圆及对称性一对一辅导讲义
北师大版数学九年级下册圆的对称性课件
教学过程
10
记一记
通过探究，我们进一步得出同圆或等圆中圆心角、
新 弧、弦、弦心距之间关系.
知 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么
新 它们所对应的其余各组量都分别相等
授
O
O'
A
C
B
A' C' B'
教学过程
11
记一记
同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的
教学过程
8
议一议
在等圆⊙O和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB和
新 ∠A'O'B'，视察两个圆的重叠情况，你有什么发现？.
知
O
O'
新
ACΒιβλιοθήκη BA' C' B'
授 在等圆⊙O和⊙O'中，当圆心角∠AOB=∠A'O'B'时，
它们所对的弦A⌒B=A⌒’B’吗？AB=A’B’吗？它们所对的
弦心距OC=O’C’吗？.
教学过程
9
记一记
通过上面的探究，我们可以得出同圆或等圆中圆心
新 角、弧、弦、弦心距之间关系. 知 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
新 注意：两个圆心角、两条弧、两条弦、两 授 个弦心距相等的前提是“在同圆或等圆中”。
思考：在同圆或等圆中，两个圆心角、两 条弧、两条弦、两个弦心距中任意一组量 相等，其余的各组量也相等吗？
C. BC+BD> AB D. S△ABC＞S△DBC
D O
A
B C
教学过程
九年级数学下册 27.1.2 圆的对称性讲义 (新版)华东师大版
（2）AB与CD在圆心的两旁，如下图所示： 同理可以示出OE＝3cm，OF＝4cm，则EF＝3cm+4cm ＝7cm； 答：AB与CD之间的距离为1cm或7cm。
C
F
D
O
A
E
B
圆中分类通常分为圆心同旁或两旁
小结
圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
旋转不变性
的
性
质
轴对称性
27.1.2圆的对称性
一、圆的旋转对称性
小组合作学习
班级展示
圆心角定理及推论
• 圆心角定理：在同一圆中，如果圆心角相 等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相 等；
推论：在同一个圆中，如果弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
把弧上的关系转换为圆心角的关系
二、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都 是它的对称轴。
请画图分析
（1）AB与CD在圆心的同旁，如下图所示： 作OF⊥CD，交CD于点F，交AB于点E。 在RT△AOE中，OA＝5cm，AE＝EB＝4cm，则OE=3cm； 在RT△COF中，OC＝5cm，CF＝FD＝3cm，则OF＝ 4cm； EF＝OF－OE＝4cm－3cm＝1cm。
A C
O
E
B
F
D
试试看，你还可以将圆多少等分？
小组合作学习 班级展示
证明垂径定理
垂径定理及推论
• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分这条弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦。
• 例2、已知AB和CD都是⊙O中的弦，且 AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，⊙O的 半径为5cm.求AB与CD之间的距离。
九年级下册数学同步课程讲义第07讲-圆与圆的对称性(培优)-学案
九年级下册数学同步课程讲义第07讲-圆与圆的对称性（培优）-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第07讲-----圆与圆的对称性授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标从不同角度深刻理解圆的定义；理解并识记与圆相关的概念；掌握点与圆的三种位置关系，及判定条件；掌握圆的两种对称性；理解圆的对称性，并掌握圆心角.弧.弦之间关系的定理及推论。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识梳理二.知识概念（一）圆的定义1.描述定义在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。
2.集合定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径。
（二）与圆有关的概念1.圆心（确定圆的位置）；半径（确定圆的大小）；直径；2.圆弧.优弧.劣弧；3.圆心角.弦.弦心距.弓形.弓形高；4.同圆（同一个圆）；等圆（半径相等的圆，圆心在不同位置）；等弧（形状.大小均相等的弧）（三）点与圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd1.点在圆内dr；2.点在圆上dr；3.点在圆外dr（四）圆的对称性1.圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2.圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形（五）圆心角.弧.弦之间的关系1.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2.推论同圆或等圆中1两个圆心角相等；2两条弧相等；3两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立考点一圆的定义例1.在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（）A直线B正方形C圆D菱形例2.