第10章 气体动理论

i E RT 2
例 一篮球充气后，其中有氮气8.5g，温度为17 0C ， 在空气中以65km/h做高速飞行。 求：球内氮气的内能
i 5 E RT RT 2 2 8 .5 28 R 普适气体常量
8.31J / mol
T 273 17 290K
12 10 eV的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中 例 一个能量为 含有氖气0.01mol，如果宇宙射线粒子的能量全部被氖分子 所吸收而变为热运动能量，氖气温度能升高几度？
v1dN1 v2dN 2 vi dN i vn dN n v N N vdN v Nf ( v)dv v 0 0 v f ( v) dv 0 N N
v
0
速率区间足够小时，可以认为该区间 d Ni 个分子具有相同的速率 v 。其速率之和为 v d N 。则 i i
1 2 v v 3
2 x
分子平均平动动能 气体压强公式
1 k mv2 2
2 p n k 3
压强的物理意义
统计关系式 宏观可测量量
2 p n k 3
微观量的统计平均值
10.1.3 温度的微观意义 理想气体压强公式
理想气体物态方程
分子平均平动动能：
2 p n k 3 p nkT
第10章 气体动理论
10.1 理想气体压强 温度的微观意义 10.1.1 理想气体的微观模型 （1）分子可视为质点； 线度 间距 r 10 m ，d r
9
d 10 m
10
；
（2）除碰撞瞬间, 分子间无相互作用力； （3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）； （4）分子的运动遵从经典力学的规律 .
ΔN N d v f ( v ) NΔ N dv
f ( v)dv
o o
v v dv
Δ
曲线下面积恒为1
v
f (v)dv
表示速率在 v v dv 区间内的分子 数战中分子数的百分比。 25
10.3.3麦克斯韦速率分布率
m f v 4π 2 π kT
10.2 能量均分定理
10.2.1分子的自由度
理想气体的内能
确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。
He
O2
H 2O
NH 3
以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例
z
C ( x, y, z )
z


y

C ( x, y, z )
y
转动自由度r=2
x
单原子分子 平动自由度t=3
x 双原子分子
1 3 2 k m v kT 2 2
微观量的统计平均 宏观可测量量
1 2 3 温度 T 的物理意义 k 2 m v 2 kT
（1）温度是分子平均平动动能的量度.
k T
（2）温度是大量分子的集体表现. （3）在同一温度下各种气体分子平均平 动动能均相等.
注意
热运动与宏观运动的区别：温度所 反映的是分子的无规则运动，它和物体 的整体运动无关，物体的整体运动是其 中所有分子的一种有规则运动的表现.
v Z
35
气体分子简化模型： （1）分子为刚性小球 ；
d （分子的平均有效直径）； u （3）其它分子皆静止, 某一分子以平均速率 相对其他分子运
（2）分子有效直径为 动。
若其它分子相对静止，则单位时间内平均碰撞次数：
Z π d 2 un
36
由于分子向各个方向运动的概率相同，所有两分子运动
i i E RT E RT 2 2 2E T iR E : 1012 eV 1012 1.6 1019 J
i 3
R:
0.01mol
8.31J / mol
10.3 麦克斯韦速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
大量分子总效应
单位时间 N 个粒子对器壁总冲量:
m Nm Nm 2 2 vix vx x x i x i N x i
2 A 器壁 1 所受平均冲力: F v x Nm x
2 mvix
2 vix
气体压强 统计规律
F Nm 2 p vx yz xyz
N n xyz
方向的平均夹角将是 0°至 180°之间的平均值，即 90°。
当考虑其它分子运动时，u 因此，分子平均碰撞频率为：
2v
900
v v
u 2v
Z 2π d vn
2
10.5.2平均自由程
v 1 z 2 π d 2n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ37
Z 2π d vn
2
v 1 z 2 π d 2n
考虑到： p
平动自由度t=3
i tr3
i tr5
z



C ( x, y, z )
多原子分子 平动自由度t=3 转动自由度r=3

x
y
itr 6
10.2.2能量按自由度均分定理 平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可 1 能自由度的平均能量都是 kT 2 如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为
2 方向速度平方的平均值 v x
单个分子遵循力学规律.
y
x方向动量变化:
- mv x mv x
v
A1
y
z x
pix 2mvix
A2
o
分子施于器壁的冲量:
z
2mvix
x
两次碰撞间隔时间: 单位时间碰撞次数: 单个分子单位时间 施于器壁的冲量:
2 x vix
vix 2x
2 mvix
x
10.3.1分子速率的实验测定
系统：理气 平衡态 自由空间

。
银蒸汽 .. . . ... .
f ( v)
f ( v)
dN Ndv
T
真空 麦氏速率分布的实验验证
o
v
22
10.3.2速率分布函数 1.分间隔 2.概率 分析上式发现
dN v N
和dv有关
v v dv
与v和dv有关 存在人为因素
k 1.38 10
23
J K
1
T 273 17 290K
10.2.3理想气体的内能
分子间相互作用 可以忽略不计 分子间相互作用的势能=0
理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和 N个理想气体分子的内能为：
k R NA
i E N k N kT 2
N NA
v
物理上需要的是只与v有关的关系
f ( v) 3.速率分布函数 dN v 用dv去除 得到一个新的关系 N
dN v = f ( v) Ndv
只与速率v有关
速率分布函数
或说
只是v的函数
23
讨论
1）f (v) 的意义
dN v f ( v) Ndv
dN v N
平衡态下， 分子速率在
单位速率间隔内的分子数 占总分子数的百分比 平衡态下， 分子速率在 间隔内的分子数占 总分子数的百分比
32
ve
m v2 2 2 kT
f ( v) v , e
2
v2
m 32 dN Nf ( v)dv = 4πN ( ) e 2πkT
——理想气体在平衡态下，各速率区间分子数的分布 。
mv2 2 kT
v dv
2
f ( v)
dN f ( v) Ndv
o
v
26
10.3.4三种特征速率
v 附近
v v dv
f ( v)dv
分子速率在 v v dv Nf ( v)dv dN v 平衡态下， 间隔内的分子数 可以求平均值 2）f ( ) 的性质

