(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件:1-3-2-1
高一数学人教B版必修4课件3-2-1倍角公式
5.要熟悉公式的逆用.如
sin3α·cos3α
=
1 2
sin6α.4sinα4·cosα4=22sinα4·cosα4=2sinα2,S
1-2tatann4204°0°=tan80°,cos22α-sin22α=cos4α.
∴sinα-cosα= sinα-cosα2
=
1-sin2α=
17 3.
cos2α=
1-sin22α=
17 9.
[辨析]
由
sinα
+
cosα
=
1 3
及
0<α<π
知
π 2
<α<π
,
且
|sinα|>|cosα|,故应讨论 sinα-cosα 与 cos2α 的符号得 sinα-
cosα>0,cos2α<0.
[解析] 解法一:因为 sin4π+α·sinπ4-α =sinπ4+αcosπ4+α=16,
所以 sinπ2+2α=13,即 cos2α=13.
因为 α∈2π,π,则 2α∈(π,2π),
所以 sin2α=- 1-cos22α=-23 2,
• [点评] 以上几种方法大致遵循以下规律: 首先都是由复杂端向简单端转化;其次是 化倍角为单角;最后,证题中注意对数字 的处理,尤其是对“1”的妙用.
[解析] 左边=tanta2θn-θ 1,
右边=-
2 2tanθ
=-1-tatnaθn2θ
1-tan2θ
=tanta2θn-θ 1,
∵左边=右边,
[正解] 将 sinα+cosα=13两边平方得
高中数学必修4全册(人教A版)精品PPT课件
已知三角函数值,求角
一、基本概念:
1.角的概念的推广 (1)正角,负角和零角.用旋转的观点定义角, 并规定了旋转的正方向,就出现了正角,负角和 零角,这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
(2)象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合,始边与轴的非负半 轴重合,这样当角的终边在第几象限,就说这个角 是第几象限的角,若角的终边与坐标轴重合,这个 角不属于任一象限,这时也称该角为轴线角.
(3)终边相同的角,具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角,所有与角终边相同的角(包含
角在内)的集合为. k 360, k Z
(4)角在“到”范围内,指.0 360
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
(,)
一、在直角坐标系内讨论角,角的顶点与 原点重合,角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正,顺时针旋转为负。
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
注意:三角 函数线是有 向线段!
为第二象限角时
P
MO
为第一象限角时
P
OM
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第三象限角时
为第四象限角时
M
O
P
M
cos
tan
不存在
0
x
_0
-1
_o
y
+
1x
_
0
+o
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件:2-1-3
例2
→ → → 如图所示,O 为△ABC 内一点,OA=a,OB=b,OC
=c,求作 b+c-a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则.
解析
→ → 解法 1: 以OB, OC为邻边作▱OBDC, 连接 OD、 AD,
→ → → 则OD=OB+OC=b+c, → → → ∴b+c-a=OD-OA=AD,如图(1)所示.
(1)
(2)
→ → 解法 2:作CD=OB=b,连接 AD, → → → 则AC=OC-OA=c-a, → → → ∴b+c-a=b+(c-a)=CD+AC=AD,如图(2)所示.
规律技巧
运用三角形法则,作两个向量和的关键是作平
移,首尾连.作两个向量差的关键是作平移,共起点,两尾连, 指被减.当两向量不共线时,也可采用平行四边形法则.多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律.
解析
→ → → → → → → OF-OE=OF+EO=EO+OF=EF.
答案 B
4.在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( → → A.AB=DC → → → B.AD+AB=AC
)
→ → → → → C.AB-AD=BD D.AD+CB=0
→ → → → 解析 AB-AD=DB≠BD,故选C.
→ → → → (2)OP-QP-SQ-TS → → → → =OP+PQ+QS+ST → =OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律;(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算,一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量.
变式训练1
化简下列各式:
→ → → → → → → ①AB+BC+CA;②AB-AC+BD-CD; → → → → → → → ③OA-OD+AD;④NQ+QP+MN-MP. 结果为零向量的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、1-3-2命题的四种形式
取值范围是________.
[答案] m≥1或m=0 [解析] m≥0; 命题p:关于x的不等式mx2+1>0的解集是R,
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
命题q:函数f(x)=logmx是减函数,0<m<1.
p假:m<0;q假:m≥1或m≤0. p真q假:m≥1或m=0; p假q真:无解. 综上所述,m的取值范围是:m≥1或m=0.
人 教 B 版 数 学
(4)“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是 A.0 C.2 [答案] B B.1 D.3 ( )
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
[解析]
题.
(1)“若x+y≠0,则x、y不是相反数”是真命
(2)“若a2≤b2,则a≤b”,取a=-1,b=0,因为a<b, 但a2=1,b2=0,a2>b2,故是假命题. (3)“若x>-3,则x2-x-6≤0”,解不等式x2-x-6≤0
人 教 B 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
一、选择题 1.若x2=1,则x=1的否命题为 A.若x2≠1,则x=1 C.若x2≠1,则x≠1 ( )
人 教 B 版 数 学
B.若x2=1,则x≠1 D.若x≠1,则x2≠1
[答案] C
(选修1-1)
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断 其真假: (1)实数的平方是非负数; (2)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根.
人 教 B 版 数 学
[解析]
(1)逆命题:如果一个数的平方是非负数,则
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件:1-3-1-2
(2)最小正周期的定义 对于一个 周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数 ,那么这个最小正数 就叫做它的最小正周期.
2.正弦函数的图象和性质 函数
y=sinx
图象
定义域 值域
奇偶性 周期
x∈R -1≤y≤1
奇函数 2π
函数
y=sinx
单调性
在每一个闭区间 -π2+2kπ,2π+2kπ (k∈Z)上是 增函数; 在每一个闭区间 π2+2kπ,32π+2kπ(k∈Z )上是 减函数
(2)对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω<0),可先用诱导公式
转化为y=-Asin(-ωx-φ),则y=-Asin(-ωx-φ)的增(减)区
间即为函数y=Asin(ωx+φ)的减(增)区间.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 求下列函数的值域. (1)y=3-2sin2x(x∈R); (2)y=2sin2x+3π-6π≤x≤π6; (3)y=2cos2x+5sinx-43π≤x≤56π. 剖析 利用正弦函数的值域求解.
x+π2
=
sinx,因此2π不是sinx的周期.
(2)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内 的每一个值都成立,T是非零常数,周期T是使函数值重复出现 的自变量x的增加值.周期函数的周期不止一个,若T是周期, 则kT(k∈N+)一定也是周期.
(3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最 小的正数,就称它为最小正周期,今后提到的三角函数的周 期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期.