某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则（）AW1W2BW1W2CW1W2D无法确定考点二与圆有关的概念例1.下列说法正确的是（）A长度相等的两条弧是等弧B优弧一定大于劣弧C不同的圆中不可能有相等的弦D直径是弦且同一个圆中最长的弦例2.下列说法正确的是（）A半圆是弧，弧也是半圆B过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径C弦是直径D直径是同一圆中最长的弦例3.如图，在ABC中，C90，B28，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为（）A28B34C56D62考点三点与圆的位置关系例1.O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），P的坐标为（4，2），则P与O的位置关系（）A点P在O内B点P的O上C 点P在O外D点P在O上或O外例2.如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km 内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行为什么考点四圆的对称性例1.下列结论错误的是（）A圆是轴对称图形B圆是中心对称图形C半圆不是弧D同圆中，等弧所对的圆心角相等例2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明（）A圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴C圆的直径相互平分D垂直弦的直径平分弦所对的弧考点五圆心角.弧.弦之间的关系例1.如图，在RtABC中，C90，A26，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB.AC于点D.点E，则弧BD的度数为（）A26B64C52D128例2.已知如图，在O中，弦ABCD求证弧AC与弧BD是等弧PPractice-Oriented实战演练实战演练课堂狙击1.若O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A 与O的位置关系是（）A点A在圆外B点A在圆上C点A在圆内D不能确定2.在公园的O处附近有E.F.G.H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E.F.G.H四棵树中需要被移除的为（）AE.F.GBF.G.HCG.H.EDH.E.F3.下列命题，其中正确的有（）（1）长度相等的两条弧是等弧（2）面积相等的两个圆是等圆（3）劣弧比优弧短（4）菱形的四个顶点在同一个圆上A1个B2个C3个D4个4.下列语句中正确的是（）A一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧B平分弦的直径垂直于弦C长度相等的两条弧是等弧D经过圆心的每条直线都是圆的对称轴5.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，QON30，公路PQ 上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）A12秒B16秒C20秒D24秒6.如图，AB是O的直径，，COD35，求AOE的度数7.如图，AB.CD是O的弦，AC求证ABCD课后反击1.下列说法中，正确的是（）A过圆心的线段是直径B小于半圆的弧是优弧C弦是直径D半圆是弧2.下列说法直径是弦半圆是弧弦是直径弧是半圆，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个3.如图，O中点A.O.D以及点E.D.C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A2B3C4D54.一个圆的最长弦长为20cm，则此圆的直径为（）A10cmB20cmC40cmD无法确定5.如图所示，MN为0的弦，M40，MON则等于（）A40B60C100D1206.如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A猫先到达B地B老鼠先到达B地C猫和老鼠同时到达B地D无法确定7.如图，A.B.C.D四点在同一个圆上下列判断正确的是（）ACD180B当E为圆心时，CD90C若E是AB的中点，则E一定是此圆的圆心DCOD2CAD8.如图，在RtABC中，ACB90，点O是边AC上任意一点，以点O为圆心，以OC为半径作圆，则点B与O的位置关系（）A点B在O外B点B在O上C点B在O内D与点O在边AC上的位置有关9.如图，AB是O的弦，半径OA2，AOB120，则弦AB的长是A2B2CD310.在同圆中，若AB和CD都是劣弧，且AB2CD，那么弦AB和CD的大小关系是（）AAB2CDBAB2CDCAB2CDD无法比较它们的大小11.一条弦将圆分成13两部分，则劣弧所对的圆心角为（）A30B60C90D1xx.如图，已知点A.B.C.D在圆O上，ABCD求证ACBD13.如图，AOB90，C.D是的三等分点，AB分别交OC.OD于点E.F，求证AECD直击中考1.【xx深圳】下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCDxOyP图22.【xx深圳】如图2，点P（3a，a）是反比例函y（k0）与O的一个交点，图中阴影部分的面积为10，则反比例函数的解析式为（）AyByCyDy3.【xx深圳】下列命题是真命题的个数有（）垂直于半径的直线是圆的切线；平分弦的直径垂直于弦；若是方程xay3的一个解，则a1；若反比例函数的图像上有两点（，y1），（1，y2），则y1y2。
九年级数学下册圆的对称性专题辅导北师大版
圆的对称性主要内容：（一）圆的定义及相关概念1. 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。
