高二上学期数学期中考试卷附答案
2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。
2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a =(1,5,−1)，b =(−3,2,3)，则a−b =( )A. (−4,−3,4)B. (4,3,−4)C. (−4,3,−4)D. (4,3,4)2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. −23a +12b +12c B. 12a +12b−12c C. 23a +23b−12cD. −23a +23b−12c3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )A. 点P 和点Q 关于x 轴对称 B. 点P 和点Q 关于y 轴对称C. 点P 和点Q 关于z 轴对称D. 点P 和点Q 关于原点中心对称4.已知直线l 的斜率的范围为[−1,1]，则直线l 的倾斜角α的取值范围为( )A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘ B. 45∘≤α≤135∘C. 45∘<α<135∘D. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α<180∘5.已知点A(−4,−2)，B(−4,2)，C(−2,2)，则△ABC 外接圆的方程为( )A. (x +3)2+y 2=5 B. x 2+(y−3)2=20C. x 2+(y +3)2=5D. (x−3)2+y 2=206.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A. x 24+y 23=1 B.y 26+x 2=1 C. x 26+y 2=1D. x 28+y 25=17.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为6.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为16，则椭圆C 的离心率为( )A. 15B. 45C. 35D.2158.已知M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是圆C:(x +3)2+(y−5)2=4上的两个不同的点，若|MN|=22，则|x 1−y 1|+|x 2−y 2|的取值范围为( )A. [12,20]B. [10,14]C. [8,16]D. [4 2,82]二、多选题：本题共4小题，共24分。
贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
六盘水市纽绅2024～2025学年度高二（上）期中考试数学试卷（答案在最后）考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A 版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设m ∈R ，向量()1,,1b m =，()2,4,2c =-，且//b c，则m =（）A.3-B.1- C.1D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析求解.【详解】因为向量()1,,1b m = ，()2,4,2c =-，且//b c，则11242m ==-，解得2m =-.故选：D.2.已知直线l 的一个方向向量为(3,，则直线l 的倾斜角α=（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】D 【解析】【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解.【详解】因为直线l 的一个方向向量为(3,，所以直线l 的斜率为3tan ,01803k αα==≤< ，从而直线l 的倾斜角150α= .故选：D.3.已知点P 在ABC V 所在平面内，O 为空间中任一点，若1123OP OA OB xOC =++，则x =（）A.56B.56-C.16D.16-【答案】C 【解析】【分析】根据四点共面的结论运算求解即可.【详解】因为1123OP OA OB xOC =++，且,,,P A B C 四点共面，则11123x ++=，解得16x =.故选：C.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为1111111,,,A B B C A D BB 的中点，则2GF GH EG ++=（）A.B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】应用向量加法法则得到2GF GH EG =++ EF EH +，再应用向量数量积的运算律求模.【详解】由题设，易知EFH △的正三角形，所以2GF GH EG EG GF EG GH EF EH ++=+++=+==故选：A5.已知点()2,4A 、()3,2B -，则线段AB 的垂直平分线的方程为（）A.10470x y +-= B.10420x y ++=C.104170x y +-=D.41070x y +-=【答案】A 【解析】【分析】利用斜率计算公式可得：AB k ，线段AB 的中点为(2,1)-，即可得出线段AB 的垂直平分线的方程．【详解】422235AB k -==+，线段AB 的中点为1(,3)2-，∴线段AB 的垂直平分线的方程是513()22y x -=-+，化为：10470x y +-=，故选：A ．6.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.至少有一个白球；红､黑球各一个D.恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.【详解】对于A ，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A 不是；对于B ，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B 不是；对于C ，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C 是；对于D ，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D 不是.故选：C7.已知点P 到直线1l ：40x y --=和直线2l ：20x y --=的距离相等，则点P 到坐标原点距离的最小值为（）A. B.2C.322D.4【答案】C 【解析】【分析】由两直线平行可判断点P 所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可.【详解】因为直线1l ：40x y --=和直线2l ：20x y --=平行，且点P 到他们的距离相等，所以点P 在直线:30l x y --=上，当OP l ⊥时，点P 到坐标原点距离的最小，2=故选：C8.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为13，m ，n ，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为130，三个社团考核都没有通过的概率为415，则m n +=（）A.45B.710C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合独立事件以及对立事件概率求法，列式求解.【详解】因为他三个社团考核都通过的概率为130，则11330mn =，即110mn =，又因为三个社团考核都没有通过的概率为415，则()()14111315m n ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，整理可得()215m n mn -++=，所以271510m n mn +=+-=.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法不正确的是（）A.某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.【详解】对于A ，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A 错误；对于B ，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B 正确；对于C ，某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，是指一位病人被治愈的概率为10%，不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C 错误．对于D ，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D 错．故选：ACD ．10.已知直线1l ：0ax y b --=，2l ：0bx y a -+=，当a ，b 满足一定的条件时，它们的图形可能是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系，结合图形逐一判断．【详解】直线1:0l ax y b --=可化为y ax b =-的斜率为a ，在y 轴上的截距为b -．直线2:0l bx y a -+=可化为y bx a =+的斜率为b ，在y 轴上的截距为a ．当0a b =<时，直线1l 与2l 平行且图象满足A 所示，故A 正确．选项B 中，由直线2l 在y 轴上的截距可得0a >,0b <，而由直线1l 的斜率为a ，可得0a <，故B 不正确．选项C 中，由直线2l 的斜率为0b <，而直线1l 在y 轴上的截距0b ->．直线2l 在y 轴上的截距为0a >，直线1l 的斜率为0a >，故C 正确．选项D 中，由直线2l 的斜率为0b >，而直线1l 在y 轴上的截距0b -<．直线2l 在y 轴上的截距为0a <，直线1l 的斜率为0a <，故D 正确．故选：ACD ．11.已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E ､F ､G ､H 分别为1CC ､BC ､CD ､1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A .1//B G EFB.1//A H 平面AEFC.点1B 到平面AEF 的距离为2D.