上海市高考数学填空、选择题专题训练(含详解)
高考数学试题上海题及答案
高考数学试题上海题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的值域为[0, +∞),则该函数的零点个数为:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C解析:函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1,其最小值为-1,因此值域为[-1, +∞)。
由于值域为[0, +∞),所以函数的零点个数为2。
2. 若复数z = a + bi(a, b ∈ R)满足|z| = √2,且z的实部与虚部的和为0,则a和b的值分别为:A. a = 1, b = -1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a = -1, b = -1答案:A解析:由|z| = √2,得√(a^2 + b^2) = √2,即a^2 + b^2 = 2。
又因为z的实部与虚部的和为0,即a + b = 0。
解得a = 1, b = -1。
3. 若直线l的倾斜角为45°,则直线l的斜率为:A. 0B. 1D. √2答案:B解析:直线的倾斜角为45°,根据斜率的定义,斜率k = tan(45°) = 1。
4. 若向量a = (3, -2),向量b = (-1, 2),则向量a与向量b的数量积为:A. 1B. -1C. 3D. -3答案:D解析:向量a与向量b的数量积为a·b = 3*(-1) + (-2)*2 = -3 - 4 = -7。
5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图象是开口向上的抛物线,且f(1) = f(3),则该函数的对称轴为:A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案:B解析:由于抛物线开口向上,且f(1) = f(3),根据抛物线的对称性,对称轴为x = (1 + 3) / 2 = 2。
6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n,且S_3 = 7,S_6 = 28,则该数列的公比q为:B. 4C. 3D. 1/2答案:A解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,则S_3 = a1(1 - q^3) / (1 - q) = 7,S_6 = a1(1 - q^6) / (1 - q) = 28。
2018年高考数学真题试卷(上海卷)(秋考)含逐题详解
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名,准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔,水笔或圆珠笔作答非选择题.一,填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中,2x 项的系数为_________.(结果用数值表示) 4.设常数a R ∈,函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1),则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-(i 是虚数单位),则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若30a =,6714a a +=,则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数,且在(0,)+∞上递减,则 α=_________.8.在平面直角坐标系中,已知点(1,0)A -,(2,0)B ,E ,F 是y 轴上的两个动点,且2EF =,则AE BF •的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克,3克,1克砝码各一个,2克砝码两个。
从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.(结果用最简分数表示)10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=(*n ∈N ),前n 项和为n S 。
上海高中数学试题及答案
上海高中数学试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列函数中,为奇函数的是:A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 已知等差数列{an}的前三项依次为2,5,8,则其第10项a10为:A. 27B. 28C. 29D. 303. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9,圆心坐标为:A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (2, -3)D. (-2, 3)4. 函数y = 2x + 3与y = -x + 1的交点坐标为:A. (-1, 1)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (1, -1)5. 已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a^2 + b^2 =c^2,那么三角形ABC是:A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定6. 函数y = 3x - 2的反函数为:A. y = (x + 2)/3B. y = (x - 2)/3C. y = 3x + 2D. y = -3x + 27. 以下哪个选项是复数的共轭复数:A. z = 3 + 4iB. z* = 3 - 4iC. z = 3 - 4iD. z* = 3 + 4i8. 集合A = {1, 2, 3},集合B = {2, 3, 4},则A∩B为:A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3,求f(2)的值为:A. -1B. 1C. 3D. 510. 直线y = 2x + 1与x轴交点的横坐标为:A. 0.5B. -0.5C. 0D. 1二、填空题(每题4分,共20分)1. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。
2. 已知数列{an}满足a1 = 1,an+1 = 2an + 1,求a3 = _______。
2023上海高考数学试题及答案
2023上海高考数学试题及答案2023年上海高考数学试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 已知函数f(x) = 2x - 3,下列哪个选项是f(2)的值?A. 1B. -1C. 5D. 7答案:A2. 若向量a = (3, 4),向量b = (-1, 2),则向量a与向量b的数量积为?A. 2B. -2C. 10D. -10答案:A3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2,公差d = 3,求第5项a5的值?A. 17B. 14C. 11D. 8答案:A4. 若函数g(x) = x^2 - 4x + 3,求g(0)的值?A. 3B. 1C. -1D. 0答案:A5. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,其中a = 2,b = 1,求双曲线的渐近线方程?A. y = ±x/2B. y = ±2xC. y = ±xD. y = ±1/2x答案:A6. 若复数z = (1 + i) / (1 - i),求z的共轭复数?A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案:B7. 已知三角形ABC的内角A,B,C满足A + B = 2C,且sinA = 2sinBcosC,求角C的度数?A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案:C8. 已知函数h(x) = ln(x),求h'(x)?A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案:A9. 若直线l:y = 2x + 3与抛物线C:y^2 = 4x相切,求切点的横坐标?A. 1B. 3/2C. 3D. 9/4答案:D10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求f'(x)?A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案:A二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 1,公比q = 2,求第4项b4的值?答案:1612. 若向量a = (1, -2),向量b = (2, 3),则向量a与向量b的夹角的余弦值为?答案:-1/√1713. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8,求f(1)的值?答案:314. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9,求圆心的坐标?答案:(2, 3)15. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x),求f'(x)?答案:cos(x) - sin(x)三、解答题(共40分)16. (10分)已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1,求f(x)的单调区间和极值点。
2023年上海16区(浦东徐汇杨浦闵行等)数学高考二模专题汇编2 函数及其应用含详解
15. (宝山)若幂函数 y x 的图像经过点
1
16.(虹口)函数 y lg x 1
x2 4
3
3,
3 ,则此幂函数的表达式为
的定义域为________.
17. (虹口)对于定义在 R 上的奇函数 y f x ,当 x 0 时, f x 2 x
f x
x
C x3 , t x1 x2 x3 ,求证: x1 , x2 , x3 成等比数列.
27.
(静安)
(本题满分 18 分,本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分)
已知函数 f ( x )
1 2
x ( a 1) x a ln x .(其中 a 为常数)
设 y f ( x )、y g ( x ) 是定义域为 R 的函数,当 g ( x1 ) g ( x2 ) 时,
记 ( x1 , x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
.
g ( x1 ) g ( x2 )
(1)已知 y g ( x ) 在区间 I 上严格增,且对任意 x1 , x2 I , x1 x2 ,有 ( x1 , x2 ) 0 ,
9
,则该函数的值域为_____
2 1
x
二、选择题
18. (宝山)已知定义在 R 上的偶函数 f x x m 1 2 ,若正实数 a 、 b 满足 f a f 2b m ,则
最小值为
A.
(
9
5
B. 9
C.
8
5
)
D. 8
19. (杨浦)下列函数中,既是偶函数,又在区间 , 0 上严格递减的是(
上海市2019届秋季高考数学考试卷(教师解析版)2019.06.10
上海市2019届秋季高考数学考试卷(教师解析版)2019.06.10一、填空题(本大题共12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)1、已知集合()(),32,A B =-∞=+∞、,则=B A ________.【解】根据交集概念,得出:)3,2(.2、已知C z ∈且满足i z =-51,求=z ________.【解】i z+=51,i i i i i z 261265)5)(5(551-=-+-=+=. 3、已知向量)2,0,1(=a ,)0,1,2(=b ,则a 与b 的夹角为________.【解】52552cos =⋅=⋅=ba θ. 4、已知二项式()521x +,则展开式中含2x 项的系数为________. 【解】rrr r rrr xC x C T ---+⋅⋅=⋅⋅=55555121)2(令25=-r ,则3=r ,2x系数为402235=⋅C .6、已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,求23z x y =-的最小值为________.【解】线性规划作图:后求出边界点代入求最值, 当0=x ,2=y 时,6min -=z .6、已知函数()f x 周期为1,且当01x <≤,()2log f x x =-,则=)23(f ________. 【解】121log )21()23(2=-==f f . 7、若x y R +∈、,且123y x +=,则yx的最大值为________. 【解】法一:y x y x 212213⋅≥+=,∴892232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤x y ; 法二:由y x 231-=,y y y y x y 32)23(2+-=⋅-=(230<<y ),求二次最值89max =⎪⎭⎫⎝⎛x y .8、已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且满足2n n S a +=,则5S =______.【解】由⎩⎨⎧≥=+=+--)2(2211n a S a S n n n n 得:121-=n n a a (2≥n )∴ {}n a 为等比数列,且11=a ,21=q ,∴ 1631211])21(1[155=--⋅=S . 9、过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM OA λ=+()2OB λ-,则λ=______.【解】依题意求得:)2,1(A ,)2,1(-B ,设M 坐标),(y x M有:)4,22()2,1()2()2,1(),(-=-⋅-+=λλλy x ,代入x y 42=有:)22(416-⋅=λ 即:3=λ.10、某三位数密码锁,每位数字在90-数字中选取,其中恰有两位数字相同的概率是_______.【解】法一:100271031923110=⋅⋅=C C C P (分子含义:选相同数字×选位置×选第三个数字) 法二:100271013310110=+-=P C P (分子含义:三位数字都相同+三位数字都不同) 11、已知数列{}n a 满足1n n a a +<(*∈N n ),(),n n P n a 在双曲线12622=-yx 上,则1lim n n n P P +→∞=_______.【解】法一:由12822=-na n 得:)16(22-=n a n ,∴))16(2,(2-n n P n ,))16)1((2,1(21-+++n n P n ,利用两点间距离公式求解极限。
2019年高考数学真题试卷(上海卷)(春考)含逐题详解
2019年上海市春季高考数学试卷2019.01一. 填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{3,5,6}B =,则AB =2. 计算:22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 3. 不等式|1|5x +<的解集为 4. 函数2()f x x =(0)x >的反函数为5. 设i 为虚数单位,3i 65i z -=+,则||z 的值为6. 已知二元线性方程组22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩有无穷多解,则实数a =7. 在61()x x+的二项展开式中,常数项的值为 8. 在ABC 中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB =9. 首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动,其 中甲连续参加2天,其余每人各参加1天,问有多少种不同的安排种数 (结果用数值表示)10. 如图,正方形OABC 的边长为a (1)a >,函数23y x =交 AB 于点Q ,函数12y x -=与BC 交于点P ,当||||AQ CP + 最小时,a 的值为11. 已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点,Q 与P 关于x 轴对称,1F ,2F 为椭圆的左右焦点,若有121F P F P ⋅≤,则向 量1F P 与2F Q 的夹角范围为12. 已知t ∈R ,集合[,1][4,9]A t t t t =+++,0A ∉,若存在正数λ,对任意a A ∈. 都有A aλ∈,则t 的值为二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13. 下列函数中,值域为[0,)+∞的是( )A. 2x y =B. 12y x = C. tan y x = D. cos y x = 14. 已知a ,b ∈R ,则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 已知平面α,β,γ两两垂直,直线a ,b ,c 满足:a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a ,b ,c 不可能是( )A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面16. 平面直角坐标系中,两动圆1O ,2O 的圆心分别为1(,0)a ,2(,0)a ,且两圆均过定点(1,0). 两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y ,2(0,)y ,若12ln ln 0y y +=,点1211(,)a a 的轨迹为Γ. 