答Байду номын сангаас C
4.下列大小关系正确的是( ) A.sin23π<sin43π B.sin1<sin3 C.sin116π<sin43π D.sin-193π<sin-256π
新教材 人教B版高中数学必修第四册全册各章知识点汇总及配套习题
人教B高中数学必修第四册全册各章知识点汇总第九章解三角形.................................................................................................................... - 1 - 第十章复数 ......................................................................................................................... - 12 - 第十一章立体几何初步...................................................................................................... - 19 -第九章解三角形知识体系题型探究利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,BD=5,AB⊥BC,∠BCD=2∠ABD ,△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长; (2)求△CBD 的面积.[思路探究] (1)由面积公式求出sin ∠ABD ,进而得cos ∠ABD 的值,利用余弦定理可解;(2)由AB ⊥BC 可以求出sin ∠CBD 的大小,再由二倍角公式求出sin ∠BCD ,可判断△CBD 为等腰三角形,利用正弦定理求出CD 的大小,最后利用面积公式求解.[解] (1)由S △ABD =12AB ·BD ·sin ∠ABD =12×2×5×sin ∠ABD =2,可得sin ∠ABD =255,又∠ABD ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以cos ∠ABD =55. 在△ABD 中,由AD 2=AB 2+BD 2-2·AB ·BD ·cos ∠ABD , 可得AD 2=5,所以AD = 5.(2)由AB ⊥BC ,得∠ABD +∠CBD =π2, 所以sin ∠CBD =cos ∠ABD =55.又∠BCD =2∠ABD ,所以sin ∠BCD =2sin ∠ABD ·cos ∠ABD =45,∠BDC =π-∠CBD -∠BCD =π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-∠ABD -2∠ABD =π2-∠ABD =∠CBD ,所以△CBD 为等腰三角形,即CB =CD . 在△CBD 中,由正弦定理知,BD sin ∠BCD =CDsin ∠CBD,得CD =BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD=5×5545=54,所以S △CBD =12×54×54×45=58.利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面(1)画图,把相关数据标注在三角形中,便于确定已知和所求. (2)明确解题过程中所使用的定理,有些题目两个定理都适用.(3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用,避免出现增解或漏解的错误.(4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解.[跟进训练]1.如图所示,在△ABC 中,B =π3,AB =8,点D 在BC 边上,CD =2,cos ∠ADC =17.(1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长. [解] (1)在△ADC 中, 因为cos ∠ADC =17,所以sin ∠ADC =437, 所以sin ∠BAD =sin(∠ADC -B ) =sin ∠ADC cos B -cos ∠ADC sin B =437×12-17×32=3314.(2)在△ABD 中,由正弦定理,得BD =AB sin ∠BADsin ∠ADB =8×3314437=3.在△ABC 中,由余弦定理,得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ×BC ×cos B =82+52-2×8×5×12=49, 所以AC =7.三角变换与解三角形的综合问题【例2】 在△ABC 中,若(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)·sin(A +B ),试判断△ABC 的形状.[解] ∵(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B ), ∴b 2[sin(A +B )+sin(A -B )] =a 2[sin(A +B )-sin(A -B )], ∴2b 2sin A cos B =2a 2cos A sin B , 即a 2cos A sin B =b 2sin A cos B .法一:由正弦定理知a =2R sin A ,b =2R sin B , ∴sin 2A cos A sin B =sin 2B sin A cos B , 又sin A sin B ≠0,∴sin A cos A =sin B cos B , ∴sin 2A =sin 2B .在△ABC 中,0<2A <2π,0<2B <2π, ∴2A =2B 或2A =π-2B , ∴A =B 或A +B =π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 法二:由正弦定理、余弦定理,得a 2b ×b 2+c 2-a 22bc =b 2a ×a 2+c 2-b 22ac ,∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2),∴(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0, ∴a 2-b 2=0或a 2+b 2-c 2=0. 即a =b 或a 2+b 2=c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.判定三角形形状的三个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系.(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.(3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.[跟进训练]2.在△ABC 中,若B =60°,2b =a +c ,试判断△ABC 的形状. [解] 法一:∵2b =a +c ,由正弦定理, 得2sin B =sin A +sin C . ∵B =60°,∴A +C =120°. ∴2sin 60°=sin(120°-C )+sin C . 展开整理得32sin C +12cos C =1. ∴sin(C +30°)=1. ∵0°<C <120°, ∴C +30°=90°. ∴C =60°,则A =60°. ∴△ABC 为等边三角形.法二:由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B . ∵B =60°,b =a +c 2,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a +c 22=a 2+c 2-2ac cos 60°, 化简得(a -c )2=0. ∴a =c .又B =60°, ∴a =b =c .∴△ABC 为等边三角形.角度2 三角形边、角、面积的求解【例3】 △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B .(1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 的面积的最大值.[解] (1)由已知,根据正弦定理得sin A =sin B cos C +sin C sin B . 又A =π-(B +C ),∴sin[π-(B +C )]=sin(B +C ) =sin B cos C +sin C cos B , 即sin B cos C +cos B sin C =sin B cos C +sin C sin B , ∴cos B sin C =sin C sin B , ∵sin C ≠0,∴cos B =sin B 且B 为三角形内角, ∴B =π4.(2)S △ABC =12ac sin B =24ac , 由正弦定理知a =b sin A sin B =222×sin A =22sin A ,同理,c =22sin C ,∴S △ABC =24×22sin A ×22sin C =22sin A sin C =22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4-A=22sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4cos A -cos 3π4sin A=2(sin A cos A +sin 2A ) =sin 2A +1-cos 2A =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A -π4+1,∴当2A -π4=π2,即A =3π8时,S △ABC 有最大值2+1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体,在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系,由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,通过定理的运用能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.[跟进训练]3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角A ,B ,C 的对边,若a =2,C =π4,cos B 2=255,求△ABC 的面积S .[解] 因为cos B =2cos 2B 2-1=35, 故B 为锐角,所以sin B =45, 所以sin A =sin (π-B -C ) =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B +π4=sin B cos π4+cos B sin π4 =7210. 由正弦定理, 得c =a sin C sin A =107,所以S △ABC =12ac sin B =12×2×107×45=87.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4A 处发现在北偏东45°方向,相距12海里的B 处水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14海里的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇,若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.[思路探究] 假设经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇,作出示意图,把实际数据转化到三角形中,利用正、余弦定理求解.[解] 如图,设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇,则AC =14x 海里,BC =10x 海里,∠ABC =120°.根据余弦定理得(14x )2=122+(10x )2-240x cos 120°, 解得x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫x =-34舍去.故AC =28海里,BC =20海里. 根据正弦定理得BC sin α=ACsin 120°, 解得sin α=20sin 120°28=5314.故红方侦察艇所需的时间为2小时,角α的正弦值为5314.应用解三角形知识解决实际问题四步曲(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语.(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出.(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解.