同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。
2. 圆的基本元素：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫直径。
（如图）（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
简称弧，弧用符号“⌒”表示。
（3）半圆、劣弧、优弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧。
每一条弧都叫做半圆。
（4）圆心角顶点在圆心的角，叫做圆心角。
∠COD（5）同心圆、等圆、等弧同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
等圆：能够重合的两个圆叫等圆。
半径相等的两个圆也叫等圆。
等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
3. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
经过圆心的直线是对称轴。
圆心是它的对称中心。
4. 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
如图，用几何语言表示如下：⊙O中，（1）∵∠AOB＝∠A'OB'（3）∵AB＝A'B'5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图：几何语言【典型例题】例1. 选择题：（1）下列说法中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 两个半圆是等弧C. 半径相等的弧是等弧D. 直径是圆中最长的弦答案：D（2）下列说法错误的是（）A. 圆上的点到圆心的距离相等B. 过圆心的线段是直径C. 直径是圆中最长的弦D. 半径相等的圆是等圆答案：B例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。
圆的对称性PPT演示课件
7
结论
二、点与圆的位置关系有三种：
A C O 到圆心的距离小于半径 的点叫作圆内的点； 到圆心的距离大于半径 B 的点叫作圆外的点.
8
要点归纳
二、点和圆的位置关系
设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，在点和圆三种不同位 置关系时，d与r有怎样的数量关系？
P d P d P r
d
r
r d<r
点P在⊙O内 点P在⊙O外
练一练 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; AF, AD, AC, AE. 劣弧： AFE, AFC,AED, ACD. 优弧： (
D F A O C B E
(
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
(
(
(
(
(
(
14
探究
1.如图，在一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，使 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆 心重合，观察这两个圆是否重合.
C
·
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 . 2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直 线都是圆的对称轴
18
O
D
议一议
如图,为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
19
议一议 为什么通常把车轮设计成圆形？说说理由.
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的
距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中
D E B
四 条．
A
O
F
C
32
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A 上 . 3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4）， 则点P与⊙O的位置关系为 （ B ） A.在⊙O内 C.在⊙O外 B.在⊙O上 D.在⊙O上或⊙O外
《圆的对称性》圆PPT课件教学课件
●O
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
5.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
3、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为
8cm，那么OM长为（ ）A．3 B．6cm C．41 cm D．9cm
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上
2
2
37. 4C
OD OC DC R 7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
A
D
B
OA2 AD2 OD 2 , R
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m） O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为
27.9m.
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③
B
平分线就能把⌒AB平分.
作法:
1.连结AB;
2.作AB的垂直平分线CD,交⌒AB与点E; ∴点E就是所求A⌒B的中点.