则Γ所在的曲线可能是( )A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 如图,正三棱锥P ABC -中,侧棱长为2,底面边长为3,M ,N 分别是PB 和BC 的中点. (1)求异面直线MN 与AC 所成角的大小. (2)求三棱锥P ABC -的体积.18. 已知数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S . (1)若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S .(2)若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围.19. 改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用包 括个人现在支出,社会支出,政府支出,下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金 支出,社会支出和政府支出的费用(单位:亿元)和在卫生总费用中的占比.年份卫生总费用 (亿元)个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数(亿元) 占卫生总费用比重(%) 绝对数(亿元) 占卫生总费用比重(%) 绝对数(亿元) 占卫生总费用比重(%) 2012 28119.00 9656.32 A 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.3433.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 B 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45(数据来源于国家统计年鉴)(1)计算A ,B 的数据,并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占 比和社会支出占比的变化趋势.(2)设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+.研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.20. 已知抛物线24y x =,F 为焦点,P 为准线l 上一动点,线段PF 与抛物线交于点Q . 定义||()||FP d P FQ =. (1)若点P 坐标为8(1,)3--,求()d P .(2)求证:存在常数a ,使得2()||d P FP a =+恒成立.(3)设1P ,2P ,3P 为准线l 上的三点,且1223||||PP P P =,试比较13()()d P d P +与22()d P 的大小.21. 若{}n a 是等差数列,公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足:sin()n n b a =,n ∈*N . 记{|,}n S x x b n ==∈*N . (1)设10a =,23d π=,求集合S . (2)设12a π=,试求d 的值,使得集合S 恰有两个元素.(3)若集合S 恰有三个元素,且n T n b b +=,其中T 为不超过7的正整数,求T 所有可能值.2019年上海市春季高考数学试卷2019.01一. 填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{3,5,6}B =,则AB =2. 计算:22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 3. 不等式|1|5x +<的解集为 4. 函数2()f x x =(0)x >的反函数为5. 设i 为虚数单位,3i 65i z -=+,则||z 的值为6. 已知二元线性方程组22214x y x a y a+=-⎧⎨+=⎩有无穷多解,则实数a =7. 在61()x x+的二项展开式中,常数项的值为 8. 在ABC 中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB =9. 首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动,其 中甲连续参加2天,其余每人各参加1天,问有多少种不同的安排种数 (结果用数值表示)10. 如图,正方形OABC 的边长为a (1)a >,函数23y x =交 AB 于点Q ,函数12y x -=与BC 交于点P ,当||||AQ CP + 最小时,a 的值为11. 已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点,Q 与P 关于x 轴对称,1F ,2F 为椭圆的左右焦点,若有121F P F P ⋅≤,则向 量1F P 与2F Q 的夹角范围为12. 已知t ∈R ,集合[,1][4,9]A t t t t =+++,0A ∉,若存在正数λ,对任意a A ∈. 都有A aλ∈,则t 的值为二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13. 下列函数中,值域为[0,)+∞的是( )A. 2x y =B. 12y x = C. tan y x = D. cos y x = 14. 已知a ,b ∈R ,则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 已知平面α,β,γ两两垂直,直线a ,b ,c 满足:a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a ,b ,c 不可能是( )A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面16. 平面直角坐标系中,两动圆1O ,2O 的圆心分别为1(,0)a ,2(,0)a ,且两圆均过定点(1,0). 两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y ,2(0,)y ,若12ln ln 0y y +=,点1211(,)a a 的轨迹为Γ. 则Γ所在的曲线可能是( )A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 如图,正三棱锥P ABC -中,侧棱长为2,底面边长为3,M ,N 分别是PB 和BC 的中点. (1)求异面直线MN 与AC 所成角的大小. (2)求三棱锥P ABC -的体积.18. 已知数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S . (1)若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S .(2)若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围.19. 改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用包 括个人现在支出,社会支出,政府支出,下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金 支出,社会支出和政府支出的费用(单位:亿元)和在卫生总费用中的占比.年份卫生总费用 (亿元)个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数(亿元) 占卫生总费用比重(%) 绝对数(亿元) 占卫生总费用比重(%) 绝对数(亿元) 占卫生总费用比重(%) 2012 28119.00 9656.32 A 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.3433.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 B 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45(数据来源于国家统计年鉴)(1)计算A ,B 的数据,并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占 比和社会支出占比的变化趋势.(2)设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+.研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.20. 已知抛物线24y x =,F 为焦点,P 为准线l 上一动点,线段PF 与抛物线交于点Q . 定义||()||FP d P FQ =. (1)若点P 坐标为8(1,)3--,求()d P .(2)求证:存在常数a ,使得2()||d P FP a =+恒成立.(3)设1P ,2P ,3P 为准线l 上的三点,且1223||||PP P P =,试比较13()()d P d P +与22()d P 的大小.21. 若{}n a 是等差数列,公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足:sin()n n b a =,n ∈*N . 记{|,}n S x x b n ==∈*N . (1)设10a =,23d π=,求集合S . (2)设12a π=,试求d 的值,使得集合S 恰有两个元素.(3)若集合S 恰有三个元素,且n T n b b +=,其中T 为不超过7的正整数,求T 所有可能值.参考答案一. 填空题1. {3,5}2. 23. (6,4)-4. 1()f x -=(0)x >5. 6. 2- 7. 15 8.9. 24 10. 11. 1[arccos ,]3ππ- 12. 3-或1二. 选择题13. B 14. C 15. B 16. A三. 解答题17.(1),(2)34. 18.(1)22n S n n =+,(2)3(1,0)(0,)4-. 19.(1):34.34A ,:11295.41B ,个人现金支出占比逐渐减少,社会支出占比逐渐增多. (2)单调递增,51t =,2028年首次超过12万亿. 20.(1)83,(2)2a =,(3)132()()2()d P d P d P +>.21.(1){,(2)23d π=或d π=,(3)3,4,5,6.。
2021-2022上海市学校——高中数学填选难题——数列专题练习汇编(附答案)
2021-2022上海市学校——高中数学填选难题——数列专题练习汇编一、数列1.(2022·上海奉贤·二模)设项数为4的数列{}n a 满足:{}1,0,1i a ∈-,{1,2,3,4}i ∈且对任意14k l ≤<≤,N,N k l ∈∈,都有11k k l a a a ++++≤,则这样的数列{}n a 共有_____个. 【答案】312.(2022·上海·高三专题练习)已知,R,0a b ab ∈>,函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列,则平面上点(),s t 的轨迹是( ) A .直线和圆 B .直线和椭圆 C .直线和双曲线 D .直线和抛物线【答案】C3.(2022·上海·高三专题练习)用1n k k x =∑表示n 个实数12,,...,n x x x 的和,设11nk n k a q -==∑,1nk n n k k A C a ==∑,其中()()3,00,1q ∈-⋃,则lim2nnn A →∞的值为( ) A .1qB .11q- C .qD .1q -【答案】B4.(2022·上海)单调递增的数列{}n a 中共N 项,且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +,j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项,则N 的最大值为( )A .9B .8C .7D .6【答案】C5.(2022·上海·高三专题练习)若数列{}n a 满足:对任意*n N ∈,只有有限个正整数m ,使得m a n <成立,记这样的m 的个数为()*n a ,则得到一有限的数列(){}*n a ,例如,若数列{}n a 是1,2,3,…,n ,…,则得数列()*n a 是0,1,2,…,1n -,…,已知对任意的*n N ∈,2n a n =,则()()**2015a =( )A .22014B .2014C .22015D .2015【答案】C6.(2022·上海·高三专题练习)已知递增正整数数列{}n a 满足()1*2n n a n a a C n ++=∈N ,则下列结论中正确的有( ) (1)1a 、2a 、3a 可能成等差数列; (2)1a 、2a 、3a 可能成等比数列; (3){}n a 中任意三项不可能成等比数列; (4)当3n ≥时,21n n n a a a ++>恒成立. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个【答案】D7.(2022·上海浦东新·二模)若各项均为正数的有穷数列{}n y 满足11i i y y +≥+,(3n ≥,11i n ≤≤-,**N N i n ∈∈,),123n y y y y ++++=2022,则满足不等式n y n M +≥的正整数M 的最大值为________. 【答案】1098.(2022·上海·高三专题练习)已知数列{}n a 满足113a =,()2*12N nn n a a a n n+=+∈,则下列选项正确的是( ) A .20212020a a < B .2021202114043a << C .2021202104043a << D .20211a >【答案】B9.(2021·上海·格致中学)正数数列{}n a 的前n 项和为n S ,()112n n n S a n N a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,则下列选项中正确的是( ) A .202122021a ≥B .202122021a ≤-C .202120221a a ⋅> D .202020211a a ⋅<【答案】D10.(2022·上海市市西中学高三阶段练习)已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数,数列{}n a 是等差数列,若前2022项和小于零,则122022()()()+++f a f a f a 的值( ) A .恒为正数 B .恒为负数C .恒为0D .可正可负【答案】B11.(2022·上海青浦·二模)设各项均为正整数的无穷等差数列{}n a ,满足3382022a =,且存在正整数k ,使1a 、338a 、k a 成等比数列,则公差d 的所有可能取值的个数..为( ) A .1 B .4 C .5 D .无穷多【答案】B12.(2022·上海·高三)如果数列同时满足以下四个条件:(1)i u ∈Z (1,2,,10i =⋅⋅⋅);(2)点285(,2)u u u +在函数4x y =的图像上;(3)向量1(1,)a u =与10(3,)b u =互相平行;(4)1i i u u +-与12i i u u +-的等差中项为32(1,2,,9i =⋅⋅⋅);那么,这样的数列1u ,2u ,⋅⋅⋅,10u 的个数为( ) A .78 B .80 C .82 D .90【答案】B13.(2022·上海长宁·二模)已知数列{}n a 满足:对任意*N n ∈,都有1n n a a n +-=,12n n a -≤. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a =,则8S 的最大值为__________. 【答案】4-14.(2022·上海市实验学校)已知数列{}n x 满足12x =,)*121n n x x n N +=-∈.给出以下两个命题:命题:p 对任意*n N ∈,都有11n n x x +<<;命题:q 存在(0,1)r ∈,使得对任意*n N ∈,都有11n n x r -≤+.则( )A .p 真,q 真B .p 真,q 假C .p 假,q 真D .p 假,q 假【答案】B15.(2022·上海黄浦·模拟预测)若集合10.,A n ab n n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N *,其中a 和b 是不同的数字,则A 中所有元素的和为( ). A .44 B .110 C .132 D .143【答案】D16.(2022·上海·高三专题练习)已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈,且11a =,2a x =()x ∈Z ,若数列{}n a 的前2020项中有100项是0,则下列哪个不能是x 的取值( ) A .1147B .1148C .1142-D .1143-17.(2021·上海徐汇·一模)已知*n N ∈,记{}1max ,,n x x 表示1,,n x x 中的最大值,{}1min ,,n y y 表示1,,n y y 中的最小值,若 2()32,()21x f x x x g x =-+=-,数列{}n a 和{}n b 满足()(){}(){}11min ,,max ,,n n n n n n a f a g a b b g b ++==11,,,R a a b b a b ==∈,则下列说法中正确的是( )A .若4a ≥,则存在正整数m ,使得1m m a a +<B .若2a ≤,则lim 0n n a →+∞= C .若2b ≥,则lim 0n n b →+∞= D .若R b ∈,则存在正整数m ,使得1m m b b +< 【答案】B18.(2022·上海·高三专题练习)设函数()2cos f x x x =-,{}n a 是公差为8π的等差数列,()()()1255f a f a f a π+++=,则()2323f a a a -=⎡⎤⎣⎦A .0B .2116π C .218πD .21316π 【答案】D19.(2022·上海市光明中学模拟预测)设角数列{}n α的通项()*21N n n n kπαϕ=-+∈,,其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,.若存在整数[]340k ∈,,使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠,满足cos cos i j αα=,则ϕ的最大值为__________. 