工程硕士概率论第5讲

[例3] 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求其 两次独立投篮后，投中次数 X 的概率分布。 解：X 可取的值为 ：0, 1, 2，且 P(X=0) = (0.1)(0.1) = 0.01， P(X=1) = 2(0.9)(0.1) = 0.18 , P(X=2) = (0.9)(0.9) = 0.81 . 易见： P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 .
• 一方面，有些试验，其结果本身与数有关. (试验结果就是一个数). 掷一颗骰子，观察其上面出现的点数. 每天北京站下火车的人数.
每年12月份北京发生交通事故的次数. 七月份北京的最高气温. 一部电梯一年内出现故障的次数。
• 另一方面，有些试验的结果看起来与数值无 关，但可人为的把结果与数对应起来。
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.2 0.2 0.04 ,
P{X=1} = P{恰有一个继电器接通}
P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.8 0.2 0.2 0.8 0.32 ,
(1). pk 0, k 1,2,;
(2).
pk 1 .
k
用这两条性质判断 一个数列是否是概 率分布。
概率分布也可用下面表格或矩阵的形式给出：
x1 p 1
x2 xk p2 pk
[例2]设随机变量 X 的概率分布为
k P( X k ) a , k 0, 1, 2, , 0 为常数。 k!
分布函数 随机变量取什么值，在什么范围取值，固 然很重要，但更重要的是以什么样的概率取值， 这就是随机变量的概率分布问题。 设 X 为随机变量，则
a X b X b X a 类似地，随机事件 X a、X a 、
X x X x X x
在投篮试验中，用{0} 表示投篮未中，{1} 表 示罚篮命中，{3} 表示三分线外远投命中， {2} 表示三分线内投篮命中，则试验结果可 数量化。
在掷硬币试验中，用{1} 表示带国徽或人 头的一面朝上，{0} 表示另一面朝上，则 试验的结果也可数量化。
这种试验结果与数值的对应关系，在数 学上可理解为:定义一个实值函数 X(ω),
且
k 0
P( X
k ) 1。
这样，我们就掌握了X 这个取值的概率分布。
2.2.1 离散型随机变量概率分布以及分布函 数的定义 定义1 ：设离散型随机变量 X 所有可能取 的值为 x1 , x2 ,,且有
P( X xk ) pk , k 1,2,。
则称p1 , p2, „为离散型随机变量 X 的概率分布 或分布律，也称概率函数。其中 p1 , p2, „满足
.
X ( )
X 称这种定义在样本空间Ω上的实值函数为随机 变量，简记为 r.v. ( random variable ) 。
随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或希腊字母 ζ,η等表示。随机变量的取值一般用小写字母 x, y, z 等表示。

注意：随机变量X(ω) 与通常的函数有不同。
◎ X(ω) 随试验结果的不同而取不同的值。故,
P{x1 X ≤ x2} P{X ≤ x2} P{X ≤ x1}
F ( x2 ) F， ( x1 )
因此，知道了随机变量的分布函数也就掌 握了该随机变量的统计规律性．
分布函数的性质 设 为随机变量 的分布函数，则 具有下 列性质： （1）单调不减性：若 ，则 ； （2）归一性：对任意实数 ， ，且 ， ； （3）右连续性：即 ，若 为连续 型随机变量，则 处处连续． 具有以上三个性质的实函数，必是某个随 机变量的分布函数，故这三个性质也是分布函 数的充分必要条件．
其中“×”表示未中，“○”表示命中。
易见：X 的概率分布为
k P{ X k}C4 p k (1 p)4k , k 1, 2, 3, 4 .
Baidu Nhomakorabea
进行n次射击，可类似计算．
例：将一枚匀称的骰子掷 3 次，令X 表示 3 次中 出现“4”点的次数。
不难求得，X 的概率分布是为
1 5 P{ X k}C 6 6
确定常数 a 。 解：依据概率分布的性质
P ( X k ) 0 , P( X k ) 1 . k
欲使上述数列为概率分布，应有
a 0 与 a
k 0


k
k!
ae 1 .
从中解得
ae .

这里用到了幂级数展开式
k 0
k! e


k

.
[例1]：从盒中任取3 球， 记 X 为 取到白球数。则 X 是一随机变量。 X 可能取的值为: 0, 1, 2。取各值的概率为 2 1 3 C3 C 2 6 C3 1 P( X 0) 3 , P( X 1) 3 , C5 10 C5 10
2
1 2 C3 C2 3 P( X 2) 3 , C5 10
这样的 n 次独立重复试验称作 n 重贝努里 试验，简称贝努里试验或贝努里概型。 用X 表示 n 重贝努里试验中事件A发生的 次数，则
k k P( X k)Cn p (1 p)nk , k 0, 1, , n .
称随机变量 X 服从参数为 (n, p) 的二项分布, 记成 X ~ B(n, p)。
= F(x2)-F(x1)
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.分布函数 是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用 数学分析的工具来研究 随机变量.
书上例题……
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量X 的概率分布为 pk = P{ X=xk } , k=1,2,„, X 的分布函数为 F ( x) P{ X x} P X x k x x k
随机变量
• • • • 随机变量概念 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布
第五讲
一 随机变量
1. 概念的产生 为全面研究和揭示随机现象的统计规律 性，常把试验结果与实数对应起来。即把试 验结果数量化，引入随机变量的概念。 实际问题中，试验的结果有些本身与数 有关，但有些试验的结果与数值没有直接关 系，这就需要人为的把结果与数对应起来。 也就是说，引进一个变量来表示试验各种 结果。
P{X=2} = P{两个继电器都接通}
P( A1 A2 ) P( A1 ) P ( A2 ) 0.8 0.8 0.64 .
所以，X的分布律为
(2). 因线路是并联电路，所以 P(线路接通) = P(只要一个继电器接通) = P{X≥1} = P{X=1}+P{X=2} = 0.32+0.64 = 0.96.
[例1] 设 的分布函数为
． （1）试确定系数 解 （1）根据 解得
．
；（2）求
．
（2）由
F ( x ) P( X x), x
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 }