二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案【详解】解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，11(2,2,2),(0,1,0),(0,2,1),(1,2,0),(2,0,0),(2,0,2),(2,2,1),B G E F A A H 所以1(2,1,2),(1,0,1)B G EF =---=- ，所以1220B G EF ⋅=-+=，所以1B G EF ⊥，故A 选项错误；1(0,2,1),(1,2,0),A H AF =-=-设平面AEF 的法向量为()，，=n x y z ，则020n EF x z n AF x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2,x =则1,2y z ==，所以()212n = ，，，所以1220A H n ⋅=-=，由于1A H ⊄平面AEF ，所以1//A H 平面AEF ，故B 选项正确；1(0,2,2)B A =-- ，所以1B 到平面AEF 的距离为162,||3n B A d n ⋅=== 故C 选项正确；由正方体可得1DD ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的一个法向量为()10,0,2DD =，设二面角E AF C --的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，1142cos ,323||n DD n DD θ⋅===⨯⋅ 所以θ≠4π，故D 选项错误，故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生[]1,5内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________．【答案】715【解析】【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解.【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为715．故答案为：715.13.直线:(2)(31)4l a y a x -=--不过第二象限，则a 的取值范围为_________．【答案】[)2,+∞【解析】【分析】分类讨论，将直线的方程化为斜截式求解即可.【详解】当20a -=时，即2a =，方程为45x =，此直线不过第二象限，符合题意；当20a -≠时，将直线:(2)(31)4l a y a x -=--化为斜截式为：(31)4(2)(2)a y x a a -=---.由于不过第二象限，所以(31)0(2)40(2)a a a -⎧>⎪-⎪⎨⎪-<⎪-⎩，解得2a >；综上：2a ≥，故a 的取值范围为：[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞.14.阅读材料：数轴上，方程0Ax B +=（0A ≠）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A 、B 、C 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3570x y z -+-=，直线l 是两平面370x y --=与4210y z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为______.【答案】35【解析】【分析】根据题意得到不同平面的法向量，两个平面的交线与两个平面的法向量均垂直，我们可以求得两个平面交线的方向向量，然后利用向量夹角与线面角的关系求解即可.【详解】平面α的方程为3570x y z -+-=，所以平面α的法向量可取()3,5,1m =-，平面370x y --=的法向量为()1,3,0a =-，平面4210y z ++=的法向量为()0,4,2b = ，设两平面的交线l 的方向向量为(),,c p q r = ，由30420c a p q c b q r ⋅=-=⎧⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3p =，则1q =，2r =-，所以()3,1,2c =-.设直线l 与平面α所成角的大小为θ，则sin cos ,35c m θ==.故答案为：35.四、解答题：本题共5小题，共77分.“解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）设平面直角坐标系内三点(),3A m m --、()2,1B m -、()1,4C -，若直线AC 的斜率是直线BC 的斜率的3倍，求实数m 的值；（2）已知直线l 经过原点，且经过两条直线2380,10x y x y ++=--=的交点，求直线l 的方程.【答案】（1）1或2；（2）20x y -=.【解析】【分析】（1）利用斜率公式列方程求解即可；（2）先求出两直线的交点，然后由两点式可得.【详解】解：（1）由3AC BC k k =，即()()43413112m m m-----=⋅----，解得1m =或2m =，经检验均符合题意，故m 的值是1或2.（2）因为方程组238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩的解为12x y =-⎧⎨=-⎩，所以两条直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为()1,2--，由题意知直线l 经过点()1,2--.又直线l 经过原点，所以直线l 的方程为002010y x --=----，即20x y -=.16.“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；（2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．【答案】（1）6种，()1,2,3；()1,3,2；()2,3,1；()2,1,3；()3,1,2；()3,2,1（2）13【解析】【分析】（1）根据题意列出全部基本事件即可.（2）根据题意得到玩偶的编号与所在盒的编号均不相同有()2,3,1，()3,1,2两个基本事件，再利用古典概型公式计算即可.【小问1详解】共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶的情况为()1,2,3；()1,3,2；()2,3,1；()2,1,3；()3,1,2；()3,2,1．【小问2详解】设所求事件为A ，则A 包含有()2,3,1，()3,1,2两个基本事件，并且每个基本事件等可能，故()2163P A ==．17.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点.（1）求直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）判断直线1A F 与平面ABF 的关系.【答案】（1）π3（2）垂直【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）利用向量法求出1AF A F ⊥，1A F AB ⊥，从而直线1A F 与平面ABF 垂直．【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点．以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z轴，建立空间直角坐标系，则(0A ,0,0)，(2B ,0,0)，(0C ,2,0)，1(0A ,0,4)，(2E ,0,2)，(0F ,2,2)，∴(2AE = ,0,2)，1(0A F = ,2,2)-，设直线AE 与1A F 所成角为θ，则1141cos 82AE A F AE A F θ⋅===⋅ ，π3θ∴=，∴直线AE 与1A F 所成角的大小为π3；【小问2详解】直线1A F 与平面ABF 垂直，理由如下：由（1）知(0AF = ,2,2)，(2AB = ,0,0)，∴10440AF A F ⋅=+-= ，10A F AB ⋅=，1AF A F ∴⊥，1A F AB ⊥，AF AB A = ，AF 、AB ⊂平面ABF ，∴直线1A F 与平面ABF 垂直．18.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为,,,A B C D 四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级,,A B C 的概率分别是313,,4832.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.【答案】（1）78（2）316【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件()()1221A B A B ⋃，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【小问1详解】设事件,,,A B C D 分别表示“被评为等级,,,A B C D ”，由题意，事件,,,A B C D 两两互斥，所以()31311483232P D =---=，又A B = “不被罚款”，所以317()()()488P A B P A P B ⋃=+=+=.因此“不被罚款”的概率为78；【小问2详解】设事件,,,i i i i A B C D 表示“第i 单被评为等级,,,A B C D ”，1,2i =，则“两单共获得的奖励为3元”即事件()()1221A B A B ⋃，且事件1221,A B A B 彼此互斥，又()()12213134832P A B P A B ==⨯=，所以()()()()122112213323216P P A B A B P A B P A B =⋃=+=⨯=⎡⎤⎣⎦.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为直角梯形，90DAB ADC ∠=∠=︒，1AB AD ==，2CD =，1BD CD ⊥．点M 为1CD 的中点，且12CD BM =．（1）证明：平面BDM ⊥平面1BCD ；（2）若钝二面角B DM C --的余弦值为15-，当1BD BD >时，求1BD 的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）先证1BD BD ⊥，BC BD ⊥得到BD ⊥平面1BCD ，可得平面BDM ⊥平面1BCD .（2）根据（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.