【答案】1939π20.(2022·上海市光明中学模拟预测)已知点P 在椭圆22:143x y ω+=上运动,ω的左、右焦点分别为1F 、2F .以P 为圆心,半径为12n 的圆交线段1PF 、2PF 于M 、N 两点(其中n 为正整数).设12MF NF ⋅的最大值为s ,最小值为m ,则()lim n s m ∞→+=__________. 【答案】521.(2021·上海普陀·模拟预测)1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足44sin(1)250a a -+-=,88sin(1)210a a -++=,则下列结论正确的是( )A .1111S =,48a a <B .1122S =,48a a <C .1122S =,48a a >D .1111S =,48a a >22.(2022·上海徐汇·二模)已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+,当[)0,1x ∈时,()3f x x =.设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a .若存在*n ∈N ,使得()127n a n λ+<-有解,则实数λ的取值范围是______________. 【答案】3(,)32-∞ 23.(2022·上海·模拟预测)若数列{}n a 满足212n n a a +=,存在M R ∈,对任意n *∈N ,使得||n a M <,则2022a 的取值范围是__________. 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦24.(2022·上海市市西中学高三阶段练习)函数f (x )=3|x +4|﹣2|x +2|,数列a 1,a 2,…,an …,满足an +1=f (an ),n ∈N *,若要使a 1,a 2,…an ,…成等差数列.则a 1的取值范围______.【答案】{8}[2,)--+∞25.(2022·上海交大附中高三期中)如图,画一个正三角形,不画第三边;接着画正方形,对这个正方形,不画第四边,接着画正五边形;对这个正五边形不画第五边,接着画正六边形;……,这样无限画下去,形成一条无穷伸展的等边折线.设第n 条线段与第1n +条线段所夹的角为()()*,0,πn n n θθ∈∈N ,则2022θ=______.【答案】174.4626.(2022·上海·高三)已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ,{}*2,n B x x n ==∈N ,将A B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{}n a ,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得1000n S >成立的最小的n 的值为_____________. 【答案】3627.(2022·上海·复旦附中模拟预测)已知{}n a 是各项均为正整数的数列,且13a =,78a =,对任意*k N ∈,11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立,则127a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为______. 【答案】2028.(2022·上海·高三)已知点()0,0O 、()02,3A 和()05,6B ,记线段00A B 的中点为1P ,取线段01A P 和10PB 中的一条,记其端点为1A 、1B ,使之满足()()11550OA OB --<,记线段11A B 的中点为2P ,取线段12A P 和21P B 中的一条,记其端点为2A 、2B ,使之满足()()22550OAOB --<,依次下去,得到点1P 、2P 、3P 、…、n P 、…,则0lim n n A P →∞=___________. 229.(2022·上海·高三专题练习)若数列{}n a 满足00a =,且()*13k k a a k -=+∈N ,则121920a a a a ++⋅⋅⋅++的最小值为__________.【答案】3030.(2022·上海·高三专题练习)将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点.已知n ∈N ,将约束条件023x y x n ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩表示的平面区域内格点的个数记作n S ,若2lim n n S an b n →∞-=,则ab=___________. 【答案】3231.(2022·上海·高三专题练习)已知直线1l y x =-+:与x 轴交于点A ,将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121,,,n P P P -,过这些分点分别作x 轴的垂线,与直线l 的交点依次为121,,,n Q Q Q -,从而得到n-1个直角三角形△11Q OP ,△212Q PP ,,△121n n n Q P P ---,若这些三角形的面积之和为n S ,则lim n n S →∞=____________. 【答案】1432.(2022·上海·高三专题练习)已知,2n n ∈≥N ,函数22433n ny x n n =+++的图像与y 轴相交于点n A ,与函数1log (6)ny x =-的图像相交于点n B ,n n OA B △,的面积为n S ,(O为坐标原点),则lim n n S →∞=____________ 【答案】1233.(2022·上海·高三专题练习)已知首项为13的数列{}n a 满足()2*12n n a n N λ+=+∈,若22n a <n 恒成立,则实数λ的最大值为___________________. 234.(2022·上海)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,13a =,()*112n n nS a n N +=+∈.已知1F ,2F 是双曲线C :2214x y -=的左右焦点,()*1,2n n n S P n n N a ⎛⎫-∈ ⎪+⎝⎭,若12n n t P F P F ≥-对*n N ∈恒成立,则实数t 的取值范围是______.【答案】4t ≥35.(2022·上海)在数列{}n a 中,13a =,11231n n a a a a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,记n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,则lim n n T →∞=___________. 【答案】2336.(2022·上海·高三专题练习)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==,记m b 为{}n a 在区间(]()*0,m m N ∈中的项的个数,{}n b 的前n 项和为n S ,则2n S =__________.【答案】()11222n n n n +---+37.(2022·上海)已知数列{}n a 、{}n b 满足:()*1n n n b a a n N +=-∈,()112n n n b b b n +-=≥,且11b =,22b =,若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中不存在某一项的值在该数列中重复出现无数次,在1a 的取值范围为___________. 【答案】176a ≠、43、12、13-、16- 38.(2021·上海)已知(10,)D t =,数列{}n a 满足()()22112111,n n n n a a a a n *+++=+-+∈N .若对任意正实数λ,总存在1a D ∈和相邻两项1,k k a a +,使得10k k a a λ++=成立,则实数t 的最小值为___________. 【答案】1139.(2022·上海·高三专题练习)已知数列{}n a 的通项公式为()*20,N n n a q q q n =+<∈,若对任意m 、*N n ∈都有1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则实数q 的取值范围为______.【答案】1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭40.(2022·上海·高三专题练习)已知点列11223311(1,),(2,),(3,),,(1,)n n P y P y P y P n y +++在x轴的投影为1231,,,,n Q Q Q Q +,且点1n P +满足11y =,直线1n n P P +的斜率12n n n P P k +=.则多边形1111n n PQ Q P ++的面积为____. 【答案】323n n ⨯--41.(2022·上海·高三专题练习)设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项之积为n T ,且1n n S T +=,则lim n n S →∞=______. 【答案】142.(2021·上海市晋元高级中学高三期中)如果数列{}n a 满足:120211,2017a a ==,且对于任意*n N ∈,存在实数a 使得1n n a a +、是方程()22210x a x a a -+++=的两个根,则100a 的所有可能值构成的集合是____________.【答案】{}96,98,10043.(2021·上海市吴淞中学高三期中)已知数列{}n a 满足:121,()a a x x N *==∈,21n n n a a a ++=-,若前2010项中恰好含有666项为0,则x 的值为___________.【答案】8或944.(2022·上海市)已知数列{}n a 满足:11a =,且1(1)30n n n a na ++--=,若对任意的[2,2]a ∈-,不等式221n a t at ≤+-恒成立,则实数t 的范围为________【答案】2t ≥或2t ≤-45.(2021·上海市大同中学高三阶段练习)已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式分别为40n a n =,80n b s =,60n c t=,其中200n s t ++=,s kn =,n 、s 、t 、N k *∈,令{}max ,,n n n n M a b c =({}max ,,n n n a b c 表示n a 、n b 、n c 三者中的最大值),则对于任意N k *∈,n M 的最小值为___________.【答案】101146.(2021·上海市)已知等差数列{}n a 中公差10,1d a ≠=,若125,,a a a 成等比数列,且1212,,,,,,n k k k a a a a a ⋯⋯成等比数列,若对任意n *∈N ,恒有()2121n mn m a a m k k *≤∈--N ,则m =_________.【答案】1或247.(2021·上海市建平中学高三阶段练习)已知()2f x x bx c =++,满足对于任意的x ∈R ,都有()()11f x f x --=-+,设()1n f n b n =-,若对于任意的*N n ∈,2n ≥,都有4n b b ≥成立,则实数c 的取值范围是______.【答案】[]3,948.(2021·上海)数列{}n a 满足()*121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N +++++=++≠∈,且11a =,22a =.若()()sin 0,0na A n c ωϕωϕπ=++><<,则实数A =______.2349.(2021·上海市建平中学模拟预测)设数列{}n a 是首项为0的递增数列,函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足:对于任意的实数[0,1)m ∈,()n f x m =总有两个不同的根,则{}n a 的通项公式是n a =________. 【答案】(1)2n n π- 50.(2021·上海·高三专题)设*n ∈N ,圆222:n n C x y R +=(0n R >)与y 轴正半轴的交点为n P ,与曲线y x =(,)n n n Q x y ,直线n n P Q 与x 轴的交点为0(),n A a ,若数列{}n x 满足:13x =,143n n x x +=+,要使数列1{}n n a pa +-成等比数列,则常数p =________【答案】2或451.(2022·上海市进才中学高三阶段练习)在等差数列{}101111100,0,n a a a a a >,,则在S n 中最大的负数为 A .S 17 B .S 18C .S 19D .S 20【答案】C52.(2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试)数列{}n a 的前n 项和为n S ,1a m =,且对任意的*n N ∈都有121++=+n n a a n ,则下列三个命题中,所有真命题的序号是( )①存在实数m ,使得{}n a 为等差数列;②存在实数m ,使得{}n a 为等比数列;③若存在*k N ∈,使得155k k S S +==,则实数m 唯一. A .② B .①C .①③D .①②③【答案】B第11页,共1页。
2024年上海高考数学试题+答案详解
2024年上海高考数学试题+答案详解(试题部分)一、填空题1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,4A =,则A = .2.已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = . 3.已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 .4.已知()3f x x a =+,x ∈R ,且()f x 是奇函数,则=a .5.已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ,且//a b ,则k 的值为 .6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为 .7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么点P 到x 轴的距离为 .8.某校举办科学竞技比赛,有、、A B C 3种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是 . 9.已知虚数z ,其实部为1,且()2z m m z+=∈R ,则实数m 为 . 10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,求集合中元素个数的最大值 .11.已知点B 在点C 正北方向,点D 在点C 的正东方向,BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠,则BCA ∠= (精确到0.1度)12.无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>,记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃,若对任意正整数n 集合n I 是闭区间,则q 的取值范围是 . 二、单选题13.已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是( )A .气候温度高,海水表层温度就高B .气候温度高,海水表层温度就低C .随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D .随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势 14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是( )A .sin cos x x +B .sin cos x xC .22sin cos x x +D .22sin cos x x −15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,ΩP P P ∈,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1122330OP OP OP λλλ++=.已知(1,0,0)Ω∈,则(0,0,1)Ω∉的充分条件是( )A .()0,0,0∈ΩB .()1,0,0−∈ΩC .()0,1,0∈ΩD .()0,0,1−∈Ω16.已知函数()f x 的定义域为R ,定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈−<R ,在使得[]1,1M =−的所有()f x 中,下列成立的是( )A .存在()f x 是偶函数B .存在()f x 在2x =处取最大值C .存在()f x 是严格增函数D .存在()f x 在=1x −处取到极小值三、解答题17.如图为正四棱锥,P ABCD O −为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积; (2)若,AP AD E =为PB 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小. 18.若()log (0,1)a f x x a a =>≠.(1)()y f x =过()4,2,求()()22f x f x −<的解集;(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列,求a 的取值范围.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少? (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?