(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.[跟进训练]4.甲船在A 处,乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处,乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶,问经过多少小时后,甲、乙两船相距最近?[解] 设甲、乙两船经t 小时后相距最近且分别到达P ,Q 两处,因乙船到达A 处需2小时.①当0≤t <2时,如图①,在△APQ 中,AP =8t ,AQ =20-10t , 所以PQ =AQ 2+AP 2-2AQ ×AP ×cos 120° =(20-10t )2+(8t )2-2×(20-10t )×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=84t 2-240t +400 =221t 2-60t +100; ②当t =2时,PQ =8×2=16; ③当t >2时,如图②,在△APQ中,AP=8t,AQ=10t-20,∴PQ=AQ2+AP2-2AQ×AP×cos 60°=221t2-60t+100.综合①②③知,PQ=221t2-60t+100(t≥0).当且仅当t=3021=107时,PQ最小.所以甲、乙两船行驶107小时后,相距最近.[培优层·素养升华]【例题】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.[思路探究](1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A的大小;(2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系,利用两角差的正弦公式求解sin C.[解](1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,整理得cos(C+60°)=-2 2.因为0°<C<120°,所以sin(C+60°)=2 2,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=6+2 4.本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式,综合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一,着重考查直观想象、数学运算等学科素养.[素养提升练]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-14,则bc=()A.6 B.5 C.4 D.3A[∵a sin A-b sin B=4c sin C,∴由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=b2+c2-(4c2+b2)2bc=-3c22bc=-14,∴bc=6.]第十章 复数知识体系·题型探究复数的概念【例1】 32 (1)z ∈R ;(2)z 为虚数.[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解. [解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0,所以⎩⎨⎧x 2-3x -3>0,①log 2(x -3)=0, ②x -3>0,③由②得x =4,经验证满足①③式.所以当x =4时,z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0,所以⎩⎨⎧x 2-3x -3>0,①log 2(x -3)≠0, ②x -3>0,③由①得x >3+212或x <3-212. 由②得x ≠4,由③得x >3. 所以当x >3+212且x ≠4时,z 为虚数.1.正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.2.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据. 3.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.[跟进训练]1.(1)若复数z 满足(3-4i)z =|4+3i|,则z 的虚部为( ) A .-4 B .-45 C .4 D .45(2)设复数z 满足i(z +1)=-3+2i(i 是虚数单位),则复数z 的实部是__________.(1)D (2)1 [(1)∵(3-4i)z =|4+3i|,∴z =|4+3i|3-4i =42+323-4i =5(3+4i )25=35+45i ,∴z 的虚部为45.故选D .(2)法一:设z =a +b i(a ,b ∈R ),则i(z +1)=i(a +b i +1)=-b +(a +1)i =-3+2i. 由复数相等的充要条件,得⎩⎨⎧ -b =-3,a +1=2,解得⎩⎨⎧a =1,b =3.故复数z 的实部是1.法二:由i(z +1)=-3+2i ,得z +1=-3+2ii =2+3i ,故z =1+3i ,即复数z 的实部是1.]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位,z -表示复数z 的共轭复数.若z =1+i ,则z i +i·z-=( )A .-2B .-2iC .2D .2i(2)设复数z 满足(z -2i)(2-i)=5,则z =( ) A .2+3i B .2-3i C .3+2i D .3-2i[思路探究] (1)先求出z 及zi ,结合复数运算法则求解. (2)利用方程思想求解并化简.(1)C (2)A [(1)∵z =1+i ,∴z -=1-i ,z i =1+i i =-i 2+i i =1-i ,∴z i +i·z -=1-i +i(1-i)=2.故选C .(2)由(z -2i)(2-i)=5,得z =2i +52-i =2i +5(2+i )(2-i )(2+i )=2i +2+i =2+3i.]复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算,注意把i 看作一个字母(i 2=-1),除法运算注意应用共轭的性质z 为实数.[跟进训练]2.(1)复数2+i1-2i 的共轭复数是( )A .-35iB .35i C .-i D .i(2)已知复数z 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-32i (1+i)(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,且z 1·z 2是实数,则z 2=________.(1)C (2)4+2i [(1)依题意知,2+i 1-2i =(2+i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=5i5=i ,∴其共轭复数为-i. (2)z 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-32i (1+i)=2-i.设z 2=a +2i ,a ∈R , 则z 1·z 2=(2-i)·(a +2i) =(2a +2)+(4-a )i ,因为z 1·z 2∈R , 所以a =4. 所以z 2=4+2i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内,复数i1-i对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 (2)在复平面内,复数1-2i2+i对应的点的坐标为( ) A .(0,-1) B .(0,1) C .⎝ ⎛⎭⎪⎫45,-35D .⎝ ⎛⎭⎪⎫45,35[思路探究] 先把复数z 化为复数的标准形式,再写出其对应坐标. (1)B (2)A [(1)复数i 1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-1+i 2=-12+12i. ∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12.∴复数i1-i在复平面内对应的点位于第二象限.故选B . (2)∵1-2i 2+i =(1-2i )(2-i )(2+i )(2-i )=-5i5=-i ,其对应的点为(0,-1),故选A .]1.复数的几何表示法复数z =a +b i(a ,b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ,b )来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.2.复数的向量表示以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变.3.复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则.由减法的几何意义知|z -z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离.4.复数形式的基本轨迹(1)|z -z 1|=r 表示复数对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心,半径为r 的圆.(2)|z -z 1|=|z -z 2|表示以复数z 1,z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线.[跟进训练]3.(1)已知复数z 对应的向量如图所示,则复数z +1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数z1+i的点是( )A .EB .FC .GD .H(1)A (2)D [(1)由题图知,z =-2+i ,∴z +1=-2+i +1=-1+i ,故z +1对应的向量应为选项A .(2)由题图可得z =3+i ,所以z 1+i =3+i 1+i =(3+i )(1-i )(1+i )(1-i )=4-2i 2=2-i ,则其在复平面上对应的点为H (2,-1).]函数与方程思想【例4】 已知f (z )=|1+z |-z ,且f (-z )=10+3i ,求复数z .[思路探究] 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z -=a -b i ,由复数相等列方程组求解即可.[解] ∵f (z )=|1+z |-z -,∴f (-z )=|1-z |+z -. 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z -=a -b i.由f (-z )=10+3i ,得|1-(a +b i)|+a -b i =10+3i ,∴⎩⎨⎧(1-a )2+b 2+a =10,-b =3, 解方程组得⎩⎨⎧a =5,b =-3,∴复数z =5-3i.一般设出复数z 的代数形式,即z =x +y i(x ,y ∈R ),则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题,都可以转化为实数x ,y 应满足的方程(组),即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.[跟进训练]4.满足z +5z 是实数,且z +3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在?若存在,求出虚数z ;若不存在,请说明理由.[解] 设虚数z =x +y i(x ,y ∈R ,且y ≠0),则z +5z =x +y i +5x +y i =x +5x x 2+y 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -5y x 2+y 2i ,z +3=(x +3)+y i.由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧y -5y x 2+y2=0,x +3=-y ,因为y ≠0,所以⎩⎨⎧ x 2+y 2=5,x +y =-3,解得⎩⎨⎧ x =-1,y =-2或⎩⎨⎧x =-2,y =-1.所以存在虚数z =-1-2i 或z =-2-i 满足题设条件.[培优层·素养升华]【例1】 设z =i(2+i),则z =( ) A .1+2i B .-1+2i C .1-2iD .-1-2iD [∵z =i(2+i)=-1+2i ,∴z =-1-2i.] 【例2】 设有下面四个命题 p 1:若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=z 2; p 4:若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为( )A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 4B [设z =a +b i(a ,b ∈R ),z 1=a 1+b 1i(a 1,b 1∈R ),z 2=a 2+b 2i(a 2,b 2∈R ). 