高考数学专题复习 抽象函数

2015高考数学复习：抽象函数

高考常考抽象函数模型：

1.正比例函数型：()(0)f x kx k =≠⇔()()()f x y f x f y ±=±

2.一次函数型：()b kx x f +=⇔()()()b y f x f y x f -+=+

3.幂函数型：2

()f x x = ⇔()()()f xy f x f y =，

()()()x f x f y f y = 4.指数函数型：()x

f x a = ⇔()()()f x y f x f y +=，

()

()()f x f x y f y -=

5.对数函数型：()log a f x x = ⇔()()()f xy f x f y =+，()()()

x

f f x f y y =-

6.三角函数型：()tan f x x = ⇔

()()

()1()()f x f y f x y f x f y ++=

- 1、直线型抽象函数

例 1.已知函数()f x 对任意实数,x y ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，

(1)2f -=-，求()f x 在[]1,2-的值域

2、指数函数型抽象函数

例 2.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，

0()1f x <<．

(1) 试求(0)f 的值

(2) 判断()f x 的单调性并证明

3、对数函数模型 例3.定义在

R +

上的函数()f x 满足：①(10)1f =;②对任意实数b ，()()b

f x bf x =，当1>x 时，()0>x f

(1) 求

11(1),(),()

24f f f (2) 求证：对任意正实数,,()()()x y f xy f x f y =+

(3) 求证：()f x 是R

+上的增函数

4、幂函数模型

例 4.已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()f x y f x f y ⋅=⋅且(1)1,(27)9.f f -==当01x ≤<时，

0()1f x ≤<

判断()f x 的奇偶性

判断()f x 在

[)0,+∞上的单调性，并证明

若0a ≥

，且

(1)f a +≤，求a 的取值范围

5、正切函数模型

例5.若对常数m 和任意实数x ，都有等式1()

()1()f x f x m f x ++=

-成立，求证:()f x 是周期函数

()[]()()()()

()()()()

()()

()()()()()

()2

0..0,141010lg 10.21lg 241,21lg 21.013.0,102.2,4132

lg lg lg ≤≤=⎩⎨⎧<<<⇒≤=-⇒-==+====⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛=⎩⎨

⎧<+>+⇒>=-a x x f x f xy f x xy x x f x f y f f xy f xy f f f f n f n m f m n m n f y

x xy 右()[]1()

11()11()5(2)()41()1()()11()f x f x m f x f x m f x m m T m f x f x m f x f x +

+

++-

+=++=

==-⇒=+

-+--

练习：

1.若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，若0>x 时，()0

2.若x R ∈，()f x 满足()()(),12121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是 （ ） A.()x f 为奇函数 B.()x f 为偶函数 C.()1+x f 为奇函数 D.()1+x f 为偶函数

3.f x ()的定义域为R ,fxy fx fy ()()()+=+对一切实数y x ,成立，若f (

)84=，=)2(f

4.()f x 定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()()x f f x f y y =-，1x >时，()0f x <，1()12f =，

（1）求证()f x 为减函数

（2）解不等式2()(5)f x f x ≥-+-

5.)(x f 是定义在R 上的偶函数，图像关于1=x 对称，]

21

,0[,21∈x x ，有()0),()()(2121>=+x f x f x f x x f

(1)设2)1(=f ，求=

)21(f ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛47f ，()=2f ，=⎪⎭⎫ ⎝

⎛32015f (2)求函数()()()2,1.∈-=m m x f y 在区间[]8,0上各零点之和

6.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()

x f f x f y y ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

（1）求()

1f 的值

（2）若()61

f =，解不等式()()23<-+x f x f

7.函数()x f 对任意的实数n m ,有()()()n f m f n m f +=+，当0x f （1）求证:()00=f

（2）求证:()x f 在R 上为减函数． （3）若()23-=f ，解不等式

()()462-≥+-x f x f

8.)(x f 定义在R 上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)

25

(f =

9.已知函数()x f 满足：()41

1=

f ，()()()()(

)R y x y x f y x f y f x f ∈-++=,.4，则()=5201f _____

10.函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则

()()()()()()

+

++

+3421212

2f f f f f f ()()()+

+5632f f f