中考数学专题练习圆的垂径定理的应用(含解析)

2019中考数学专题练习-圆的垂径定理的应用（含解析）

一、单选题

1.如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（）

A. 5cm

B. 8cm

C. 10cm

D. 12cm

2.下列命题：①三点确定一个圆，②弦的平分线过圆心，③弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径，④平分弦的直线平分弦所对的弧，其中正确的命题有（）

A. 3

个

B. 2

个

C. 1

个

D. 0个

3.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB 的长是( )

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

4.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8

米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）

A. 0.5

B. 1

C. 2

D. 4

5.如图，⊙O的弦AB=8，C是AB的中点，且OC=3，则⊙O的半径等于( )

A. 8

B. 5

C. 10

D. 4

6.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径

为5cm，水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（）

A. 4cm

B. 3cm

C. 2cm

D. 1cm

7.如图，以O为圆心的两个同心圆中，半径分别为3和5，若大圆的弦AB与小

圆相交，则弦AB的长的取值范围是（）

A. 8≤AB≤10

B. 8

C. 8

D. 6≤AB≤10 8.如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，

BE，则下列五个结论①AB⊥DE，②AE=BE，③OD=DE，④∠AEO=∠C，⑤弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

9.如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则AD长为（）

A. 8

B. 5

C.

D.

二、填空题

10.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知

EF=CD=16厘米，则球的半径为________厘米．

11.如图，已知⊙O的半径为5，点P是弦AB上的一动点，且弦AB的长为8．则OP的取值范围为________．

12.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为________．

三、解答题

13.如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示,单位:m),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形;如图②是车棚顶部截面的示意图, 所在圆的圆心为点O,车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面

积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)

14.如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8 cm，CD=2 cm．求破残的圆形残片的半径．

15.如图，某公司的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24m，拱高CD

为8m，求石拱桥拱的半径．

四、综合题

16.如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB=20，AD=4 ，DE⊥AB于E．

（1）求DE的长．

（2）求证：AC=2OE．

17.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（﹣3，0），B（﹣4，2），C（﹣1，2）．将四边形OABC绕点O顺时针旋转90°后，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．

（1）请你在所给的直角坐标系中画出旋转后的四边形OA′B′C′；

（2）点C旋转到点C′所经过的弧的半径是________，点C经过的路线长是

________．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】C

【考点】垂径定理的应用

【解析】【解答】解：设光盘的圆心为O，如图所示：

过点O作OA垂直直尺于点A，连接OB，设OB=r，

∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，

∴AB=×（10﹣2）=4，

∵刻度尺宽2cm，

∴OA=r﹣2，

在Rt△OAB中，

OA2+AB2=OB2 ，即（r﹣2）2+42=r2 ，

解得：r=5．

∴该光盘的直径是10cm．

故选：C．

【分析】设光盘的圆心为O，过点O作OA垂直直尺于点A，连接OB，再设OB=r，利用勾股定理求出r的值即可．

2.【答案】C

【考点】垂径定理的应用，三角形的外接圆与外心，命题与定理

【解析】【解答】解：①不在同一直线上的3个点确定一个圆，故错误；②弦的垂直平分线经过圆心，故错误；

③根据圆的轴对称性可得，正确；

④平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，故错误；

正确的有1个，

故选C．

【分析】根据垂径定理的知识及过3点圆的知识可得正确选项．

3.【答案】C

【考点】垂径定理的应用

【解析】【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．

【解答】如右图，连接OA，

∵半径OC⊥AB，

∴AE=BE=AB，

∵OC=5，CE=2，

∴OE=3，

在Rt△AOE中，

∴AB=2AE=8，

故选C．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE

4.【答案】B

【考点】垂径定理的应用

【解析】【解答】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，

则AD=AB=×0.8=0.4米，

设OA=r，则OD=r﹣DE=r﹣0.2，

在Rt△OAD中，

OA2=AD2+OD2 ，即r2=0.42+（r﹣0.2）2 ，解得r=0.5米，

故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．

故选B．

【分析】根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）．根据垂径定理和勾股定理求解．

5.【答案】B

【考点】垂径定理的应用

【解析】【分析】连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长．

【解答】连接OA，

∵M是AB的中点，

∴OM⊥AB，且AM=4

在直角△OAM中，OA==5

故选B．

【点评】本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键．

6.【答案】C

【考点】勾股定理，垂径定理的应用

【解析】【解答】解：如图所示：∵输水管的半径为5cm，水面宽AB为8cm，水的最大深度为CD，∴DO⊥AB，

∴AO=5cm，AC=4cm，

∴CO= =3（cm），

∴水的最大深度CD为：2cm．

故选：C．

【分析】根据题意可得出AO=5cm，AC=4cm，进而得出CO的长，即可得出答案．7.【答案】C

【考点】勾股定理，垂径定理的应用

【解析】【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，此时AB＞8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8＜AB≤10．