【小问1详解】因为M 为1CD 中点，且12CD BM =，所以190D BC ∠=︒，即1BD BC ⊥，又1BD CD ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面ABCD ，所以1BD ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ，所以1BD BD ⊥.因为90DAB ADC ∠=∠=︒，所以//AB CD .又1AB AD ==，2CD =，所以BD BC ==所以222CD BD BC =+，则BC BD ⊥.又1BD BC B = ，1,BD BC ⊂平面1BCD ，所以BD ⊥平面1BCD .又BD ⊂平面BDM ，所以：平面BDM ⊥平面1BCD .【小问2详解】由（1）可知：BC ，BD ，1BD 两两垂直，故可以B 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0B，)C，()D ，设()10,0,D a（a >，则,0,22a M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以()BD =，,22a DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，)DC = .设平面BDM 的一个法向量为 =1,1,1，由00BD m DM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11110022a x z =+=⎪⎩，可取2,0,12m a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面CDM 的一个法向量为 =2,2,2，由00DC n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒222220022a x z =-+=⎪⎩，可取,,122n a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .11152cos ,15a m n -=- ，整理得：42133314042a a -+=⇒24a =（214213a =<舍去）所以2a =，即12BD =.。
2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列1，3，……，则该数列的第25项是（）A.7B.C. D.52.已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则567a a a ++的值为（）A.81B.36C.45D.333.在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，则59a a +的值为（）A.7B.14C.21D.284.20y -+=的倾斜角为（）A.π6B.π 3 C.2π3D.5π65.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则791012a a a a ++的值为（）A.8B.4C.14D.186.若点()1,2P -在圆22:0C x y x y m ++++=的外部，则m 的取值一定不是（）A.4- B.1- C.0D.27.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则下列说法正确的是（）A.公差0d >B.190S >C.使0nS <成立的n 的最小值为20D.110a >8.已知,A B 是圆224x y +=上的两个动点，且AB =，点()00,M x y 是线段AB 的中点，则004x y +-的最大值为（）A.12B. C.6D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l 过点()0,4，40y -+=及x 轴围成等腰三角形，则直线l 的方程可能为（）A.40y +-=B.40y -+=C.30y -+=D.3120y -+=10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是（）A.若2n S n =，则{}n a 是等差数列B.若2nn S =，则{}n a 是等比数列C.若{}n a 是等差数列，则202510132025S a =D.若{}n a 是等比数列，且0n a >，则221212n n nS S S -+⋅>11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=，则下列结论中正确的是（）A.圆1O 与圆2O 相交B.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=C.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 的垂直平分线方程为10x y +-=D.若AB 为圆1O 与圆2O 的公共弦，P 为圆1O 上的一个动点，则△PAB面积的最大值为1+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l 的方向向量为()1,2，且直线l 经过点()2,3-，则直线l 的一般式方程为________．13.圆C ：22650x y x +-+=，0,0为圆C 上任意一点，则y x 的最大值为______．14.已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，N n +∈，则a ＝________；设数列{}n a 的前n 项和为n T ，若5n T n λ>+对N n +∈恒成立，则实数λ的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线()1:220l x m y +-=，2:220l mx y +-=，且满足12l l ⊥，垂足为C .（1）求m 的值及点C 的坐标.（2）设直线1l 与x 轴交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，求ABC V 的外接圆方程.16.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .17.已知圆C ：2244100x y x y m +----=，点()1,0P ．（1）若17m =-，过P 的直线l 与C 相切，求l 的方程；（2）若C 上存在到P 的距离为1的点，求m 的取值范围．18.已知数列{}n a 满足：()*312232222n na a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，数列{}nb 满足5012n nb a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求100n n b b -+的值；（3）求12399b b b b +++⋅⋅⋅+的值.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，410S =，数列{}n b 满足13b =，121n n b b +=-．（1）证明：数列{}1n b -是等比数列；（2）证明：2112n n n n S b S b ++⋅>⋅；（3）若()421nn n a c b =-，求数列{}n c 的前n 项和nT 2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列1，3，……，则该数列的第25项是（）A.7B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】根据数列的规律及通项可得数列的项.【详解】由已知数列1，，3，……，，……，则数列的第n第257=，故选：A.2.已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则567a a a ++的值为（）A.81B.36C.45D.33【答案】C 【解析】【分析】根据数列的前n 项和，可得数列的项，进而可得值.【详解】由已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则75746a a a S S ++=-()()227242=+-+45=，故选：C.3.在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，则59a a +的值为（）A.7B.14C.21D.28【答案】B 【解析】【分析】由等差中项的性质计算即可；【详解】因为在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，所以678773217a a a a a ++==⇒=，所以759214a a a ==+，故选：B.4.20y -+=的倾斜角为（）A.π6B.π 3 C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角.【详解】由题意可得直线的斜率为k =设其倾斜角为α，则tan α=，又[)0,πα∈，所以π3α=，故选：B5.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则791012a a a a ++的值为（）A.8B.4C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】易知数列前n 和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.【详解】当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，1121n n S a --=-，则1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，即数列{}n a 是首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，∴()()27793210121011181a q a a a a q a q ++===++故选：D.6.若点()1,2P -在圆22:0C x y x y m ++++=的外部，则m 的取值一定不是（）A.4-B.1- C.0D.2【答案】D 【解析】【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出m 的范围得解.