无穷级数_习题课

根据正项级数的比较判别法可知
anbn 收敛，从而 anbn绝对收敛.
x2 x3 x L
1 x 1.
n1
n
23
三 思考与分析
1.试判断下列命题是否正确?
(1)若
lim
n
un
0,则 un
n1
必定收敛.
(2)设 un, vn 是正项级数,
n1
n1
un cvn(n 1, 2,L ), c为大于零的常数,
则 un, vn 同敛散.
n1
n1
答：均不正确.
(1)
数或函数
函数
一 基本要求
1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基 本性质,熟悉级数收敛的必要条件. 2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌 握正项级数收敛的比值判别法. 3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理 解绝对收敛和条件收敛的概念.
4.掌握幂级数的收敛半径, 收敛区间和收敛 域的求法.了解幂级数的主要性质. 5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数.
2.若用正项级数的比值判别法判定 un 发散,
n1
则级数 un也发散.
n1
(二)幂级数
1.收敛半径和收敛区间
对于 an xn或 an x x0 n ,(an 0, n 0,1, 2,L )
n0
n0
若 lim an1 l，
a n n
则收敛半径为
1 ,
l
R ,
0,
0 l
l0 l
n1
n1
有 an cn bn , 证明: cn 也收敛.
n1
证明: Q an cn bn(n 1, 2,L ),且 an , bn
n1
n1
均收敛,由比较判别法知 cn 收敛. n1
答：不正确.
因为证明中使用了比较判别法, 而比较 判别法只适用于正项级数, 题目中并未指 出级数是正项级数.正确方法如下:
已知的正项级数作为“参照”级数,如
等比级数 aqn n1
p-级数
1 np
n1
调和级数 1
n1 n
判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序:
(1)
lim
n
un
0,
则发散.
(2)用比值或根值判别法,若失效.
(3)用比较判别法. (4)级数收敛的定义:
部分和数列极限是否存在. 同时考虑到级数的基本性质.
几个常用初等函数的马克劳林展开
1
xn 1 x x2 L xn L 1 x 1;
1 x n0
e x
xn
x2
1 x L
xn L x ;
n0 n!
2!
n!
sin
x
n0
1 n x2n1 2n 1!
x
x3 3!
x5 5!
L
x
;
ln1 x
1 n1 xn
(1)在收敛区间R, R内和函数S x 连续.
(2)可逐项求导. (3)可逐项积分.
逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂 级数有相同的收敛半径, 但在收敛域可能 改变.
3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法
在熟记几个常用的幂级数的和函数的 基础上, 对照已知级数的特点,可通过恒等 变形,变量代换及逐项求导或积分的方法来 求和函数.
4.函数展开成幂级数
(1)直接展开法:
按公式f
x
an
n0
x x0
n，an =
f n x0 n!
展开,但必须证明wenku.baidu.com项的极限
lim
n
Rn
x
0，
这通常是较困难的.
(2)间接展开法： 利用已知函数的展开式, 通过恒等变形,变量代换, 级数的代数运算 及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数. 注意两点: 1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式. 2.根据已知展开式写出所求展开式相应的 收敛区间. •逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变, 但收敛域可能会变.
lim
n
un
0,则 un发散.
n0
(2)反例,考虑
un
1 n2
,vn
1 n
.
• 正项级数比较判别法的极限形式
设 un,vn 为正项级数,
n1 n1
若 lim un l, (l 0) v n
n
则 un, vn 同敛散.
n1
n1
2.下列运算是否正确?
若 an,bn 均收敛,且对一切自然数 n
证明：由an cn bn(n 1, 2,L )，可得
bn
an
cn
an
0,
故bn an 与cn an 均为正项级数，
n1
n1
an与 bn收敛，从而 (bn an )收敛
n1
n1
n1
由正项级数的比较判别法
cn an 也收敛， 而cn cn an an ,
n1
故 cn (cn an ) an 收敛.
3.任意项级数 莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛
的充分条件而不是必要条件. 当不满足条件时,不能判定级数必发散.
对于任意项级数 un，绝对收敛的级数必收敛.
n1
若 un 收敛,则称 un 绝对收敛.
n1
n1
若 un 发散而 un 收敛,则称 un 条件收敛.
n1
n1
n1
注意
1. 可先考查任意项级数是否绝对收敛；
n1
n1
3.若级数 an2和 bn2 都收敛, 则 anbn
n1
n1
绝对收敛.
n1
证明：Q
an bn
2
an 2 2 an
bn
bn 2
an2 bn2 2 anbn
0， anbn
1 2
an2 bn2
由题意知, an2和 bn2 收敛,
故
n1
1 2
(an2
n1
n1
bn2 ) 也收敛,
第十一章 习题课
无穷级数
主要内容
un为常数
常数项级数
un
un为函数 un( x)
n1
取 x x0
函数项级数
一 般 项 级 数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
在收敛 条件下
数
级数与数 相互转化
收
幂级数
三角级数
敛
半 泰勒展开式 傅氏展开式
径 R
Rn ( x) 0 满足狄 氏条件
泰勒级数 傅氏级数
收敛区间为 R, R 或 x0 R, x0 R
收敛域：
( R, R) 或[ R, R) 或 ( R, R]或[ R, R].
对于缺项的幂级数 un x, 可按下式
n0
lim
n0
un1 x un x
1,求出
x
的范围 x1, x2 ,
从而得收敛区间为 x1, x2
2.幂级数的重要性质
6.理解傅里叶级数的收敛定理. 7.掌握函数展开成傅里叶级数的方法.
二 要点提示
(一)常数项级数
1.级数收敛的必要条件:
若
n1
un收敛,则
lim
n
un
0.
由此可得:若
lim
n
un
0,则级数 un必发散.
n1
常用来判定级数是发散的.切不可用来判定
级数是收敛的,例如调和级数 n1
1就是发散的.
n
2.正项级数的审敛法 •使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性