. 欧拉方程 现在，我们来推导欧拉方程和相应的横截条件。首先讨论固定 端点问题，然后讨论未定端点问题。 考虑最简单的泛函
(1· 2—3) L 的极值。其中x(t ) 是 t 二次可微函数； [ x(t ), x(t ), t ]，是变量 x, x和 t 连函函数，并且有连续二阶偏导数，端点时间 t 0 和 t f 固定。 首先研究容许函数（或曲线）端点固定的情况，即规定 x(t 0 ) x0 和 x(t f ) x f 。图1—4示出了一族容许函数。现在的 的问题是要从这一族容许函数(或曲线)中找出使泛函J取极值的函数(或 曲线)，即极值函数或极值曲线。
最优控制问题的变分方法
最优控制问题的变分方法在数学与控制理论中，最优控制问题是研究如何选择最佳的控制策略，以使系统的性能达到最优的问题。
变分方法便是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
一、引言最优控制是控制理论中一个重要的分支，它通过对系统建模和优化理论的应用，旨在找到使系统性能达到最佳的控制策略。
而变分方法，则是解决最优控制问题的一种有效途径。
二、变分法概述变分法是以变分运算为基础的数学方法，在最优控制问题中得到了广泛的应用。
它通过对控制信号进行微小的变分，并得到变分函数的极值来确定最优控制策略。
变分法的基本思想是将最优控制问题转化为求解变分问题，从而得到最优解。
三、变分法的基本原理1. 贝尔曼原理贝尔曼原理是变分法的核心原理之一。
它通过将最优控制问题分解为两个部分，即值函数和最优策略。
通过解反向动态规划方程，可以得到最优策略和值函数。
2. 泛函极值原理泛函极值原理是变分法的另一个重要原理。
它通过对泛函进行变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
在最优控制问题中，泛函可以表示系统性能的指标，如性能函数、代价函数等。
四、变分法的应用变分法在最优控制问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 高维空间中的最优控制在高维空间中的最优控制问题中，变分法能够通过求解变分问题，得到最优控制策略。
2. 动态规划动态规划是最优控制中一个重要的方法，变分法能够通过解反向动态规划方程，得到最优策略和值函数。
3. 时间最优控制时间最优控制问题中，变分法可以通过求解变分问题，得到最优控制策略以及最小时间。
五、总结变分方法是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
它通过对控制信号进行微小的变分，并求解变分问题来得到最优控制策略。
变分法的应用非常广泛，能够解决包括高维空间中的最优控制、动态规划和时间最优控制等问题。
通过变分方法，我们能够有效地求解最优控制问题，并得到系统性能达到最优的控制策略。
最优控制问题的变分方法就是如上所述的一种有效的数学方法。
最优控制中的变分法
tf t0
2[x(t)x(t)]x(t)d|t0tt0f
2x(t)x(t)dt
第1章 最优控制中的变分法
(3)泛函的极值 泛函极值的定义：
对于与y0(x)接近的曲线y(x)，泛函J[y(x)] 的增量
J J [ y ( x ) J [ y ] 0 ( x ) 0 或 ] J J [ y ( x ) J [ y ] 0 ( x ) 0 ]
d
J [ y 0 ( x ) ] J [ y 0 ( x ) ε y ( x ) 0 ] d() 0( 1 9 )
根据函数极值的条件，函数φ(ε)在ε=0时达到极值的必要条件为：
dd()00 (11)0
比较（1-9）和（1-10），可见：
J[y0(x) ]0 (1 1)1
根据泛函极值的必要条件，可得欧拉方程
[Lxddt(Lx)]0 Lx ddtLx 0
或 (123)
欧拉方程的展开形式：
L x t2 L x x2 L x x x 2 L 2x0 或(12)4 LxLtx Lxx x Lx x x0
对于某一类函数y(·)中的每一个函 数y(x)，变量J都有一个值与之相对 应，那么变量J称作依赖于函数y(x) 的泛函。
记为： J=J [y(x)]
y(x)称为泛函的宗量
宗量的变分：
yy(x)y0(x)
例1-1问题的本质：泛函极值
第1章 最优控制中的变分法
泛函的连续性：
对任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，当
则泛函J[y(x)] 在曲线y0(x)上达到极值。
泛函极值定理： 若可微泛函J[y(x)]在y0(x)上达到极值，则在y= y0(x)上的变分为零。即
Optimal-03-01
37
最速降线问题
由于
d dx
(F
Fy&y&)
y&(Fy
Fy&y
y&
Fy&y&&y&)
0
(Fy y Fyy Fyy y(Fyy y Fyyy) 0)
所以
F Fy&y& C
上式中 C 为任意常数。
38
最速降线问题
39
最速降线问题
40
最速降线问题
41
最速降线问题
(0,0) X
(x1,y1) Y
确定一条连接定点A(0,0)和定点B(x1, y1)的曲线，使质点在 重力作用下从点A滑动到点B所需的时间最短。
35
