大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大学期中考试高等数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，属于奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^42. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列极限中，属于无穷小的是（）A. lim x→0 (sinx/x)B. lim x→0 (1/x)C. lim x→0 (x^2)D. lim x→0 (x^3)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1在区间[-2, 1]上的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是（）A. dy/dx = y^2B. dy/dx = 2xyC. dy/dx = x^2yD. dy/dx = 2y/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数为______。
7. lim x→0 (1 - cosx)/x^2 = ______。
8. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1的极值点为______。
9. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1的导数在x=1处的值是______。
10. 分离变量后，微分方程dy/dx = 2xy的解为______。
三、解答题（共50分）11. （10分）求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。
13. （10分）求极限lim x→0 (sinx/x)。
14. （10分）解微分方程dy/dx = 2xy。
15. （10分）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0，f(b) > 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
注意：本试卷共75分，考试时间为120分钟。
沈阳航空航天大学大一下学期高数期中考试
沈阳航空航天大学大一下学期高数期中考试注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数，则下列说法正确的是（ ）53i1i z +=-A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.【详解】∵，()()()()53i 1i 53i 28i14i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+∴ z 的虚部为4, z 的共轭复数为1﹣4i ，|z |z 在复平面内对应的点在第一象限.故选：B2．在ΔABC 中,若 ,则=（ ）3,4,60AB AC BAC ==∠=︒BA AC ⋅A ．6B ．4C ．-6D ．-4【答案】C【分析】向量的点乘，=cos ,BA AC BA AC BA AC ⋅⋅⋅<>【详解】,选C.1==cos 3462BA AC AB AC AB AC BAC ⋅-⋅-⋅⋅∠=-⨯⨯=- 【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC 的补角BA AC与3．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =A ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度123πB ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度126πC ．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度123πD ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度6π【答案】B【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定.【详解】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，sin y x =12sin 2y x =接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π32sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π6sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故A 错误，B 正确；C 中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A 也是错误的，故C 错误；12D 中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，sin2xy =故D 错误.故选：B4．已知向量，，且，则（ ）(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥ 2a b -=A ．B ．C ．D ．810【答案】B【分析】由得，从而得，再求模长即可.a b ⊥620a b m ⋅=-= 2(4,8)a b -=- 【详解】向量，，且，(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥所以，解得，所以，，620a b m ⋅=-=3m =(1,3)b = 2(4,8)a b -=-所以a -= 故选：B.5．等于（备注：）（ ）)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 22sin cos ααα=A ．1B ．2C ．D ．1-2-【答案】C【分析】利用切化弦思想，利用两角和差的三角角函数公式和二倍角公式化简求值即可.【详解】)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 70cos101cos 70⎫︒=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒⋅︒11cos102sin 20cos 20sin 202⎛⎫=⋅︒⋅︒⨯ ⎪ ⎪︒⎝⎭()1cos102sin 20cos30cos 20sin 30sin 20=⋅︒⋅︒⨯︒-︒⨯︒︒1cos102sin(2030)sin 20=⋅︒⋅︒-︒︒12cos10sin10sin 20=-⋅︒⋅︒︒，1sin 201sin 20=-⋅︒=-︒故选：C6．已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于（ ）a b 3π||4a = ||2b = a 2a b + A ．B ．56π12πC ．D ．13π16π【答案】D【分析】根据已知条件求得，再利用向量的夹角计算公式，即可求解.a b ⋅【详解】向量，的夹角为，且，，故可得，ab 3π||4a = ||2b = cos 43a b a b π⋅== 则，()22216824a a b a a b ⋅+=+⋅=+=a+= 设向量与向量的夹角为，故，又，故.a 2ab + θ()2cos 2a a b a a b θ⋅+===+[]0,θπ∈θ=16π故选：D.7．中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则下列结论不正确的是ABC ::7:5:3ab c =（ ）A ．B ．sin :sin :sin 7:5:3A BC =0AB AC →→⋅>C ．若，则的面积是D ．是钝角三角形6c =ABC ABC 【答案】B【分析】用正弦定理即可判断A ；用余弦定理可以判断D ，再结合平面向量数量积的定义可以判断B ；先用余弦定理确定A ，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.【详解】对A ，由正弦定理可得正确；对B ，D ，设，∴，A 为钝角，()7,5,30a t b t c t t ===>22222594915cos 022t t t t A bc bc +--==<，B 错误，D 正确；||||cos 0AB AC AB AC A →→→→⋅=<对C ，∵，则，∴∴6c =14,10a b ==215601cos ,sin 21202t A Abc --===-=.1=1062ABC S ⋅⋅= 故选：B.8．已知非零向量、满足，且，则的形状是（ABAC 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭12AB AC AB AC ⋅=ABC ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状.0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ AB AC =12AB AC AB AC ⋅=A ∠【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，||AB AB AC ACAB AC 由，可得的角平分线与垂直，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ A ∠BC 所以为等腰三角形，且，ABC AB AC =且，22||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅12AB AC AB AC ⋅= 所以，又，1cos 2A Ð=()0,πA ∠∈所以，π3A ∠=所以，π3B C A ∠=∠=∠=所以三角形为等边三角形．故选：D ．二、多选题9．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）2i2i z =+A ．复数z 的虚部是B ．451z =C ．复数z 的共轭复数是D ．复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限24i 55=-z 【答案】AC【分析】利用复数的除法运算求得复数的标准代数形式，然后根据虚部的定义、共轭虚数的定义、复数的模的运算公式、复数的实部和虚部的正负判定各个选择支的正误.【详解】，()()()222i 2i 2i 4i 2i 24i 24i2i 2i 2i 4i 555z --+=====+++--复数z 的虚部为，，，复数z 的共轭复数对应的点位于第一象45z ==24i55=-z 限，故正确，错误，AC BD故选：.AC 10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在12π712πy （ ）A ．的最小正周期为()f x 2πB ．的最大值为2()f x C ．在区间上单调递增()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．为偶函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A ，再利用三角函数的图象ωϕ和性质，得出结论．【详解】由图知，的最小正周期，则.()f x 721212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2ω=由，得.由，得，所以.2122ππϕ⨯+=3πϕ=()0f =sin3A π=2A =()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，则单调递增.5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,322x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦()f x 因为，则不是偶函数，22sin 22sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：BC ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.11．如图，在四边形中，，，，E 为的中点，ABCD AB AD AC +=||2||2== AD AB 1AB AD ⋅= CD 与相交于F ，则下列说法一定正确的是（ ）AE DB A ．B ．在上的投影向量为1233AF AB AD=+BF ABC ．D ．若，则1AF AB ⋅= 12α=∠DEFtan α=【答案】ABC【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.