对于p 1,若1z ∈R ,即1a +b i =a -b i a 2+b 2∈R ,则b =0⇒z =a +b i =a ∈R ,所以p 1为真命题.对于p 2,若z 2∈R ,即(a +b i)2=a 2+2ab i -b 2∈R ,则ab =0. 当a =0,b ≠0时,z =a +b i =b i ∉R ,所以p 2为假命题.对于p 3,若z 1z 2∈R ,即(a 1+b 1i)(a 2+b 2i)=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 1b 2+a 2b 1)i ∈R ,则a 1b 2+a 2b 1=0.而z 1=z 2,即a 1+b 1i =a 2-b 2i ⇔a 1=a 2,b 1=-b 2.因为a 1b 2+a 2b 1=0Da 1=a 2,b 1=-b 2,所以p 3为假命题.对于p 4,若z ∈R ,即a +b i ∈R ,则b =0⇒z =a -b i =a ∈R ,所以p 4为真命题.]高考对复数的考查较为基础,通常以选择题的形式考查复数的概念与四则运算,属容易题,重点体现数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养.[素养提升练] 1.设z =3-i1+2i,则|z |=( ) A .2 B . 3 C . 2 D .1C [∵z =3-i 1+2i =(3-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=1-7i5,∴|z |=⎝ ⎛⎭⎪⎫152+⎝ ⎛⎭⎪⎫-752= 2.] 2.i 是虚数单位,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5-i 1+i 的值为________.13 [∵5-i 1+i =(5-i )(1-i )(1+i )(1-i )=2-3i ,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5-i 1+i =|2-3i|=13.]第十一章 立体几何初步知识体系[提升层·题型探究]空间几何体的表面积与体积【例们将体积公式“V =kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”,创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”,其中,D 为直径,类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V =kD 3,其中,在等边圆柱中,D 表示底面圆的直径;在正方体中,D 表示棱长.假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1,k 2,k 3,那么,k 1∶k 2∶k 3=( )A .π4∶π6∶1B .π6∶π4∶2C .1∶3∶12πD .1∶32∶6πD [球中,V =43πR 3=43π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 23=π6D 3=k 1D 3,所以k 1=π6;等边圆柱中,V =π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·D =π4D 3=k 2D 3,所以k 2=π4;正方体中,V =D 3=k 3D 3,所以k 3=1, 所以k 1∶k 2∶k 3=π6∶π4∶1=1∶32∶6π.]记牢常见几何体的表面积、体积公式是解决此类问题的关键.涉及古代文化背景的题目,首先读懂题意,再按题意与所学的知识联系起来,将问题转化为我们熟悉的问题后再解决.[跟进训练]1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长、宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少?”若以上的条件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A .142π平方尺B .140π平方尺C .138π平方尺D .128π平方尺C [可以把该四棱锥补成一个长方体,长、宽分别为7尺和5尺,高为8尺,四棱锥的外接球就是长方体的外接球,其直径为72+52+82=138尺,所以表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫13822=138π平方尺.] 与球有关的切、接问题【例2 [思路探究] 正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心O 重合,则内切球的半径为点O 到各面的距离,外接球的半径为点O 到各顶点的距离,棱切球的半径为点O 到各棱的距离.[解] 由正四面体的对称性与球的对称性知正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合.如图所示,设正四面体A -BCD 的高为AG ,O 为正四面体的中心,连接CG 并延长交BD 于点E ,连接OC ,OE ,则外接球的半径R =OA =OC .由题意可得CE =3a 2,则CG =23CE =3a 3,EG =13CE =3a 6,所以AG =AC 2-CG 2=6a 3.所以OG =6a 3-R .在Rt △OCG 中,OC 2=OG 2+CG 2,即R 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 3-R 2+a 23,解得R =6a 4. 所以内切球的半径r =OG =6a 3-6a 4=6a 12.棱切球的半径为OE =EG 2+OG 2=a 212+a 224=2a 4.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案如下:[跟进训练]2.(1)已知正方体的外接球的体积是32π3,那么正方体的棱长是( )A .2 2B .233C .423D .433(2)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A.12 3 B.18 3 C.24 3 D.543(1)D(2)B[(1)根据球的体积,求得其半径r=2,再由r=3a2可得棱长a为43 3.(2)设等边△ABC的边长为x,则12x2sin 60°=93,解得x=6.设△ABC的外接圆半径为r,则r=23,所以球心到△ABC所在平面的距离d=42-(23)2=2,则点D到平面ABC的最大距离d1=d+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值V max=13S△ABC×6=13×93×6=18 3.]空间中的平行关系【例3】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.[思路探究]假设存在满足条件的点F,由于平面AFC∥平面PMD,且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF,PM,则必有AF∥PM,又PB =2MA,则点F是PB的中点.[解]当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD,证明如下:如图,连接AC和BD交于点O,连接FO,那么PF=12PB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,∴OF∥平面PMD.又MA 12PB,∴PF MA.∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD,∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行,其中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而利用性质定理时,其顺序相反,且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意,转化的方法由具体题目的条件决定,不能过于呆板僵化,要遵循规律而不局限于规律.3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.[证明]连接AC交BD于O,连接MO,因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点,又因为M为PC的中点,所以MO∥AP,又因为MO⊂平面BDM,P A⊄平面BDM,所以P A∥平面BDM,又因为P A⊂平面P AHG,平面P AHG∩平面BDM=GH,所以P A∥GH.空间中的垂直关系【例4】如图所示,在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC1;(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C.[解](1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.因为底面ABC⊥侧面BB1C1C,底面ABC∩侧面BB1C1C=BC,所以AD⊥侧面BB1C1C.所以AD⊥CC1.(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N,连接C1N.因为AM=MA1,所以NA1=A1B1.因为A1C1=A1N=A1B1,所以C1N⊥B1C1,所以C1N⊥侧面BB1C1C.因为C1N⊂截面MBC1,所以截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直,三种垂直关系是本章学习的核心,学习时要突出三者间的互化意识.如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线,若这样的垂线不存在,则可通过作辅助线来解决.如有面面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,进一步转化为线线垂直.[跟进训练]4.如图,ABCD 是正方形,点P 在以BC 为直径的半圆弧上(P 不与B ,C 重合),E 为线段BC 的中点,现将正方形ABCD 沿BC 折起,使得平面ABCD ⊥平面BCP .(1)证明:BP ⊥平面DCP ;(2)若BC =2,当三棱锥D -BPC 的体积最大时,求E 到平面BDP 的距离.[解] (1)证明:因为平面ABCD ⊥平面BPC ,ABCD 是正方形,平面ABCD ∩平面BPC =BC ,所以DC ⊥平面BPC .因为BP ⊂平面BPC ,所以BP ⊥DC .因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上,所以BP ⊥PC .又DC ∩PC =C ,所以BP ⊥平面DCP .(2)当点P 位于BC ︵的中点时,△BCP 的面积最大,三棱锥D -BPC 的体积也最大.因为BC =2,所以PE =1,所以△BEP 的面积为12×1×1=12,所以三棱锥D -BEP 的体积为13×12×2=13.因为BP ⊥平面DCP ,所以BP ⊥DP ,DP=(22)2-(2)2=6,△BDP的面积为12×2×6= 3.设E到平面BDP的距离为d,由于V D-BEP=V E-BDP,则13×3×d=13,得d=33,即E到平面BDP的距离为33.空间中的角的求解【例5】如图,在三棱锥S-ABC中,SA=SB=AC=BC=2,AB=23,SC =1.(1)画出二面角S-AB-C的平面角,并求它的度数;(2)求三棱锥S-ABC的体积.[解](1)取AB中点D,连接SD,CD,因为SA=SB=2,AC=BC=2,所以SD⊥AB,CD⊥AB,且SD⊂平面SAB,CD⊂平面CAB,所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角.在直角三角形SDA中,SD=SA2-AD2=22-(3)2=1,在直角三角形CDA中,CD =CA 2-AD 2=22-(3)2=1,所以SD =CD =SC =1,所以△SDC 是等边三角形,所以∠SDC =60°.(2)法一:因为SD ⊥AB ,CD ⊥AB ,SD ∩CD =D ,所以AB ⊥平面SDC ,又AB ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面SDC ,且平面ABC ∩平面SDC =CD ,在平面SDC 内作SO ⊥DC 于O ,则SO ⊥平面ABC ,即SO 是三棱锥S -ABC 的高.在等边△SDC 中,SO =32,所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC =13S △ABC ·SO =13×12×23×1×32=12.