最速降线问题
设物体在 t 时刻速度为 v
ds (dx)2 (dy)2 1 y&2
v
dx
dt
dt
dt
此外有：
mgy( x) 1 mv2 2
v 2gy(x)
x2
x2 x1
u
x2
则拉格朗日函数为:
L(x,u, ,t)
由欧拉方程得:
1 2
u2
1 ( x2
x1)
2
(u
x2 )
L d L 0 x dt x
L x1
d dt
L x1
1
0
L x2
d dt
L x2
1
2
0
L u
d dt
L u
u
2
0
47
例3-6
可解得 由状态约束方程
1 a 2 at b
最优控制问题的变分法解析
最优控制问题的变分法解析最优控制问题是应用数学中的一个重要分支，目标是通过对系统的动力学方程和性能指标进行数学建模，找到使性能指标最优化的控制策略。
在寻找最优控制策略的方法中，变分法起到了至关重要的作用。
本文将对最优控制问题的变分法进行解析，介绍其基本原理和应用方法。
一、变分法的基本原理变分法是数学中的一种计算最优化问题的方法，它基于函数的变分性质进行求解。
在最优控制问题中，我们通过变分法来求解函数的最小值，即找到一条函数曲线使得性能指标达到最优。
变分法的基本思想是将函数曲线看作是一个整体，通过对其进行微小的扰动来求解极值。
二、最优控制问题的变分表述最优控制问题通常可以用一组动力学方程和性能指标函数来表述。
假设已知系统的状态方程为：dx(t)/dt = f(x(t), u(t), t)其中，x(t)表示系统的状态，u(t)表示控制变量，t表示时间。
我们的目标是通过选择合适的控制变量u(t)，使得性能指标函数J[x(t), u(t), t]最小化。
性能指标函数通常由目标状态和控制变量的组合表示。
为了求解最优控制问题，首先定义一个泛函：J[u(t)] = ∫L(x(t), u(t), t)dt其中，L(x(t), u(t), t)表示拉格朗日函数，它由性能指标函数和动力学方程组合而成。
通过对泛函J[u(t)]进行变分的方式，我们可以得到最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程：δJ[u(t)]/δu(t) = 0三、求解最优控制问题的步骤1. 构建拉格朗日函数L(x(t), u(t), t)：根据最优控制问题的具体要求，我们可以选择合适的拉格朗日函数。
通常情况下，拉格朗日函数由系统的动力学方程和性能指标函数组合而成。
2. 求解欧拉-拉格朗日方程：将拉格朗日函数带入欧拉-拉格朗日方程，利用变分法的原理求取控制变量u(t)。
3. 验证最优性条件：通过对极值条件的验证来确定所得到的解是否是最优解。
验证的方法包括极大极小值的判断、边界条件的验证等。
变分法求解最优控制
J (u(t )) (t f , x(t f )) F (t, x(t ), u(t ))dt
t0 tf
性能指标J(u(t))在数学上称为泛函，在控 制系统中称为损失函数。
变分法基本概念
1.泛函
设S 为一函数集合，若对于每一个函数 x(t)∈S有一个实数J 与之对应，则称J 是 定义在S 上的泛函，记作J (x(t))。S 称为 J 的容许函数集。
t0
tf
再令 J 1 0 ，由 便得：
dt f ,x(t f ),x,u, 的任意性，
(i) x * , * 必满足正则方程： 1.状态方程
x H f (t, x, u)
2.协态方程
H x
* *
(ii)哈密顿函数 H (t, x , u, ) 作为u的函数，也 必须满足
定义一个标量函数：
H (t, x, u, ) F (t, x, u) T (t ) f (t, x, u)
称为哈密顿函数。所以新的性 能指标为
J 1 ( x, u, ) (t f , x(t f )) [ H (t, x, u, ) T x]dt
t0 tf
t0 tf
d (dt fy) [t f fF xt ,yxdx , t ) t t f F'( ) y ) ( (, ) , u dy a (
T
b( y )
] [x(t f )] x (t f )
T
T tf
[(x) H x (u) H u ( ) H ( ) x]dt (t f )x t t f (x)T dt t0 f y ( x, y)dx f [b( y), y)]b' ( y) f [a( y), y)]at'0( y)
最优控制变分法
AB
x2 x1
1 y ' 2 dx
通过A，B两点的函数若为 y f (x) ，则不同的函数有不同的 弧长，即弧长是 y 的函数，记为 J ( y ) ，即
x2 1 y 2 dx J ( y ) AB x1
因此，求弧长的定积分是一种变换，它把x1与x2之间各点相应 的y变换为标量（弧长）。由此例可以看出定积分为泛函。 以下是各章经常要用到下列形式的目标函数
以下计算第二个积分，实际上是估计余项。 按泛函求极值的
ˆ 与 y 的一级距离应落入ε邻区内（由于本节的泛函 定义， y
只对 y 与 y’提出要求，故只用到一级距离），即令
ˆ y| d 0 max | y
x [ x 0 , x1 ]
ˆ ' y ' | d 1 max | y
x [ x 0 , x1 ]
第一章
变分法