【详解】解：因为在四边形中，，所以四边形为平行四边形，ABCD AB AD AC +=ABCD 又，，所以，||2||2== AD AB 1AB AD ⋅=60BAD ∠=︒对于 A ：，设 ，12AE AD DE AD AB =+=+ AF AE λ== 1122AD AB AD AB λλλ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为三点共线，,,B F D所以，解得，所以，故选项A 正确；112λλ+=23λ=1233AF AB AD=+ 对于B ：设的夹角为，因为，，,BF AB θ1AB=2,AD BD ==所以，所以，即，222AD AB BD =+BD AB ⊥θ=90︒所以在上的投影向量为 ，故选项B 正确；BF AB||cos 00||||AB ABBF AB AB θ⨯=⨯=对于：由题意， ，故选项C 1233AF AB AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭ 21212112133332AB ABAD +⋅=+⨯⨯⨯=C 正确；对于D ： ，||AF==cos FAB ∠=||||AF AB AF AB ⋅==若，则，又因为，tan α=30α=︒113022DEF FAB α=∠=∠=︒所以，不满足，故选项D 不正确.260FAB α∠==︒cos FAB ∠=故选：ABC.12．对于，有如下命题，其中错误的是（ ）ABC A ．若，则为锐角三角形222sin sin cos 1AB C ++<ABC B ．若，，，则AB =1AC =30B =︒ABC C ．P 在所在平面内，若，则P 是的重心ABC 0PA PB PC ++=ABC D ．若，则为等腰三角形22sin sin A B =ABC 【答案】AB【分析】利用平方关系将不等式条件转化为正弦的表达式，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理得到角为钝角，从而判定A 错误；利用正弦定理求得角有两解，从而得到角也有两解，C C A 进而利用三角形面积公式求得面积有两个不同的值，从而判定B 错误；利用三角形重心的向量公式可判定C 正确；利用正弦定理角化边可得到D 正确，从而确定错误的选项为AB.【详解】若，，，222sin sin cos 1A B C ++<222sin sin 1cos A B C +<-222sin sin sin A B C +<，，故为钝角，故A 错误；222a b c +<222cos 02a b c C ab +-=<C，，，，故，AB c ==1AC b ==30B =︒c b >C B >或，所以或，sin sin c B C b ===60C =︒120︒90A =︒30︒所以面积为错误；ABC 1sin 902bc A =︒30︒=B 设的重心为，若，则ABC G 0PA PB PC ++= 00,33PA PB PC PG ++===所以，重合，故C 正确；,P G 若，根据正弦定理角化边得到,从而,∴为等腰三角形，故D 正确.22sin sin A B =22a b =a b =ABC 故选：AB三、填空题13．若,且三点共线,则＝______()()()1,2,4,8,5,A B C x --A B C 、、x 【答案】10【分析】先由三点坐标，写出向量与的坐标，再由向量共线即可得出结果.,,A B C AB AC【详解】因为，所以，，()()()1,2,4,8,5,A B C x --()5,10AB =()62AC x，=+又三点共线，所以与共线，A B C 、、AB AC因此，解得.()52600x +-=10x =故答案为10【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理和坐标运算即可，属于基础题型.14．在锐角中，，，__________．ABC ∆1cos 3A =AC =ABC ∆BC =【答案】2【详解】分析：先可得出，再由面积公式：AB ，再由∠A 的sin A =1sin 2AC BC A ⋅余弦定理即可求出BC.详解：由题得,故sin A =1sin 2AC AB A ⋅=AB ⇒=2331cos 263BC A BC +-==⇒=答案为2.点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.15．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则()2π2sin sin 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x m <2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭实数m 的取值范围是________.【答案】()3,+∞【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析表达式，然后根据已知范围，利用不等式的基本性质和三角函数的性质求得函数在给定区间上的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值m 范围.【详解】()22π2sin sin 2sin cos 2f x x x x x x x⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，π1cos 222sin 216x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭当时，,,,当，即时2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭72,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦()(]0,3f x ∈226x ππ-=3x π=，()3f x =∴在区间上的最大值为3，()f x 2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭所以使得不等式在区间上恒成立，则实数m 的取值范围是.()f x m <2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭()3,+∞故答案为：()3,+∞四、双空题16．如图，平行四边形中，，，，，设ABCD 60DAB ∠=︒3AD =6AB =DE EC =13BF BC =，，用，表示______，______．AB a = AD b = a b AE =AE AF ⋅=【答案】；12a b +632【分析】根据平面向量加法的几何意义和共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】空一：因为，DE EC =所以；111222AE AD DE AD DC AD AB a b=+=+=+=+ 空二：因为，13BF BC =所以，111333AF AB BF AB BC AB AD a b=+=+=+=+ 因此，2211111)()2326(3a b a b a a E b F a b bA A ⋅+⋅+=+⋅+⋅=+ 因为，，，所以，60DAB ∠=︒3AD =6AB =3,6,,60AD b AB a a b ====〈〉=︒所以，1711633663926232AE AF ⨯+⨯⨯⨯⋅=+⨯=故答案为：；12a b + 632五、解答题17．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.ABC ∆,,A B C ,,a b c (),2m a c b =- ()cos ,cos n C A = m n ⊥ (1)求角的大小;A(2)若,求的周长5b c +=ABC ∆ABC ∆【答案】(1)；(2)3π5【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；cos A A （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.bc a 【详解】（1）m n ⊥ ()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-= 由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C CB A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0A C A CB A AC B A +-=+-= A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=sin 2sin cos 0B B A ∴-= ()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2） 11sin sin 223ABC S bc A bc π∆==== 4bc ∴=由余弦定理得：()22222cos 22cos 2512133a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=的周长a ∴=ABC ∆∴5L a b c =++=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.18．已知两个非零向量与不共线，a b (1)若，求证：A ､B ､D 三点共线；,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- (2)试确定实数k ，使得与共线；ka b + k + a b (3)若，且，求实数的值.(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ b c ⊥ λ【答案】(1)证明见解析(2)1k =±(3)32λ=-【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；,AB BD （2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；（3）由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】（1）∵，,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ∴，283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+= ∴共线，,AB BD 又∵它们有公共点B ，∴A ､B ､D 三点共线；（2）∵与共线，ka b + k + a b ∴存在实数，使，λ()ka b a kb λ+=+ 即，∴，ka b a kb λλ+=+ ()(1)k a k b λλ-=- ∵是两个不共线的非零向量，,a b ∴，10k k λλ-=-=∴，解得；210k -=1k =±（3）∵，(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ 且，b c ⊥ ∴，(1,2),120c b c λλλλ=++⋅=+++= 解得.32λ=-19．复数，其中为虚数单位．22i(1i)1i z =++-i (1)求及；z z (2)若，求实数，的值．223i z az b ++=+a b 【答案】(1)，13i z =-+z =(2)3,7.a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；z z （2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的13i z =-+a b 值.【详解】（1）∵，()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-∴z ==（2）由（1）可知，13i z =-+13iz =--由，得：，223i z az b ++=+2(13i)(13i)23i a b -++--+=+即，∴，解得(8)(63)i 23i a b a --++--=+82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩3,7.a b =-⎧⎨=⎩20．已知函数．44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x 【答案】（1），（2），时T π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．x 24x π+【详解】解：（1），44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π+故的最小正周期；()f x T π=（2）由可得，，[0,]2x π∈2[44x ππ+∈5]4π当得即时，函数取得最小值．所以，时24x ππ+=38x π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =21．