变式一： 求弧AB的四等分点．
Ｅ
C
G
错在哪里？
Ｍ
Ｎ
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD
A
2．作AT、BT的垂直平分线 EF、GH
F
Ｔ
B
DＨ
强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂
直平分线．
变式一： 求弧AB的四等分点．
求证：PO平分∠BPD
若把上题改为：P
B
C 是⊙O内一点，
E
直线APB，CPD
A 分别交⊙O于A、
P O
F
B和C、D，已知 AB=CD，
结论还成立吗？
初中一对一培训教案圆的性质、计算与相关证明的复习
A BCDOE A O lPA OB 学生姓名 原就读学校 年级 授课时间 教师姓名教学内容 圆教学目标圆的性质、计算与相关证明的复习教学重、难点与圆有关的证明一、主要知识点回顾1．圆的有关性质（1）弦；弧；等弧；圆心角，圆周角。
（2）垂径定理：若AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ， 则 ， ， 。
2．与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系有三种；点在圆外，点在圆上，点在圆内。
（2）直线与圆的位置关系：当d r >时，直线与圆 ；当d r =时，直线与圆 ；当d r <时，直线与圆 。
直线是圆的切线必须具备两个条件：直线经过圆上一点，直线与经过这点的 半径垂直。
若点A 在⊙O 上，且 ，则直线l 与⊙O 相切。
切线的性质。
若直线l 与⊙O 相切于点A ，则 。
切线长定理：若PA 、PB 与⊙O 相切于点A 、B ，则 ， 。
（3）圆与圆的位置关系：设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R 和r ，O 1O 2＝d ，则⊙O 1与⊙O 2外离 ； ⊙O 1与⊙O 2外切 ； ⊙O 1与⊙O 2相交 ； ⊙O 1与⊙O 2内切 ；⊙O 1与⊙O 2内含 。
3．圆中的计算问题（1）弧长的计算公式 ， （2）扇形的面积计算公式 ， （3）圆锥侧面积计算公式 ，全面积计算公式 。
图10 C DA O PB 图9 变式练习4：已知：如图8，⊙O 的直径AB ＝8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC 。
（1）若ACP 120∠=︒，求阴影部分的面积；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数。
三、巩固与提高（A ）巩固练习1．（随州）如图9，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO ＝CD ，则∠PCA ＝（ ）。
初中数学课件-圆的对称性课件北师大版2
（1）此图是轴对称图形，对称轴是 直径CD所在的直线
（2）AP=BP， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
D
O
P
A
B
C
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，
垂足为P. 求证：AP=BP， A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
FB
C
ED
O· A
·O'
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2COD，那么，A⌒B与C⌒D，
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现： D
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
C B
· OA
那么，A⌒B=C⌒D，弦AB=弦CD
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
应用提醒
在同圆或等圆中 圆心角 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
27.1.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理
《圆的对称性》示范公开课教学PPT课件【九年级数学下册北师大】
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
第三章 圆
圆的对称性
学习目标
1．经历探究圆的轴对称性和中心对称性及其相关性质的 过程. 2．认识圆的轴对称性和中心对称性及相关性质. 3．进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
情境导入
折叠圆形纸
旋转圆形纸片
圆有什么样特殊的对称性质？
探究新知
议一议 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是用什么方法解决上述问题的？ 答：（1）圆是轴对称图形；过圆心的任意一条直线都是 它的对称轴；圆的对称轴有无数条． （2）采用折叠的方法可以解决上述问题．
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
课堂练习
3．如图，已知AB是⊙O的直径，BC CD DE，
∠BOC=40°，那么∠AOE=（ B ）．
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
4．如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB
上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则
AC 与CB 的大小关系是__A_C__=_C__B____
课堂练习
5．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证： AB=CD．
证明：∵AD=BC， ∴ AD BC ． ∴ AD BD BC BD 即 AB CD ∴AB=CD．
课堂练习
6．已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是 AB 的
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．
探究新知
答：发现：AB = A'B'，AB=A'B'．
理由：∵半径OA与O′A′重合，∠AOB=∠A′O′B′， ∴半径OB与O′B′重合． ∵点A与点A′重合，点B和点B′重合， ∴ AB 与 A'B' 重合，弦AB与弦A′B′重合． ∴ AB = A'B'，AB=A'B'．
九年级圆基础知识点圆讲义