(附:()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d −=++++χ其中n a b c d =+++,()2 3.8410.05P χ≥≈.)20.已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ,过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时,求b 的值.(2)若2b MA P =△为等腰三角形时,且点P 在第一象限,求点P 的坐标. (3)连接OQ 并延长,交双曲线Γ于点R ,若121A R A P ⋅=,求b 的取值范围.21.对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ,令()()22()()s x x a f x b =−+−,若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点,则称P 是M 在()f x 的“最近点”. (1)对于1()(0)f x x x=>,求证:对于点()0,0M ,存在点P ,使得点P 是M 在()f x 的“最近点”; (2)对于()()e ,1,0xf x M =,请判断是否存在一个点P ,它是M 在()f x 的“最近点”,且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直;(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x ',且函数 ()g x 在定义域R 上恒正,设点()()()11,M t f t g t −−,()()()21,M t f t g t ++.若对任意的t ∈R ,存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”,试判断()f x 的单调性.2024年上海高考数学试题+答案详解(答案详解)一、填空题1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,4A =,则A = . 【答案】{}1,3,5【解析】由题设有{}1,3,5A =, 答案:{}1,3,52.已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = .【解析】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3.已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 . 【答案】{}|13x x −<<【解析】方程2230x x −−=的解为=1x −或3x =, 故不等式2230x x −−<的解集为{}|13x x −<<, 答案:{}|13x x −<<.4.已知()3f x x a =+,x ∈R ,且()f x 是奇函数,则=a .【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数,故()()0f x f x −+=即()330x a x a ++−+=,故0a =, 答案:0.5.已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ,且//a b ,则k 的值为 . 【答案】15【解析】//a b ,256k ∴=⨯,解得15k =. 答案:15.6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为 . 【答案】10【分析】令1x =,解出5n =,再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【解析】令1x =,(11)32n ∴+=,即232n =,解得5n =, 所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x−+=⋅,令52r -=,则3r =,32245C 10T x x ==∴.答案:10.7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么点P 到x 轴的距离为 .【答案】【分析】根据抛物线的定义知8P x =,将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−,设点()00,P x y ,由题意得019x +=,解得08x =,代入抛物线方程24y x =,得2032y =,解得0y =±,则点P 到x轴的距离为答案:8.某校举办科学竞技比赛,有、、A B C 3种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是 . 【答案】0.85【解析】根据题意知,,,A B C 题库的比例为:5:4:3, 各占比分别为543,,121212, 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=. 答案:0.85.9.已知虚数z ,其实部为1,且()2z m m z+=∈R ,则实数m 为 . 【答案】2【解析】设1i z b =+,b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭,m ∈R ,22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩,解得2m =,答案:2.10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,求集合中元素个数的最大值 . 【答案】329【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数,其余均是偶数. 首先讨论三位数中的偶数,①当个位为0时,则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列,则这样的偶数有29P 72=个;②当个位不为0时,则个位有14C 个数字可选,百位有18C 256=个数字可选,十位有18C 个数字可选,由分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=,最后再加上单独的奇数,所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个. 答案:329.11.已知点B 在点C 正北方向,点D 在点C 的正东方向,BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠,则BCA ∠= (精确到0.1度)【答案】7.8︒【分析】设BCA θ∠=,在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CD D CAD =∠,()sin16.5sin 16.5CA CB θ=+。
2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑(考点练+模拟练)含详解
专题01集合与逻辑(考点练+模拟练)一、填空题1.(23-24高三上·上海·期中)已如全集U =R ,集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ,则A =.2.(23-24高三上·上海黄浦·开学考试)“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.3.(2023·上海普陀·模拟预测)已知命题p :任意正数x ,恒有()1e 1xx +>,则命题p 的否定为.4.(23-24高三上·上海·期中)已知集合()2,1A =-,()()4,11,2B =-- ,则A B =.5.(22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习)已知全集U =R ,集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥,则A B =.6.(23-24高三上·上海奉贤·阶段练习)已知集合{}ln M x y x ==,集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭,则M N ⋂=.7.(23-24高三上·上海松江·期中)已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-,且p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是.8.(23-24高三上·上海静安·开学考试)集合{}1,2,A a =,{}21,2B a =-,若集合A B ⋃中有三个元素,则实数=a .9.(23-24高一上·河北邯郸·阶段练习)若集合{}N |12A x x =∈-<≤,{},,B x x ab a b A ==∈,则集合B 的非空真子集的个数为.10.(20-21高三上·上海崇明·阶段练习)已知:31x m α<-或x m >-,:2x β<或4x ≥,若α是β的必要条件,则实数m 的取值范围是.11.(20-21高一上·上海闵行·期中)已知集合M =25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭,若3,5M M ∈∉,则实数a 的取值范围是.12.(23-24高三上·上海浦东新·期中)M 是正整数集的子集,满足:1,2022,2023M M M ∈∈∉,并有如下性质:若a 、b M ∈,则222a b M ⎤+∈⎥⎥⎦,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数,则M 的非空子集个数为.二、单选题13.(23-24高三上·上海浦东新·阶段练习)已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,则A B = ()A .∅B .AC .BD .{}π,x x k k =∈Z 14.(16-17高一上·上海浦东新·期中)已知集合A ,B ,若A 不是B 的子集,则下列命题中正确的是()A .对任意的a A ∈,都有aB ∉B .对任意的a B ∈,都有a A ∈C .存在0a ,满足0a A ∈,且0a B∉D .存在0a ,满足0a A ∈,且0a B∈15.(21-22高三上·上海浦东新·阶段练习)集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有()A .32个B .16个C .8个D .4个16.(20-21高三上·浙江·开学考试)设集合,S T 中至少两个元素,且,S T 满足:①对任意,x y S ∈,若x y ≠,则x y T +∈,②对任意,x y T ∈,若x y ≠,则x y S -∈,下列说法正确的是()A .若S 有2个元素,则S T 有3个元素B .若S 有2个元素,则S T 有4个元素C .存在3个元素的集合S ,满足S T 有5个元素D .存在3个元素的集合S ,满足S T 有4个元素三、解答题17.(23-24高三上·上海静安·阶段练习)设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>,B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =,求A B ⋂,A B ;(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.(22-23高三上·上海青浦·期中)已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤,{}3B x a x a =<<,且0a >.(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件,求实数a 的取值范围;(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题,求实数a 的取值范围.19.(22-23高三上·上海崇明·阶段练习)已知R 为全集,集合R 21|1,1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭,集合{}1,R B x x a x =-≤∈.(1)求集合A ;(2)若B A B ⋂=,求实数a 的取值范围.20.(22-23高三上·上海浦东新·阶段练习)设全集U 为R ,集合{}11A x x =-<,{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ;(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃,求a 的取值范围.21.(23-24高一上·上海·期中)集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合,如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A 为“可分集合”.(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”(不用说明理由);(2)求证:五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”;(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”,证明n 是奇数.一、填空题1.(2022·上海·模拟预测)已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈,则用列举法表示集合A =2.(2022·上海浦东新·模拟预测)已知集合()0,2A =,()1,3B =,则A B ⋃=.3.(2024·上海·三模)已知集合{}0,1,2A =,{}331B x x x =-≤,则A B =4.(2024·上海·三模)已知集合{}1,3,4A =,{},1B a a =+,若A B B = ,则=a .5.(2024·上海·三模)已知集合{}11A x x =-<,11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则A B =.6.(2023·上海静安·二模)若集合{}22,log A a =,{},B a b =,且{}0A B ⋂=,则A B ⋃=.7.(2023·上海青浦·二模)已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>,若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围为.8.(2024·上海宝山·二模)已知集合{}2,1,3A a a =++,且1A ∈,则实数a 的值为.9.(2017·上海奉贤·一模)已知互异实数0mn ≠,集合{}{}22,,m n m n =,则m n +=.10.(2023·上海金山·一模)若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤,()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-,且A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围是.11.(2022·上海青浦·二模)已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,其中1A ∉且16s t +<,函数()1xf x x =-,且对任意a A ∈,都有()f a A ∈,则t 的值是.12.(2022·上海普陀·一模)设非空集合Q M ⊆,当Q 中所有元素和为偶数时(集合为单元素时和为元素本身),称Q 是M 的偶子集,若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ,则其偶子集Q 的个数为.二、单选题13.(2022·上海·模拟预测)已知集合(){},2A x y x y =+=,(){},24B x y x y =-=-,则A B = ()A .{}0,2B .()0,2C .∅D .(){}0,214.(2023·上海普陀·二模)设,a b 为实数,则“0a b >>”的一个充分非必要条件是()A>B .22a b >C .11b a>D .a b b a->-15.(2023·上海普陀·一模)设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合,且17A A ⋂=∅,()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ,记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ,则B 中元素个数的最小值是()A .5B .6C .7D .816.(2021·上海青浦·一模)设函数,()1,x x P f x x Mx-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩,其中,P M 是实数集R 的两个非空子集,又规定()(){},A P y y f x x P ==∈,()(){},A M y y f x x M ==∈,则下列说法:(1)一定有()()A P A M ⋂=∅;(2)若P M R ⋃≠,则()()A P A M R ⋃≠;(3)一定有P M ⋂=∅;(4)若P M R ⋃=,则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是()A .1B .2C .3D .4三、解答题17.(2017·上海浦东新·三模)数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅,从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列{21}n -,当1n =时,1{1},A =11;T =2n =时,2{1,3},A =113,T =+213T =⋅;(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-,求当3n =时,1,T 2,T 3T 的值;(2)若集合{}1,3,7,,21nn A =⋅⋅⋅-,证明:n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T (为了以示区别,用m T '表示)有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+,其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤;(3)对于(2)中集合n A .