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM 于.CN P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+ x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅ 【答案】（1）；（2）.12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC = λ的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，k AP AB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅ 【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，，因此，；34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设，3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即，NP k NC = ()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以，314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+-=+⋅- .221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.22．某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形其中三角形区ABCDE ABE 域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所．其中，，，，为运动小道BCDE AB BC CD DE EA （不考虑宽度），，，千米．120BCD CDE ∠=∠=︒60=︒∠BAE 226DE BC CD ===（1）求小道的长度；BE （2）设，试用表示的面积，并求为何值时，球类活动场所的面积最大值，ABE x ∠=x ABE x ABE 并求出最大值．【答案】（1） （2）球类活动场所BE =ABE 2【分析】（1）连接，在中由余弦定理得的值，在中，求解的值即可.BD BCD △BD Rt BDE BE （2）设，在中，由正弦定理求解、，表示，然后求解最大值.ABE α∠=ABE AB AE ABE S 【详解】（1）如图，连接BD在中，，BCD △3()2DE BC CD km ===120BCD CDE ︒∠=∠=由余弦定理得：2222cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=BD ∴=又BC CD= CDB CBD∴∠=∠又120CDE ︒∠= 90BDE CDE CDB ︒∴∠=∠-∠=在中，Rt BDEBE ===（2）设ABE α∠=60120BAE AEB α︒︒∠=∴∠=- 在中，由正弦定理可知：ABEsin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠，)AB α︒∴=-AE α=011sin 60)sin 221cos(120)cos(120)22)01201202120120ABE S AB AE ααααααααα︒︒︒︒︒︒︒︒︒∴==⨯-⎧⎫⎡⎤=--+---⎨⎬⎣⎦⎩⎭=-<<∴-<-< 当时，∴60α︒=ABE S=即球类活动场所ABE 2。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
高等数学(下册)期中考试题及答案
高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。
2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。
3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。
4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。
5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。
7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。
10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。
二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
2022-2023学年上海师范大学附属中学高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年上海师范大学附属中学高一下学期期中数学试题一、填空题1．若tan 2α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为____________.【答案】13【分析】将sin cos sin cos αααα-+分子分母同除以cos α，即可求得答案.【详解】由题意tan 2α=，则cos 0α≠，则sin cos tan 1211sin cos tan 1213αααααα---===+++，故答案为：132．已知向量()()1,1,2,3a b ==，则a 在b 方向上的数量投影为___________【答案】51313【分析】根据平面向量投影的定义计算即可【详解】向量()()1,1,2,3a b ==，12135a b ∴⋅=⨯+⨯= ，222313b =+= ，所以a在b 方向上的数量投影为5513cos 1313a b a bθ⋅===；故答案为：513133．若1πcos ,0,72αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．【答案】1114-【分析】首先根据正余弦的平方关系求出sin α的值，再利用余弦两角和公式化简cos()3πα+，把得到的sin α，cos α代入即可．【详解】解： 若1cos 7α=，π(0,)2α∈2143sin 1cos 1497αα∴=-=-=πππ1143311cos()cos cos sin sin 333727214ααα∴+=-=⨯-⨯=-故答案为：1114-.4．若向量,a b的夹角150︒，||3,||4a b == ，则|2|a b += ___________.【答案】2【分析】直接根据平面向量数量积的概念以及向量模的表示即可得结果.【详解】因为向量a ，b的夹角为150︒，3a = ，4b = ，所以3cos1503462a b a b ⎛⎫⋅=⨯⨯=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以222|2||2|441224162a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+= 故答案为：2.5．已知21,e e 是夹角为2π3的两个单位向量，若向量1232a e e =- ，则1a e ⋅= __________.【答案】4【分析】直接由数量积的定义计算即可.【详解】依题意得，212π111cos 32e e ⋅=⋅⋅=- ，于是()211111223232314a e e e e e e e ⋅=⋅=-⋅=+=- .故答案为：46．已知函数π2cos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当函数值为2-时，自变量x 的取值集合为__________.【答案】5ππ,Z 8xx k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣【分析】由题意可求πcos 214x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而利用余弦函数的性质即可求解．【详解】函数π2cos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当函数值为2-时，则cos 214x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以π2π2π,Z 4x k k -=+∈，则5ππ,Z 8x k k =+∈，故自变量x 的取值集合为5ππ,Z 8xx k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣.故答案为：5ππ,Z 8xx k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣.7．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，函数()f x 的对称中心与对称轴4x π=的最小距离为6π，则()f x =_________．【答案】2sin 34x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题设知函数的周期223T ππω==，即可求出ω，再由4x π=是函数()f x 的对称轴可求出ϕ，即可求出函数的解析式.【详解】由函数()f x 的对称中心与对称轴4x π=的最小距离为6π，46T π∴=即223T ππω==，3ω∴=由4x π=是函数()f x 的对称轴，3,42k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，即,4k k Zπϕπ=-∈又||2ϕπ<，令0k =，则4πϕ=-，故n (4)2si 3x f x π⎛-=⎫ ⎪⎝⎭故答案为：2sin 34x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像求解析式，由函数的周期可求出ω，由五点法作图可求得ϕ，即可求出函数的解析式，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题.8．已知关于x 的方程22sin 3sin 210x x m -+-=在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是___________.【答案】(]2,1--【分析】利用三角函数的倍角公式和辅助角公式，将方程整理化简，利用三角函数的图象和性质，确定条件关系，进行求解即可.【详解】 22sin 3sin 210x x m -+-=，∴1cos 23sin 210x x m --+-=，即cos 23sin 20x x m +-=，∴2sin(2)6x m π+=，即sin(2)62m x π+=，[,]2x ππ∈ ，7132[,]666x πππ+∈，设7132,[,]666x t t πππ+=∈，则sin 2mt =在713[,]66t ππ∈上有两个不同的实数根，∴1sin y t =，22m y =，713[,]66t ππ∈的图像有两个不同的交点，如图由图象可知，1122m -<≤-，即21m -<≤-故答案为：(2,1]--9．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin πy A t ω=.某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为()y H t =，部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足()()9sin 2πsin π0810H t t t ωω=+<<，其中50.8663H ⎛⎫≈- ⎪⎝⎭，则ω＝_________.(参考数据：3 1.732≈)【答案】3【分析】将53t =代入()H t ，结合题干数据可得05πsin 3ω⎛⎫⎪⎭=⎝，又()10H =，可得3ω=或6ω=，又1不是()H x 的周期，从而可求出满足题意的ω的值.【详解】由()()9sin 2πsin π0810H t t t ωω=+<<，且50.8663H ⎛⎫≈- ⎪⎝⎭，得5595sin 2πsin π33103H ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.86610π95π395πsinsin sin 31032103ωω⎛⎫⎛⎫=+=-≈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为3 1.732≈，所以3 1.7320.86622≈=，所以05πsin 3ω⎛⎫ ⎪⎭=⎝.由图可知()991sin 2πsin πsin π01010H ωω=+==，故ππ,k k ω=∈Z ，即,k k ω=∈Z .因为08ω<<，且05πsin 3ω⎛⎫⎪⎭=⎝，所以3ω=或6ω=.由图可知，1不是()H x 的周期，当6ω=时，()9sin 2πsin 6π10H t t t =+，此时()()()()991sin 2π1sin 6π1sin 2πsin 6π1010H t t t t t H t +=+++=+=，周期为1，不符合题意.当3ω=时，()9sin 2πsin 3π10H t t t =+，易知()()1H t H t +≠，满足题意.综上，3ω=.故答案为:3.10．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=->在区间π3π,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间[]0,π上只取得一次最大值，则ω的最大值是_______【答案】89【分析】根据辅助角公式，结合换元法、正弦型函数的单调性和最值性质进行求解即可.