【详解】因为点()1,2P -在圆C ：220x y x y m ++++=的外部，所以22(1)2120m -+-++>，解得6m >-，又方程表示圆，则1140m +->，即12m <，所以162m -<<，结合选项可知，m 的取值一定不是2.故选：D.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则下列说法正确的是（）A.公差0d >B.190S >C.使0nS <成立的n 的最小值为20D.110a >【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，前n 项和公式，结合条件10a >，逐项进行判断即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由316=S S ，得113316120a d a d +=+，即1131170a d +=，即11090a d a +==，又10a >，所以0d <，所以110a <；故AD 错，()1191910191902a a S a +===，故B 错因为190S =，0d <，所以180S >，200S <，所以0nS <成立的n 的最小值为20.故C 正确.故选：C8.已知,A B 是圆224x y +=上的两个动点，且AB =，点()00,M x y 是线段AB 的中点，则004x y +-的最大值为（）A.12 B.C.6D.【答案】C 【解析】【分析】先根据题意求出M 的轨迹方程为222x y +=，设()00,M x y 到直线40x y +-=的距离为d ，由此可得004x y +-=，将问题转化为求圆222x y +=上的点到直线40x y +-=距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解.【详解】根据已知有，圆心0,0，半径2r =，因为弦AB =，所以圆心到AB 所在直线的距离d ==又因为M 为AB 的中点，所以有OM =，所以M 的轨迹为圆心为0,0，半径为1r =的圆，M 的轨迹方程为222x y +=；令直线为40x y +-=，则()00,M x y 到直线40x y +-=的距离为d ，则d =，即004x y +-=，所以当d 最大时，004x y +-=也取得最大值，由此可将问题转化为求圆222x y +=上的点到直线40x y +-=距离的最大值的2倍，设圆心0,0到直线的距离为0d ，则0d ==，所以max 0d d =+=所以004x y +-的最大值为6.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l 过点()0,4，40y -+=及x 轴围成等腰三角形，则直线l 的方程可能为（）A.40y +-=B.40y -+=C.30y -+= D.3120y -+=【答案】AD 【解析】【分析】由题意知直线l 过点()0,4，所以根据直线l 是否存在斜率进行分类讨论，结合等腰三角形等知识，即可求解.【详解】设()0,4为点A ，易知点()0,4A 40y -+=上，直线40y -+=与x轴的交点,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点()0,4，所以直线l 的方程为0x =，与x 轴的交点为()0,0O ；此时4OA =，3OB =，3AB =，所以AOB V 不是等腰三角形，故直线l 存在斜率；设B 关于y轴的对称点为C ⎫⎪⎭，当直线l 过A ，C 两点时，AB AC =，ABC V 是等腰三角形，同时直线ABπ3，所以ABC V 是等边三角形，所以AC BC =，此时直线l 的方程为144x y +=40y +-=，设直线l 与x 轴相交于点D，如图所示，若AB BD =，则π6ADB ∠=，所以直线AD ，即直线l的斜率为3，此时方程为343y x =+3120y -+=；所以直线l40y +-=3120y -+=故选：AD.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是（）A.若2n S n =，则{}n a 是等差数列B.若2nn S =，则{}n a 是等比数列C.若{}n a 是等差数列，则202510132025S a =D.若{}n a 是等比数列，且0n a >，则221212n n nS S S -+⋅>【答案】AC 【解析】【分析】利用n S 和n a 的关系即可判断A ，B 选项；利用等差数列的求和公式即可判断C 选项；通过举例即可判断D 选项.【详解】对于A ，若2n S n =，则当1n >时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==，符合21n a n =-，故21n a n =-，则{}n a 是等差数列，故A 正确；对于B ，若2nn S =，则112a S ==，2212a S S =-=，3324a S S =-=，故a a a a ≠2312，{}n a 不是等比数列，故B 错误；对于C ，若{}n a 是等差数列，则()1202520251013202520252a a S a +==，故C 正确；对于D ，若1n a =，符合{}n a 是等比数列，且0n a >，此时()()22121212141n n S S n n n -+⋅-+==-，2224n S n =，不满足221212n n n S S S -+⋅>，故D 错误.故选：AC11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=，则下列结论中正确的是（）A.圆1O 与圆2O 相交B.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=C.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 的垂直平分线方程为10x y +-=D.若AB 为圆1O 与圆2O 的公共弦，P 为圆1O 上的一个动点，则△PAB 面积的最大值为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆的一般方程确定圆心、半径，判断1212||,,O O r r 的关系判断A ，两圆方程相减求相交线方程判断B ；应用点斜式写出公共弦AB 的垂直平分线方程判断C ；数形结合判断使△PAB 面积最大时P 点的位置，进而求最大面积判断D.【详解】由题设2121)1:(x O y -+=，则1(1,0)O ，半径11r =，222:(1)(2)5O x y ++-=，则2(1,2)O -，半径2r =，所以12||1,1)O O =，两圆相交，A 对；两圆方程相减，得公共弦AB 所在直线为0x y -=，B 对；公共弦AB 的垂直平分线方程为20(1)(1)11y x x -=⋅-=----，即10x y +-=，C 对；如下图，若O 与B 重合，而1O 到0x y -=的距离d =，且||2AB ==，要使△PAB 面积最大，只需P 到AB 的距离最远为11d r +=，所以最大面积为1121)22+=，D 错.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l 的方向向量为()1,2，且直线l 经过点()2,3-，则直线l 的一般式方程为________．【答案】270x y --=【解析】【分析】根据点斜式求得直线方程，并化为一般式.【详解】直线l 的方向向量为()1,2，所以直线l 的斜率为2，所以直线方程为()32224,270y x x x y +=-=---=.故答案为：270x y --=13.圆C ：22650x y x +-+=，0,0为圆C 上任意一点，则0y x 的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】设0y k x =，则直线00y kx =与圆有公共点，联立方程消元后，利用判别式即可得解.【详解】设y k x =，则00y kx =，联立0022000650y kx x y x =⎧⎨+-+=⎩，消元得()22001650k x x +-+=，由()2Δ362010k=-+≥，解得252555k -≤≤，所以00y x 的最大值为5.故答案为：514.已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，N n +∈，则a ＝________；设数列{}n a 的前n 项和为n T ，若5n T n λ>+对N n +∈恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】①.1②.9λ<-【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合2n n S a =-，有(2)(21)2n n a a --=-，即可求a 值，进而有12n n a -=即(1)l 2n n =-，结合5n T n λ>+对N n +∈恒成立求λ的范围即可.【详解】由等比数列的前n 项和2n n S a =-知，1q ≠，所以1(1)21n n n a q S a q-==--，所以2q =，而112a S a ==-，2q =，∴(2)(21)2n n a a --=-，即1a =，由上知：12nn a -=，则(1)l 2n n =-，∴==2−>5+，即226(3)9,N n n n n λ+<-=--∈，当3n =时，2(3)9,N n n +--∈的最小值为9-，所以9λ<-.故答案为：1；9λ<-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线()1:220l x m y +-=，2:220l mx y +-=，且满足12l l ⊥，垂足为C .（1）求m 的值及点C 的坐标.（2）设直线1l 与x 轴交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，求ABC V 的外接圆方程.【答案】（1）12m =；()1,1C .（2）()2211x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合121k k ×=-，求得12m =，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标.（2）由（1）中的直线方程，求得()0,0A ，()2,0B ，得到ABC V 的外接圆是以AB 为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解.【小问1详解】解：显然1m ≠，可得1122k m =--，22k m =-，由12l l ⊥，可得121k k ×=-，即()12122m m ⎛⎫-⋅-=- ⎪-⎝⎭，解得12m =，所以直线1l ：0x y -=，直线2l ：20x y +-=，联立方程组020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以点()1,1C ．