定义12=+++…n n S T T T ,求n S (用n 表示).专题01集合与逻辑(考点练+模拟练)一、填空题1.(23-24高三上·上海·期中)已如全集U =R ,集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ,则A =.【答案】{}01x x ≤<【分析】解出集合A ,利用补集的定义可求得集合A .【解析】由10x x -≥可得()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩,解得0x <或1x ≥,则{0A x x =<或}1x ≥,又因为全集U =R ,则{}01A x x =≤<.故答案为:{}01x x ≤<.2.(23-24高三上·上海黄浦·开学考试)“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解析】命题“若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠”是真命题,命题“若220x y +≠,则0x ≠或0y ≠”是真命题,所以“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的充要条件.故答案为:充要3.(2023·上海普陀·模拟预测)已知命题p :任意正数x ,恒有()1e 1xx +>,则命题p 的否定为.【答案】存在正数0x ,使()001e 1xx +≤【分析】含有全称量词的否定,改成特称量词即可.【解析】由全称命题的否定为特称命题知:存在正数0x ,使()001e 1xx +≤.故答案为:存在正数0x ,使()001e 1xx +≤4.(23-24高三上·上海·期中)已知集合()2,1A =-,()()4,11,2B =-- ,则A B = .【答案】()2,1--【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.【解析】因为()2,1A =-,()()4,11,2B =-- ,所以()2,1A B ⋂=--.故答案为:()2,1--.5.(22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习)已知全集U =R ,集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥,则A B =.6.(23-24高三上·上海奉贤·阶段练习)已知集合{}ln M x y x ==,集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭,则M N ⋂=.【答案】()0,∞+【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.【解析】由题意可知()()()0,,,00,M N ∞∞∞=+=-⋃+,所以()0,M N ∞⋂=+.故答案为:()0,∞+7.(23-24高三上·上海松江·期中)已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-,且p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是.8.(23-24高三上·上海静安·开学考试)集合{}1,2,A a =,{}21,2B a =-,若集合A B ⋃中有三个元素,则实数=a .【答案】2-或1-【分析】集合A B ⋃中有三个元素,则222a -=或22a a -=,解方程并检验即可.【解析】集合{}1,2,A a =,{}21,2B a =-,若集合A B ⋃中有三个元素,则222a -=或22a a -=,若222a -=,解得2a =±,其中2a =与元素互异性矛盾舍去,2a =-满足题意;若22a a -=,解得2a =或1a =-,2a =舍去,1a =-满足题意,所以2a =-或1a =-.故答案为:2-或1-9.(23-24高一上·河北邯郸·阶段练习)若集合{}N |12A x x =∈-<≤,{},,B x x ab a b A ==∈,则集合B 的非空真子集的个数为.10.(20-21高三上·上海崇明·阶段练习)已知:31x m α<-或x m >-,:2x β<或4x ≥,若α是β的必要条件,则实数m 的取值范围是.11.(20-21高一上·上海闵行·期中)已知集合M =2|0x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭,若3,5M M ∈∉,则实数a 的取值范围是.12.(23-24高三上·上海浦东新·期中)M 是正整数集的子集,满足:1,2022,2023M M M ∈∈∉,并有如下性质:若a 、b M ∈,则M ∈,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数,则M 的非空子集个数为.二、单选题13.(23-24高三上·上海浦东新·阶段练习)已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ,则A B = ()A .∅B .AC .BD .{}π,x x k k =∈Z14.(16-17高一上·上海浦东新·期中)已知集合A ,B ,若A 不是B 的子集,则下列命题中正确的是()A .对任意的a A ∈,都有aB ∉B .对任意的a B ∈,都有a A ∈C .存在0a ,满足0a A ∈,且0a B∉D .存在0a ,满足0a A ∈,且0a B∈【答案】C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解析】对于选项A 、B :例如{}{}1,2,2,3A B ==,满足A 不是B 的子集,但2,2A B ∈∈,故A 错误;3,3A B ∉∈,故B 错误;对于选项C :对任意的a A ∈,都有a B ∈,则A B ⊆,若A 不是B 的子集,则存在0a ,满足0a A ∈,且0a B ∉,故C 正确;对于选项D :例如{}{}1,2A B ==,满足A 不是B 的子集,但不存在0a ,满足0a A ∈,且0a B ∈,故D 错误;故选:C.15.(21-22高三上·上海浦东新·阶段练习)集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有()A .32个B .16个C .8个D .4个【答案】B【分析】根据题意设出集合,A B ,根据()()A B C A B ⊆⊆ 判断集合C 中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果.【解析】解:由题知,A B 各有8个元素,且A B ⋂有6个元素,设{}123456,,,,,c c c c A c c B = ,且{}12123456,,,,,,,,a a c c c c c c A ={}12123456,,,,,,,b bc c c c c B c =,则画Venn 图如下:因为()()A B C A B ⊆⊆ ,所以{}{}1234561212123456,,,,,,,,,,,,,,,c c c c c c C a a b b c c c c c c ⊆⊆所以集合C 中至少有123456,,,,,c c c c c c ,6个元素,最多有1212123456,,,,,,,,,a a b b c c c c c c ,10个元素,只需求出{}1212,,,a a b b 的子集,在每个子集中加入123456,,,,,c c c c c c 6个元素,即可得集合C ,所以集合C 的个数,即是{}1212,,,a a b b 的子集的个数4216=个.故选:B16.(20-21高三上·浙江·开学考试)设集合,S T 中至少两个元素,且,S T 满足:①对任意,x y S ∈,若x y ≠,则x y T +∈,②对任意,x y T ∈,若x y ≠,则x y S -∈,下列说法正确的是()A .若S 有2个元素,则S T 有3个元素B .若S 有2个元素,则S T 有4个元素C .存在3个元素的集合S ,满足S T 有5个元素D .存在3个元素的集合S ,满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =,由②知集合S 中的两个元素必为相反数,设{,}S a a =-,由①得0T ∈,由于集合T 中至少两个元素,得到至少还有另外一个元素m T ∈,分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论,即可求解.【解析】若S 有2个元素,不妨设{,}S a b =,以为T 中至少有两个元素,不妨设{},x y T ⊆,由②知,x y S y x S -∈-∈,因此集合S 中的两个元素必为相反数,故可设{,}S a a =-,由①得0T ∈,由于集合T 中至少两个元素,故至少还有另外一个元素m T ∈,当集合T 有2个元素时,由②得:m S -∈,则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时,不妨设{0,,}T m n =,其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈,由于,0,0m n m n ≠≠≠,所以,m m n n ≠-≠-,若m n =-,则n m =-,但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠,即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素,若m n ≠-,则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素,这都与集合S 中只有2个运算矛盾,综上,{0,,}S T a a =- ,故A 正确;当集合S 有3个元素,不妨设{,,}S a b c =,其中a b c <<,则{,,}a b b c c a T +++⊆,所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈,集合S 中至少两个不同正数,两个不同负数,即集合S 中至少4个元素,与{,,}S a b c =矛盾,排除C ,D.故选:A.【点睛】解题技巧:解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点:1、紧扣新定义,首先分析新定义的特点,把心定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程中;2、用好集合的性质,解题时要善于从试卷中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题17.(23-24高三上·上海静安·阶段练习)设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>,B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =,求A B ⋂,A B ;(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.(22-23高三上·上海青浦·期中)已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤,{}3B x a x a =<<,且0a >.(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件,求实数a 的取值范围;(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题,求实数a 的取值范围.19.(22-23高三上·上海崇明·阶段练习)已知R 为全集,集合R |1,1A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭,集合{}1,R B x x a x =-≤∈.(1)求集合A ;(2)若B A B ⋂=,求实数a 的取值范围.20.(22-23高三上·上海浦东新·阶段练习)设全集U 为R ,集合11A x x =-<,{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ;(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃,求a 的取值范围.21.(23-24高一上·上海·期中)集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合,如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A 为“可分集合”.(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”(不用说明理由);(2)求证:五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”;(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”,证明n 是奇数.【答案】(1){}1,2,3,4不是“可分集合”,{}1,3,5,7,9,11,13为“可分集合”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由“可分集合”的定义判断;(2)不妨设12345a a a a a <<<<,讨论当在集合{}12345,,,,a a a a a 中去掉元素1a 、2a 后,将剩余元素构成的集合,结合“可分集合”的定义进行分拆,得出等式,推出矛盾,即可证得结论成立;(3)根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.【解析】(1)解:对于{}1,2,3,4,去掉3后,{}1,2,4不满足题中条件,故{}1,2,3,4不是“可分集合”,对于{}1,3,5,7,9,11,13,集合{}1,3,5,7,9,11,13所有元素之和为49.当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合{}3,5,7,9、{}11,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,剩下元素可以组合{}1,9,13、{}5,7,11这两个集合,显然符合题意;当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合,显然符合题意;当去掉元素13时,剩下的元素之和为36,剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合,显然符合题意.综上所述,集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.(2)证明:不妨设123450a a a a a <<<<<,一、填空题1.(2022·上海·模拟预测)已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈,则用列举法表示集合A =【答案】{}1,2,3【分析】根据不等式的解法,求得04x <<,进而利用列举法,即可求解.【解析】由不等式240x x -<,可得()40x x -<,解得04x <<,即集合{|04A x x =<<且}{1,2,3}x N *∈=.故答案为:{}1,2,3.2.(2022·上海浦东新·模拟预测)已知集合()0,2A =,()1,3B =,则A B ⋃=.【答案】()0,3【分析】直接根据并集定义求解即可.【解析】因为()0,2A =,()1,3B =,所以()0,3A B ⋃=,故答案为:()0,33.(2024·上海·三模)已知集合{}0,1,2A =,{}331B x x x =-≤,则A B =【答案】{}0,1【分析】把集合中的元素代入不等式331x x -≤检验可求得{0,1}A B = .【解析】当0x =时,303001-⨯=≤,所以0B ∈,当1x =时,313121-⨯=-≤,所以1B ∈,当2x =时,323221-⨯=>,所以2∉B ,所以{0,1}A B = .故答案为:{0,1}.4.(2024·上海·三模)已知集合{}1,3,4A =,{},1B a a =+,若A B B = ,则=a .【答案】3【分析】根据给定条件,利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合{}1,3,4A =,{},1B a a =+,由A B B = ,得B A ⊆,又11a a +-=,因此143a a +=⎧⎨=⎩,所以3a =.故答案为:35.(2024·上海·三模)已知集合{}11A x x =-<,11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则A B =.6.(2023·上海静安·二模)若集合{}22,log A a =,{},B a b =,且{}0A B ⋂=,则A B ⋃=.【答案】{}0,1,2【分析】依题意可得0A ∈且0B ∈,即可求出a 、b 的值,从而求出集合A 、B ,再根据并集的定义计算可得.【解析】因为{}22,log A a =,{},B a b =,且{}0A B ⋂=,所以0A ∈且0B ∈,显然0a >,所以2log 0a =且0b =,所以1a =,所以{}2,0A =,{}1,0B =,所以{}0,1,2A B = .故答案为:{}0,1,27.(2023·上海青浦·二模)已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>,若A B ⋂=∅,则实数a 的取值范围为.【答案】[)3,+∞【分析】求函数的定义域求得集合A ,根据A B ⋂=∅求得a 的取值范围.【解析】由30x ->解得3x <,所以(),3A =-∞,由于A B ⋂=∅,所以3a ≥,所以a 的取值范围是[)3,+∞.