【详解】()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令π6x t ω-=，因为π3π,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ3ππ,3646t ωω⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦，因为0ω>，所以()2sin f t t =在ππ3ππ,3646t ωω⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦上时单调递增，所以有3πππ84620πππ9362ωωω⎧-≤⎪⎪⇒<≤⎨⎪--≥-⎪⎩，当[]0,πx ∈时，ππ,π66t ω⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以()2sin f t t =在ππ,π66t ω⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，只取得一次最大值，因此有ππ5π28π26233ωω≤-<⇒≤<，综上所述：2839ω≤≤，所以ω的最大值是89，故答案为：89【点睛】关键点睛：利用换元法，根据正弦型函数的最值性质和单调性是解题的关键.11．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x x πππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________.【答案】47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】先确定()f x 在区间[)0,a 上有最大值3，且4,33a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此()f x 在区间[],2a a 上的最大值为33.然后按()f x 在x a =处或2x a =处取最大值33分类讨论，数形结合，进而可得结果.【详解】依题意可知，()f x 在区间[)0,a 上有最大值必然为3，且4,33a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间[],2a a 上的最大值为33.（1）若()f x 在x a =处取最大值33，即633333a π-⋅+=，解得49a π=，此时87296a ππ=<，所以49a π=适合题意；（2）若()f x 在2x a =处取最大值33，即3tan 23a =，解得712a π=，此时49a π>，所以712a π=适合题意.综上可知，a 的取值集合是47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于确定()f x 在区间[)0,a 上有最大值3，且4,33a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而可得()f x 在区间[],2a a 上的最大值为33.12．在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且a b c ､､为正数，120BAC ∠=︒，AO 为BC 边上的中线，3AO =，则2c b -的取值范围是__________.【答案】()43,23-【分析】先利用平面向量得到2AO AB AC =+，从而求得2212b c bc +=+，设2z c b =-，代入消去c得到关于b 的一元二次方程，从而由判别式得到4343z -≤≤，再分类讨论对称轴的正负求得023z <<，最后由余弦定理得到1220bc +>，从而利用恒成立问题求得43z >-，综上即可得解.【详解】依题意得，,,AB c AC b BC a ===，,,a b c 为正数.又ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC 边上的中线，3AO =，所以2AO AB AC =+ ，两边平方得22242AO AB AB AC AC =+⋅+ ，则2212b c bc =+-，故2212b c bc +=+①，设22,2b z AB AC c b c z -==+=-，代入①得()22(2)122b z b b z b ++=++，整理得2233120b zb z ++-=②，此方程至少有1个正根，首先()22Δ912120z z =--≥，解得4343z -≤≤③，对于方程②：若对称秞30,03zz z -=-><，则方程②至少1个正根，符合题意；若对称轴30,03zz z -=-<>，要使方程②至少有一个正根，则需2120z -<，解得023z <<；在三角形ABC 中，由余弦定理得222222cos1201220a b c bc b c bc bc =+-︒=++=+>恒成立，所以6c b >-，则622z c b b c=->--恒成立，由于666222243b b b b b b ⎛⎫--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭，当且仅当62b b =，即3b =时，等号成立，所以43z >-，结合③可得4343z -<≤.综上所述，z 也即2AB AC -的取值范围是()43,23-.故答案为：()43,23-.【点睛】关键点睛：本题的解决关键是假设2z c b =-，将两变量范围问题转化为一个变量z 的范围问题，再由平面向量与余弦定理依次缩小z 的范围，从而得解.二、单选题13．已知两个单位向量a 与b的夹角为θ，则“60θ=︒”是“12a b ⋅= ”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.【详解】充分性：若60θ=︒,则由a 、b 是单位向量可知11cos 601122a b a b =⨯⨯︒=⨯⨯= ，即充分性得证；必要性：若12a b ⋅= ,则1cos 2a b a b θ=⨯⨯= 由a 、b 是单位向量可知1cos 2θ=，因为0180θ︒≤≤︒,所以60θ=︒,必要性得证.所以“60θ=︒”是“12a b ⋅= ”的充分必要条件.故选：A14．已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是（）A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π,0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π,0]上是单调函数【答案】D【分析】一次判断选项即可.【详解】∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π,0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π,0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π,0]，f (x )＝cos x ＋sin x ＝π2sin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则π3ππ[,]444x +∈-，故f (x )在[－π,0]上不单调，D为假命题，故选：D.15．已知锐角ABC ，23AB =，π3C =，则AB 边上的高的取值范围为（）A ．(]0,3B ．()0,3C ．(]2,3D ．()2,3【答案】C【分析】设AB 边上的高为h ，根据题意得ππ62A <<，再结合条件得π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再分析求值域即可.【详解】因为ABC 为锐角三角形，π3C =，设AB 边上的高为h ，所以π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<由正弦定理可得，234sin sin sin 32a b c A B C ====，所以4sin a A =，4sin b B =，因为11πsin 223S ch ab ==，所以32π3124sin sin 4sincos sin 32223abh A A A A A ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π23sin cos 2sin 3sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为ππ62A <<，所以ππ5π2666A <-<，所以1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，所以AB 边上的高的取值范围为(2,3].故选：C.16．设函数()()()()112233sin sin sin f x a x a x a x βββ=⋅++⋅++⋅+，其中i a ､()1,2,3i i β=为已知实常数，x ∈R ，有如下命题：（1）若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()0f x =对任意实数x 恒成立；（2）若()00f =，则函数()f x 为奇函数：（3）若π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 为偶函数；（4）当()22π002f f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，若()()120f x f x ==，则()12πZ x x k k -=∈.则所有正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据函数奇偶性的定义判断（1）（2）（3），对于（4），当()22π002f f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，由12()()0f x f x ==，结合三角函数的性质，故可得结论．【详解】（1）若()00f =，则()()()()1122330sin sin sin 0f a a a ααα=⋅+⋅+⋅=则()()()()()112233sin sin sin f x f x a x a x a x ααα-+=⋅-++⋅-++⋅-+()()()112233sin sin sin a x a x a x ααα+⋅++⋅++⋅+[]112233cos sin sin sin 0x a a a ααα=⋅+⋅+⋅=∴函数()f x 为奇函数；若π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112233ππππsin sin sin 2222f a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112233cos cos cos 0a a a ααα=-⋅-⋅-⋅=，()()()()()112233sin sin sin f x f x a x a x a x ααα∴--=⋅-++⋅-++⋅-+()()()112233sin sin sin a x a x a x ααα-⋅+-⋅+-⋅+[]1122sin cos cos cos 0n n x a a a ααα=⋅+⋅+⋯+⋅=∴函数()f x 偶函数，故()f x 既是奇函数又是偶函数，故()0f x =对任意实数x 恒成立，故（1）正确；（2）由（1）的证明过程可知当()00f =时，函数()f x 为奇函数，正确.（3）由（1）的证明过程可知当π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，函数()f x 为偶函数，正确.（4）对于命题（4），当()22π002f f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，()()()()112233sin sin sin f x a x a x a x ααα=⋅++⋅++⋅+ ()()112233112233cos cos cos sin sin sin sin cos a a a x a a a x αααααα=+++++令112233πcos cos cos 2a a a a f ααα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭()112233sin sin sin 0b a a a f ααα=++=则()2222π002a b f f ⎛⎫+=+≠ ⎪⎝⎭，由辅助角公式得()()22sin cos sin f x a x b x a b x ϕ=+=++其中()()122222cos ,sin ,0a b f x f x a ba bϕϕ====++ ，则()()12,0,,0x x 是函数()y f x =的两个对称中心点，函数()y f x =的最小正周期为2π，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，因此，()12πZ x x k k -=∈，命题（4）正确.故选：D.三、解答题17．