【小问2详解】解：由直线1l ：0x y -=，直线2l ：20x y +-=，可得()0,0A ，()2,0B ，所以ABC V 的外接圆是以AB 为直径的圆，可得圆心1,0，半径112r AB ==，所以ABC V 的外接圆方程是()2211x y -+=．16.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）221nn S n =+-.【解析】【分析】（1）设公差为d ，公比为q ()0q >，根据已知列出方程可求出2=d ，2q =，代入通项公式，即可求出结果；（2）分组求和，分别求出{}n a 和{}n b 的前n 项和，加起来即可求出结果.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ()0q >，因为111a b ==，则由3521a b +=可得，41221d q ++=，即4202q d =-，由5313a b +=可得，21413d q ++=，解得2124q d =-，则3d <.所以有()24202124q d d =-=-，整理可得2847620d d -+=，解得2=d 或3138d =>（舍去）.所以2=d ，则212424q =-⨯=，解得2q =±（舍去负值），所以2q =.所以有()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=.【小问2详解】由（1）知，21n a n =-，12n n b -=，则1212n n n a b n -+=-+.()()()1122n n n S a b a b a b =++++++L 1212n n a a a b b b =+++++++ ()()112112212n n n n ⨯--=⨯++-221n n =+-.17.已知圆C ：2244100x y x y m +----=，点()1,0P ．（1）若17m =-，过P 的直线l 与C 相切，求l 的方程；（2）若C 上存在到P 的距离为1的点，求m 的取值范围．【答案】（1）1x =或3430x y --=（2）1212⎡---+⎣【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算；（2）要使圆C 上存在到点P 的距离为1的点，则圆心C 到()1,0P 的距离d 满足，11180r d r m -≤≤+⎧⎨+>⎩，运算得解.【小问1详解】因为17m =-，所以圆C 的方程为()()22221x y -+-=①当l 的斜率不存在时，l 的方程为1x =，与圆C 相切，符合题意；②当l 的斜率存在时，设l 的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，圆心C 到l 的距离1d =，解得34k =，则l 的方程为()314y x =-，即3430x y --=，综上可得，l 的方程为1x =或3430x y --=．【小问2详解】由题意可得圆C ：()()222218x y m -+-=+，圆心()2,2C ，半径r =，则圆心C 到()1,0P 的距离d ==要使C 上存在到P 的距离为1的点，则11180r d r m -≤≤+⎧⎨+>⎩，即11180m -≤+>⎪⎩，解得1212m ---+≤≤，所以m 的取值范围为1212⎡---+⎣．18.已知数列{}n a 满足：()*312232222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，数列{}n b 满足5012n n b a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求100n n b b -+的值；（3）求12399b b b b +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）2nn a =（2）5012（3）51992【解析】【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，可得311223112222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-，两式相减，求得2n n a =，再由1n =，得到12a =，即可求得数列的通项公式.（2）由（1）得50122n n b =+，结合指数幂的运算法则，即可求得100n n b b -+的值；.（3）由（2）知1005012n n b b -+=，结合倒序相加法，即可求解.【小问1详解】由数列满足：()*312232222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，当2n ≥时，可得311223112222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-，两式相减，可得12n n a=，所以2n n a =，当1n =，可得112a =，所以12a =，适合上式，所以数列的通项公式为2n n a =.【小问2详解】由数列满足505011222n n n b a ==++，则100100505010050502222211122222nn n nn nn b b --+++++++==⋅5050505505005022+212(2+2)(222)21+22n n n n n =+==+.【小问3详解】由（2）知1005012n n b b -+=，可得123995050129509111222222b b b b +++⋅⋅⋅+++++++=，则999899997150580510211122222b b b b +++⋅⋅⋅++++++=+ ，两式相加可得123995099(2)2b b b b +++⋅⋅=⋅+，所以1239951992b b b b +++⋅⋅⋅=+.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，410S =，数列{}n b 满足13b =，121n n b b +=-．（1）证明：数列{}1n b -是等比数列；（2）证明：2112n n n n S b S b ++⋅>⋅；（3）若()421nn n a c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）11634994n n n T -+=-⋅.【解析】【分析】（1）由递推关系得112(1)n n b b +-=-，结合等比数列定义证明；（2）由等差数列前n 项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n 项和公式，再应用作差法比较大小即可；（3）应用错位相减、等比数列前n 项和求结果.【小问1详解】由题设112112(1)n n n n b b b b ++=-⇒-=-，而112b -=，所以{}1n b -是首项、公比均为2的等比数列，得证.【小问2详解】令数列{}n a 的公差为d ，而414646101S a d d d =+=+=⇒=，所以(1)(1)22n n n n n S n -+=+=，又12nn b -=，则2111(21)()222(1)22222n n n n n n n S b n n b n S ++++++=⨯-⨯⋅⋅-⨯(21)(1)22(1)2n n n n n n =++⨯-+⨯(1)20n n =+⨯>恒成立，所以2112n n n n S b S b ++⋅>⋅，得证.【小问3详解】由上知n a n =，则()4214441nn n n n a n nc b -===-，则21231444n n n T -=++++L ，即2311231444444n n n T n n --=+++++ ，所以2311131111411444444414n n n n n T n n --=+++++-=-- ，即11634994n n n T -+=-⋅。
2024学年长沙市高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年长沙市高二数学上学期期中考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线120x y +-=的倾斜角是（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π32．已知点B 是A （3，4，5）在坐标平面xOy 内的射影，则|OB|＝（）A ．B ．C ．5D ．3．长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P 的椭圆的标准方程为（）A ．2219x y +=B ．221819x y +=C ．2219x y +=或221819y x +=D ．2219y x +=或221819x y +=4．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围为（）A ．()2,1--B ．()(),21,-∞-⋃-+∞C ．()1,2D ．()(),12,-∞+∞ 5．在正四棱锥P ABCD -中，4,2,PA AB E ==是棱PD 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值是（）A ．B ．C ．38D ．6．已知椭圆22:195x y C +=的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点(0,A ，则APF 的周长最大值为（）A ．9+B ．7+C ．14D ．157．已知()()3,0,0,3A B -，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射到P 点，则光线所经过的路程为（）A ．B ．6C ．D ．8．已知,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，则点M 的轨迹方程为（）A ．()211y x x =-+≠±B ．()211y x x =+≠±C ．()211x y y =-+≠±D ．()211x y y =+≠±二、多选题（本大题共3小题）9．（多选题）已知点A (－3,－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于（）A ．79B ．13-C ．79-D ．