1.1 泛函 1.2变分的推演 1.3Euler方程 1.4向量情形 1.5有约束的情形 1.6端点可变情形 1.7变分的另一种定义
1.1 泛函
（1）定义（泛函）
泛函是一映射L : J K , J Y , Y为一向量空间， K 一般为实数 域R或复数域C。 这说明泛函是一种变换，它把向量空间Y中某一子集J 映射为 K的某个子集。 例：曲线的弧长 在xy平面上过A（x1 ,y1）,B(x2,y2)两点之间的曲线弧长公式为
| [ ( Fy Fy ) ' (F y ' Fy ' )]dx | | |dx
x0 x0
x1
x1
[| (Fy Fy ) | | ' ( F y ' Fy ' ) |]dx
变分法与最优控制
t
一阶相近
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一 阶导数 x(t ) 和 x0 (t ) 之差的绝对值，即
x(t ) x0 (t ) 和 x(t ) x0 (t )
x x(t) x0(t)
t1 t t2
都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的。
求解综合型（波尔扎）问题
2.2 无约束最优化问题
1、无约束固定端点泛函极值必要条件
问题 2-1 无约束固定终端泛函极值问题为:
其中, L[ x(t ), x(t ), t ] 及x(t)在[t0,tf]上连续可微， t0及tf 固定，x(t0)= x0，x(tf)= xf， x(t ) R n
求满足上式的极值轨线x*(t)。
边界条件
定理2－5 若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf， 则泛函
J [ x(t )] L[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程
欧拉(Euler)方程
d Lx L x 0 或 dt
泛函的变分 当宗量x(t)有变分时，泛函的增量可以表示为
J [ x(t )] J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] L[ x(t ),x(t )] r[ x(t ),x(t )]
线性 主部
其中，L[x(t)，x(t)]是关于x(t)的线性连续泛函；
虑各种阻力的影响，问应取怎样 的路径，才能使所经历的时间最 短？
结论:最速降线是一条圆滚线。
在A、B两点所在的竖直 平面内选择一坐标系， 如上图所示。 A 点为坐 标原点，水平线为 x 轴， 铅垂线为y轴。
part II Chap 2 变分法及其在最优控制中的应用
则最优解为： x1* ( t ) = 极值轨线： 极值控制：
1 3 7 2 t − t + t +1 2 4 3 2 7 * x2 (t ) = t − t + 1 2 2
7 u ( t ) = 3t − 2
*
14
极值轨线和极值控制曲线如图所示：
1 0
θ (t ) = x1* (t )
7 6
t
* θ (t ) = x2 (t )
～见书P529 表10－1 说明：以上Euler方程的形式与 无约束 有等式约束 的泛函极值问题中的Euler方程完全相同。
16
【例】求从平面上一点x(0)=1至直线 x(t f ) = c(t f ) = 2 − t f 取最短距离的轨线。
解：已知弧线元：ds = ( dt )2 + ( dx )2
1 1+ x
2
⋅2x =
x 1+ x
2
17
d 代入Euler方程，得： d t ⋅
x 1+ x
2
= 0
即
x
1 + x
2
= C
（ C : const)
x = ±
c
（a，b均为const） 由初态x(0)=1 得: b=1。常数a则由横截条件确定 现： 自由（未知）,末端受约束，方程为：x(t f ) = c(t f ) = 2 − t f tf 由横截条件：⎡ L ( x * , x * , t ) + ( c − x ) T ∂ L ⎤ = 0 ⎢ ∂x ⎥ t f ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ x 得： 1 + x 2 + ( − 1 − x ) ⋅ =0
∂ δ J [ x, δ x ] = J [ x + εδ x ] ∂ε ε =0
4 最优控制-变分法
I D (t )
≤ I D max
tf 0
（5） ） （6） ）
性能指标
J =∫
dt = tf
最优控制问题为：在状态方程的约束下， 最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制 I D (t )≤ I D max ，将 x (t f ) 转移到 x (0) ，使J 为极小。 为极小。
最优控制问题的基本组成
泛函与变分法
一、泛函与变分 1、泛函的基本定义： 、泛函的基本定义： 变量J 如果对于某个函数集合{x(t )}中的每一个函数 x(t )，变量 都有一个 值与之对应，则称变量J 的泛函， 值与之对应，则称变量 为依赖于函数 x(t ) 的泛函，记作 J [x(t )] 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 例如： 例如：
