数列知识点和习题

数列知识点和习题

一、基础知识： 1．等差数列：

（1）定义：1n n a a d +-=（d 为常数） （2）通项公式：1(1)n a a n d =+- （3）前n 项和公式：1()2n n n a a S +=；1(1)

2

n n n S na d -=+． （4）性质：

①若,,,m n p q N *

∈且m n p q +=+，则必有m n p q a a a a +=+．即角标和相等，则

项的和也相等．

②()n m a a n m d -=-

③连续“等距离”新数列，仍为等差数列。 （5）等价命题：等差数列{}n a ⇔*112(2,)n n n a a a n

n N +-=+∈

⇔n a an b =+⇔2(0)n S An Bn A =+≠

2．等比数列： （1）定义：

1

n n

a q a +=（q 为不为零的常数） （2）通项公式：1

1n n a a q -=

（3）前n 项和公式：111(1)(1)

(1)

11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪

=--⎨=≠⎪--⎩

．

（4）性质：

①若,,,m n p q N *

∈且m n p q +=+，则必有m n p q a a a a ⋅=⋅．即角标和相等，则项

的积也相等．

②n m

n m a a q -=

③连续“等距离”新数列，仍为等比数列。

（5）等价命题：等比数列{}n a ⇔2

*11(2,)n n n a a a n

n N -+=⋅∈⇔11n n a a q -=。

二、知识点列讲1、等差、等比数列的定义

等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等

于同一个常数，这个数列叫作等差数列,d a a n n =-+1符号： 等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等

于同一个常数，这个数列叫作等比数列,q a a n

n =+1

符号： 2、通项公式的求法：

（1）公式法：等差、等比数列的通项公式

m

n m n n n m n n q

a a q a a m n d a a d n a a --==≥=--+=或等比数列的通项公式：或等差数列的通项公式：

111)()1(（2）由前n 项和求通项公式，即已知n S 求n a

1．数列{}n a 的前n 项和n S ：123n n S a a a a =++++

2．n a 与n S 的关系：111

2

n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-≥⎩

3．利用n a 与n S 的关系解题：

例3．已知{},n a {}n b 的前n 项和分别为22n S n =+，21n

n T =-，求数列的通项公式．

解：（1）当1n =时， 113a S == ； 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-

∴*

3

1212n n a n n n =⎧=⎨-≥∈⎩N

且 （2）当1n =时，111b T ==； 当2n ≥时，1

212(2)n n n b T T n --=-=≥

又11112b -==， ∴ 1

*2

n n b n -=∈N 若1n =时，1a 符合2n ≥时的式子，则要把n a 合并成一个式子．

练习：1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足关系式()(),1lg N n n S n ∈=-求{}n a 的通项公式．

解：由条件知：101

n

n S =+

当1=n 时，1111a S ==

当2≥n 时，=-=-1n n n S S a ()()

11

101101910n n n --+-+=⋅

∴ ()()

111,1910,2n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ 注意：（1）讨论1n =和2n ≥ （2）验证1a 是否符合2n ≥时的解析式

2、设数列知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若首项11a =，且满足

2

3(31)n n n S a S =-，(2)n

．求通项公式n a ．

解：当2n

时，1n n n a S S -=-，代入已知等式得：2

13()(31)n n n n S S S S -=--，

∴ 113n n n n S S S S --=- ①， 将①式两边同除以1n n S S -得：

1

11

3n n S S --=． ∴ 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是以1111

1S a ==为首项，3为公差的等差数列． ∴

1113(1)32n n n S S =+-=-，即1

32

n S n =- （2n ）．

当2n

时，13

(32)(35)

n n n a S S n n -=-=-

--．

∴ 1

(1)3

(2)(32)(35)n n a n n n =⎧⎪

=⎨-⎪--⎩

(3) 由递推公式求通项公式，即累加法和累乘法 例1．1(21)n n a a n +=+-，10a =，求n a ． （形如)(1n f a a n n =-+形式，利用累加法） 解：123n n a a n --=-