1310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12F F ､，过点1F 的直线与C 的左支相交于,P Q 两点，若2PQ PF ⊥，且243PQ PF =，则（）A ．4PQ a=B ．13PF PQ =C ．双曲线C 的渐近线方程为y =D ．直线PQ 的斜率为411．已知椭圆221:195x y C +=，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，将1C 上所有点的横坐标沿着x 轴方向、纵坐标沿着y 轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，动点P ，Q 在1C 上且直线PQ 的斜率为12-，则（）A ．顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形B ．3C 的面积为1C 的4倍C ．3C 的方程为2244195x y +=D ．线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上三、填空题（本大题共3小题）12．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为．13．直线2y x =-与抛物线22y x =相交于,A B 两点，则OA OB ⋅=．14．设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且BF OB =，则C 的离心率为．四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()1,0B ，动点P 满足PA PB ⊥．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若过点()1,2Q 的直线l 与点P 的轨迹（包括点A 和点B ）有且只有一个交点，求直线l 的方程．16．如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正切值．17．已知顶点为O 的抛物线212y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点．(1)若直线l 过点()5,0M ，且其倾斜角ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OAB S 的取值范围；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．18．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △的边长为3E 在母线PC 上，且3,1AE CE ==.(1)求证：直线//PO 平面BDE ；(2)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ 上的中线长为32．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；(3)直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．参考答案1．【答案】C【分析】求出直线的斜率即可求解.【详解】因为120x y +-=，所以12y x =-+，所以直线120x y +-=的斜率为1-，所以直线120x y +-=的倾斜角为3π4.故选：C.2．【答案】C【详解】解：∵点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，∴B （3，4，0），则|OB|＝5．故选：C ．3．【答案】C【详解】当椭圆的焦点在x 轴上时，长半轴长为3，则短半轴长为1，所以椭圆的方程为2219x y +=；当椭圆的焦点在y 轴上时，短半轴长为3，则长半轴长为9，所以椭圆的方程为221819y x +=；所以椭圆方程为2219x y +=或221819y x +=.故选：C.4．【答案】B【详解】因为方程22121x y m m -=++表示双曲线，所以()()210m m ++>，解得2m <-或1m >-，故m 的取值范围为()(),21,-∞-⋃-+∞.故选：B.5．【答案】D 【详解】由题意知，4,2,PA AB ==PO ==所以(P ，()0,A ，()C ，()D ，22E ⎛- ⎝⎭，，21422AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，(PC ,所以c o 24s AE PC ⋅== 故选：D.6．【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，||4||AF AF =='，||||26PF PF a +'==，利用||||||PA PF AF -'' ，即可得出．【详解】如图所示设椭圆的左焦点为F '，||4||AF AF =='，则||||26PF PF a +'==，||||||PA PF AF -'' ，APF ∴△的周长||||||||||6||AF PA PF AF PA PF =++=++-'46||||10||10414PA PF AF =++-'≤+'=+=，当且仅当三点A ，F '，P 共线时取等号．APF ∴△的周长最大值等于14．故选：C ．7．【答案】C【详解】直线AB 的方程为3y x =+，设点()0,2P 关于3y x =+的对称点为()1,P a b ，则212322b ab a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩，得1,3a b =-=，即()11,3P -点()0,2P 关于x 轴的对称点为()20,2P -，由题意可知，如图，点12,P P 都在光线CD 上，并且利用对称性可知，1DP DP =，2CP CP =，所以光线经过的路程211226PC CD DP P C CD DP PP ++=++==故选：C 8．【答案】A【详解】设(),M x y ()1x ≠±，则211AM BM y yk k x x -=-=+-，整理得()211y x x =-+≠±，所以动点M 的轨迹方程是()211y x x =-+≠±.故选：A.9．【答案】BC【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等，由点A 和点B 到直线的距离公式，可得2234163111a a a a --+++++化简得3364a a +=+，所以()3364a a +=±+，解得79a =-或13-，故选：BC .10．【答案】BC【详解】由243PQ PF =，设3PQ m =，24PF m =，由2PQ PF ⊥，得25QF m =，则142PF m a =-，152QF m a =-，而11||||||PF QF PQ +=，解得23am =，因此12||3a PF =，14||3a QF =，对于A ，2PQ a =，A 错误；对于B ，显然112F F P Q = ，则13PF PQ =，B 正确；对于C ，令12||2F F c =，在12PF F 中，由2221212PF PF F F +=，得222464499a a c +=，则22179c a =，222289b c a =-=，即b a C的渐近线方程为3y x =±，C 正确；对于D ，由2121tan 4PF PF F PF ∠==，结合对称性，图中,P Q 位置可互换，则直线PQ 的斜率为4±，D错误.故选：BC 11．【答案】ABD【详解】椭圆221:195x y C +=的焦点为()2,0-，2,0，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，则椭圆2C 的焦点为()0,2-，0,2，所以顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形，故A 正确；将1C 上所有点的横坐标沿着x 轴方向、纵坐标沿着y 轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，所以3C 与1C 为相似曲线，相似比为2，所以3C 的面积为1C 的面积的224=倍，故B 正确；且3C 的方程为2222195x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即2213620x y +=，故C 错误；设1,1，2,2，则1212,22x x y y R ++⎛⎫⎪⎝⎭，又2211195x y +=，2222195x y +=，所以2222121209955x x y y -+-=，即()()()()12121212095x x x x y y y y +-+-+=，所以1212121259y y y y x x x x -+⋅=--+，即59PQ OR k k ⋅=-，所以109OR k =，所以线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上，故D 正确；故选：ABD12．【答案】x ＋4y －4＝0【解析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.故答案为：x ＋4y －4＝0.13．【答案】0【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+，由222y x y x=-⎧⎨=⎩，解得2240y y --=或2640x x -+=，所以124x x =，124y y =-，所以1212440OA OB x x y y =+=-+=．故答案为：0．14．【答案】【分析】由双曲线C 的右焦点(c,0)F 到渐近线的距离为FH b =，得到直角FOH △的内切圆的半径为r ，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，结合BF OB =和BF MH FH +=，列出方程求得a b =，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，又由双曲线C 的右焦点(c,0)F 到渐近线的距离为FH b =，所以OH a ==，则直角FOH △的内切圆的半径为2a b cr +-=，如图所示，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则2a b cMH r +-==，因为BF OB = ，可得12FM BF c ==，所以122a b cBF MH c FH b +-+=+==，可得a b =，所以双曲线C 的离心率为c e a ==故答案为：.15．【答案】(1)()2210x y y +=≠(2)3450x y -+=或1x =【详解】（1）法一：设s ，因为PA PB ⊥，所以由0PA PB ⋅= ，得()()221,1,10x y x y x y +⋅-=-+=，所以动点P 轨迹方程为()2210x y y +=≠.