第六章：多函数积分学( 下)

这里D 为半圆22y ax x =-x 轴围成的区域，其面积为22

a π．

[例6.3.12] 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有连续导数，计算

2221()[()1]L y f xy x

I dx y f xy dy y y

+=+-⎰ 其中L 是从点1

(2,)2A 到点1(2,)2

B 的直线段．

分析：由于被积函数中含有抽象函数，用第一种方法无法求出，所以应选第二种方法．

解：记21()(,)y f xy P x y y +=，2

2(,)[()1]x Q x y y f xy y

=-

则

21()()P Q

f xy xyf xy y y x

∂∂'=-++=∂∂，（0y ≠） 添加方程为1xy =的曲线弧»BA ，则»L BA +为闭曲线（如图所示），于是 »»

»»(

)L BA

BA

BA BA D

Q P

I dxdy x y

+∂∂=-=--=-∂∂⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

2

231122

2

(1)115

[()((1))]24f x xf x dx xdx x x =-

+

--=-=-⎰⎰． 评注：此题添加的线段也可以选择平行于坐标轴的折线．

Ⅰ 曲线积分是否与路径无关

若(,)P x y ，(,)Q x y 在区域D 内连续或有连续一阶偏导数，判断曲线积分L

Pdx Qdy

+⎰

在D 内是否与路径无关常有下列方法： 法一：如存在D 内一条简单闭曲线C ，使

0C

Pdx Qdy +≠⎰Ñ，则曲线积分与路径有关；

法二：如存在D 内存在一点00(,)M x y ，使得

M

M

P

Q y

x

∂∂≠

∂∂，则曲线积分与路径有关；

法三：如D 是单连域，且在D 内恒有

Q P

x y

∂∂=∂∂，则曲线积分与路径无关； 法四：如存在(,)u x y ，使得在D 内恒有du Pdx Qdy =+，则曲线积分与路径无关； 法五：设存在单连域U ，使得0M U ∈且0\D U M =，而且存在D 内的一条包含0M 点的简单闭曲线C ，使

0C

Pdx Qdy +=⎰Ñ，则曲线积分与路径无关．

[例6.3.13] 在下列区域D 上

22L ydx xdy

x y -++⎰是否与路径无关？

⑴ 22

:0D x y +>； ⑵ :0D y >． 解：记2222

,y x

P Q x y x y

-=

=++，则 22

22P Q y x y x x y

∂∂-==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠． ⑴ 22

:0D x y +>不是单连通区域，则

(,)P Q x y D y x

∂∂=∈∂∂不是22

L ydx xdy

x y -++⎰

在区域

D 上与路径无关充分必要条件．

事实上，若取曲线2

2

2

:C x y r +=，逆时针方向，则

222

2

1

122C C

D

ydx xdy ydx xdy dxdy x y r r π-+=-+=

=+⎰⎰

⎰⎰

因此在区域D 上

22L ydx xdy

x y -++⎰不与路径无关；

⑵ :0D y >是单连通区域，则(,)P Q x y D y x

∂∂=∈∂∂是22

L ydx xdy

x y -++⎰

在区域D 上与路径

无关充分必要条件．

因此区域D 上

22L ydx xdy

x y -++⎰是与路径无关．

[例6.3.14] 设22222222

1

(,),(,)(1)(1)y y x x P x y Q x y x y x y x y x y --+=

+=+++++++

（1） 求

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +⎰

，其中L 为以原点为圆心半径为2的圆周，取逆时针方

向．

（2） 分别在0y >与0x <且(,)(1,0)x y ≠-时讨论积分

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +⎰

是否

与路径无关．

解：（1）

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +⎰

=2222(1)(1)L L ydx xdy ydx x dy

x y x y

-+-++++++⎰

⎰ 221(1)4(1)L

L ydx x dy

ydx xdy x y -++=

-++++⎰⎰

令222

:(1)C x y ε++=方向逆时针． 上式=

22221(1)(1)24(1)(1)L C C D

ydx x dy ydx x dy

dxdy x y x y --

+-++-+++-++++⎰⎰⎰⎰ =

221(1)2404(1)C D

ydx x dy dxdy x y π-++⨯⨯++++⎰⎰⎰% =2

2

1

1

2(1)224c

c

D ydx x dy dxdy πππε

ε

+

-++=+

=⎰

⎰⎰

（2）不难求得

Q P

x y

∂∂=∂∂（(,)(0,0)x y ≠且(,)(1,0)x y ≠-），并且在0y >或0x <且 (,)(1,0)x y ≠-时

,Q P x y

∂∂∂∂都连续． 而0y >是为单连通区域，所以曲线积分与路径无关；

当0x <且(,)(1,0)x y ≠-却不是单连通区域，故不一定与路径无关．又由（1）知

22(1)(1)C ydx x dy

x y -++++⎰2π=，所以一定与路径有关．

Ⅱ 求解已知曲线积分与路径无关的问题 此类问题一般是利用

Q P

x y

∂∂=∂∂来完成任务的． [例6.3.15] 确定λ的值，使曲线积分

4124(4)(65)B

A

x xy dx x y y dy λλ-++-⎰

与路径无关，

并求当,A B 分别为(0,0),(1,2)时，此曲线积分的值．

解：由于

4124[4](65)B

A

x xy dx x y y dy λλ-++-⎰

与路径无关，所以

Q P

x y

∂∂=∂∂ 从而 2

216(1)4x y xy λλλλ---=，所以3λ=．

因此所求曲线积分I =(1,2)

43224(0,0)[4](65)x xy dx x y y dy ++-⎰

1

2

4

24

00

179(65)163255

x dx y y dy =

+-=+-=-⎰⎰． [例6.3.16] 设(,)Q x y 在xoy 平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分

2(,)L

xydx Q x y dy

+⎰