故答案为:[)3,+∞8.(2024·上海宝山·二模)已知集合{}2,1,3A a a =++,且1A ∈,则实数a 的值为.9.(2017·上海奉贤·一模)已知互异实数0mn ≠,集合{}{}22,,m n m n =,则m n +=.【答案】-1【分析】分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠.由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解.由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠.可得22n m m n -=-,解得1m n +=-.故答案为:1-.【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.10.(2023·上海金山·一模)若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤,()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-,且A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围是.B 其中()()2221x a y a -+--当1a =±时,B 表示点(1,3)当1a ≠±时,B 表示以(M 其圆心在直线21y x =+上,依题意A B ⋂≠∅,即表示圆当1a =-时,显然满足题意,当当1a <-时,因为A B ⋂≠所以d r ≤,即222a a +++所以()()17110a a ++≤,所以1117a -≤<-;当1a >时,因为A B ⋂≠∅11.(2022·上海青浦·二模)已知集合,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ,其中1A ∉且6s t +<,函数()1xf x x =-,且对任意a A ∈,都有()f a A ∈,则t 的值是.12.(2022·上海普陀·一模)设非空集合Q M ⊆,当Q 中所有元素和为偶数时(集合为单元素时和为元素本身),称Q 是M 的偶子集,若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ,则其偶子集Q 的个数为.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论,确定每种情况下集合Q 的个数,综合可得结果.【解析】集合Q 中只有2个奇数时,则集合Q 的可能情况为:{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7,共6种,若集合Q 中只有4个奇数时,则集合{}1,3,5,7Q =,只有一种情况,若集合Q 中只含1个偶数,共3种情况;若集合Q 中只含2个偶数,则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6,共3种情况;若集合Q 中只含3个偶数,则集合{}2,4,6Q =,只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集,分以下几种情况讨论:若集合Q 中的元素全为偶数,则满足条件的集合Q 的个数为7;若集合Q 中的元素全为奇数,则奇数的个数为偶数,共7种;若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数,共6318⨯=种;若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数,共6318⨯=种;若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数,共616⨯=种;若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数,共133⨯=种;若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数,共133⨯=种;若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数,共1种.综上所述,满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为:63.二、单选题13.(2022·上海·模拟预测)已知集合(){},2A x y x y =+=,(){},24B x y x y =-=-,则A B = ()A .{}0,2B .()0,2C .∅D .(){}0,214.(2023·上海普陀·二模)设,a b 为实数,则“0a b >>”的一个充分非必要条件是()A >B .22a b >C .11b a >D .a b b a->-15.(2023·上海普陀·一模)设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合,且17A A ⋂=∅,()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ,记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ,则B 中元素个数的最小值是()A .5B .6C .7D .8【答案】A 【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素,分析可知4n ≥,然后对n 的取值由小到大进行分析,验证题中的条件是否满足,即可得解.【解析】解:设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素,若3n =,则12A A ⋂≠∅,不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素,可设{}112,A x x =,则{}24634,A A A x x ===,{}35712,A A A x x ===,这与17A A ⋂=∅矛盾;②假设集合B 中含有5个元素,可设{}1612,A A x x ==,{}2734,A A x x ==,{}351,A x x =,{}423,A x x =,{}545,A x x =,满足题意.综上所述,集合B 中元素个数最少为5.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查集合元素个数的最值的求解,解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类,对集合中的元素进行分析,验证题中条件是否成立即可.16.(2021·上海青浦·一模)设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩,其中,P M 是实数集R 的两个非空子集,又规定()(){},A P y y f x x P ==∈,()(){},A M y y f x x M ==∈,则下列说法:(1)一定有()()A P A M ⋂=∅;(2)若P M R ⋃≠,则()()A P A M R ⋃≠;(3)一定有P M ⋂=∅;(4)若P M R ⋃=,则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是()A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质,结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【解析】函数()f x 是分段函数,故P M ⋂=∅一定成立,因此说法(3)正确;对于(1):当{}{}1,1P M =-=时,根据已知的规定,有{}{}()1,()1A P A M ==,显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅,因此说法(1)不正确;对于(4):当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时,显然满足P M R ⋃=成立,根据已知的规定,有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=,显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠,因此说法(4)不正确;对于(2)来说,当P M R ⋃=时,()()A P A M R ⋃=不一定成立,故当P M R ⋃≠时,显然()()A P A M R ⋃≠一定成立,因此说法(2)正确,所以只有(2)(3)说法正确.故选:B三、解答题17.(2017·上海浦东新·三模)数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅,从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列{21}n -,当1n =时,1{1},A =11;T =2n =时,2{1,3},A =113,T =+213T =⋅;(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-,求当3n =时,1,T 2,T 3T 的值;(2)若集合{}1,3,7,,21n n A =⋅⋅⋅-,证明:n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T (为了以示区别,用m T '表示)有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+,其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤;(3)对于(2)中集合n A .定义12=+++…n n S T T T ,求n S (用n 表示).。
上海市金山区高考数学精编填空题合集含解析
上海市金山区高考数学精编填空题合集填空题含答案有解析1.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱1CC 的中点,则异面直线AM 与1BB 所成角的余弦值为__________.2.在平面直角坐标系中,点()1,2到直线3450x y --=的距离为______.3.已知函数f(x)()4log 1a x =+-的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 ____________. 4.已知等差数列{}n a 中,13920a a a ++=,则574a a -=_______5.已知数列{}n a 满足:1111,,2,,n n n n n a a a a a a a +-≥⎧=⎨<⎩其中n *∈N ,若512a <<,则1a 的取值范围是______.6.圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是______. 7.已知1,a ,b ,c ,4成等比数列,则b =______.8.在圆心为O ,半径为2的圆内接ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()4222442220a a b c c b b c -++++=,则OBC ∆的面积为__________.9.方程()()3cos 1cos 30x x x -=的解集是___________10.正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -各棱长均为1,则一动点从A 出发沿表面移动到1D 时的最短路程为__________.11.在空间直角坐标系xOy 中,点(1,2,4)--关于原点O 的对称点的坐标为__________.12.已知圆锥的高为6,体积为8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体积是7,则该圆台的高为_______.13.等差数列{}n a 中,31025a a +=,则其前12项之和12S 的值为______14.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O :221x y +=,圆1O :22(4)4x y ++=,动点P 在直线l :220x y b -+=上(0b <),过P 分别作圆O ,1O 的切线,切点分别为A ,B ,若满足2PB PA =的点P有且只有一个,则实数b 的值为______.15.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知1a =,060A =,33b=,则B =______.16.在三棱锥A BCD -中,已知6AB CD ==,5AC AD BC BD ====,则三棱锥A BCD -内切球的表面积为______.17.过点(0,0)O 作直线与圆22(45)(8)169x y -+-=相交,则在弦长为整数的所有直线中,等可能的任取一条直线,则弦长长度不超过14的概率为______________.18.将边长为1的正方形11AAO O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱,点B 、C 分别是圆O 和圆1O 上的点,AB 长为3π,1AC 长为23π,且B 与C 在平面11AAO O 的同侧,则1OO 与BC 所成角的大小为______. 19.(6分)直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧,则a b +=________.20.(6分)已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++,则此数列的通项公式为______ 21.(6分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为17,则x 的值为_________.22.(8分)两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ,两圆的圆心都在直线40x y -+=上,则m =____________; 23.(8分)函数()sin lg f x x x =-的零点的个数是______.24.(10分)在平行四边形ABCD 中,O 为AC 与BD 的交点,2AE ED =,若OE xAB yBC =+,则=x y +__________.25.(10分)在△ABC 中,222sin sin 2018sin A C B +=,则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+=++________.26.(12分)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为____________.27.(12分)若x 、y 满足约束条件24326x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为________.28.已知(1,1)a =-,(2,1)b =-,(1,2)c =,若a b c λμ=+,则λμ=__________.29.在中,角所对的对边分别为,若,,,则的面积等于_____30.若ABC ∆的面积22243S =C ∠=31.设向量(sin ,3),(1,cos )a x b x ==-,若a b ⊥,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则x = . 32.若tan 2x =((0,)x π∈),则x =_______(结果用反三角函数值表示). 33.已知函数f(n)=n 2cos(nπ),且a n =f(n)+f(n +1),则a 1+a 2+a 3+…+a 100=_______ 34.已知锐角α、β满足5sin α=310cos β=,则αβ+=________.35.已知向量(1,3a =-,()3,1b =-,则a 与b 的夹角等于_______.参考答案填空题含答案有解析 1.13【解析】 【分析】假设正方体棱长,根据1BB //1AA ,得到异面直线AM 与1BB 所成角,计算11,,AM AA A M ,可得结果. 【详解】假设正方体棱长为1,因为1BB //1AA ,所以 异面直线AM 与1BB 所成角即AM 与1AA 所成角 则角为1A AM ∠ 如图2211112AC AC ==+=所以22111132A M AC C M=+= 2232AM AC CM =+=22211111cos 23AA AM A M A AM AA AM +-∠==⋅故答案为:13【点睛】本题考查异面直线所成的角,属基础题. 2.2 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即可得到答案。