【解答】当AB与小圆相切，

∵大圆半径为5，小圆的半径为3，

∵大圆的弦AB与小圆有两个公共点，即相交，

∴8＜AB≤10．

故选C．

【点评】本题综合运用了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析相交时的弦长．

8.【答案】B

【解析】

【分析】已知OE是⊙O的半径，D是弦AB的中点，可根据垂径定理的推论来判断所给出的结论是否正确．

【解答】∵OE是⊙O的半径，且D是AB的中点，

∴OE⊥AB，弧AE=弧BE=弧AEB；（故①⑤正确)

∴AE=BE；（故②正确)

由于没有条件能够证明③④一定成立，所以一定正确的结论是①②⑤；

故选B．

9.【答案】D

【考点】垂径定理的应用，圆周角定理

【解析】

【分析】首先连接BD，易得△ABD是等腰直角三角形，然后由特殊角的三角函数值，求得AD的长．

【解答】连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠ACD=∠ACB=45°，

∴∠ABD=∠ACD=45°，

∴AD=BD，

∵AB=10，

∴AD=AB?sin45°=．

故选D．

【点评】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用

二、填空题

10.【答案】10

【解析】【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=16﹣x，MF=8，

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2

即：（16﹣x）2+82=x2

解得：x=10

故答案为：10．

【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM是16﹣x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF 的长即可．

11.【答案】3≤OP≤5

【考点】垂径定理的应用

【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连结OA.则可得当点P与点E重合时，线段OP为最短距离.

∵点O为圆心，OE⊥AB，AB为圆的一条弦，

∴AE=BE.

∵AB=8，

∴AE=BE=4.

∵OE⊥AB，AE=4，OA=5，

∴OE=3.

当点P落在点A或点B处时，OP的长度最长，等于圆的半径，即为5.

故OP的取值范围是3≤OP≤5.

12.【答案】26

【考点】垂径定理的应用

【解析】【解答】解：连接OA，AB⊥CD，

由垂径定理知，点E是AB的中点，AE= AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，

设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2 ，即r2=52+（r ﹣1）2 ，

解得：r=13，

所以CD=2r=26，

即圆的直径为26．

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．

三、解答题

13.【答案】解：如图，连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，

由垂径定理知，E是AB的中点，F是的中点，从而EF是弓形的高.

∵AB=4，

∴AE= AB=2 m，EF=2 m.

设半径为Rm,则OE=(R-2)m.

在Rt△AOE中,

∴R2=(R-2)2+(2 )2.

∴R=4.

在Rt△AEO中，

∵AO=2OE，

∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，

∴∠AOB=120°.

∴的长为=(m).

∴覆盖棚顶的帆布的面积为×60=160π(m2).

【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，垂径定理的应用，弧长的计算

【解析】【分析】如图，连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于F，由垂径定理知：E是AB的中点，F是 AB?的中点，从而EF是弓形的高；设半径为Rm,则OE=(R-2)m.在Rt△AOE中,根据勾股定理计算出半径R，再由在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而得出∠AOB的度数，根据弧长公式即可求出弧AB的长度，最后得出覆盖棚顶的帆布的面积.

14.【答案】解：在直线CD上取圆心O ，连接OA ，

设半径为r cm.

∵弦AB的垂直平分线交弧AB于点C ，交弦AB于点D ．

在Rt△ADO中，OA2=AD2+OD2 ，∴r2=42+(r-2)2 ，∴r=5答：破残的圆形残片的半径为5 cm.

【考点】勾股定理，垂径定理的应用

【解析】【分析】设圆的半径为r cm，根据AB CD和已知条件求出AD=AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理为等量关系列方程，求出半径即可.

15.【答案】解：延长CD到O，使得OC=OA，则O为圆心，∵拱桥的跨度AB=24cm，拱高CD=8cm，

∴AD=12cm，

∴AD2=OA2﹣（OC﹣CD）2 ，即122=AO2﹣（AO﹣8）2 ，

解得AO=13cm．即圆弧半径为13米．

答：石拱桥拱的半径为13m．

【考点】勾股定理，垂径定理的应用

【解析】【分析】将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答

四、综合题

16.【答案】（1）解：连接BD．

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，BD= =

=4 ，

∵S△ADB= AD?BD= AB?DE

∴AD?BD=AB?DE，

∴DE= = =4 ，

即DE=4 ；

（2）解：证明：连接OD，作OF⊥AC于点F．

∵OF⊥AC，

∴AC=2AF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD．

又∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BAC=∠BOD，

Rt△OED和Rt△AFO中，

∵

∴△AFO≌△OED（AAS），

∴AF=OE，

∵AC=2AF，

∴AC=2OE．

【考点】全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用

【解析】【分析】（1）出现直径时，连接直径的端点和圆周上的一点，构成90度圆周角，利用勾股定理和面积法可以解决；（2）过圆心向弦引垂线，由垂径定理，得平分，构造出AC的一半，再证△AFO≌△OED，可证出结论.

17.【答案】（1）解：如图所示，四边形OA′B′C′即为所求作的图形

（2）；π

【考点】垂径定理的应用，弧长的计算，旋转的性质，作图-旋转变换

【解析】【解答】解：（2）根据勾股定理，OC= = ，

C经过的路线长= = π．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）先利用勾股定理求出OC的长度，再根据弧长的计算公式列式进行计算即可得解．