法二:因为SD ⊥AB ,CD ⊥AB ,SD ∩CD =D ,所以AB ⊥平面SDC .在等边△SDC 中,S △SDC =34SD 2=34,所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC =V A -SDC +V B -SDC =13S △SDC ·AB =13×34×23=12.1.两条异面直线所成的角(1)一般通过平移(在所给图形内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移),把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算.(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现,补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等).2.直线和平面所成的角当直线为平面的斜线时,它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角,通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角,然后通过解直角三角形加以求出.3.求解二面角的平面角的步骤一找(寻找现成的二面角的平面角);二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角);三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值).[跟进训练]5.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,且AB =BC =CD ,则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A .12B .-12C .32D .-32A [如图,分别取BC ,CD ,AD ,BD 的中点M ,N ,P ,Q ,连接MN ,NP ,MP ,PQ ,MQ ,则MN ∥BD ,NP ∥AC ,所以∠PNM 即为异面直线AC 和BD 所成的角(或其补角).又由题意得PQ ⊥MQ ,PQ =12AB ,MQ =12CD .设AB =BC =CD =2,则PM = 2.又MN =12BD =2,NP =12AC =2,所以△PNM 为等边三角形,所以∠PNM =60°,所以异面直线AC 与BD 所成角为60°,其余弦值为12.][培优层·素养升华]【例题】 如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.[思路探究](1)连接B1C,ME,可得四边形MNDE为平行四边形,进而得出MN∥DE,可证MN∥平面C1DE.(2)由已知可证DE⊥平面C1CE,过点C作CH⊥C1E于点H,则DE⊥CH,进而可证CH⊥平面C1DE,计算可得CH的长,从而得所求距离.[解](1)证明:如图所示,连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1DC,可得B1C A1D,故ME ND,因此四边形MNDE为平行四边形,所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)如图所示,过点C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.本题属中档题,难度不大,考查了线面平行的证明及点面距离的计算,充分体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.[素养提升练]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面P AD⊥平面ABCD,P A⊥PD,P A=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面P AB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.[证明](1)因为P A=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD,平面P AD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面P AD,所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD,P A∩AB=A,所以PD⊥平面P AB.所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=12BC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=12BC.所以DE∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形,所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.。
人教B版高中数学必修第一册第3章3-2第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课件
4.关于 x 的一元二次不等式 ax2+bx+c<0 的解集是全体实数的
条件是( )
A.aΔ>>00,
B.aΔ><00,
C.aΔ<>00,
D.aΔ<<00,
D [由于不等式 ax2+bx+c<0 的解集为全体实数,所以与之相
对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的图像恒在 x 轴下方,则有a<0, ] Δ<0.
()
(3)一次不等式的解集不可能为∅,也不可能为 R.
()
(4)对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当 Δ=0 时,此函数有
两个零点,对应的方程有两个相等的实数根.
()
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.函数 y=1+1x的零点是( )
A.(-1,0)
B.x=-1
C.x=1
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 函数的零点及求法 【例 1】 求函数 f(x)=x3-7x+6 的零点.
[解] 令 f(x)=0,即 x3-7x+6=0, ∴(x3-x)-(6x-6)=0, ∴x(x-1)(x+1)-6(x-1)=(x-1)·(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+ 3)=0,解得 x1=1,x2=2,x3=-3, ∴函数 f(x)=x3-7x+6 的零点是 1,2,-3.
f(x)
+
-+
-
由此可以画出此函数的示意图如图.
由图可知,f(x)≥0 的解集为(-∞,-2]∪[1,2],f(x)<0 的解集 为(-2,1)∪(2,+∞).
4.解不等式:-x2x+2+2xx-+36<0. [解] 将原不等式化为xx+ +32xx- -13>0, 即(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0, 各因式所对应的根分别为-3,-2,1,3,在数轴上标根并画出示 意图,如图所示. 故原不等式的解集为{x|x<-3 或-2<x<1 或 x>3}.
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件:1-3-1-3
1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y=Asin(ω x+φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义. 2.会用图象变换法画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)中,周期T= ω ,频率f 1 ω = = . φ 叫做初相. T 2π (2)一般地,函数y=Asinx的值域为[-|A|,|A|]φ,最大值为
|A| ,最小值为 -|A|, |A| 的大小,反映曲线y=Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y=sinx 的图象变换为 y=sin(2x+3)的图象的
两种方法. 剖析 1 π π x→2x→2(x+ )=2x+ . 6 3
解析 1 y=sinx
y=sin2x
π π y=sin 2 x+6 =sin(2x+3).
)
A.最小正周期是π π B.直线x= 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C.函数f(x)图象关于点-6,0对称
π D.f(x)的图象向右平移3个单位,可得到y=sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位,得到函数y=fx-3= π π π sin2 x-3+3=sin2x-3.
答案
D
4.函数y=Asin(ωx+φ)
π A>0,ω>0,|φ|< 2
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-3-2利用导数研究函数的极值
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
a 3 (2010· 北京文,18)设函数 f(x)=3x +bx2+cx+d(a>0), 且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f′(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.
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f(x0)是极小值.
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值. [解析] f′(x)=3x2-6x-9. 解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) (-∞,-1) + 单调递增 -1 0 10 (-1,3) - 单调递减 3 0 -22 (3,+∞) + 单调递增
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(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c, f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,2)时,f′(x)<0;
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
当x∈(2,3)时,f′(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c, 又f(0)=8c,f(3)=9+8c. 则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c, 因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,
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得.
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
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(其中-1≤y≤1,0≤x≤π),即 arccosy表示[0,π]上余弦值等于y 的那个角. 3.一般地,对于正切函数y=tanx,x∈ 每一个正切值y,在开区间
π π - , 2 2 π π - , 2 2
π π (1)α∈-2,2;
(2)α∈[0,2π]; (3)α为第三象限角; (4)α∈R.
解析
π π (1)∵正弦函数在闭区间 -2,2 上是增函数,∴符
1 合sinα=-2条件的角只有一个.
π 1 π 又∵sin-6=-2,∴α=-6.
1 (2)∵sinα=- 2 <0,∴α是第三或第四象限角,由正弦函数 1 的单调性,符合sinα=-2条件的角有两个.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.3 三角函数的图象与性质
1.3.3 已知三角函数值求角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.会由已知三角函数值求角. 2.了解反正弦、反余弦、反正切的意义,并会用符号 arcsinx,arccosx,arctanx表示角.
