数学思想方法

数学思想方法

“数学思想方法是数学的灵魂，它不仅是数学知识的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动力。”这是钟志华老师所编教材前言首段的一句话，它体现了数学思想方法的重要性，下面，我就代数中的数学思想方法与几何中的数学思想方法做一个小小的分析。

一、代数中的数学思想方法

（一）集合的思想方法

集合思想是指应用集合论的观点来分析问题、认识问题和解决问题。

在中学教学中渗透集合思想主要体现在：

（1）学习初等集合论的最基本的知识，包括集合的概念和运算，映射的概念等。

（2）使用集合的语言。例如方程（组）解的集合，轨迹是满足某些条件的点的集合，等等。

当使用集合论的语言时，许多数学概念的形式就变得简单多了，当然也抽象多了。在中学教学中使用集合思想，可以使我们有可能看出许多表面上不同的一些内容。在中学代数中，函数的图像是函数关系的一种几何表示。若给定函数y=f(x)(x∈A),则在直角坐标平面Oxy上，对于任何一个x∈A，都有一个点(x,f(x))与它对应，即x通过对应关系f确定直角坐标平面上的一个点。我们把定义域A上的所有x在直角坐标平面上确定的点的集合C叫做函数y=f(x)的图像，就是值域，所有的x点的集合叫做定义域。用集合语言表达的定义给了我们认识函数图像和运用数形结合思想研究问题的一种启示。

（二）函数映射对应的思想方法

函数思想是客观世界中事物运动变化相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映。函数思想的本质是变量之间的对应。应用函数思想能从运动变化的过程中寻找联系，把握特点与规律，从而选择恰当的数学方法解决问题。初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数，高中代数中的幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数、反三角函数等，均是根据定义，画出函数图像，分析函数性质，然后加以应用，形成完整的知识体系。贯彻这一过程始终是函数、映射、对应的思想方法。

例如：数列是依照某种规律排列着的一列数： a1，a2，…，an，…。数列可以看做是一个定义域为自然数集N或它的有限子集{1,2,3,…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时，它们排成了对应的一系列规律的函数值：a1,a2，…，an，…，记为{an}，也就是说数列是一种特殊的函数。因此研究数列的问题自然就运用了函数的思想、方法以及函数的性质。如函数的三种表示方法数列均适用，而数列的图像是一串孤立的点，与我们熟知的函数图像又不尽相同。

又例如：复数是中学代数中的又一重要内容。任意复数z和复平面内一点Z （a,b）对应，也可以和以原点为起点，Z(a,b)为终点的向量 OZ对应，在这些一一对应下，复数的各种运算，都有特定的几何意义。这就为我们从代数、三角、几何等多角度认识复数提供了可能，也为复数在代数、三角、几何方面的应用创造了条件。这说明对应思想的重要作用。

（三）数形结合的思想方法

代数是研究数量关系的。虽然数字化是很精确的，但若能用图像表示出来，往往比较直观，变化的趋势更加明确。所以数形结合思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何直观，也能把几何图形问题转化成数量关系问题去解决。

中学代数中能够体现这一思想方法的内容非常广泛，如集合中有韦恩图；函数借助于直角坐标系可以得到对应的图像；不等式中一元二次不等式对应一个区间，二元一次不等式组对应一个区域；复数中通过向量与几何结合；在排列组合、概率统计中也有许多直方图、数图等几何方法。中学代数中集中反映数形结合特征内容的是函数与图像，方程与曲线，复数与几何。在处理这些问题时要加深领会，可借助于对数量关系的推理论证，对图形的几何特征进行精确刻画（如研究函数图像的性质）；也可借助于函数图像与方程曲线加深对题意的理解，并对所得的解集进行有效的检验（如解不等式）。在复数教学中主要贯穿着两条主线，一条是以代数形式表达复数概念；另一条是用几何形式描述复数概念。通过在几何、向量和三角中的有关知识建立联系，复数得到直观、形象的解释。复数运算的几何意义，可使其在几何、向量、三角、方程等方面发挥综合应用的作用。（四）化归的思想方法

把未知解法的问题转化为在已有知识和方法的范围内可解的问题是解决各类数学问题的基本思路和途径，是一种重要的数学思想方法。

在中学代数中，运用化归思想进行转化的例子比比皆是。以解方程为例，由于方程类型不同，解法也各不相同，但基本思想是转化，基本途径是利用消元、降次将超越方程转化成代数方程，无理方程转化成有理方程，分式方程转化成整式方程，高次方程转化为低次方程，多元方程转化为一元方程，等等。在以上转化中，要求变形前后是同解方程，这就要在同解原理的指导下进行等价转化，既要无一遗漏地考虑所有制约因素，又要注意它们之间的相互联系。

以上所说的是等价转化，要求转化过程中的前后是充分必要的。这样的转化才能保证转化后所得到的结果仍是原题的结果。而在中学代数中，也有一些是非等价转化，如不等式的证明中的放缩法就是一例。非等价转化主要是寻找使原题结论成立的充分条件，这样的转化可使推证的过程得以简化。

二、几何中的数学思想方法

（一）公理化的思想方法

现行的平面几何教材，从其知识结构来看，基本上沿用了欧氏几何的不完善公理体系。它从几条不言而喻的，一致公认的事实出发，运用逻辑推理方法，推演出内容丰富、准确可靠的几何体系。因此中学的平面几何和立体几何的基本体系都是公理化体系，并通过公理化体系体现公理化的思想方法。公理化的思想方法在数学乃至科学发展中起着奠基作用。

虽然公理化方法对于理论体系的科学性和系统性有着重要的作用，但是，公理化方法的教学要把握一个适当的“度”，本着严密性和量力性原则，以适合中学生的接受能力为宜。

（二）几何变换的思想方法

几何学是研究空间图形在变换群下的不变性质的学科，它的研究对象是空间形式。若现实世界的物体是运动变化的，由此抽象出来的几何图形的位置、形状、大小也就不断变化。可见，几何变换的思想对于几何学的研究是非常重要的。几