0 0 & x1 0 1 x1 K 系统方程为 1 x = 0 0 x + m I D + TF J 2 J D &2 D x ( 0) 0 x1 (t f ) θ 初始状态 1 = x (0) 0 末值状态 = 2 x2 (t f ) 0
系统数学模型
& 系统状态方程为 x(t ) = f [ x(t ), u (t ), t ], t ∈ [t0 , t f ]
边界条件与目标集 容许控制 变化范围受限制的控制- 闭集 控制域 Ω 闭集- 控制域， 变化范围受限制的控制 -闭集 -控制域， ; 容许控制 u (t ) ∈ Ω 变化范围不受限制的控制- 开集 变化范围不受限制的控制 -开集 性能指标 性能泛函、 性能泛函、目标函数或代价函数
最优控制问题的主要方法
最优控制问题的主要方法最优控制问题是控制理论中的一个重要分支，其目标是在给定系统动力学和性能指标的情况下，寻找最优的控制策略，使系统达到最优性能或目标。
以下是最优控制问题的一些主要方法：1.变分法（ Calculus（of（Variations）：（变分法是一种数学工具，用于寻找泛函的极值。
在最优控制中，系统的性能指标通常可以表示为一个泛函。
变分法可以通过最小化或最大化泛函来导出最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程。
2.动态规划 Dynamic（Programming）：（动态规划是一种用于解决具有递归结构且满足最优子结构性质的问题的优化方法。
在最优控制中，动态规划可以用于处理具有离散或连续时间的动态系统，并通过构建状态转移方程来找到最优策略。
3.最优控制理论（Optimal（Control（Theory）：（最优控制理论是处理连续时间动态系统最优化问题的数学工具。
它利用微分方程和变分法来分析系统，并确定最优控制策略，以使系统性能指标达到最优。
4.Pontryagin最大值原理（ Pontryagin's（Maximum（Principle）：（Pontryagin最大值原理是最优控制中的一个重要概念，它提供了寻找连续时间系统最优控制策略的方法。
该原理基于最优控制问题的哈密顿函数和共轭动态系统，通过最大化哈密顿函数来确定最优控制。
5.线性二次型调节器 LQR）：（线性二次型调节器是一种针对线性动态系统设计最优控制器的方法。
它通过最小化系统状态和控制输入的二次型代价函数来设计最优控制器。
6.模型预测控制 Model（Predictive（Control，MPC）：（模型预测控制是一种基于离散时间模型的最优控制方法。
它使用系统的预测模型来预测未来状态，并通过优化控制序列来实现性能指标的最优化。
这些方法可以根据系统的特性、动力学模型、性能指标和实际应用场景选择和应用。
最优控制问题在工程、经济学、生物学等领域有着广泛的应用，能够优化系统的性能并提高控制效果。
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主要内容
2.1 变分法概述 2.2 无约束最优化问题
无约束固定端点泛函极值必要条件 无约束自由端点泛函极值必要条件
2.3 等式约束最优化问题 2.4 变分法求解最优控制问题
引入哈密顿函数求解拉格朗日问题 求解综合型（波尔扎）问题
2.1 变分法概述
1、泛函定义 2、泛函的连续性 3、泛函的极值 4、线性泛函 5、泛函的变分 6、泛函变分的求法 7、泛函变分的规则 8、泛函极值的条件
J
x1
1
dy
2
dx
x0
dx
泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛 函的情况，例如：
1
J 0[x(t) y(t)]dt
J [x(t)] tf L[x(t), x(t),t]dt t0
求一般函数极值 求泛函极值
微分法 变分法
2、泛函的连续性
函数相近(零阶相近)
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值，即
x(t) x0(t) 和 x(t) x0(t)
t1 t t2
都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的。
x
x(t)
x0(t)
注意：一阶相近的两个函数，必然
是零阶相近，反之不成立。
o t1
t2
t
K阶相近
当 x(t) x0 (t) , x(t) x0 (t) , x(k) (t) x0(k) (t) t1 t t2 都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k阶 相近的。
同理，设可微泛函J(x)存在二次变分， 则在x=x0处 达到极大值的充要条件为：
主要内容
2.1 变分法概述 2.2 无约束最优化问题
无约束固定端点泛函极值必要条件 无约束自由端点泛函极值必要条件
2.3 等式约束最优化问题 2.4 变分法求解最优控制问题
如果 J[x0(t)] 是在与 x0(t) 具有一阶或一阶 以上接近度的曲线 x(t) 的泛函中比较得出 的极值，则称为弱极值。
4、线性泛函
连续泛函如果满足下列条件：