自学导航 已知三角函数值求角的相关概念 1.一般地,对于正弦函数y=sinx,如果已知函数值y(y∈
π π 1 根据诱导公式sinπ+6=-sin6=-2和 π π 1 7 11 sin2π-6=-sin6=-2得α=6π或α= 6 π.
7 (3)∵α是第三象限角,在闭区间[0,2π]内有α= 6 π,∴符合
7π 1 . x | x = + 2 k π , k ∈ Z 条件sinα=-2的第三象限角的集合是 6
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+tanB)=2,则 A+B 等于( π A.4 5π C. 4 3π B. 4
cos15° -sin15° (2) ; cos15° +sin15° (3) tan17° +tan28° +tan17° · tan28° . 剖析 本题主要考查两角和与差的正切公式,重点考查逆
用、变式的能力.
解析 = 3.
tan45° +tan15° (1) 原式= = tan(45° + 15° ) = tan60° 1-tan45° tan15°
本题从公式逆用、变形思想出发,灵活地运用
了两角和与差的正切公式.
变式训练 1
计算:
(1) tan57° -tan12° -tan57° tan12° ; 1- 3tan75° (2) ; 3+tan75° 3-tan105° (3) . 1+ 3tan105°
解析 (1)解法 1: 原式=tan(57° -12° )(1+tan57° tan12° )-tan57° tan12° =1+tan57° tan12° -tan57° tan12° =1. tan57° -tan12° 解法 2:∵tan(57° -12° )= , 1+tan57° · tan12° ∴1+tan57° · tan12° =tan57° -tan12° . ∴tan57° -tan12° -tan57° tan12° =1.
tanα-tanβ 2.tan(α-β)= 1+tanαtanβ
.
思 考 探 究 两角和与差的正切公式对任意的 α,β 均成立吗? 提示 不是的. 在两角和的正切公式中, 使用的条件是: α,
π β,α+β≠kπ+2(k∈Z);使用两角差的正切公式时条件是:α, π β,α-β≠kπ+2(k∈Z).
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解析
x 2x 由cosα= 2 = 4 ,得x=- 3(x<0), x +5 5 10 = . 4 8
∴sinα=
答案 A
名师点拨
1.三角函数的概念 在高中教材中,三角函数定义的对象从锐角的三角函数 推广到任意角的三角函数,从四种三角函数增加到六种三角 函数;定义媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系.在理 解三角函数概念时,要注意以下两点: (1)六个三角函数都是以角为自变量,以比值为函数值的 函数.
解析 r= -4a2+3a2=5|a|. 若a>0时,r=5a,角α的终边在第二象限, y 3a 3 sinα=r =5a=5, x -4a 4 cosα= = =- , r 5a 5 y 3a 3 tanα= = =- , x -4a 4 x -4a 4 cotα=y= 3a =-3.
若a<0时,r=-5a,角α的终边在第四象限, 3 4 3 4 sinα=- ,cosα= ,tanα=- ,cotα=- . 5 5 4 3
(2)明确sinα的意义:sinα是一个比值,它是一个整体, 离开α的“sin”不表示任何意义,其它五个三角函数也一样.
2.三角函数的定义域 函数的定义域是函数概念的三要素(定义域、值域、对 应法则)之一.确定函数的定义域时,应抓住分母等于0比值 没有意义这一关键.因为角α的终边上任意一点P(x,y)与原 点不重合,所以r= x2+y2 ≠0,由此可知正弦函数、余弦函 数的定义域都为R;当角α的终边落在坐标轴上时,点P的坐 标中必有一个为零.当角α的终边落在y轴上时,终边上任意 y r 一点P的横坐标x=0时,正切函数tanα=x与正割函数secα=x
答案
B
3.已知角α的终边上一点P(- 3 ,-1),则cosα的值为 ( ) A. 3 3 B. 3 3 C.- 2 1 D.- 2
高一数学《第1-3章》全册同步练习(人教B版必修4)1-3-1-1
1.3.1.11.函数y =sin2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2+2k π,32π+2k π(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤k π+π4,k π+34π(k ∈Z)C .[π+2k π,3π+2k π](k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π-π4,k π+π4(k ∈Z)[答案] B[解析] 由2k π+π2≤2x ≤2k π+32π,k ∈Z 得 y =sin2x 的单调减区间是[k π+π4,k π+34π](k ∈Z).2.函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R),若f (a )=2,则f (-a )的值为( ) A .3 B .0 C .-1D .-2[答案] B[解析] f (a )=a 3+sin a +1=2. f (-a )=-a 3-sin a +1=-f (a )+2=0. 3.y =sin x -|sin x |的值域是( ) A .[-1,0]B .[0,1]C .[-1,1]D .[-2,0][答案] D[解析] 当sin x ≥0即2k π≤x ≤2k π+π,k ∈Z 时, y =0;当sin x <0,即2k π+π<x <2k π+2π,k ∈Z 时,y =2sin x , ∴-2≤y <0.综上,y ∈[-2,0].4.在同一平面直角坐标系中,函数y =cos(x 2+3π2)(x ∈[0,2π])的图象和直线y =12的交点个数是( )A .0B .1C .2D .4[答案] C[解析] y =cos ⎝⎛⎭⎫x 2+32π=sin x2,当x ∈[0,2π]时,y =sin x 2∈[0,1],与y =12有两个交点.5.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P (cos B -sin A ,sin B -cos A )在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限[答案] B[解析] ∵A 、B 是锐角△ABC 的两个内角,∴A +B >π2,从而π2>A >π2-B >0,π2>B >π2-A >0.∴y =sin x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上是增函数,∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2-B ,sin B >sin ⎝⎛⎭⎫π2-A ,∴sin A >cos B ,sin B >cos A ,∴点P 在第二象限. 6.函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π4在闭区间( )A.⎣⎡⎦⎤-π2,π2上是增函数B.⎣⎡⎦⎤-34π,π4上是增函数C .[-π,0]上是增函数 D.⎣⎡⎦⎤-π4,34π上是增函数[答案] B[解析] 增函数的区间符合2k π-π2≤x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,∴2k π-34π≤x ≤2k π+π4,令k =0得B 正确.7.已知方程cos 2x +4sin x -a =0有解,则a 的范围是( )A .[-2,5]B .(-∞,5]C .[-4,4]D .[0,5][答案] C[解析] 原式可化为:(sin x -2)2=5-a . ∵-1≤sin x ≤1,∴1≤(sin x -2)2≤9, ∴1≤5-a ≤9,解得a ∈[-4,4].8.函数y =74+sin x -sin 2x 的最大值是( ) A.74B .-14C .2D .不存在[答案] C[解析] y =-⎝⎛⎭⎫sin x -122+2≤2.二、填空题9.f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-sin x ,则当x <0时,f (x )=________. [答案] -x 2-sin x [解析] ∵x <0,∴-x >0,∴f (-x )=(-x )2-sin(-x )=x 2+sin x , ∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ), ∴f (x )=-x 2-sin x .10.函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫π2+2x ·cos(π2+x )是________函数.