长沙中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习

综上所述，△ BDE 为直角三角形时，t 的值为 3 秒或 3 秒；
（3）△ BCE 中，由对称得：AC=CE=3，所以点 D 在运动过程中，CE 的长不变，所以△ BCE 面积的变化取决于以 CE 作底边时，对应高的大小变化， ①当△ BCE 在 BC 的下方时，过 B 作 BH⊥CE，交 CE 的延长线于 H，如图 4，当 AC=BH=3 时，
示出 CD，即为 FG，在直角三角形 OPG 中，利用 OP 表示出 PG，用 PG+GF 表示出 PF，根
据 PF=PC，表示出 PC，过 C 作 CH 垂直于 y 轴，在直角三角形 PHC 中，利用勾股定理列出
关于 t 的方程，求出方程的解即可得到 t 的值，综上，得到所有满足题意的 t 的值．
一半，而 OE=OPcos30°，列出关于 t 的方程，求出方程的解即可得到 t 的值；③当圆 P 与
AB 所在的直线相切时，设切点为 F，PF 与 OC 交于点 G，由切线的性质得到 PF 垂直于 AB，则 PF 垂直于 OC，由 CD=FG，在直角三角形 OCD 中，利用锐角三角函数定义由 OC 表
∵ 60 千米/时= 50 米/秒，∴ 时间 t= 50
3 50 50 =3+3
3 ≈8.1（秒），
3
3
即车辆通过 AB 段的时间在 8.1 秒以内，可认定为超速．
点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即
实际路程，并进行判断相关的量。
4．如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，∠ ABC=30°，AC=3，动点 D 从点 A 出发，在 AB 边上以每 秒 1 个单位的速度向点 B 运动，连结 CD，作点 A 关于直线 CD 的对称点 E，设点 D 运动时 间为 t（s）．
考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．
2．如图，已知点 从
出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 轴向正方向运动，以
为顶点作菱形 ，使点 在第一象限内，且
；以
为圆心， 为
半径作圆．设点 运动了 秒，求：
（1）点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）当点 在运动过程中，所有使 与菱形
的边所在直线相切的 的
【解析】 【分析】 （1）如图 1，先由勾股定理求得 AB 的长，根据点 A、E 关于直线 CD 的对称，得 CD 垂直
平分 AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以 AD=DE=BD，由 AB=3 3 ，可得 t
的值； （2）分两种情况：
①当∠ DEB=90°时，如图 2，连接 AE，根据 AB=3t=3 3 ，可得 t 的值；
5
AB 5
结论．
【详解】 （1）证明：连接 OC，
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 OB 与底板 OA 所在水平线的夹角为 120° 时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热 架 ACO＇后，电脑转到 AO＇B＇位置（如图 3），侧面示意图为图 4．已知 OA=OB=24cm， O＇C⊥OA 于点 C，O＇C=12cm． （1）求∠ CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部 B＇比原来升高了多少？ （3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏 O＇B＇与水平线的夹角仍保持 120°，则显示屏 O＇B＇应绕点 O＇按顺时针方向旋转多少度？
3．某条道路上通行车辆限速 60 千米/时，道路的 AB 段为监测区，监测点 P 到 AB 的距离 PH 为 50 米（如图）．已知点 P 在点 A 的北偏东 45°方向上，且在点 B 的北偏西 60°方向 上，点 B 在点 A 的北偏东 75°方向上，那么车辆通过 AB 段的时间在多少秒以内，可认定为
．
所求 的值是
，
和
．
【解析】
（1）过 作
轴于 ,利用三角函数求得 OD、DC 的长，从而求得点 的坐标