0

v v 0
f ( v )dv 1

dN v N
归一性质 24


0
f ( v)dv 1 几何意义
10.1.2理想气体压强
设 边长分别为 x、y 及 z 的长方体中有 N 个全同的质量为 m 的气体分子，计算 A1 壁面 所受压强.
y
A2
o
- mv x mv x
v
A1
vy
y
z x
o
v vx
z
x
vz
单个分子碰撞特性 ：偶然性 、不连续性. 大量分子碰撞的总效果 ：恒定的、持续 的力的作用. 热动平衡的统计规律（ 平衡态 ） （1）分子按位置的分布是均匀的.
n n0e
p0e

mgh kT
恒温气压公式：
p nkT n0 kTe

mgh kT
mgh kT
p0 p0 kT RT h ln ln mg p Mg p
——上式给出每升高 10m ， 大气压强约降低 133 Pa 。 33
重力场中微粒按高度的分布 空气密度
n m
i
v v i 附近 d v
8kT v f (v)dv πm
Nf (v) Nf (v)dv
kT RT v 1.60 1.60 m M
o
28
v
3. 方均根速率
v2
v
2

N
0
v dN N
2
2


0
v 2 Nf ( v)dv N


0
3kT v f ( v)dv m
2
vrms v
dN N n dV V
（2）分子各方向运动概率均等. 分子运动速度
vi vix i viy j viz k
各方向运动概率均等
vx v y vz 0
1 2 vix x N i 1 2 2 2 2 各方向运动概率均等 v x v y v z v 3
i k kT 2
能量均分定理
单原子 平均 平动动能 平均 转动动能 平均 总动能
3 t kT 2
双原子
3 t kT 2
多原子
3 t kT 2
3 r kT 2
r 0
3 k kT 2
2 r kT 2
5 k kT 2
k 3kT
kT v 1.60 m
f ( v)
O2
kT v 1.73 m
2
T1 300K T2 1200K
H2
o
v p1 v p 2
v
o
vp 0 vpH
v
N2 分子在不同温度下 的速率分布
同一温度下不同气体 的速率分布 30
讨论：
(1) 三种速率的大小关系：
f (v)
v v vp
2
o
（2） 三种速率皆与 T 成正比， 与 m 成反比；
h

n
n0

n mgh ln n0 kT
nn e

mgh kT
34
10.5 分子的碰撞 10.5.1气体分子平均碰撞频率
一个分子在单位时间内平均与其它分子碰撞的次数。用 Z 表示。
自由程：分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。 分子平均自由程：一个分子每两次连续碰撞之间自由运动的平
均路程 。用 表示。
1. 最概然速率
vp
d 2 f ( v) 0 2 dv
f max
f ( v)
根据速率分布函数
df ( v ) 0 dv
求得
o
vp
v
RT 2kT 2 RT 1.41 vp M m M ——气体在一定温度下分布在最概然速率 v p 附近单位速
率间隔内的相对分子数最多 。 27
2. 平均速率
例 一篮球充气后，其中有氮气8.5g，温度为17 C ， 在空气中以65km/h做高速飞行。 求：一个氮分子（设为刚性分子）的热运动平 均平动动能、平均转动动能和平均总动能。
0
1 求：球内氮气的轨道动能 Ek m 2 2
t 3 t kT kT 2 2 r 2 r kT kT 2 2 i 5 k kT kT 2 2
nkT
kT 2 2π d p
T
1 一定时 p

常温常压下：
p
一定时 T
v ~ 10 ms , z ~ 10 s ,
3
1
10
1
~ 10 m
7
38
例.真空管的线度为10-2m，真空度为1.3310-3Pa,设空气分子 有效直径为310-10m，求270C时单位体积内的空气分子数， 平均自由程和碰撞频率。
n n0e

mgh kT 推导方法：
气体压强 P 可以看作单位面积上空气柱重量
h
dP gdh 1 nmgdh 由 P nkT dP kTdn
kTdn nmgdh
dn mg dh n kT dn mg h dh n kT 0
P dP P
dh
vp
v
v
v2
（3） 一般讨论速率分布时用 v p , 碰撞问题时用 计算分子能量时用
v,
v2 。
31
10.4 玻耳兹曼分布
10.4.1玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布律：
dN Ce

k p
kT
dxdydzdvx dv y dvz
10.4 玻耳兹曼分布
10.4.2重力场中微粒按高度的分布 重力场中微粒按高度的分布为：
3kT m
2
3RT RT 1.73 M M
vrms v
3kT m
3RT RT 1.73 M M
8kT 8RT RT v= 1.60 m M M
2kT 2RT RT vp 1.41 m M M
vp v v
2
29
kT vp 1.41 m
f ( v)