2020届高三二诊数学模拟试题(理科)及答案

2020届高三二诊数学模拟考试（理科）（满分150分，用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0652<--=x xx A ，{}02<-=x x B ，则=B A （ ）A ．{}23<<-x x B ．{}22<<-x x C ．{}26<<-x x D ．{}21<<-x x2．设i z i -=⋅+1)1(，则复数z 的模等于（ ）A ．2B ．2C ．1D ．3 3．已知α是第二象限的角，43)tan(-=+απ，则=α2sin （ ） A ．2512 B ．2512- C ．2524 D ．2524-4．设5.0log 3=a ，3.0log 2.0=b ，3.02=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的32，并且球的表面积也是圆柱表面积的32”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为π24，则该圆柱的内切球体积为（ ）A ．π34B ．π16C ．π316 D ．π3326．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气 质量合格，下面四种说法不．正确．．的是( )A ．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月的空气质量最差7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则“2312a a a <+”是“012<-n S ”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=的取值范围是（ ）A ．[]3,5-B ．[]3,2C ．[)+∞,2D ． (]3,∞-9．设函数1sin )(22+=x xx x f ，则)(x f y =，[]ππ,-∈x 的大致图象大致是的（ ）ABCD10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．1957 11．如图示，三棱椎ABC P -的底面ABC 是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，且2===AB PB PA ，3=PC ，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．31B ．36C ．33 D ．32 12．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，︒=∠60A ，O 为ABC ∆的外心，若AC y AB x AO +=，R y x ∈,，则=+y x 32（ ）A ．2B ．35C ．34 D ．23 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在6)(a x +的展开式中的3x 系数为160，则=a _______．PCBA14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0>x 时，x x x f 2)(2-=，则不等式x x f >)(的解集为__________．15．若对任意R x ∈，不等式0≥-kx e x 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．16．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，延长2AF交椭圆C 于点B ，若△1ABF 为等腰三角形，则椭圆的离心率=e ______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题 考生都必须作答．第22、23为选考题，考生仅选一个作答．17．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11=a ，若1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设*)(1121N n a b n n ∈-=+，设数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：41<n T ． 18．2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年 的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月， 从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率； （Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.注意：题目中图形的最后一行应该是早期，中期，后期。

19．如图示，在三棱锥BCD A -中，2===BD BC AB ，32=AD ，π=∠=∠CBD CBA ，点E 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅱ）若点F 为BD 的中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)1,0(，离心率为23，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0=++OC OB OA ，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：OC AB k k ⋅为定值； （Ⅱ）求AB 的取值范围．21．设函数ax x e x f x --=221)(，R a ∈． （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）1≤a 时，若21x x ≠，2)()(21=+x f x f ，求证：021<+x x ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. （Ⅰ）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围． 23．已知a x x x f ++-=1)(，R a ∈．(Ⅰ) 若1=a ，求不等式4)(>x f 的解集； （Ⅱ）)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，不等式)(1410x f mm >-+成立，求实数a 的取值范围．2020届高三二诊模拟考试 数学理科参考解答13．2 14．()),3(0,3+∞-15．[]e ,0 1 6．33三、填空题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………………4分 所以()12121-=-+=n n a n()212n a a n S n n =+=…………6分(Ⅱ)因为()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ………8分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n …10分()411414111141<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n T n ……12分 18．解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.……2分（Ⅱ）由题意X 的所有可能值为0,1,2，……3分记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=， ……6分所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.