⊙P 与菱形 OABC 的边所在直线相切，则可与 OC 相切；或与 OA 相切；或与 AB 相切，应
分三种情况探讨：①当圆 P 与 OC 相切时，如图 1 所示，由切线的性质得到 PC 垂直于
OC，再由 OA=+t，根据菱形的边长相等得到 OC=1+t，由∠ AOC 的度数求出∠ POC 为 30°，
∴ AB= 62 32 =3 3 ，
∵ 点 A、E 关于直线 CD 的对称， ∴ CD 垂直平分 AE， ∴ AD=DE， ∵ △ BDE 是以 BE 为底的等腰三角形， ∴ DE=BD， ∴ AD=BD，
∴ t=AD= 3 3 ； 2
（2）△ BDE 为直角三角形时，分两种情况： ①当∠ DEB=90°时，如图 2，连接 AE， ∵ CD 垂直平分 AE， ∴ AD=DE=t， ∵ ∠ B=30°， ∴ BD=2DE=2t，
【点睛】 本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问 题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题， 学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
5．如图，AB 为⊙O 的直径，P 是 BA 延长线上一点，CG 是⊙O 的弦∠ PCA＝∠ ABC， CG⊥AB，垂足为 D (1)求证：PC 是⊙O 的切线；
⊙O 的直径，得到∠ ABC+∠ OAC=90°，由于 OC=OA，证得∠ OCA=∠ OAC，于是得到结论；
（2）由 AE∥ PC，得到∠ PCA=∠ CAF 根据垂径定理得到弧 AC=弧 AG，于是得到
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∠ ACF=∠ ABC，由于∠ PCA=∠ ABC，推出∠ ACF=∠ CAF，根据等腰三角形的性质得到
值． 【答案】解：（1）过 作
，
轴于 ， ，
，
，
点 的坐标为
．
（2）①当 与 相切时（如图 1），切点为 ，此时
，
，
，
．
②当 与 ，即与 轴相切时（如图 2），则切点为 ，
，
过作
于 ，则
，
，
．
③当 与 所在直线相切时（如图 3），设切点为 ， 交 于 ，
则
，
过作
轴于 ，则
化简，得
解得
，
，
，
． ，
， ，
∴ t=6﹣3 3 ，
由图形可知：0＜t＜6﹣3 3 时，△ BCE 的 BH 越来越小，则面积越来越小，
②当△ BCE 在 BC 的上方时，如图 3，CE=ED=3，且 CE⊥ED，
此时 S△ BCE= 1 CE•DE= 1 ×3×3= 9 ，此时 t=3，
2
2
2
综上所述，当 S△ BCE≤ 9 时，t 的取值范围是 6﹣3 3 ≤t≤3． 2
此时 S△ BCE= 1 AE•BH= 1 ×3×3= 9 ，
2
2
2
易得△ ACG≌ △ HBG，
∴ CG=BG，
∴ ∠ ABC=∠ BCG=30°，
∴ ∠ ACE=60°﹣30°=30°，
∵ AC=CE，AD=DE，DC=DC，
∴ △ ACD≌ △ ECD ，
∴ ∠ ACD=∠ DCE=15°，
tan∠ ACD=tan15°= t =2﹣ 3 ， 3
∵ ∠ AOB=120°，∴ ∠ BOD=60°，∴ BD=OBsin∠ BOD=24× =12 ，∵ O′C⊥OA，
∠ CAO′=30°， ∴ ∠ AO′C=60°，∵ ∠ AO′B′=120°，∴ ∠ AO′B′+∠ AO′C=180°， ∴ O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12 =36﹣12 ， ∴ 显示屏的顶部 B′比原来升高了（36﹣12 ）cm；
（3）显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°， 理由：∵ 显示屏 O′B 与水平线的夹角仍保持 120°， ∴ ∠ EO′F=120°， ∴ ∠ FO′A=∠ CAO′=30°， ∵ ∠ AO′B′=120°， ∴ ∠ EO′B′=∠ FO′A=30°， ∴ 显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°．
(2)求证： PA AD ； PC CD
(3)过点 A 作 AE∥ PC 交⊙O 于点 E，交 CD 于点 F，连接 BE，若 sin∠ P＝ 3 ，CF＝5，求 BE 5
的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=12．
【解析】