（1）叠加原理 ： J[x1(t)+ x2(t)]= J[x1(t)]+ J[x2(t)] （2） 齐次性： J[cx(t)]=c J[x(t)]
函数间距离
在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。
在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体
构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：
零阶距离
d
[
x(t
),
x0
(t
)]
maxx(t
atb
)
x0
(t
)
（2.1）
在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的
k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个 函数间的距离定义为：
∣x(t)-x0(t) ∣, t1t t2 对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，
称函数x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。
x
x(t)
x0(t)
o t1
t2
t
一阶相近
当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一 阶导数 x(t) 和 x0(t) 之差的绝对值，即
宗量的变分是指在同一函数类中的两个宗量函数间的 差：
泛函的变分
当宗量x(t)有变分时，泛函的增量可以表示为
J [x(t)] J [x(t) x(t)] J [x(t)]
线性
主部
L[x(t),x(t)] r[x(t),x(t)]
其中，L[x(t)，x(t)]是关于x(t)的线性连续泛函；
【例2.1】
是一个泛函。
变量J的值是由函数x(t) 的选取而确定。
当
时, 有
。
当
时, 有
。
【例2.2】曲线的弧长 x
B(x1,y1)
求：平面上连接给定两点A(x0，y0)
和B(x1，y1)的曲线的弧长 J。
o
A(x0,y0)
y=f(x)
t
A、B两点间的曲线方程为：y=f(x)
A、B两点间的弧长为：
d
[
x(t
),
x0
(t
)]
max
atb
x(t)
x0 (t) ,
x(t)
x0 (t) ,
,
x(k)
(t)
x(k) 0
(t)
k阶距离
（2.2）
显然，式（2.1）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，
而式（2.1）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。
泛函的连续性
如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个>0，
其中，c是任意常数，就称为线性泛函。
例如：
J [x(t)] t2 [tx(t) (sin t)x(t)]dt t1
J [x(t)] t2 [ p(t)x(t) q(t)x(t)]dt t1
J [x(t)] x(t) t2
都满足上述两个条件，故均为线性泛函。
5、泛函的变分
宗量的变分
若函数x(t)是变量J的自变量函数，则称x(t)为泛函 J[x(t)]的宗量函数。
r[x(t)，x(t)]是关于x(t)的高阶无穷小；
L[x(t)，x(t)]称为泛函的变分，记为
J L[x(t),x(t)]
也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。 当一个泛函具有变分时，称该泛函是可微的。
6、泛函变分的求法
定理2－1 连续泛函J(x)的变分，等于泛
函
对α的导数在α=0 时的值. 即
2.1 变分法概述
1、泛函定义
定义： 如果变量y对于某一函数类中的每一个函数 x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就 称变量y为依赖于函数x(t)的泛函，记为： y=J [x(t)]。
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函 的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将续泛函J(x)的二次变分定义为
（证明略）
7、泛函变分的规则
【例2.3】
求泛函
的变分。
8、泛函极值的条件
泛函极值的必要条件： 定理2－3 连续可微泛函J(x) 在x0(t)上达到极值 的必要条件为：J(x)在x=x0处必有
泛函极值的充要条件： 定理2－4 设可微泛函J(x)存在二次变分， 则在 x=x0处达到极小值的充要条件为：
当
时，存在
d[x(t)，x0(t)]<
∣J[x(t)]－J[x0(t)] ∣ < 那么，就说泛函J在点x0(t)处是连续的。
根据所采用的函数之间距离定义的不同，对应的
泛函分别称为零阶连续泛函(2.1)或k阶连续泛函(2.2)。
3、泛函的极值
如果 J[x0(t)] 是在与 x0(t) 仅仅具有零阶 接近度的曲线 x(t) 的泛函中比较得出的极 值，称为强极值。