一对一授课教案一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径．2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作“O⊙”,读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB,读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角,90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等．一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判断：1直径是弦,是圆中最长的弦; 2半圆是弧,弧是半圆; 3等圆是半径相等的圆;4等弧是弧长相等的弧; 5半径相等的两个半圆是等弧; 6等弧的长度相等;2．P为⊙O内与O不重合的一点,则下列说法正确的是A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆,可以作A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 4．以已知点O 为圆心,已知线段a 为半径作圆,可以作A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个5、如下图,1若点O 为⊙O 的圆心,则线段__________是圆O 的半径；线段________是圆O 的弦,其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． 2若∠A =40°,则∠ABO =______,∠C =______,∠ABC =______．5．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm,最远距离为9cm,则这圆的半径是 cm ． 6．圆上各点到圆心的距离都等于 ,到圆心的距离等于半径的点都在 ． 7．如图,点C 在以AB 为直径的半圆上,∠BAC=20°,∠BOC 等于A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°8、如图,在⊙O 中,弦AB=8cm,OC ⊥AB 于C,OC=3cm,求⊙O 的半径长．9．如图1,如果AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,•错误的是 ．A ．CE=DEB ．BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>ADB ACEDOBAOMBACDP O BACED O BA CEDOF 51 2 3 410．如图2,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是A ．4B ．6C ．7D ．811．如图3,在⊙O 中,P 是弦AB 的中点,CD 是过点P 的直径,•则下列结论中不正确的是A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD BD = D ．PO=PD12．如图4,AB 为⊙O 直径,E 是BC 中点,OE 交BC 于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____．13．P 为⊙O 内一点,OP=3cm,⊙O 半径为5cm,则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．14、深圳南山区,3分如图1－3－l,在⊙O 中,已知∠A CB ＝∠CDB ＝60○,AC ＝3,则△ABC 的周长是____________.15．如果两个圆心角相等,那么 A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对16、大连,3分如图1－3－7,A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=30°则∠BOC 的大小是 A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○三、综合题1、如图,⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD 长．BACE DO3、已知：如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB ,CD 的延长线交于E ,若AB =2DE ,∠E =18°,求∠C 及∠AOC 的度数．板块三：点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O ⊙的半径为r ,点P 到圆心O 的距离为d ,则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <. 位置关系图形定义 性质及判定点在圆外 Pr O点在圆的外部d r >⇔点P 在O ⊙的外部.点在圆上Pr O点在圆周上d r =⇔点P 在O ⊙的圆周上.点在圆内Pr O点在圆的内部d r <⇔点P 在O ⊙的内部.二、确定圆的条件 1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心定点,确定圆的位置；②半径定长,确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时,远才能确定． 2. 过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A 的圆,这样的圆有无数个． ⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A B 、的圆,这样的圆也有无数个． ⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时,过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时,圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点,而这个交点O 是唯一存在的,这样的圆有唯一一个．⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心． 3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”． 板块四：直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O ⊙的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点. d r >⇔直线l 与O ⊙相离相切lOdr直线与圆有唯一公共点,直线叫做圆的切线,唯一公共点叫做切点. d r =⇔直线l 与O ⊙相切相交lOd r直线与圆有两个公共点,直线叫做圆的割线.d r <⇔直线l 与O ⊙相交从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定 1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三、三角形内切圆 1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形． 1、 如图,ABC ∆中,AB AC =,O 是BC 的中点,以O 为圆心的圆与AB 相切于点D ;求证：AC 是O 的切线;OD CBA2、 如图,已知AB 是O 的直径,BC 是和O 相切于点B 的切线,过O 上A 点的直线AD OC ∥,若2OA =且6AD OC +=,则CD = ;直线和圆的位置关系相交相切 相离 公共点个数2 1圆心到直线的距离d 与半径r 的关系d r <d r =d r >公共点名称 交点 切点 无 直线名称割线切线无CODBA3、 如图⊿ABC 中∠A ＝90°,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,E 为AC 边中点,求证：DE 是⊙O 的切线;8 如图,在ABC △中90ACB ∠=,D 是AB 的中点,以DC 为直径的O 交ABC △的三边,交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ,且ME =:2:5MD CO =．1求证：GEF A ∠=∠． 2求O 的直径CD 的长．A。