设两个向量,a b满足()132,0,,22a b ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，(1)求a b +方向的单位向量；(2)若向量27ta b +与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【答案】(1)5721,1414⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(2)141417,,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()132,0,,22a b ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，求得a b +的坐标和模后求解；（2）根据向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，由()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b +不与向量a tb +反向共线求解.【详解】（1）由已知()13532,0,,2222a b ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2253722a b ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以57217,1414a b ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即a b +方向的单位向量为5721,1414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅=，2,1a b == ，所以()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量27ta b +与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b +不与向量a tb + 反向共线，设()()270ta b k a tb k +=+< ，则27t k kt=⎧⎨=⎩，解得142t =-，从而221570142t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得141417,,222t ⎛⎫⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；【答案】(1)最小正周期为πT =，递增区间为ππ[π,π]63k k -++，Z k ∈；(2)[2,1]-【分析】（1）由二倍角公式，结合辅助角公式得()f x π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用周期2πT ω=、正弦型函数单调性求结果；（2）由x 的范围求π26x -的范围，进而可求出πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可求()f x 的值域.【详解】（1）()3sin2cos2f x x x =-312sin 2cos222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，则ππππ63k x k -+≤≤+，Z k ∈，所以单调递增区间为ππ[π,π]63k k -++，Z k ∈.（2）∵5ππ[,]126x ∈-，则ππ2[π,]66x -∈-，∴π11sin 262x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π22sin 216x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域为[2,1]-.19．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以EF 中点A 为圆心,FG 为半径的扇形草坪区ABC ,点P 在弧BC 上（不与端点重合）,AB 、弧BC 、CA 、PQ 、PR 、RQ 为步行道,其中PQ 与AB 垂直,PR 与AC 垂直.设PAB θ∠=.(1)如果点P 位于弧BC 的中点,求三条步行道PQ 、PR 、RQ 的总长度;(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ 、PR 、RQ 开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）【答案】(1)2001003+(米)(2)2022万元【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;(2)将PQ 、PR 、RQ 三边通过图中的关系用关于θ的等式表示,再记经济总效益W ,将W 进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可.【详解】（1）解:由题200,100,1003AC EA EC ==∴=,π3EAC ∴∠=,同理π3FAB ∴∠=,故π3BAC ∠=,由于点P 位于弧BC 的中点,所以点P 位于BAC ∠的角平分线上,则πsin 200sin 1006PQ PR PA PAB ==⋅∠=⨯=,3cos 20010032AQ AP PAB =∠=⨯=,因为π3BAC ∠=,1003AQ AR ==,所以ARQ 为等边三角形,则1003RQ AQ ==,因此三条街道的总长度为10010010032001003l PQ PR RQ =++=++=+（米）.（2）由图可知sin 200sin PQ AP θθ==,sin 200sin 1003cos 100sin 33PR AP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,cos 200cos AQ AP θθ==,cos 200cos 100cos 1003sin 33AR AP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在ARQ 中由余弦定理可知:222π2cos3RQ AQ AR AQ AR =+-()()22200cos 100cos 1003sin θθθ=++()2200cos 100cos 1003sin cos3πθθθ-⨯+30000=,则1003RQ =,设三条步行道每年能产生的经济总效益W ,则()5 5.9W PQ PR RQ =+⨯+⨯()200sin 1003cos 100sin 55903θθθ=+-⨯+π1000sin 59033θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当sin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即π6θ=时W 取最大值,最大值为100059032022+≈.答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.20．已知向量(cos 5,sin 5),(2cos(),2sin()),33a x xb x x ππ==-- 令()u x a b =⋅ .(1)求函数()u x 的对称轴方程；(2)设()4cos(2)6v x x π=+，当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()4()2()65(R)f x u x v x λλλ=-++∈的最小值()g λ；(3)在（2）的条件下，若对任意的实数,a b 且0a b >>，不等式21111()(2)()22()t a b g t a a b ab a a b λ-++≤≤+++-对任意的[]0,5λ∈恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1),Z 412k x k ππ=-∈；(2)221,2()63,24213,4g λλλλλλλλ+<⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩；(3)15t ≤≤.【分析】（1）根据平面向量的数量积公式及两角和的余弦公式可得()2cos 43u x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由43x k ππ+=可得结果；（2）令cos 26x t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()()216863f x h t t t λλ==-+-，根据二次函数的性质讨论三种情况，即可得结果；（3）当[]0,5λ∈时，()()max min6,1g g λλ==由()()2112121126t a b a b t a ab a a b ⎧⎛⎫-++≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪+++≥⎪-⎩，结合基本不等式即可得结果.【详解】（1）因为向量(cos 5,sin 5),(2cos(),2sin()),33a x xb x x ππ==-- 所以()2cos 5cos 2sin 5sin 2cos 4333u x a b x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，由4,Z 3x k k ππ+=∈，得,Z 412k x k ππ=-∈，所以函数()u x 对称轴方程为,Z 412k x k ππ=-∈（2）由（1）得()22cos 42cos 224cos 22366u x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()4cos(2)6v x x π=+所以()4()2()65(R)f x u x v x λλλ=-++∈2=16cos 288cos 26566x x ππλλ⎛⎫⎛⎫+--+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=16cos 28cos 26366x x ππλλ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令cos 26x t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()216863f x h t t t λλ==-+-，对称轴为14t λ=，当1142λ<，即2λ<，可得()h t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 111()1686321242h t h λλλ⎛⎫==⨯-⨯+-=+ ⎪⎝⎭，当11124λ≤≤，即24λ≤≤时，22min ()16863634164h t h λλλλλλλ⎛⎫==⨯-⨯+-=-+- ⎪⎝⎭，当114λ>，即4λ>时，()h t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()min ()116863213h t h λλλ==-+-=-+所以221,2()63,24213,4g λλλλλλλλ+<⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩（3）当[]0,5λ∈时，由（2）可得()()max min 6,1g g λλ==所以()()2112121126t a b a b t a ab a a b ⎧⎛⎫-++≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪+++≥⎪-⎩而()11222422b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时取等号，()()()()22111111224a a ab ab a a b ab ab a a b ab a a b a a b ab ++=-+++=-+++≥+=---，当且仅当22,2a b ==时，取等号，所以41246t t -≤⎧⎨+≥⎩所以15t ≤≤，即实数t 的取值范围为[1,5]【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查向量的数量积运算，考查二次函数的最值的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用三角函数公式将函数进行化简，再换元转化为二次函数求解，考查数学转化思想和分类思想，属于难题.21．设O 为坐标原点，定义非零向量(),OM a b = 的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+()R x ∈，(),OM a b =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”.(1)记()0,2OM =uuur的“相伴函数”为()y f x =，若方程()123sin f x k x =+-在区间[]0,2π上有且仅有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围；(2)已知点(),M a b 满足22431a ab b -+=-，向量OM的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当点M 运动时，求0tan2x 的取值范围；(3)已知点()0,1M ，向量OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处的取值为35，在锐角ABC 中，设角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且4a =，()0cos A f x =，求AB AC AB AC +-⋅的取值范围.