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高三数学填空、选择专项训练(一)1、已知集合{}{}211120,2(31),A x x x B x x n n =--<==+∈Z ,则AB =___________.2、已知函数()24[1,3]y x ax x =-∈是单调递增函数,则实数a 的取值范围是_________________.3、已知函数1()x f x a -=的反函数的图象经过点(4,2),则1(2)f -的值为__________.4、在复数集上,方程2220x x ++=的根是___________________.5、已知3cos()45x π+=,则sin 2x 的值为_____________. 6、命题“若x A B ∈,则x A ∈或x B ∈”的逆否命题是______________________________. 7、在ABC △中,已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =,则ABC △中最大角的值是_________.8、已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数,定义域为[1,2]a a -,则a b +=___________. 9、方程4321140n n P P +=的解为___________________.10、在()n a b +的二项展开式中,第二项与倒数第二项系数之和为14,则自然数n =__________. 11、设函数()()()1x x a f x x++=为奇函数,则实数a =____________.12、已知sin α=44sin cos αα-的值为____________. 13、设函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,若当1x ≤时,21y x =+,则当1x >时,y =________. 14、设P 和Q 是两个集合,定义集合{}|,P Q x x P x Q -=∈∉且,若2{|log 1}P x x =<,{||2|1}Q x x =-<,则P Q -=____________.15、若函数()f x =的定义域为R ,则实数a 的取值范围________________.16.设二次函数2()f x x x a =-+,若()0f m -<,则(1)f m +的值是( )(A)正数 (B)负数 (C)非负数 (D)与m 有关17、已知cos tan 0θθ<,那么角θ是( )(A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角 (C)第三或第四象限角(D)第一或第四象限角18、函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图象和函数()2log g x x =的图象的交点个数是( )(A)4(B)3(C)2(D)119、已知集合{}1,1M =-,1124,2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ,则MN =( )(A){}1,1-(B){}1-(C){}0(D){}1,0-20、已知函数()f x 为R 上的减函数,则满足()11f f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是( )(A)()1,1-(B)()0,1(C)()()1,00,1- (D)()(),11,-∞-+∞参考答案1、由211120x x --<,得(1,12)A =-,集合B 为被6除余数为2的整数,集合A 中被6除余2的整数有2和8,所以{}2,8AB =.的对称轴为:2x a =,∵24y x ax =-1()x f x a -=的图象经过点(2,4)4、()2222011x x x ++=⇔-=-,所以1x i =-±5、3cos()cos sin 45x x x π+=⇒-7sin 225x =-. 6、若x A ∉且x B ∉,则x AB ∉.7、sin :sin :sin 3:5:73,5,7(0)A B C a k b k c k k =⇒===>,易知ABC △中最大角为C ∠,且222(3)(5)(7)1cos 2(3)(5)2k k k C k k +-==-⋅.所以23C π=(或写成120︒)8、2()3f x ax bx a b =+++是偶函数120a ab -=-⎧⇒⎨=⎩,所以13a b +=.9、4321(21)(2)(21)(22)(1)(2)14014034!3!n n n n n n n n n P P n ++----=⇔=⇔=;934n =(舍)10、由题意,可得1114n nn C C -+=,所以7n = 11、因为()()()1x x a f x x++=为奇函数,所以(1)(1)1f f a =--⇒=-.12、442223sin cos sin cos 2sin 15ααααα-=-=-=-13、因为()y f x =的图象关于直线1x =对称,所以()(2)f x f x =-在函数定义域内恒成立;当1x >时,则21x -<,所以2(2)1y x =-+.14、{}{}2|log 1|02P x x x x =<=<<,{}{}||2|1|13Q x x x x =-<=<<,所以{}|01P Q x x -=<≤.15、因为函数()f x =的定义域为R ,所以不等式220x ax a --≥的解集为R ,所以2440a a ∆=+≤,解得10a -≤≤.16.由2()f x x x a =-+,可知抛物线的对称轴为12x =,,所以若(1)()f m f m +=-对任意实数m 恒成立,又()0f m -<,所以(1)0f m +<,故选B .17、由cos tan 0θθ<,可知cos θ、tan θ异号,所以θ是第三或第四象限角,故选C .18、利用函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩和函数()2log g x x =的图象讨论如右图,故选B . 19、因为1124212x x +<<⇔-<<,所以{}{}21,1,0N x x x =-<<∈=-Z ,所以{}1MN =-,故选B .20、因为()f x 是R 上的减函数,所以()11110||1||f f x x x ⎛⎫<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭,解得x 的取值范围是()()1,00,1-,故选C .高三数学填空、选择专项训练(二)1、函数1)y x ≤-的反函数是____________________.2、已知函数()f x =()g x =,则()()f x g x ⋅=____________________.3、设0x >,则代数式221x x ++的最小值为_____________. 4、不等式||10x +>的解集是_____________.5、已知复数162z i =+,2z t i =+,且12z z ⋅是实数,则实数t 的值等于_________.6、已知12sin 13θ=-,(,0)2πθ∈-,则cos()4πθ-的值为______________. 7、若函数2()(1)3(2)f x m x x n =-++-是奇函数,则m =___________,n =___________. 8.函数()21f x ax x =-+有且仅有一个零点,则a =_____________.9.若函数()221f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数,则实数m 的取值范围为________________. 10、不等式220mx mx +-<的解集为R ,则实数m 的取值范围为_____________. 11、已知函数[]()2()1,2f x x ax x b =++∈是偶函数,则实数a =________、b =_________. 12、设函数()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数,若(2)1f =,则(1)f =____________. 13、若(3)n a b +的展开式的系数和等于8()x y +的展开式的系数和,则n =_____________. 14、已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在[0,]3π上单调递增,则ω的取值范围是__________.15、对于任意定义在R 上的函数()f x ,若存在0x ∈R 满足00()f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点.若函数2()1f x x ax =++没有不动点,则实数a 的取值范围是_____________. 16.下列命题中正确的是( )(A)函数1y x=在定义域内单调递减; (B)函数y x =在(,0)x ∈-∞上单调递增;(C)若奇函数在(0,)+∞上单调递减,则在(,0)x ∈-∞上也单调递减; (D)若偶函数在(0,)+∞上单调递减,则在(,0)x ∈-∞上也单调递减.17、函数sin()cos()22y x x ππθθ=++在2x =时有最大值,则θ的一个可能值是 ( )(A)4π (B)2π(C)23π (D)34π18、若关于x 的不等式220ax bx +->的解集是11(,)(,)23-∞-+∞,则a b ⋅=( )(A)24 (B)12 (C)14 (D)2019、函数2()||(0)f x ax bx c a =++≠的定义域分成四个单调区间的充要条件是( )(A)2040a b ac >->且(B)02ba-> (C)240b ac ->(D)02ba-< 20、设函数()2x f x -=,函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称,函数()h x 的图象由()g x 的图象向右平移1个单位得到,则()h x 为( )(A)2log (1)x --(B)2log (1)x -+ (C)2log (1)x --(D)2log (1)x -+参考答案1、0)y x =≥. 2、1()()()2f x g x x ⋅=>.3、2111121212222x x x x +=++-≥-++,当12x =时等号成立,所以最小值为32. 4、R .5、12(62)()62(26)z z i t i t t i ⋅=+-=++-,由12z z ⋅是实数,得3t =.6、由12sin 13θ=-,(,0)2πθ∈-,得:5cos 13θ=,所以cos()cos cos sin cos 444πππθθθ-=+=.7、1,2m n ==. 8.0a =或14a =. 9.因为()221f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数,则区间(],2-∞在抛物线()221f x x mx =-+的对称轴的左侧或区间(],2-∞的右端点在对称轴(x m =)上,所以2m ≥的取值范围为[)2,+∞. 10、(]8,0-. 11、a =0、b =2-.12、因为函数()f x 的周期为3,所以(1)(23)(2)f f f =-+=-,又()f x 是奇函数,所以(2)(2)f f -=-,所以(1)1f =-.13、因为8()x y +的展开式的系数和为8(11)256+=,在(3)n a b +中,令1a b ==,则有4256n =,解得:4n =. 14、由[0,]3x π∈,可得[0,]3x ωωπ∈,又函数()2sin (0)f x x ωω=>在[0,]3π上单调递增,所以[0,][0,]32ωππ⊆,得32ω≤,所以ω的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.15、依题意,方程()f x x =没有实数根,即方程2(1)10x a x +-+=没有实数根,所以2(1)40a ∆=--<,解得:13a -<<,所以a 的取值范围是(1,3)-. 16.C17、1sin()cos()sin(2)222y x x x ππθθπθ=++=+,依题意,当2x =时sin(22)1πθ⨯+=,即sin21θ=, 所以θ的一个可能值是4π,故选A .18、2211(,)(,)(21)(31)06101222023x x x x x x -∞-+∞⇔+->⇔+->⇔+->,此不等式与不等式220ax bx +->比较系数,可得:12a =,2b =,所以24a b ⋅=,故选A .19、依题意,可知0∆>,故选C20、因为函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称,所以()g x 是()f x 的为反函数;即2()log g x x =-,又()(1)h x g x =-,所以2()log (1)h x x =--,故选A .高三数学填空、选择专项训练(三)1、如果1122log log 32x ππ-≥,那么x 的取值范围是__________________.2、122,13z i z i =-=-,则复数215z i z +的虚部是___________________. 3、实系数一元二次方程220x bx c ++=的一根为53i +,则c =__________.4、()sin ()22f x x x x ππ=-≤≤的值域是___________________. 5、()f x 是定义域为R 的偶函数,其图象关于直线2x =对称,当(2,2)x ∈-时,2()1f x x =-+,则(4,2)x ∈--时,()f x 的表达式为_________.6、已知二次函数的图象经过点(0,1),当2x =时函数取最小值3-,则函数的解析式为_________.7、若集合{}2(6)20A x ax a x =+-+=是单元素集合,则实数a =_________8、函数sin 2cos2y x x =的最小正周期是_________9、在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有_______个.10、在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于_________.11、复数3(1)i -的虚部为_________.12、“3x >”是“24x >”的__________________条件.13、若集合13,11A y y x x ⎧⎫⎪⎪==-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,12,01B y y x x ⎧⎫==-<≤⎨⎬⎩⎭,则AB 等于_________.14、在ABC △中,已知60,:8:5A AB AC ∠=︒=,面积为_________.15、函数()lg tan f x x 的定义域为_________. 16、下列不等式中解集为实数集R 的是( )(A)2440x x ++>0>(C)111x x-<(D)cos(sin )0x >17、设z 是非零复数,z 是z 的共轭复数,则“0z z +=”是“z 为纯虚数”的( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分条件又非必要条件18、若θ是第一象限角,那么下列不等式恒成立的是( )(A)sin02θ> (B)tan12θ< (C)sincos22θθ> (D)sincos 22θθ<19、设A B ﹑是两个非空集合,定义{},A B x x A B x A B ⨯=∈∉且,已知{A x y ==,{}2(0)x B y y x ==>,则A B ⨯等于( )(A)[0,1](2,)+∞(B)[0,1)(2,)+∞(C)[0,1](D)[0,2]20、已知函数2()24(0)f x ax ax a =++>,若12x x <,120x x +=,则( )(A)12()()f x f x <(B)12()()f x f x =(C)12()()f x f x > (D)1()f x 与2()f x 的大小不能确定参考答案1、1122log log 03232x x ππππ-≥⇔<-≤,解得:566x ππ-≤≤且3x π≠,所以x 的取值范围是5,,6336ππππ⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 2、211315255z i i i i z i -+=+=--,所以复数215z i z +的虚部是15-. 3、因为53i +是实系数一元二次方程220x bx c ++=的一个根,所以方程的另一个根为53i -,有韦达定理可得:(53)(53)342ci i =+-=,所以68c =. 4、()2sin()3f x x π=+,由22x ππ-≤≤,得:5636x πππ-≤+≤,所以1sin()123x π-≤+≤,所以()f x 的值域是[]1,2-.5、因为()f x 的图象关于直线2x =对称,所以对于任意实数x ,有()(4)f x f x =-,又()f x 是偶函数,所以(4)(4)f x f x -=+,即()(4)f x f x =+;又当(4,2)x ∈--时,有4(0,2)x +∈,所以2(4)(4)1f x x +=-++, 所以当(4,2)x ∈--时,()f x 的表达式为2()(4)1f x x =-++6、因为当2x =时,函数取最小值为3-,所以二次函数的解析式为2()(2)3f x a x =--,又函数图像过点(0,1),即(0)1f =,所以1a =,所以函数的解析式为2()41f x x x =-+.7、依题意,方程2(6)20ax a x +-+=有唯一实数根;当0a =时,显然适合;当0a ≠时,0∆=, 即2(6)80a a --=,解得:2a =或18a =,综上所述,0a =或2a =或18a = 8、因为1sin 2cos2sin 42y x x x ==,所以函数的最小正周期是2π 9、满足条件的三位数可分两类:第1类:2个偶数,1个奇数组成的三位数有21323318C C P =(个);第2类:3个奇数组成的三位数有33336C P =(个),由分类加法计数原理知共有18624+=(个).10、在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中,1()212()(2)(0,1,2,)n k k k n k k k kk n n T C C x k n x ---+===,令1()02n k k --=,得:3n k =,且132260k k k k k n k T C C +===,即3602kk k C =,因为3kk C ∈N ,所以602k∈N ,得0k =或1k =或2k =,代入3602kk k C =检验,得2k =适合,所以6n =. 11、因为3(1)22i i -=--,所以3(1)i -的虚部为2-. 12、因为234x x >⇒>,且234x x >>,所以“3x >”是“24x >”的充分非必要条件.13、因为{}11A y y =-≤≤,{}1B y y =≤,所以{}11A B y y =-≤≤.14、设8,5AC b k AB c k ====,因为ABC △的面积为,即1(5)(8)sin602k k ⨯⨯︒=,得1k =,所以5b =,8c =,由余弦定理,可得:22258258cos6049a =+-⨯⨯︒=,即7a =,所以ABC △的周长为2015、依题意,112sin 0sin 2tan 0tan 0x x x x ⎧-≥≤⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪>⎩;由1sin 2x ≤,解得:722()66k x k k ππππ-≤≤+∈Z ,画出x 的区域如图(1),由tan 0x >,解得:()4k x k k πππ<<+∈Z ,画出x 的区域如图(2),图(1)和图(2)公共区域如图(3)所示,所以函数()f x 定义域为2,22,2()26k k k k k πππππππ⎛⎫⎛⎤--+∈ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦Z . 16、选项A 中的解集为{}|2x x ≠-;选项B 、C 中的解集都是{}|0x x ≠;选项D 中,对于x ∈R ,有1sin 1x -≤≤,所以cos(sin )0x >的解集为R ,故选D . 17、因为2Re z z z +=,当0z z +=时,Re 0z =,又0z ≠,则Im 0z ≠,所以z 是纯虚数;1212(1)(3)第15题图反之,若z 为纯虚数,显然有0z z +=,故选C 18、因为θ为第一象限角,所以222k k ππθπ<<+,即()24k k k θπππ<<+∈Z .当2(k n n =∈Z)时,2224n n θπππ<<+,即2θ是第一象限角而当21(k n n =+∈Z)时,52224n n θππππ+<<+,画出2θ在坐标平面中的区域如图所示的阴影部分.当角2θ的终边落在阴影区域时,角2θ的终边与单位圆的交点(cos,sin )22P θθ的纵坐标sin 2θ可正可负;且sin2tan 12cos 2θθθ=<. 当角2θ的终边落在第一象限的阴影区域时,2θ的终边与单位圆的交点中,有cos sin 22θθ>; 当角2θ的终边落在第三象限的阴影区域时,2θ的终边与单位圆的交点中,有cos sin 22θθ<;所以,正确选项为B19、{}02A x x =≤≤,{}0B y y =>,所以{}|0AB x x =≥,{}|12A B x x =<≤由A B ⨯的定义得:{}|012A B x x x ⨯=≤≤>或,故选A20、因为函数2()24(0)f x ax ax a =++>,所以二次函数的图象开口向上,且对称轴为1x =-;又120x x +=,所以1x 与2x 的中点在对称轴1x =-的右侧;因为12x x <,所以2x 到对称轴的距离大于1x 到对称轴的距离,所以12()()f x f x <,故选A)4π+sin )2θ高三数学填空、选择专项训练(四)1.22006i i i +++=__________________.2.函数sin cos()cos sin()44y x x x x ππ=+++的最小正周期T =_________. 3.若函数2()2f x x =-的值域为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,则其定义域为_________.4.若3x π=是方程2cos()1x α+=的解,其中(0,2)απ∈,α=_________.5.在ABC △中,sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则ABC ∠=_________.(结果用反三角函数值表示) 6.方程3lg 18x x +=的根x ≈_________.(结果精确到0.1) 7.若()()3222,3nn n x x a x b x c x n n +=+++++∈≥N 且,且:3:2a b =,则n =_________.8.21xy x =+((1,)x ∈-+∞)的图像与其反函数图像的交点坐标为_______. 9.已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,则12||z z ⋅的最大值和最小值分别是_________. 10.在ABC △中,若120A ∠=︒,5AB =,7BC =,则ABC △的面积S =_________.11.函数()sin 2sin f x x x =+([0,2]x π∈)的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是_________.12.函数sin arcsin y x x =+的值域是__________________.13.若曲线||21x y =+与直线y b =没有公共点,则b 的取值范围是_________.14.若12x x 、为方程11122xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的两个实数解,则12x x +=_________.15.对于非零实数a b ﹑,以下四个命题都成立:①10a a+≠;②222()2a b a ab b +=++;③若||||a b =,则a b =±;④若2a ab =,则a b =. 那么,对于非零复数a b ﹑,仍然成立的命题的所有序号是__________________.16.设z 为虚数,则2z 一定是( )(A)非负实数或虚数 (B)负数或虚数 (C)虚数(D)有可能是正数 17.函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a 的值为( )(A)12(B)2 (C)4 (D)1418.若log ()a y x b =+的图像过点(1,0)-、(0,1),则( )(A)2a =,2b =(B)a ,2b =(C)2a =,1b = (D)a =b = 19.如果0,0a b <>,那么下列不等式中正确的是( )(A)11a b<(C)22a b <(D)||||a b >20.已知a b ∈R ,,且2,ai b i ++(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根,那么p q ,的值分别是 ( ) (A)4,5p q =-=(B)4,3p q =-= (C)4,5p q == (D)4,3p q ==参考答案1.因为44142430()k k k k i i i i k ++++++=∈N ,且200645012=⨯+,所以2200621i i i i i i +++=+=-+.2.因为sin(2)cos22y x x π=+=,所以最小正周期T π=.3.由1()3f x ≤-,得2140232x x x +≤-⇔≤--,所以42x -≤<,即函数2()2f x x =-的定义域为[)4,2-. 4.依题意,得:1cos()32πα+=,所以233k ππαπ+=±,即2k απ=或223k παπ=-,(k ∈Z);又(0,2)απ∈,所以43πα=.5.sin :sin :sin 2:3:42,3,4(0)A B C a k b k c k k =⇒===>,则222(2)(4)(3)11cos 2(2)(4)16k k k B k k +-==⋅. 所以11arccos16ABC =. 6.设3()lg 18f x x x =+-,则易知()f x 在(0,)+∞上单调递增.所以()f x 在区间(0,)+∞上至多有一个实数根.因为3(2)2lg 2180f =+-<,且3(2)3lg3180f =+->,得(2)(3)0f f ⋅<,所以()f x 区间(2,3)上有唯一实根0x .计算区间(2,3)中点函数值(2.5)0f <,且(2.5)(3)0f f ⋅<,所以0(2.5,3)x ∈,再次计算区间(2.5,3)中点函数值(2.75)0f >,且(2.5)(2.75)0f f ⋅<,所以0(2.5,2.75)x ∈,继续计算区间中点函数值(2.625)0f >,(2.5)(2.625)0f f ⋅<,所以0(2.5,2.625)x ∈,继续取区间(2.5,2.625)中点函数值(2.5625)0f <,(2.5625)(2.625)0f f ⋅<,所以0(2.5625,2.625)x ∈,且此时区间(2.5625,2.625)长度为2.625 2.56250.06250.1-=<,所以方程3lg 18x x +=的根x ≈2.6. 7.由二项式定理,可得332n na C -=,222n nb C -=,因为:3:2a b =,即333222233(3)22n n nn n n C C C n C --=⇔=≥, 所以(1)(2)(1)3(3)62n n n n n n ---=⋅≥,得11n =.8.点P 是函数()f x 图像与其反函数1()f x -图像的交点,当且仅当点P 是函数()f x 图像与直线y x =的交点.所以,令()2(1,)1x x x x =∈-+∞+,解得:0x =或1x =,所以21xy x =+((1,)x ∈-+∞)的图像与其反函数图像的交点坐标为(0,0)和(1,1).9.1212||||||z z z z ⋅=⋅==,因为21192sin 222444θ≤+≤+=,32,且当0θ=4πθ=32= 所以12||z z ⋅的最大值和最小值分别是32. 10.由2222cos a b c bc A =+-,得:25240b b +-=,解得:3b =,8b =-(舍);所以11sin 35sin12022S bc A ==⨯⨯⨯︒.11.[)[]3sin 0,()sin ,2x x f x x x πππ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩,画出函数()f x 的简图,观察图像可知k 的取值范围是(1,3).12.因为1sin 1x -≤≤,且arcsin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以arcsin1arcsin arcsin1x -≤≤;所以函数sin arcsin y x x =+的值域是1,122ππ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦.13.画出曲线||21x y =+的简图,观察图像可知b 的取值范围是[]1,1-.14.因为111121222102xxxxx x -+-⎛⎫=⇔=⇔+-= ⎪⎝⎭,所以121x x +=-.15.若a i =,则1()0i i i i+=+-=,所以①不正确;若34,43a i b i =+=-,虽然||||5a b ==,但是a b ≠且a b ≠-,所以③不正确;设1122,a x y i b x y i =+=+,其中11x y ﹑是不全为零的实数,22x y ﹑是不全为零的实数,则[]221212()()()a b x x y y i +=+++2212121212()()2()()x x y y x x y y i ⎡⎤=+-++++⎣⎦2222111122222()2()()()a ab b x y i x y i x y i x y i ++=++++++;[]22221111121212212222()22()()()2x y x y i x x y y x y x y i x y x y i ⎡⎤⎡⎤=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦ []22221111121212212222()22()()()2x y x y i x x y y x y x y i x y x y i ⎡⎤⎡⎤=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦ []22221112122211122122()2()()2()x y x x y y x y x y x y x y x y i ⎡⎤=-+-+-++++⎣⎦[]222212121212112212(2)(2)2()()x x x x y y y y x y y x y y i⎡⎤=++-++++++⎣⎦2212121212()()2()()x x y y x x y y i ⎡⎤=+-++++⎣⎦,即222()2a b a ab b +=++,所以②正确;若2a ab =,则2111122()()()x y i x y i x y i +=++,即22111112121221()2()()x y x y i x x y y x y x y i -+=-++所以22112112111212111221112112()()2()()x x x y y y x y x x y y x y x y x y x y y y x x -=-⎧⎧-=-⎪⎪⇒⎨⎨=+-=--⎪⎪⎩⎩①②; 当10x =时,则112112()()0y y y y x x -=--=,由0a ≠,得10y ≠,所以12x x =且12y y =,即a b = 当10y =时,则112112()()0x x x x y y -=-=,由0a ≠,得10x ≠,所以12x x =且12y y =,即a b = 当110x y ≠时,若12x x =,由上述①、②可得12y y =,此时有a b =;若12x x ≠,由上述①、②可得12y y ≠,⨯①②得:2211x y =-,即22110x y +=,得0a =,此与0a ≠矛盾,所以121200x x y y -=⎧⎨-=⎩,即a b =;综上所述,若2a ab =,则a b =.所以④正确.从而对于非零复数a b ﹑,仍然成立的命题的所有序号是②、④.16.设z a bi =+,其中a b ∈R ﹑,且0b ≠,则2222z a b abi =-+,若0a =,则220z b =-<;若0a ≠,则20ab ≠,此时2222z a b abi =-+是虚数,所以选项B 正确.17.因为()x f x a =在[0,1]上是单调函数,所以()f x 的最大值与最小值的和为01(0)(1)3f f a a +=+=,所以2a =,故选B .18.依题意,有log (1)0log (0)1a ab b -+=⎧⎨+=⎩,解得:2a b ==,故选A .19.因为0,0a b <>,所以110,0a b<>,显然有11a b <,故选项A 正确;选项B 、C 都不正确,反例:4,1a b =-=;选项D 也不正确,反例:1,2a b =-=20.有共轭虚根原理,可知:2ai b i b i +=+=-,所以1,2a b =-=;所以实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根分别为2,2i i -+,所以4,5p q =-=.高三数学填空、选择专项训练(五)1.若1cos 7α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_______________.2.0112231021-⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______________. 3.不等式2211x x x-<+-的解集是___________________.4.若3nx ⎛⎫ ⎝展开式各项系数和为128,则展开式31x 的系数是____________. 5.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有_______________.6.函数y ____________________. 7.已知tan 2θ=,则2sin 1cos 21cos θθθ+的值等于___________.8.填空:三阶行列式215342153---中,元素2-的代数余子式为_________________.9.用列举法表示集合1,n n x x i n i ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭N =___________.10.若(2)a i i b i +=+,其中,,a b i ∈R 是虚数单位,则a b +=__________.11.已知,,a b c 是锐角ABC △中,,A B C ∠∠∠的对边,若3,4a b ==,ABC △的面积为,则c =______.12.设A 、B 是两个集合,定义{}|,A B x x A x B -=∈∉且,若{}||1|2M x x =+≤,{}||sin |,N x x αα==∈R ,则M N -=______________.13.若集合{}2230A x x x =--≤,{}B x x a =>,且A B =∅,则实数a 的取值范围是__________.14.方程2cos21x =的解是________________________.15.函数2()23f x x ax =--在[1,2]上存在反函数的充分必要条件是( )(A)(,1]a ∈-∞(B)[2,)a ∈+∞ (C)[1,2]a ∈ (D)(,1][2,)a ∈-∞+∞ 16.下列结论正确的是( )(A)当01x x >≠且时,1lg 2lg x x+≥ (B)当0x >2≥(C)当2x ≥时,1x x+的最小值为2 (D)当02x <≤时,1x x-无最大值 17.函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩,若(1)()2f f a +=,则a 的值为( )(A)1(B) (C)1或 (D)118.满足“对任意实数,x y ,()()()f x y f x f y ⋅=⋅都成立”的函数可以是( )(A)()3x f x =(B)3()log f x x =(C)3()f x x =(D)3()f x x=19.若m 为实数,则复数22(2)(6)m m m m i +-+--在复平面内所对应的点不可能位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 20.函数log a y x =和(1)y a x a =-+的图象只可能是( )(A) (B) (C) (D)参考答案1.因为1cos 7α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin α=,所以11cos cos cos sin sin 33314πππααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭. 2.01123423102143--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.因为2221x x x -=--,所以22212301x x x x x-<+⇔--<-,不等式的解集为:{}|13x x -<<. 4.3n x ⎛⎫- ⎝展开式各项系数和为312n n ⎛⎫⨯= ⎝,依题意,有2128n =,所以7n =; 由二项式定理可知:第1k +项为57773177(3)((1)(3)k kk k k k k k T C x C x ---+==-⋅⋅,令5733k -=-, 则6k =,所以展开式31x的系数为67667(1)(3)21C --⋅⋅=. 5.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,共可分成两类。