(奇、偶性)[答案] 偶函数 [解析] f (x )=sin2x sin x ∵f (-x )=sin(-2x )·sin(-x ) =sin2x ·sin x =f (x ), ∴f (x )为偶函数.11.函数y =a +b sin x 的最大值是32,最小值为-12,则a =________,b =________.[答案] 12 ±1[解析]当b >0时,由题意得⎩⎨⎧a +b =32a -b =-12,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =12b =1.当b <0时,由题意得⎩⎨⎧a -b =32a +b =-12,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =12b =-1.12.函数y =sin ⎝⎛⎭⎫-x +π4的单调递减区间为________. [答案] ⎣⎡⎦⎤-π4+2k π,3π4+2k π(k ∈Z)[解析] y =sin ⎝⎛⎭⎫-x +π4=-sin ⎝⎛⎭⎫x -π4,函数y =sin ⎝⎛⎭⎫-x +π4的递减区间,即为函数y ′=sin ⎝⎛⎭⎫x -π4的递增区间,令-π2+2k π≤x -π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π≤x ≤3π4+2k π,k ∈Z. 三、解答题13.不求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)sin14°与sin156°; (2)cos115°与cos260°; (3)sin194°与cos160°.[解析] 利用三角函数单调性比较. (1)∵sin156°=sin(180°-24°)=sin24°. ∵-90°<14°<24°<90°,∵y =sin x 在[-90°,90]上是增函数, ∴sin14°<sin24°,即sin14°<sin156°;(2)cos115°=cos(90°+25°)=-sin25°,cos260°=cos(180°+80°)=-cos80°=-sin10°, ∵sin10°<sin25°,∴-sin10°>-sin25°, 即cos260°>cos115°;(3)sin194°=-sin14°,cos160°=-cos20°=-sin70°, ∵sin14°<sin70°,∴-sin14°>-sin70°, ∴sin194°>cos160°.14.已知函数f (x )=log 12⎝⎛⎭⎫12sin2x .(1)求f (x )的定义域、值域和单调区间; (2)判断f (x )的奇偶性.[解析] (1)要使函数有意义,须sin2x >0, ∴2k π<2x <2k π+π, ∴k π<x <k π+π2(k ∈Z),∴f (x )定义域为⎝⎛⎭⎫k π,k π+π2,k ∈Z ,∵0<sin2x ≤1,∴0<12sin2x ≤12,∴log 12⎝⎛⎭⎫12sin2x ≥1,即值域为[1,+∞),函数在⎝⎛⎦⎤k π,k π+π4(k ∈Z)内单调递减,在⎣⎡⎭⎫k π+π4,k π+π2(k ∈Z)内单调递增.(2)定义域关于原点不对称,故既不是奇函数,也不是偶函数. 15.已知函数f (x )=3sin(x 2+π6)+3(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (2)求f (x )的单调递减区间.[解析] (1)列表!(2)T =2π12=4π,由(1)中表格及图象可知在一个周期[-π3,11π3]内,函数在[2π3,8π3]上单调递减,故函数在R 上的单调递减区间为 [4k π+2π3,4k π+8π3](k ∈Z).16.若函数y =cos 2x +a sin x -12a -32的最大值为1,求a 的值. [解析] y =cos 2x +a sin x -12a -32=-sin 2x +a sin x -12a -12 =-(sin x -a 2)2+a 24-12a -12, 设sin x =t ,∵-1≤sin x ≤1, ∴-1≤t ≤1.∴y =-(t -a 2)2+a 24-12a -12,-1≤t ≤1.(1)当a 2<-1,即a <-2时,t =-1时,y 取最大值-32a -32,∴-32a -32=1,∴a =-53>-2(舍去).(2)当-1≤a2≤1,即-2≤a ≤2时,t =a 2时,y 取最大值为a 24-12a -12,∴a 24-12a -12=1, 解得a =1±7,a =1+7>2(舍去), ∴a =1-7.(3)当a 2>1,即a >2时,t =1时,y 取最大值a 2-32,∴a 2-32=1, ∴a =5.综上所述,a =1-7或a =5.。
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件:3-1-1
π π 4 已知 cosα=5,α∈-2,0,求 cosα-4.
先根据条件求出 sinα 的值, 再根据公式求
π cosα-4
解析
π 4 ∵cosα=5,α∈-2,0.
3 ∴sinα=-5,
π π π cosα-4=cosαcos4+sinαsin4
6+ 2 π π π π =cos3cos4+sin3sin4= 4 .
答案
D
2.cos70° cos335° +sin110° sin25° 的值为( A.1 3 C. 2 2 B. 2 1 D. 2
)
解析
原式=cos70° cos25° +sin70° sin25°
2 =cos(70° -25° )=cos45° = . 2
名 师 点 拨 对公式的理解 (1)上述公式中的 α、β 都是任意角. (2)公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子 含有同名弦函数之积的和 (差)式,可用口诀“余余、正正,号 相反”记忆公式. (3)要注意和(差)角的相对性, 掌握角的变化技巧, 如 2α=(α +β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β 等.
5 3 ∴sin(α+β)= 14 . ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 =- × + × = . 14 7 14 7 2
答案 B
4 5 3.△ABC 中,cosA=5,cosB=13,则 cosC 的值为( 33 A.-65 16 C.65 33 B.65 16 D.-65
)
解析
4 5 ∵A、B 是△ABC 的内角,cosA=5,cosB=13.
人教B版高中数学必修第一册 2-1-3《方程组的解集》课件PPT
作业:教材P54
练习A、B
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新知学习
将 − = 1看成含有两个未知数,的方程:
= 3,
(1)判断(,) = (3,2)(指的是ቊ
下同)是否是这个方程的解;
= 2,
(2)判断这个方程的解集是有限集还是无限集。
因为3 − 2 = 1,所以(,) = (3,2)是方程 − = 1的解,而且方程 − = 1的解
禾一来,实三十九斗③;上禾二乘,中禾三来,下禾一乘,实三十四斗;上禾一乘,
中禾二秉,下禾三乘,实二十六斗。问上、中、下禾实一乘各几何。
请列方程组求解这个问题.
①禾:粮食作物的总称.②秉:束. ③斗:计量单位,1斗=10升
设上禾实一秉斗,中禾实一秉斗,下禾实一秉斗,根据题意,可列方程组
3 + 2 + = 39,
例1 求方程组
2 + 2 = 5, ①
= + 1,
解
②
的解集.
将②代入①,整理得2 + − 2 = 0,解得 = 1或 = −2.
利用②可知, = 1时, = 2; = −2时, = −1.
所以原方程组的解集为
{(1,2),(一2,一1)}.
例2
求方程组
2 + 2 = 2,
的步骤都类似。
不难看出,“遍乘直除”的目的在于消元.按照我国著名数学史学家李文林先生的说法,《九章算术》的方程术,是世界
数学史上的一颗明珠,
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数,在用“方程术”解方程组时,可能出现减数大于被减数的情形,为
此,《九章算术》给出了“正负术”,即正负数的加减运算法则。
= + 3, = 2 + 2,
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件:2-1-1
(2)共线向量有四种情况:方向相同且模相等,方向相同 且模不等,方向相反且模相等,方向相反且模不等.这样,也 就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相 等向量,而相等向量一定是共线向量. (3)如果两个向量所在的直线平行或重合,那么这两个向 量是平行向量.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
思考探究 1.向量就是有向线段,这种说法对吗? 提示 不对,向量与有向线段是两个不同的概念,可以用
有向线段表示向量.