【答案】(1)[)1,3(2)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(3))4,2139⎡--⎣【分析】（1）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围；（2）由22()sin cos sin()f x a x b x a b x ϕ=+=++，可求得即()02Z 2x k k ππϕ=+-∈时()f x 取得最大值，其中0tan a x b=，换元求得ab 的范围，再利用二倍角的正切可求得0tan 2x 的范围；（3）解法1：由题意可得3cos 5A =，由余弦定理和向量数量积定义可得21()44AB AC AB AC f t t t +-⋅==-++ ，再由正弦定理化得8sin 4cos 45sin()b c B B B ϕ+=+=+，结合函数性质求解范围即可；解法2：结合三角形的余弦定理、正弦定理、三角形外接圆、数量积的运算，利用函数性质解范围即可.【详解】（1）由题意可得()0,2OM =uuur的“相伴函数”()0sin 2cos 2cos f x x x x =⨯+⨯=，即方程()123sin f x k x =+-为[]2cos 123sin ,0,2πx k x x =+-∈，则方程[]2cos 123sin ,0,2πx k x x =+-∈有四个实数解.所以[]2cos 123sin ,0,2πk x x x =-+∈有四个实数解.令()[]2cos 123sin ,0,2πg x x x x =-+∈①当[]()0,,2cos 123sin 4sin 16x g x x x x ππ⎛⎫∈=-+=+- ⎪⎝⎭；②当(](),2,2cos 123sin 4sin 16x g x x x x πππ⎛⎫∈=--=--- ⎪⎝⎭.所以()[](]π4sin 1,0,π6π4sin 1,π,2π6x x g x x x ⎧⎛⎫+-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，作出()g x 的图像：所以函数()g x 与y k =有四个交点时，实数k 的取值范围为[)1,3.（2）向量OM的“相伴函数”()()22sin cos sin f x a x b x a b x ϕ=+=++，其中2222cos ,sin ,tan abb aa b a b ϕϕϕ===++.当()π2πZ 2x k k ϕ+=+∈，即()0π2πZ 2x k k ϕ=+-∈时，()f x 取最大值，所以0πtan tan 2πcot 2a x k b ϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，所以0022022tan 2tan21tan 1ax b x b x a a bb ⨯===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令()b m a b a =≠，则()2234110mm a -++=所以()2Δ43410m m =--+>，解得：113m <<，所以021tan2113x m m m⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，因为1y m m =-单调递增，所以18,03m m ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以03tan2,4x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.（3）解法1：()003cos cos 5A f x x ===，由余弦定理222266161655b c bc b c bc =+-⇒+=+②由定义3cos 5AB AC bc A bc ⋅== 则()2144AB AC AB AC f t t t +-⋅==-++ 由正弦定理：()435sin 5sin 5sin 5sin 5sin 5cos sin 55b c B C B A B B B B ⎛⎫+=+=++=++ ⎪⎝⎭()8sin 4cos 45sin B B B ϕ=+=+，其中锐角ϕ的终边经过点()2,1，由锐角三角形可知ππππ,,2222B A B A ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∈-⇒+∈+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注意到ππ25sin sin 225A ϕϕ⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()25sin ,15B ϕ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦所以(8,45b c ⎤+∈⎦，②式变形为25()516bc b c =+-，故(]15,20bc ∈，从而(213,8t ⎤∈⎦，此时函数()f t 单调递减，而()()2132139,84f f =-=-所以())4,2139AB AC AB AC f t ⎡+-⋅=∈--⎣解法2：()003cos cos 5A f x x ===，设BC 中点为D ，则22AB AC AD AD +== ()()()()AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB⋅=+⋅+=+⋅- 所以2||24AB AC AB AC AD AD +-⋅=-++ 如下图所示，设ABC 的外接圆为圆O ，由于ABC 为锐角三角形，故点A 的运动轨迹为劣弧12A A （不含端点），由正弦定理知圆O 的半径52r =，故533cos 252OD r A ==⨯=，设AOD θ∠=，则ππA θ-<≤，由余弦定理：22259532cos 2cos 4422AD OA OD OA OD θθ=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅(1715cos 13,422θ⎤=-∈⎦由于函数()224f x x x =-++在(13,4x ⎤∈⎦时单调递减，()()132139,44ff =-=-所以)2||244,2139AB AC AB AC AD AD ⎡+-⋅=-++∈--⎣ .。
广工环境工程大一下学期高数期中考试(下)(06提高班)解答
过 L 和 L2 的平面为
x4 2 4
y 1 1
z4 3 3 0 即 3x 9 y z 8 0
所求直线 L 为
2 x 7 y 5z 12 0 3x 9 y z 8 0
四、计算下列各题（每题６分，共 18 分） １．设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y) xy 求 f ( x, y) 。 解：设
s s1 s2 ＝ 1 1 1 ＝ 4i j 3k 2 1 3
设 ( x, y, z ) 为 L 上任意一点，则过 L 和 L1 的平面为
i
j
k
x2 1 4
y 3 z 1 1 1 1 3 0 即 2 x 7 y 5z 12 0
解：由对称性，只需求 z 0 那部分 面积的两倍。 在 上， dS
2a 2a x y
2 2 2
dxdy ， 在 xoy 面上的投影区域 D ： x 2 y 2 a 2 。
S 2 dS ＝ 2 2a d
D
0
2
a
d
2a
2 2
0
＝ 4 2 ( 2 1)a 2
2z 2 f1 2 x( f11 2 x f12 2 y) 2 y( f 21 2 x f 22 2 y) x 2
广东工业大学试卷用纸，第 4 页， 共 6 页
2 f1 4x 2 f11 2x 8xyf12 4 y 2 f 22
同理
z 2 yf1 2 xf 2 y
2 z 2 f1 4 y 2 f11 8xyf12 4 x 2 f 22 y 2
大一高等数学期中试卷
高等数学期中试卷班级 姓名 计分 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．函数（ ）2．已知，2lim (2)0,2x x x →-=-则称函数当( )时为无穷小。
3．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．4．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dx dy _______________．5.设 = _________．6.函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 7.3201sin limsin 2x x x x →=8.设()231ln e x y ++=，则='y 9.设⎩⎨⎧==t y t x ln 2 则=dxdy10.曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则，a= . b=二选择题（请选择一个正确答案序号填在括号中，共8小题，每小题3分共24分）1、指出下列哪些是基本初等函数（ ）（1）2y x =；(2) y =； 3；(sin y x = 4；)32ln(x y +=2、设在[0,1]上函数f(x)的图像是连续的，且()f x '>0,则下列关系一定成立的是( ) 1；f(0)<0 2；f(1)>0 3；f(1)>f(0) 4；f(1)<f(0)3、函数y=1+3x-x3有（ ）（A ）极小值-1,极大值1 （B ）极小值-2,极大值3 （C ）极小值-2,极大值2 （D ）极小值-1,极大值34、曲线1704,4y P x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭上一点处的切线方程是( )（A ）5x+16y+8=0 （B ）5x-16y+8=0 （C ）5x+16y-8=0 （D ）5x-16y-8=0351lim 232+--→x x x x5、31xy +=的反函数是（ ）A ；3ln 1y x =+（）B ；1y =C ；13-=x yD ；31x y e +=（）6、函数f(x)=xsinx+2x 2是（ ）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有界函数7、设函数f(x)在区间I 连续,那么f(x)在区间I 的原函数（ ）A.不一定存在B.有有限个存在C.有唯一的一个存在D.有无穷多个存在8.函数y=ex-x-1单调增加的区间是（ ） A.[)+∞-,1 B.()+∞∞-, C.(]0,∞- D.[)+∞,0 三、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →（10分）四、求函数 y=e -x ×conx 的二阶及三阶导数（8分）五、判断曲线21y x x =- 的凹 凸性和拐点（10分）六、某质点的运动方程是S=t 3-(2t-1)2,则在t=1s 时的瞬时速度为 。
广工环境工程大一下学期高数期中考试(下)(09级)
1广东工业大学考试试卷 ( )课名称: 高等数学 （下）（期中测验） 2010.4.30一、填空题（每题4分,共20分）1．向量{4,3,4}-a =在向量{2,2,1}b =上的投影为 2 2． 曲线t t te z t e y t ex 2,sin ,cos ===在相应于0=t 的点处切线与Ox 轴夹角的正弦sin α=sin α==3．设10,1:≤≤≤y x D 。
则⎰⎰+Dyd y y x σ)cos (5＝ 3. 32 4．曲面221z x y =--上平行于平面2210x y z ++-=的切平面方程为 ．2230x y z ++-=5． 设函数22),(y xy x y x f +-=，则),(y x f 在点)1,1(处沿变化率最大方向的方向导数为 。
5.2 二、单选题：（每题4分,共20分） 1．已知直线⎩⎨⎧=+--=--+072072z y x z y x 与平面0453=-+-z ky x 平行，则k 的值为（ D ）（A ） 16 (B) 17 (C) 32 (D)34 2．改变积分次序后⎰⎰-221),(x x xdy y x f dx = （ C ）。
(A) ⎰⎰-+xx dx y x f dy 2111),( (B)⎰⎰-+yy dx y x f dy 2111),( (C )⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),( (D)⎰⎰+-yy dx y x f dy 21110),(3．函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,22y x y x y x xyy x f 在点()0,0处（ C ） （Ａ）连续，偏导数存在； （Ｂ）连续，偏导数不存在；（Ｃ）不连续，偏导数存在； （Ｄ）不连续，偏导数不存在． 4．设23zx x y =--，则它在点（1,0）处（B ）（A ）取得极大值; (B)无极值;（C ）取得极小值; (D)无法判别是否有极值; 5．设(,)f u v 具有连续偏导，且243221(,)2,(,)221,f x x x x x f x x x x '=++=-+则22(,)f x x '=（ A ）2（A ）2221xx ++ （B ）21232x x x++（C ）2221xx -+ （D ）2231x x ++三、求解下列各题（每题7分，共21分） １．求极限limsin()x y x y x y xy →→-+0023211。