圆的认识-28.1.2圆的对称性课件(华师版九下)
目 录
• 圆的定义与性质 • 圆的对称性 • 圆的方程与图形 • 圆的对称性质应用 • 圆的对称性与生活联系
01 圆的定义与性质
圆的定义
01
圆是一种平面图形，由所有与给 定点（中心）距离相等的点组成 。
02
圆也可以定义为围绕一个点旋转 的线段（半径）的轨迹。
太阳和月亮
作为天体中最显著的两个圆形物 体，太阳和月亮的圆形对称性在 自然界中无处不在，它们对地球 生物的生活节奏和自然环境有着
深远的影响。
花朵和果实
许多花朵和果实在形态上呈现出 圆形对称性，如向日葵、玫瑰、 苹果等。这种对称性不仅使它们 看起来更加美观，还有助于植物
的繁殖和生长。
水滴和气泡
水滴和气泡在表面张力的作用下 形成圆形，这种圆形对称性使得 它们能够在空气中保持稳定的形 态，同时也有利于光线的折射和
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圆的中心对称性质使得圆在旋转和变换时保持形状和大小不变。
圆的旋转对称
圆具有旋转对称性，即圆可以绕 圆心旋转任意角度后与原图形重
合。
圆上任意一点绕圆心旋转180度 后与原点重合。
圆的旋转对称性质使得圆在几何 图形中具有独特的动感和和谐感。
03 圆的方程与图形
圆的方程
标准方程
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ， 其中$(a,b)$ 是圆心，$r$ 是半径。
圆形轴承
轴承是机械设备中支撑旋转轴的重要部件，而圆形轴承则是最常见的一种。它们具有高精 度、低摩擦、长寿命等优点，广泛应用于各种旋转机械中。
圆形传感器
在电子科技领域，圆形传感器被广泛应用于测量和控制系统中。例如，光电传感器、压力 传感器等常常采用圆形设计，以便更好地适应测量环境和提高测量精度。
一对一辅导圆第一节
一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例 P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm. 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。
当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。
当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。
例 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．A解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系．答案：点P 在圆O 上． 三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
圆的对称性精品课件教案
06
圆的对称性教学建议
教学重点与难点
教学重点
01
02
掌握圆的对称性定义和性质。
能够应用圆的对称性解决实际问题。
03
04
教学难点
如何引导学生理解圆的对称性概念。
05
06
如何帮助学生掌握圆的对称性的应用技巧 。
教学策略与方法
教学策略 采用直观教学，通过实物或图形展示圆的对称性。
结合生活实例，引导学生发现圆的对称性在生活中的实际应用。
圆的对称性精品课件 教案
汇报人：任老师 2023-12-27
目录
• 圆的对称性概念 • 圆的对称性分类 • 圆的对称性应用 • 圆的对称性证明方法 • 圆的对称性习题与解析 • 圆的对称性教学建议
01
圆的对称性概念
定义与性质
定义
圆是对称的，当且仅当对于圆上 任意一点P，存在圆内或圆外的点 Q，使得PQ的中点是圆心。
几何图形设计
总结词：丰富多样
艺术创作：艺术家可以利用圆的对称性进行创作 ，如绘制圆形图案、设计旋转对称的图案等，以 创造出具有美感和视觉冲击力的艺术作品。
设计图案：利用圆的对称性，可以设计出各种丰 富多样的几何图案，如圆形、环形、椭圆等。这 些图案在自然界和日常生活中广泛存在，如星球 、花朵、车辆等。
手段。
THANKS
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组合对称
总结词
组合对称是指圆同时具备多种对称性质。
详细描述
在实际的几何图形中，许多圆不仅具备单一的对称性质，还同时具备多种对称性质。例如，一些圆既具有中心对 称性，又具有轴对称性，或者同时具有中心对称性和点对称性等。这种多种对称性质的组合使得圆在几何学中具 有更加丰富的性质和表现形式。
圆的对称性课件
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－讲
例3 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE . 又∵ AD=CE， ∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
图形的个数是( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知1－练
3 下列说法中，不正确的是( ) A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D．圆的每一条直径都是它的对称轴
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
知2－导
总结
知1－讲
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有下列特性:一 是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持 不变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线 段都相等．
知1－练
1 (202X·徐州)下列图案中，是轴对称图X·凉山州)在线段、平行四边形、矩形、等腰三角 形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称
知2－讲
要点精析：(1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆 或等圆中”，否则不成立．
(2)由于一条弦对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中 的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．
拓展：(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． 弦与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则它 们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中，弦越长, 则其弦心距越小．