法二：由题2,AB PA PB =⊥，所以P 点的轨迹是以AB 中点O 为圆心,半径为1的圆去掉A 、B 得到的，所以P 点的轨迹方程为()2210x y y +=≠（2）因为直线l 与点P 的轨迹（并上点A 和点B ）有且只有一个交点（如图），①若斜率不存在，此时直线l 方程为：1x =，与圆221x y +=切于点B ，②当直线l 与圆相切斜率存在时，设():12l y k x =-+，即20kx y k -+-=，根据圆心到切线距离等于半径可得1=，得34k =，所以此时直线l 方程为3450x y -+=.综上，直线l 方程为1x =或3450x y -+=.16．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE BF m ==且0m a ≤≤，应用向量法求证C E A F ''⊥垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF 面积最大求出参数m ，再标出相关点的坐标，求平面B EF '与平面BEF 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF m ==且0m a ≤≤，所以(0,,)C a a '，(,0,)A a a '，(,,0)E a m ，(,,0)F a m a -，则(,,)C E a m a a '=-- ，(,,)A F m a a '=-- ，故2()0C E A F am a m a a ''⋅=-+-+=，所以C E A F ''⊥，即A F C E ''⊥.（2）由（1）可得三棱锥B BEF '-体积取最大，即BEF △面积()22112228BEF a a S m a m m ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 最大，所以当2a m =时()2max 8BEF a S = ，故E 、F 为AB 、BC 上的中点，所以,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,,)B a a a '，故0,,2a EB a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭ ，,0,2a FB a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，若(,,)m x y z = 为平面B EF '的法向量，则022am EB y az a m FB x az ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=''+=⎪⎩ ，令1z =-，故(2,2,1)m =- ，又面BEF 的法向量为(0,0,1)n =，所以11cos ,313m n m n m n ⋅-===⨯ ，设平面B EF '与平面BEF 的夹角为θ，由图可知θ为锐角，则1cos 3θ=，所以22sin 3θ==，所以sin tan cos θθθ==所以平面B EF '与平面BEF的夹角正切值为17．【答案】(1)⎡⎣(2)存在，9y x =-+或9y x =--【详解】（1）由题可知()3,0F ，且直线l 的斜率不为0，设1,1,2,2．设直线l 的方程为50kx y k --=，因为ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3k ∈⎣，因此点O 到直线l的距离为d =联立212,15,y x x y k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩则212600y y k --=，显然Δ0>，所以121212,60y y y y k +==-，则AB =，所以12OAB S d AB == 当213k =时，OAB S取得最大值为，当23k =时，OABS 取得最小值为，所以OABS的取值范围为⎡⎣．（2）设直线方程为y x b =+，即x y b =-，联立212,,y x x y b ⎧=⎨=-⎩得212120y y b -+=，故144480b ∆=->即3b <,又121212,12y y y y b +==，易知()()11223,,3,FA x y FB x y =-=-，因为FA FB ⊥，则0FA FB ⋅=，因为1122,x y b x y b =-=-，所以()()2121223(3)0y y b y y b -++++=，即218270b b +-=，解得9b =-+9b =--，故存在斜率为1的直线l，使得FA FB⊥，此时直线l的方程为9y x=-+9y x=--18．【答案】(1)证明见解析(2)14【详解】（1）设AC BD F⋂=，连接EF，ABD为底面圆O的内接正三角形，2πsin3AC∴==，F为BD中点，2221,,AE CE AE CE AC AE EC==∴+=∴⊥，又3312,2,12223AF CF AO AF==∴=-===.AF AEAE AC=，且,,,EAF CAE AEF ACE AFE AEC EF AC∠∠∠∠=∴∴=∴⊥∽.PO⊥平面,ABD AC⊂平面,ABD PO AC∴⊥，//EF PO∴，PO⊄平面,BDE EF⊂平面BDE，//PO∴平面BDE.（2）1,2OF CF F==∴为OC中点，又//PO EF，E∴为PC中点，2PO EF=，2EF==，PO∴=，则2PC=，以F为坐标原点，,,FB FC FE方向为,,x yz轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则3110,,0,,0,0,0,0,,,0,0,0,,0,0,,222222A B E D O P⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛----⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(3313,0,0,,,0,0,,0,,02222AB AE OP DO DA⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴=====⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()101,2OM OP DM DO OMλλ⎫==≤≤∴=+=-⎪⎪⎝⎭.设平面ABE的法向量 =s s，则30,230,22AB n x y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩令1y =-，解得x z n =∴=-，设直线DM 与平面ABE 所成夹角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴===⋅ ，令32t λ=+，则[]22,5,3t t λ-∈∴=，2222222(2)1314717431(32)33t t t t t t t λλ-++-+⎛⎫∴===-+ ⎪+⎝⎭，111,,52t ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦ 当127t =，即12λ=时，22min31311449(32)74λλ+⎡⎤+==⎢+⎣⎦，max (sin )1θ∴=，此时1,0,1,2DM MA DA DM ⎛=-∴=-=- ⎝⎭⎝⎭ ，∴点M 到平面ABE的距离12MA n d n ⋅=.19．【答案】(1)2212x y +=；(2)220x y -+-或220x y ++=；.【分析】（1）根据POQ 的边PQ上中线为PQ =，再联立2222,2c e a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅=，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【详解】（1）由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ为直角三角形，所以PQ ==又22222c e a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由（1）知，1(1,0)F -,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++-=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=-+-=->，即2102k <<.且22121222882,1212k k x x x x k k -+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，所以1122(1,)(1,)0x y x y ------=，即12121210x x x x y y ++++=，所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=，即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k +-+-+++=++，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=；（3）由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ，则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，5566(,),(,)E x y F x y ，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以22343422422,1212k k x x x x k k -+==++，所以23422,212M x x k x k+==+2(1)12M M k y k x k =-=-+，所以2222(,)1212k kM k k -++，同理联立22121(1)2x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222(12)2140k x x k +-+-=，所以2565622214,1212k x x x x k k -+==++所以5621,212N x x x k +==+21(1)212N Nky x k k =--=+所以221(,1212k N k k ++，即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||112||||12412212282||||OMN M N k k S OT y y k k k k =-==⨯=⨯≤+++ ，当且仅当12||||k k =，即22k =±时取等号，所以OMN的面积最大值为【思路导引】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式得到面积的最值.。