高数下期中考试题及答案
高数下期中考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = x^5 \)答案：B2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是？A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( \ln x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)答案：A4. 以下哪个积分是发散的？A. \(\int_0^1 \frac{1}{x} dx\)B. \(\int_0^1 e^{-x} dx\)C. \(\int_0^1 x^2 dx\)D. \(\int_0^1 \sin x dx\)5. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} n\)答案：A6. 以下哪个是二阶偏导数？A. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)B. \(\frac{\partial f}{\partial x}\)C. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)D. \(\frac{\partial f}{\partial y}\)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的拐点是 \( x =\_\_\_\_\_\_\_\)。
高等数学(下)期中考试题及答案
f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．
最新大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim()ex y x y x y xy x y +→-+=+5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．x O z 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．x O y 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．x O y 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-zy x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂yx z2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++; (C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分） 1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。
答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。
答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。
答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。
答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。
答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。
解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。
原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。
2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。
101高等数学下学期期中考试(解答)
高等数学期中考试题参考解答一、填空题（每小题4分，共20分）12．0 3．22)(y x e y x -+ 4． ⎰⎰-2620d ),(d y y x y x f y 5．8- 二、单选题（每小题4分，共20分）1．C 2．B 3．D 4．D 5．A三、1、解 ⎰⎰⎰⎰-+=+20112211y dyxdx dxdy yx D =π(6分) 2、解 )0,21,21(),0,1,1(0-=-==→l AB l . (1分) )(2)0,21,21()2,2,2(),,(0y x z y x l z f y f x f l f -=-⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂ (3分) 设)122()(2222-+++-=z y x y x F λ.令 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=='=+-='=+=')4(12230220421042222 z y x z F y F x F x x x λλλ,(4分) 解得点2),0,21,21(-=∂∂-l f ,及点2),0,21,21(=∂∂-l f ,故点)0,21,21(-p 为所求。
(6分) 3、解 转动惯量为2222()d ()d I x y v x y v μΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰, (2分)利用柱坐标, 有22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰2212200d d d r rr r r z πθ-=⎰⎰⎰(4分)132042(2)d 15r r r r ππ=--=⎰(6分) 4、解 所求流量为d d d d d d Sx y z y z x z x y Φ=++⎰⎰(2分)设四面体为Ω，由高斯公式，有113d 362v ΩΦ==⋅=⎰⎰⎰ (6分)5、解上半球面方程为z =与平面z a =和z b =的交线在xOy 面上的投影分别为2222:a D x y R a +≤-及2222:b D x y R b +≤-，(2分)则所求曲面面积为:2()a ba b D D S S S R b a π=-=-=-.(6分)四 解21yf f x z=∂∂，…………（2分） 322221112212212221122122211yf f f f f f f f f x f f x f f y f f x y x z --=∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.…………（8分）五、解 22ln ,2,(yx x Q y x x y y x P -=+=，……（2分）则221y x x x Q y P -=∂∂=∂∂，…（4分）y x x y y yx x x y x x y y x u y x 222),()1,1(ln d )(ln d )2(),(+=-++=⎰.……（8分） 六、解 32d )(d )](arcsin[sin d )2(d 2404sin 20224πθθθθθππθπ=-=-=-⎰⎰⎰⎰----a r ra r r.…………（2分…5分…8分）七、解 添加一有向曲面1,1:221≤+-=∑y x z ，（1分）法线向量指向下侧.(2分） 阶πγβα==++⎰⎰⎰⎰≤+∑1333221d d d )cos cos cos (y x y x S z y x ，……（4分）⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++z y x z y x S z y xd d d )(3d )cos cos cos (2223331γβα⎰⎰⎰-==ϕπππππϕϕθcos 144320109d d sin d r r ，……（6分） 原式=1010911πππ-=-=-⎰⎰⎰⎰∑∑+∑.（8分） 八、解 设运动质所在位置为),(y x ，则引力方向为},3{)3(1220y x yx F -+--=,引力大小为 222)3(yx GmMr mM G F +-== ,……（2分） 因此 },3{])3[(2322y x y x GmMF -+--= ,……（3分） 引力所作功为 ⎰+-+--=Ly x yy x x GmM W 2322])3[(d d )3(,……（4分） 令32223(3)x P x y -=⎡⎤-+⎣⎦,3222(3)y Q x y =⎡⎤-+⎣⎦,则52223(3)2(3)Q x y Px y x y ∂-∂=-⋅=∂∂⎡⎤-+⎣⎦,（6分） 因此取折线AOB 为积分路径,有=+--++-=⎰⎰]]16)3[(d )3()4(d [0523240232x xx y y y GmM W GmM 103-.……（8分）。
高等数学期中考试带答案
高数考试一．填空（共15分） 1.13lg(1)=++-y x x 的定义域是 ;2.e ,0,()0,0;已知在连续，则⎧<===⎨+≥⎩ x x f x x a a x x ;()ln 13.lim1cos →+=-x x x x.4.设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-则(0)='f .5.曲线(1)xy x e -=+的拐点坐标为 .答案：一.1.[-3,0)∪(0,1); 2.1a =; 3.2; 4. (1)!-nn ；5.21,e ⎛⎫⎪⎝⎭二.选择（共15分） （1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（D ） A.不存在 B.∞ C.0 D.1（2）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线()()y f x a x b =≤≤的所有拐点为（ A ）.选择题（2）图A.112233(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xB.112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xC.1122(,()),(,())x f x x f xD.3344(,()),(,())x f x x f x（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（A ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）当n →∞时，1sinn n是一个（D ） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 （5）0ln sin 5lim ln sin 2x xx+→=（C ）.A.52B.25C.1D.∞ 三. 计算和解答(共70分)1. 求下列极限：（10分） ()2cot 2.lim 13tan ;→+xx a x0e 1.lim(e 1)→---x x x x b x 解：()()2231cot 2233tan 0.lim 13tan lim 13tan →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦xx x x a xx e ｂ． 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.32.arccos3-=-x y 求3x y ='.（5分）解：21(6)3x x y x ---'=- 313x y ='= 3．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d yx：（10分）(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)；解： d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t t t x x a t t t===--， 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1=(1-cos )(1cos )1=.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅---4.1e 求由方程确定的二阶导。
高数期中考试及答案详解
高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。
二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。
2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。
3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。
5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。
合肥工业大学 大一下学期 期中考试
2 dx 1 x 4 f(x, y)dy+ 2 dx x 2 f(x, y)dy=____ x 4 y² dy f(x, y)dy 1 y
A.