【分析】
（1）连接 OC，由 PC 切⊙O 于点 C，得到 OC⊥PC，于是得到∠ PCA+∠ OCA=90°，由 AB 为
②当∠ EDB=90°时，如图 3，根据△ AGC≌ △ EGD，得 AC=DE，由 AC∥ ED，得四边形 CAED 是平行四边形，所以 AD=CE=3，即 t=3； （3）△ BCE 中，由对称得：AC=CE=3，所以点 D 在运动过程中，CE 的长不变，所以△ BCE 面积的变化取决于以 CE 作底边时，对应高的大小变化， ①当△ BCE 在 BC 的下方时， ②当△ BCE 在 BC 的上方时， 分别计算当高为 3 时对应的 t 的值即可得结论． 【详解】 解：（1）如图 1，连接 AE， 由题意得：AD=t， ∵ ∠ CAB=90°，∠ CBA=30°， ∴ BC=2AC=6，
超速？（参考数据： 3 ≈1.7， 2 ≈1.4）．
【答案】车辆通过 AB 段的时间在 8.1 秒以内，可认定为超速 【解析】 分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解 直角三角形即可. 详解：如图，由题意知∠ CAB=75°，∠ CAP=45°，∠ PBD=60°，
∴ ∠ PAH=∠ CAB–∠ CAP=30°，
50
∵ ∠ PHA=∠ PHB=90°，PH=50，∴ AH= PH = tanPAH
3 =50
3，
3
∵ AC∥ BD，∴ ∠ ABD=180°–∠ CAB=105°，∴ ∠ PBH=∠ ABD–∠ PBD=45°，
则 PH=BH=50，∴ AB=AH+BH=50 3 +50，
【答案】（1）∠ CAO′=30°；（2）（36﹣12 ）cm；（3）显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针 方向旋转 30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延长线于 D，通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠ BOD=24× =12 ，由 C、O′、B′三点共线可得结果；
（1）若△ BDE 是以 BE 为底的等腰三角形，求 t 的值；
（2）若△ BDE 为直角三角形，求 t 的值；
（3）当 S△ BCE≤ 9 时，所有满足条件的 t 的取值范围 2
（所有数据请保留准确值，参考
数据：tan15°=2﹣ 3 ）．
【答案】（1） 3 3 ；（2） 3 秒或 3 秒；（3）6﹣3 3 ≤t≤3 2
（3）显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°，求得∠ EO′B′=∠ FO′A=30°，既是显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°． 试题解析：（1）∵ O′C⊥OA 于 C，OA=OB=24cm，
∴ sin∠ CAO′=
，
∴ ∠ CAO′=30°；
（2）过点 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延长线于 D，∵ sin∠ BOD= ，∴ BD=OBsin∠ BOD，
CF=AF，在 Rt△ AFD 中，AF=5，sin∠ FAD= 3 ，求得 FD=3，AD=4，CD=8，在 Rt△ OCD 中， 5
设 OC=r，根据勾股定理得到方程 r2=（r-4）2+82，解得 r=10，得到 AB=2r=20，由于 AB 为
⊙O 的直径，得到∠ AEB=90°，在 Rt△ ABE 中，由 sin∠ EAD= 3 ，得到 BE ＝ 3 ，于是求得
在直角三角形 POC 中，利用锐角三角函数定义表示出 cos30°=oc/op，表示出 OC，
等于 1+t 列出关于 t 的方程，求出方程的解即可得到 t 的值；②当圆 P 与 OA，即与 x 轴相
切时，过 P 作 PE 垂直于 OC，又 PC=PO，利用三线合一得到 E 为 OC 的中点，OE 为 OC 的
∴ AB=3t=3 3 ，
∴ t= 3 ；
②当∠ EDB=90°时，如图 3， 连接 CE， ∵ CD 垂直平分 AE， ∴ CE=CA=3， ∵ ∠ CAD=∠ EDB=90°， ∴ AC∥ ED，
∴ ∠ CAG=∠ GED， ∵ AG=EG，∠ CGA=∠ EGD， ∴ △ AGC≌ △ EGD， ∴ AC=DE， ∵ AC∥ ED， ∴ 四边形 CAED 是平行四边形， ∴ AD=CE=3，即 t=3；