xk x
PX pk .
xk
xk x
所以，离散型随机变量的分布函数 F(x) 是一 个右连续的函数，在 X=xk (k=1, 2, „) 处有 跳跃值 pk=P{X=xk}，如下图所示。
2.2.2 常见离散型随机变量的概率分布 1. 两点分布 设 E 是一个只有两种可能结果的随机试 验, 用Ω= {1, 2} 表示其样本空间。
随 机 变 量
离散型随机变量
连续型随机变量
这两种类型的随机变量因都是随机变量， 自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方 式不同，故又有其各自的特点。 学习时要注意它们各自的特点及描述方法。
二 离散型随机变量
设 X是一个离散型随机变量，其可能取 值为 x1, x2 , „ 。 为描述随机变量 X ，我们不仅要知道其 所有可能的取值，还应知道取各值的概率。
则 P{X=1} = 196/200 = 0.98, P{X=0} = 4/200 = 0.02 . 故 X 服从参数为0.98的两点分布， 即 X～B(1, 0.98)。
2. 贝努里概型与二项分布 例：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现进行 4 次独立射击，求 {恰有 k 次命中10环} 的概率。 解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则
[例 4]：
如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器。 设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此 独立。已知各电器接通的概率为0.8，记X为线 路中接通的继电器的个数。 求 (1). X 的概率分布；(2). 线路接通的概率。
解：(1). 记 Ai={第 i 个继电器接通}, i =1, 2. 因两个继电器是否接通是相互独立的, 所以A1和A2相互独立，且 P(A1)=P(A2)= 0.8 . 下面求 X 的概率分布: 首先，X 可能取的值为: 0, 1, 2 . P{X=0} = P{表示两个继电器都没接通}
在试验之前只知道其可能取值的范围，而不 能预知其取哪个具体的值。 ◎ 由于试验结果的出现具有一定的概率，所以 “ X(ω) 取每个值或某个确定范围内的值” 也有一定的概率。
2. 引入随机变量的意义
有了随机变量，随机试验中的各种事件 都可以通过随机变量的关系式表达出来。 如：用 X 表示单位时间内某信号台收到 呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。 事件 { 收到呼叫 }⇔{X ≥ 1} 事件{没有收到呼叫} ⇔ {X=0}
贝努里概型对试验结果有下述要求： (1). 每次试验条件相同； (2). 每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 A ,
P({1}) = p ,
令 1, 1 , X ( ) 0, 2 ,
P({2}) = 1-p .
则称X服从参数p的两点分布, 记成 X～B(1, p)。
例 ：200 件产品中，有196件正品，4件次品， 今从中随机地抽取一件，若规定
1, 取到正品， X ( ) 0, 取到次品.
一旦选定了一个学生并量 了他的身高之后，我们就得到X 的一个具体值，记作 x
3. 随机变量的分类 离散型随机变量 随 机 变 量 连续型随机变量
所有取值可 以逐个列举
如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等。
全部可能取值不仅有无 穷多，而且不能一一 列举，充满某些区间。
如：“电视机的使用寿命”， “测量误差”等。
k 3
k
3 k
,
k 0, 1, 2, 3 .
一般地，设在一次试验中只有两个互逆 的结果： A 或 A , 形象地把两个互逆结果叫 做“成功”和“失败”。如： 射击：“中10环”， “未中10环” 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 抽验产品：“抽到正品”,“抽到次品”

设重复地进行 n 次独立试验，每次试验 “成功”的概率都是 p, “失败”的概率是 q=1-p 。
随机变量概念的产生是概率论发展史上重 大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计 规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩 充到对随机变量及其取值规律的研究。
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的 身高。我们可以把可能的身高看作随机变量X, 然后我们可以提出关于X的各种问题.
P(X>1.7)=？ P(X≤1.5)=? P(1.5<X<1.7)=?
X 来表示，所以，我们只需讨论该事 x 事件 件的概率即可。它显然是x的函数。
a X b 、 a X b、 a X b 都可以用
定义 设X 是一个随机变量，x为任意实数， 称函数 F ( x) P{ X ≤ x} 为X 的分布函数。 X ～ F(x) 或 FX(x). 由此定义，若已知随机变量 的分布函 数 F ( x)，则 X 落入任一区间( x1 , x2 ] 的概率等于 在此区间上的增量，即