2.“若a∥b,且b∥c,则a∥c”这个说法对吗? 提示 不对,若b=0,则a、c均可以是任意向量,所以
a、c不一定平行.平面几何中平行的传递性:a∥b,且b∥c, 则a∥c,在向量的平行中不再适用.解题时我们也要充分考虑 0的特殊性.
→ → →
3.向量的有关概念 零向量 长度等于零的向量,记作0,零向 量的方向不确定
相等的向量 同向且等长的有向线段表示的向量 向量共线 (平行) 基线互相平行或重合的向量,记作 a∥b.共线向量的方向相同或相反 规定:零向量与任意向量平行
任给一定点O和向量a,过点O作有向线段 位置向量 → OA =a,则点A相对于点O的位置被向量a所 → 唯一确定,这时向量 OA ,叫做点A相对于点 O的位置向量
答案
B
规律技巧
要准确地对命题进行判断,必须对有关概念有
准确清晰的理解和把握.
变式训练2
下列说法中不正确的是(
)
A.零向量与任意向量共线 B.零向量只能与零向量相等 → → C.若AB=DC,则ABCD是平行四边形 → → D.平行四边形ABCD中,一定有AB=DC
解析
→ → AB=DC,有可能A、B、C、D四点共线,故C错.
第二章 平面向量
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程
2.在双曲线的定义中,条件0<2a<|F1F2|不应忽视,若
2a=|F1F2|,则动点的轨迹是 两条射线 ; 若 2a>|F1F2| ,
则动点的轨迹是 不存在 . 3.双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”,若去掉 定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是 双曲线一支 .
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(选修1-1)
本节重点:双曲线的定义及其标准方程. 本节难点:双曲线标准方程的推导.
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1.对于双曲线定义的理解,要抓住双曲线上的点所要 满足的条件,即双曲线上点的几何性质,可以类比椭圆的
人 教 B 版 数 学
,
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1 1 a2=-16 解得 12=-1 9 b
(不合题意,舍去).
人 教 B 版 数 学
y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时, 设双曲线的方程为a2-b2 =1(a>0,b>0). 3 ( 5)2 4 2 a2 -b2=1 ∵P1、P2 在双曲线上,∴ 2 (4 7)2 3 4 a2- b2 =1
2
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
2
当 k>0 时,k=6.
[辨析] 因为不能确定k的正负,需讨论.
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[正解]
x2 y2 当 k>0 时,方程化为标准形式: k - k =1 2
人 教 B 版 数 学
k 3k ∵c =2+k= 2 ,
2
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解析 π μ=x+ 6 x y=cosμ 0 π - 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 -1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图).
例2
求下列函数的值域.
π π π (1)y=3-2cos2x-3,x∈6,2;
(2)y=-3sin
∴函数的值域为[1,4]. (2)y=-3sin2x-4cosx+4=3cos2x-4cosx+1.
π 2π 1 1 设t=cosx,x∈3, 3 ,∴t∈-2,2.
∴y=3t
2
1 1 -4t+1在t∈-2,2时单调递减,
1 15 ∴当t=-2时,ymax= 4 ,
π x+ 2
的图象相同,
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象. (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点,这五个点是
(0,1) 、π,0、 (π,-1) 、3π,0、 (2π,1). 2 2
2.余弦函数的性质: (1)定义域为R,值域为 [-1,1] ,周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y=sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y=cosx的图
象.这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同,只是位置不同而 已.学了余弦曲线以后,应在同一坐标系中,画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线,标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线,弄明白它们的相同点和不同点.抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别,就不会将两条曲线混淆.
自测自评
π 1.下列函数中,在 0,2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A.y=sin 2 C.y=-cosx B.y=sin2x D.y=-cos2x
解析
π 由周期是π,可排除选项A、C,又y=sin2x在 0,2
上是先增再减,故排除选项B,故选D.
4.“五点法”作图 利用“五点法”作y=cosx,x∈[0,2π]的简图的关键仍然是 列表,其方法同用“五点法”作正弦函数图象一样.其中五个 点横坐标的确定方法与正弦曲线相同,纵坐标通过计算即可得 到.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 剖析
1 用“五点法”作出函数y=2cos2x的简图. 列表,描出五个关键点,用光滑曲线连接即可.
1 ∴y∈3,3.
规律技巧
求有关三角函数的值域问题要注意多方联系,
求普通函数值域的方法对三角函数仍然成立.
变式训练2
求下列函数的值域.
π π (1)y=3cos2x-6,x∈4,π;
2.周期性 2π 函数y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的周期T=|ω|. 3.单调性 余弦函数y=cosx在每个单调区间上都具有单调性,但在 整个定义域上不是单调函数.y=cosx的单调增区间表示为[(2k -1)π,2kπ](k∈Z),单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈ Z).正、余弦函数的单调区间表示的是一个个区间,而不是各 区间的并集.
答案 D
2.函数y=|cosx|的一个单调递减区间为(
π π A.-4,4 π C.2,π π B.0,4
)
D.(π,2案 B
3.若函数f(x)=cos 0,则ω的值为( 2 A. 5 C. 5 )
2
π 2π x-4cosx+4,x∈3, 3 ;
2+cosx (3)y= . 2-cosx 剖析 求解关于三角函数值域问题,主要涉及的方法有:
单调性法、换元法、配方法、正余弦函数的有界性等等.
解析
π π π 2 (1)∵6≤x≤2,∴0≤2x-3≤3π.
π 1 ∴-2≤cos2x-3≤1. π ∴1≤3-2cos2x-3≤4.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.3 三角函数的图象与性质
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第一课时
余弦函数的图象与性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 了解余弦函数与正弦函数图象之间的关系,并由余弦曲线 理解余弦函数的性质.
自学导航 1.余弦函数的图象 (1)余弦函数y=cosx图象与函数y=sin
π ωx- 6
π 的最小正周期为 5 ,其中ω>
5 B. 2 D. 10
解析
2π π ω =5,∴ω=10.
答案
D
4.函数y=sinx和y=cosx都是增函数的一个区间是(
π A.-π,-2 π C.-2,0 π B.0,2 π D.2,π
(2)由诱导公式 cos(-x)=cosx 可知,余弦函数是
偶函数 ,它的图象关于y轴对称.
(3)余弦函数的单调递增区间为(2kπ-π,2kπ)(k∈Z),单调 递减区间为(2kπ,2kπ+π)(k∈Z).
思考探究 余弦曲线的对称中心和对称轴怎样表示? 提示 (k∈Z).
π 对称中心 kπ+2,0 (k∈Z),对称轴为直线x=kπ,
解析 列表 x 2x 1 cos2x 2 0 0 1 2 π 4 π 2 0 π 2 π 1 - 2 3 4π 3 2π 0 π 2π 1 2
描点绘图,如图所示.
变式训练1
用“五点法”作出函数y=cos
π x+ 6
,x∈
π 11 - , π的简图. 6 6
1 15 1 1 当t=2时,ymin=-4.∴y∈-4, 4 .
2+cosx -2-cosx+4 4 (3)∵y= = = -1, 2-cosx 2-cosx 2-cosx
∵-1≤cosx≤1,∴1≤2-cosx≤3. 1 1 1 4 ∴ ≤ ≤1,∴ ≤ -1≤3. 3 2-cosx 3 2-cosx