《传热学》第4章-导热问题的数值解法

= ti, j
+

∂t ∂x

i,
j
∆x
+

∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
+

∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...

∂t ∂x

i
,
j
=
ti+1, j − ti, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式 （向前差分）
舍去高阶项
ti−1, j
3
4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程都是线性代 数方程。 n个未知节点温度，n个代数方程式：
a11t1 + a12t2 + L + a1 jt j + L + a1ntn = b1
a21t1 + a22t2 + L + a2 jt j + L + t2ntn = b2
传热学
第4章 导热问题的数值解法
Numerical method for heat conduction
概述
v 解析解：求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数
形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。但 是，工程技术中遇到的许多导热问题具有复杂的形状或边界 条件，无法得出其分析解
v 数值解：是具有一定精度的近似方法，可以有效解 决复杂问题。
空间步长
4
2) 节点温度差分方程的建立
控制 容积
（1）内部节点温度差分方程
对于常物性、无内热源的无限大平壁 的一维非稳态导热问题
热平衡：在k时刻，单位时间内从相邻控制
容积i-1与i+1分别导入的热流量与之和等于该 控制容积热力学能的增加
Φλ′ + Φλ′′ = dU
节点i 的温度对时间的变化率采用向前差分

M
an1t1 + an2t2 + L + anjt j + L + anntn = bn
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法 缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线 性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系 数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中 要相应地不断更新）
数值解法求解导热问题的基本步骤
v 建立符合实际的物理模型； v 建立完整的数学模型 ； v 求解域离散化； v 建立节点温度代数方程组； v 求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值； v 对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检
查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到 结果满意为止。
≤ε
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t时，第三个较好
有时还要同时考虑热流密度收敛
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多一个非稳 态项；温度随空间和时间变化
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
)
能量平衡关系：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的 导入或导出，网格单元本身的热力学能也随时间发生变化
不存在内热源时：
Φw +Φe +Φs +Φn = 0
v 热平衡法的优点
（1）物理意义明确； （2）当热导率是温度的函数或内热源不是均匀分布时，较简单； （3）适用于均匀与非均匀网格； （4）适用于内节点和边界节点
2
二、控制容积热平衡法
Φw +Φe +Φs +Φn = 0
根据导热付里叶定律，对于垂直于纸 面方向单位宽度而言
Φw
=
λ
⋅ ∆y
ti−1, j − ti, j ∆x
Φe
=λ
⋅ ∆y
ti+1, j − ti, j ∆x
Φs
=
Baidu Nhomakorabea
λ ⋅ ∆x
ti, j−1 − ti, j ∆y
Φn
=
λ
⋅ ∆x
ti, j+1 − ti, j ∆y
λ ⋅ ∆y ti−1, j − ti, j + λ ⋅ ∆y ti+1, j − ti, j + λ ⋅ ∆x ti, j−1 − ti, j + λ ⋅ ∆x ti, j+1 − ti, j = 0
+ O(∆x2 )
温度对时间的求导，通常采用向前或向后差分，而不采用中心差 分，因为温度对时间的中心差将导致数值解的不稳定。
课堂练习
v 在一个无限大平板的非稳态导热过 程,测得某一瞬间在板的厚度上的 三点A、B、C的温度分别为： 180、130、90℃，A与B、B与C 各相隔1cm，材料的热扩散系数 a=1.1×10-5 m2/s。求该瞬间B点的 温度对时间的瞬时变化率。该板的 厚度远大于A、C间的距离。
ABC
对常物性，无内热源 二维稳态导热
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
=
0
其离散方程
ti+1, j
− 2ti, j ∆x 2
+t i −1, j
+
ti,
j +1
−
2ti, j ∆y 2
+t 1, j −1
=0
课堂练习
( ) 一维等截面直肋
稳态导热方程：
d 2t dx 2
−
hU λA
t − t∞
=0
( ) λ ⋅ ∆y ti−1, j − ti, j ∆x
+ h ⋅ ∆y t∞
− ti, j
+ λ ⋅ ∆x ti, j−1 − ti, j 2 ∆y
+ λ ⋅ ∆x ti, j+1 − ti, j 2 ∆y
=0
选择步长 ∆x = ∆y
( ) ( ) ( ) ti−1, j
− ti, j
+ h ⋅ ∆y λ
t∞ − ti, j
+
1 2
ti, j−1
− ti, j
+
1 2
ti, j+1
− ti, j
=0
课堂练习
第三类边界条件下的外拐角边界节点
( ) ti−1, j + ti, j−1
−