……8分（Ⅲ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，则327031000()0.02C P D C =≈.……10分回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……12分 19．(Ⅰ)证明：（第一问6分，证明了AD BC ⊥给4分）ACD BCE ACD AD BCE AD E BD BC ADBE AD BC ABD AD ED AE BD AB ABD BC CBD CBA 面面面面面面⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⇒⎭⎬⎫==⊥⇒=∠=∠ 2π(Ⅱ)解：以点B 为坐标原点,直线BC ,BD 分别为 x 轴,y 轴,过点B 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系，则()0,0,2=→BC ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→23,21,0BE ,()0,1,2-=→CF ,()3,2,0=→BF 设面BCE 的一个法向量()1111,,z y x n =→，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BE n BC n 11⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒0232102111z y x ()1,3,0111-=−−→−→=n z 令…9分同理可得平面ACF 的一个法向量23,3,22n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭…10分222222,31cos ,31n n n n n n <>==⋅.……11分故平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为3131.……12分20.（Ⅰ）证明：依题有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222231c b a a c b ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒1422b a ， 所以椭圆方程为1422=+y x ．…2分设()11,y x A ，()11,y x B ，()11,y x C ， 由O 为ABC ∆的重心123123,;x x x y y y ⇒+=-+=-又因为()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ，……4分()312121212123121;.44-++⇒==-==⇒=--++AB OC AB OC y y y x x y y k k k k x x y y x x x ……6分(Ⅱ)解 ①当AB 的斜率不存在时：1212313,02,0=+=⇒=-=x x y y x x y111,||2⇒=±=±⇒=x y AB 代入椭圆得……7分 ②当AB 的斜率存在时，设直线为t kx y +=，这里0≠t由⇒⎩⎨⎧=++=4422y x t kx y ()22222418440041;,∆>=>++-⇒++k x kt t t k x ……8分 222228211,44,;4141-⎛⎫⇒⇒ ⎪⎝≥+-+⎭=k t t ktt C k k 代入椭圆方程：12||;-==AB x x ……11分综上,AB 的范围是[]32,3. ……12分21. 解：（Ⅰ）a x e x f x--=')(，令)()(x f x g '=.……1分则1)(-='xe x g ，令01)(=-='xe x g 得0=x .当)0,(-∞∈x 时， ,0)(<'x g 则)(x g 在)0,(-∞单调递减；当),0(+∞∈x 时， ,0)(>'x g 则)(x g 在),0(+∞单调递增.所以a g x g -==1)0()(min .……3分当1≤a 时，01)(min ≥-=a x g ， 即0)()(≥'=x f x g ，则f(x)在R 上单调递增; ……4分 当1>a 时，01)(min <-=a x g ，易知当-∞→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，+∞→)(x g ，由零点存在性定理知，21,x x ∃，不妨设21x x <，使得.0)()(21==x g x g 当),(1x x -∞∈时，0)(>x g ，即 0)(>'x f ； 当),(21x x x ∈时，0)(<x g ，即 0)(<'x f ； 当),(2+∞∈x x 时，0)(>x g ，即 0)(>'x f .所以)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在),(21x x 单调递减. ……6分（Ⅱ）证明：构造函数2)()()(--+=x f x f x F ，0≥x .22121)(22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=-ax x e ax x e x F x x ，0≥x . 22--+=-x e e x xx e e x F x x 2)(--='-0222)(=-⋅≥-+=''--x x x x e e e e x F （当0=x 时取=）.所以)(x F '在[)+∞,0上单调递增，则0)0()(='≥'F x F ,所以)(x F 在[)+∞,0上单调递增，0)0()(=≥F x F .……9分这里不妨设02>x ，欲证021<+x x ， 即证21x x -< 由（Ⅰ）知1≤a 时，)(x f 在R 上单调递增，则有)()(21x f x f -<,由已知2)()(21=+x f x f 有)(2)(21x f x f -=, 只需证)()(2)(221x f x f x f -<-= ,即证2)()(22>-+x f x f ……11分 由2)()()(--+=x f x f x F 在[)+∞,0上单调递增，且02>x 时，有02)()()(222>--+=x f x f x F ,故2)()(22>-+x f x f 成立，从而021<+x x 得证. ……12分 22．【解】(Ⅰ )直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数), 消去参数t 可得l0y -+=;曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=,可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.…………5分(2)C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ,半径为1,所以,圆心C 到l的距离为d ==所以点P 到l的距离的取值范围是1⎤⎥⎣⎦.………………10分 23、解: (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x ……4分 2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞ ； (5)（Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[]m mm m m m m m m m -+-+=-+-+=-+1145)1()141(141911425=-⋅-+≥m mm m （当31=m 时等号成立）……8分依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+则有91<+a 解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(-…………10分。