B. C. D.
4 y² dy f(x, y)dx 1 y 2 y² dy f(x, y)dy 1 y 2 y² dy f(x, y)dx 1 y xy x² +y²
|x²+ y²− 1|dxdy
w
6. 计算
|x²+ y² |dv 其中 w 是平面直线
z=x 绕 z 轴旋转一周所得的曲面与 z=1 所围 成的闭区域.
合肥工业大学 2013 大一下学期期中考试 高等数学参考答案
一、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 1． y ( x c )cos x. 2. 3. 4. 2 .
且 f(
3 2 3 2 3 2 3 2 , ) 12 2 9, f ( , ) 12 2 9; 2 2 2 2
综合①②可知， 最大值 M f (2, 2) 8, 最小值 m f (
3 2 3 2 , ) 12 2 9. 2 2
4.（10 分）解法一：由方程组确定 y, z 是 x 的函数，即 y y( x), z z ( x), 切向量 为 T {1, y( x), z( x)}, 方程组两边对 x 求导，得
利用柱面坐标计算得
I d dr r 2 rdz
0 0 r 2 1 1
2 r 3 (1 r )dr
0
1
10
.
大家好,这是我第一次自己做文 档上传至 , 希望大家能够喜 欢,我是合肥工业大学 2012 级测控专
业的学生, 如果大家需要什么资料,可 以加我 QQ : 944345633,我将竭尽自 己的全力为大家服务.我喜欢交朋友, 交真朋友,不论男女~有意者欢迎 QQ 联系~~非诚勿扰,谢谢大家~~~~
《 高等数学》(下)期中考试题及评分标准.
《 高等数学》（下）期中考试题及评分标准一、填空题（每小题4分，共28分，写出各题的简答过程，并把答案填在各题的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分）。
.____________x )1,1,1(1y )xy arcsin()1y (x z .1轴的倾角是处的切线对上点曲线⎩⎨⎧=-+=4:π解 .41a r c t a n ,1)]xy arcsin(0x [dx d )1,x (f x π==θ=⋅+=故,e z .2xy=设.__________dz )2,1(=则)dy dx 2(e :2+-解.e x1e y z,e 2)xy (e xz 2)2,1(xy )2,1(2)2,1(2xy)2,1(=⋅=∂∂-=-=∂∂._________,4z 31y x t z ,t y ,t x .332则切点的坐标是的切线平行于平面已知曲线=++===)1,1,1(:--解.1z ,1y ,1x 1t 0t t 21n T },31,1,1{n },t 3,t 2,1{T 22-==-=⇒-=⇒=++=⋅==.____________2z )y x (214z .422于所围成的立体的体积等与面曲面=+-=π4:解ππθπ402)8(2)212()21212(]2)(214[42202022222=-=-=--=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r rdr r d dxdy y x dxdy y x V xyxy D D则平面所围成的闭区域与是上半球面设,x oy )0z (1z y x .5222≥=++Ω.______zdxdydz =⎰⎰⎰Ω4:π解.44r 2s i n 2dr sin r cos r d d zdxdydz 1042022010220π=⋅ϕπ=ϕ⋅ϕϕθ=πππΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰则曲线积分的交线与平面是球面设,0z y x R z y x .62222=++=++Γ._________z y x ds222=++⎰Γ π2:解 .2R 2R 1R ds π=π⋅==∴⎰Γ原式._________)x (f ,x oy dy )x (f dx ye .7x =-+则分平面上是某函数的全微在设 )y (e :x ϕ+-解.)y (e )x (f e )x (f )x (f x Q ,e y P x x x ϕ+-=⇒='⇒'-=∂∂=∂∂二、选择题（每小题4分，共28分。
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5、设二元函数 ，则 _______________
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面 是（ ）
（A）． 坐标面上的双曲线绕 轴旋转而成；
（B）． 坐标面上的双曲线绕 轴旋转而成；
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
三、计算题（本大题共29分）
1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6分）
(2)（7分）
2、（本题8分）设 ， ， ，求全导数 。
3、（本题8分）求函数 的极值。
四、应用题（本题8分）
1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为 台和 台，成本函数为 （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？
六、证明题（本题共12分）1、证明：
所以，
五、综合题（本大题共21分）
1、解：直线 与 的方向向量分别为
，
，
作 ，
取直线 上的一点 ，则过点 且以 为法向量的平面 ，
就是过 且平行于 的平面方程．
2、解：设球面上点为 ．
令 ，
由前三个式子得 ，代入最后式子得 ．由题意得 在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点 就是最大值点，最大值为 ．
五、综合题（本大题共21分）
1、（本题10分）已知直线 ， ，求过 且平行于 的平面方程．
2、（本题11分）设函数 在球面 上求一点，使函数 取到最大值．
六、证明题（本题共12分）
1、设函数 ，其中 是常数，函数 具有连续的一阶偏导数．试证明:
第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为 和 ，则该球面的方程为______________________
2、函数 在点 处沿点 指向点 方向的方向导数为
3、曲面 与平面 平行的切平面方程为
（C）． 坐标面上的椭圆绕 轴旋转而成；
（D）． 坐标面上的椭圆绕 轴旋转而成．
2、微分方程 的一个特解应具有形式（ ）
其中 都是待定常数.
(A). ;
(B). ;
(C). ;
(D).
3、已知直线 与平面 ,则（ ）
(A). 在 内;(B). 与 不相交;
(C). 与 正交;(D). 与 斜交.
4、下列说法正确的是（ ）
1.、
2、 ．
3、 ．
4、0
5、 ；
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
1（A）
2（B）
3（C）
4（C）
5（A）
三、计算题（本大题共29分）
1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：
上式两Байду номын сангаас积分得
即： 其中 为任意常数．
（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为 特征根为 于是，该齐次方程的通解为 因 是特征方程的单根，故可设题设方程的特解： 代入题设方程,得 比较等式两端同次幂的系数,得
于是，求得题没方程的一个特解
从而，所求题设方程的通解为
2、解： ，
，
依复合函数求导法则，全导数为
3、解：解方程组 ，得驻点 。由于 ， ， 在点 处， ， ， ， ，所以函数在点 处取得极小值，极小值为 。
四、应用题（本题8分）
1、解：即求成本函数 在条件 下的最小值
构造辅助函数
解方程组
解得
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产 台和 台时，总成本最小，最小成本为： （万）
(A)两向量 与 平行的充要条件是存在唯一的实数 ，使得 ；
(B)二元函数 的两个二阶偏导数 , 在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；
(C)二元函数 的两个偏导数在点 处连续是函数在该点可微的充分条件；
(D)二元函数 的两个偏导数在点 处连续是函数在该点可微的必要条件.
5、设 且 （即函数具有连续的二阶连续偏导数），则 （ ）