2
h
⋅ ∆x λ
+
2 ti ,
j
+
2
h
⋅ ∆x λ
⋅
t∞
=0
∆x = ∆y
绝热边界节点
ti , j−1 + ti ,j+1 + 2ti−1,j − 4ti ,j = 0
jj
t−0j
L−L− a−1nat1nn
t
0 n
t
1t
2
2==
11 aa22
22
bb22
−−aa212t11t1−1
−LL−−a
a2 j
t
2
j j
t−0j
L−L− t−2ntt2nn
t
0 n
M
(( )

ttnn1
==
11 aannnn
bbnn−−aan1nt11t11−−LL−−aannj jttj1j−−LL−
第9次课结束
数值解法求解导热问题的基本步骤
v 建立符合实际的物理模型； v 建立完整的数学模型 ； v 求解域离散化； v 建立节点温度代数方程组； v 求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值； v 对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检
查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到 结果满意为止。
∆x
∆x
∆y
∆y
二、控制容积热平衡法
λ ⋅ ∆y ti−1, j − ti, j + λ ⋅ ∆y ti+1, j − ti, j + λ ⋅ ∆x ti, j−1 − ti, j + λ ⋅ ∆x ti, j+1 − ti, j = 0
∆x
∆x
∆y
∆y
如果选择步长 ∆x = ∆y
ti−1,j + ti+1,j + ti ,j−1 + ti ,j+1 − 4ti ,j = 0
v数 值 解 法 ： 有 限 差 分 法 （ finite-difference ） 、 有 限元法（finite-element） 、边界元法（boundaryelement） 、分子动力学模拟（MD）
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
Aλ
tk i −1
−
t
k i
+
Aλ
tk i +1
−
t
k i
=
A∆xρc
t k +1 i
−
t
k i
∆x
∆x
∆τ
（1）内部节点温度差分方程
Aλ
tk i −1
−
tik
+
Aλ
tk i +1
−
tik
=
A∆xρc
t k +1 i
−
t
k i
∆x
∆x
∆τ
移项
tik +1 − tik ∆τ
温度对时间的一阶导数：向前差分、向后差分
差分方程：显式差分格式、隐式差分格式
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
以第三类边界条件下无限 大平壁的一维非稳态导热 问题为例
时间
1) 求解域的离散
时间 步长
空间和时间步长的大小要看问题的具体 情况而定，有时不能任意选择，需要考 虑节点温度方程求解的稳定性问题。
a t1 nn(( nn−−11)) nn−−1i
判断迭代是否收敛的准则：
max ti(k +1) − ti(k ) ≤ ε
max
ti(k +1) − ti(k )
ti(k )
≤ε
ε — 允许的偏差； 相对偏差ε值一般 取10−3 ~ 10−6
max
ti(k +1) − ti(k ) tm(ka)x
请写出其差分方程 ：
ti −1
+ ti+1
− (2 +
hiU λ
∆x A
2
)ti
+
hiU ∆x2 λA
t∞
=
0
二、控制容积热平衡法
控制容积热平衡法的基本思路就是根据节点所代表的控制容积在导热 过程中的能量守恒来建立节点温度差分方程。
v 在稳态导热条件下： 导入与导出网格单元净热量 + 网格
单元内热源发热量=0
∆x = ∆y
10次结束
数值解法求解导热问题的基本步骤
v 建立符合实际的物理模型； v 建立完整的数学模型 ； v 求解域离散化； v 建立节点温度代数方程组—节点差分方程； v 求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值； v 对计算结果进行分析，若计算结果不符合实际情况，则检
查上述计算步骤，修正不合理之处，重复进行计算，直到 结果满意为止。
迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中 不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允 许值。称迭代计算已经收敛。
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
高斯-塞德尔迭代法
t 在代a假a入2111设tt方11一++程组aa组2122节进tt22点行++温LL第度一++的次aa1初2迭jjtt始jj代++值运LL算t1+0+，,att2由120nntt,L第nn ==一,bbt个1n20 方程求出了节点温度
二维稳态导热均匀步长情况下的节 点温度差分方程
(1)上式为内部节点温度差分方程
二、控制容积热平衡法
控制
(2) 边界节点温度差分方程
容积
第一类边界条件，边界节点温度已知 ；
第二、三类边界条件，根据边界节点所代表的控制 容积的热平衡，建立边界节点温度的差分方程。
根据其热平衡，从四周向它传递的热量之和等于 0，由导热付里叶定律和牛顿冷却公式
+

∂t ∂x

i
,
j
∆x
+

∂ 2t ∂x 2
i, j
∆x 2 2!
+

∂3t ∂x 3
i ,
j
∆x 3 3!
+ ...
ti−1, j
= ti, j
−

∂t ∂x

i,
j
∆x
+

∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−

∂ 3t ∂x 3
t t 在用第二个方程计算节M点温度
1 2 时，直接将
依a此n1类t1 推+ an2t2 + L + anjt j + L + anntn = bn
1 1 代入方程
1 1

(( ) )

(( ) )

t11t1==
11 aa1111
bb11
−−aa121t22t
20−
−LL−−a1aj 1t
= ti, j
−

∂t ∂x
i
,
j
∆x
+

∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−

∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...

∂t ∂x

i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
i,
j
∆x 3 3!
+ ...
两式相减， 忽略高阶项

∂t ∂x

i,
j
=
ti+1, j − ti−1, j 2∆x
+ O(∆x 2 )
二阶截差公式（中心差分）
两式相加， 忽略高阶项

∂ 2t ∂x 2
i ,
j
=
ti+1, j
− 2ti, j ∆x 2
+ ti−1, j
1
4-1. 有限差分法的基本原理 控制
网格线交点和
容积
1) 求解域的离散化
网格线与物体
(1) 子区域的划分
边界线的交点 作为节点
(2) 节点的选择
节点越密 越好吗？
网格宽度 称步长
4-1. 有限差分法的基本原理
2) 节点温度差分方程的建立 泰勒级数展开法与控制容积热平衡法
一、泰勒级数展开法
ti+1, j