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心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一 条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
B
提示：（1）对于一个圆和一条直线来说，如果以①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧这五个条件中任何两个作为题设，那么其它三个就是结论
（2）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构
0
x
知识梳理
1、圆的定义有以下两种
（1）在同一平面内，一条线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所经过的封闭曲 线叫做圆.定点 O 就是圆心，线段 OP 就是圆的半径.以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”,读作“圆 O”. 说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆 的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”. (2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长 （即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上
教学目标 重点、难点 考点及考试要求
1．理解圆、弧、弦等有关概念,学会圆、弧、弦等的表示方法． 2．掌握点和圆的位置关系及其判定方法. 3．理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决有关弦、弧、 弦心距以及半径之间的证明和计算问题。
1．理解圆、弧、弦等有关概念特殊角的三角函数值 2. 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理
造如图所示的直角三角形 ，根据垂径定理与勾股定
理有 r2 d 2 ( a )2 根据此公式，在 a, r, d 三个量中， 2
知道任何两个量就可以求出第三个量
rO
Ad
6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系
A
a 2
CA
B
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，A所对的弦的弦心距相等
（A）y=3（x+3）2 -2 （B）y=3（x+2）2+2 （C）y=3（x-3）2 -2 （D）y=3（x-3 y ax2 bx 的图象大致为 （ ）
y
y
y
y
O
x
O
x
Ox
O
x
A
B
C
D
4．对于 y 2(x 3)2 2 的图象下列叙述正确的是（ ）
4、与圆有关的概念
（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦
经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的 2 倍
（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以 A、B 为端点的弧记作 AB , 读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧
(3）圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆
变式 1．下列说法正确的有_______．（填序号） ①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧，但弧不一定是半圆;
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等，那么它们所
对应的其余各组量都分别相等.
说明：（1）注意在“同圆或等圆中”这个条件（2）注意理解“所对应”的含义
第二课时 圆及其对称性典型例题
典型例题 一一 考点一 圆及相关概念 例 1：如图所示，______是直径，_______是弦，以 E 为端点的劣弧有______，以 A 为端点的优 弧有_______．
2、点和圆的位置关系
点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的 距离与圆的半径的大小关系决定的.如果圆的半径是 r ，这个点到圆心的距离为 d ，那么
点在圆外 d r ；点在圆上 d r ；点在圆内 d r 3、圆的旋转不变性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质) 圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合. 说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转 180°，如果旋转前后的图形互相重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 轴对称图形是指沿对称轴对折后完全 重合的图形.。(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对 称轴；圆的对称轴有无数条
在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧
提示：①同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两 个圆 ②等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的
弧不一定是等弧 (4）顶点在圆心的角叫做圆心角；从圆心到弦的距离叫做弦心距
5、垂径定理及其推论
1、圆、弧、弦等有关概念 2、点和圆的位置关系 3、圆的轴对称性
教学内容
第一课时 圆及其对称性知识梳理
课前检测
1．若二次函数 y mx 2 x m(m 2) 的图象经过原点，则 m 的值必为(
)
A． 0 或 2
B． 0
C． 2
D． 无法确定
2．把抛物线 y=3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
如图所示，∵ CD 是直径, CD⊥AB
∴ AE=BE, AC = BC , AD = BD
A
若一条直线①过圆心,②垂直于一条弦，则此直线①平 分此弦②平分此弦所对的优弧和劣弧
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并
CE
O
D
且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆
A 顶点作标为(－3，2)
B 对称轴为 y=3
C 当 x 3 时 y 随 x 增大而增大
D 当 x 3时 y 随 x 增大而减小
5．二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则下列结论中正确的是：（ ）y
A a>0 b<0 c>0 C a<0 b>0 c<0
B a<0 b<0 c>0 D a<0 b>0 c>0