南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷及答案
南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点()2,4-和()4,1-的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．145B ．145-C ．73D ．73-2．过圆225x y +=上一点()2,1M --作圆的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+=B ．250x y ++=C ．250x y --=D ．250x y +-=3．若k ∈R ，则“22k -<<”是“方程221362x y k k+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为()sin 10x y θθ+-=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．()0,πB ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m +-=为圆()()22:2716C x y -++=的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（ ）A ．[]48,22-B ．[]18,8--C ．(][),4822,-∞-+∞D ．(][),188,-∞--+∞7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1D ．)18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ∠=∠，则PA PB的值是（ ）A ．5BC ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的周长为5C ．1290F PF ∠<︒D ．113PF ≤≤10．已知()0,2M ，()0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP =的有（ ） A ．370x -=B ．4320x y +-=C ．221x y +=D ．2222140x y x y +-+-=11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点()1,0F c -，()2,0F c ，动点P 满足212PF PF a ⋅=（a ，0c >且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF +的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．2ca ≥时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF ⊥ 三．填空题12．与双曲线2212x y -=有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x =的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y +-=与直线2:220l x ay +-=．（1）当12l l ⊥时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点()1,2A ，()1,2B --，点P 满足4PA PB ⋅=． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点()2,0Q -分别作直线MN ，RS ，交曲线Γ于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t +=与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆()222222212:C x y t t t +=≠与椭圆E 交于A '，B '，C '，D '四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和抛物线()2:20E y px p =>．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：(1P -，(22,P，)31P -，()49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点()3,0T -，直线3x my =+与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k +是否为定值，并说明理由． 19．设a 为实数，点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=． （ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率()415246k --==---，∴直线的方程为()5426y x -=-+，即5763y x =-+， ∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ． 2．【答案】B【解析】00525xx yy x y +=⇒--=，故选B ． 3．【答案】B【解析】方程221362x y k k +=+-表示椭圆3602021362k k k k k+>⎧⎪⇒->⇒-<<-⎨⎪+≠-⎩或12k -<<，故选B ． 4．【答案】C【解析】设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由MO =()2220054y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ∴24y =或220y =-（舍去），即214y x ==， ∴M 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离()112d =--=，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C【解析】当sin 0θ=时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2， 当sin 0θ≠时，则直线的斜率(][)1,11,sin k θ=-∈-∞-+∞，即直线倾斜角为πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ． 6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点， 故圆心()2,7C -到直线l 的距离7d ≤，即()423775m⨯+⨯--≤，解得[]48,22m ∈-，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F θ∠=，则12sin MF c θ=，22cos MF c θ=， 根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a θθ-=-=，1π4c aθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π5π,312θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故πππ,4126θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1c e a =<，故选D ． 8．【答案】C【法一】由题意知()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ， 直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k =-， 由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB∠==∠∠， 又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB∠∠=∠=-∠，则122121k k k -=-， 联立解得2119k =，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB -∠=∠=∠，所以cos PAB ∠=，即5PA PB =， 【法二】设()00,P x y ，则00tan 2y PAB x ∠=+，00tan 2y PBA x ∠=--， 0000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x +∠=∠⇒-=∠=∠=⇒=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，20144169y =5PAPB==二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a =，1c ===，∴离心率12c e a ==，故选项A 错误， 对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a +==，1222F F c ==， ∴12PF F △的周长为426+=，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，12tan23F PF c b ∠==， 又∵120902F PF ∠︒<<︒，∴12302F PF∠=︒，即1260F PF ∠=︒， ∴1290F PF ∠<︒，故选项C 正确， 对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c -≤≤+，∴113PF ≤≤，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】()2254,39P x y x y ⎛⎫⇒=+-= ⎪⎝⎭对于A ，7233d R -=>=，所以直线与圆相离，不存在点P ； 对于B ，5232553d R -==<=，所以直线与圆相交，存在点P ； 对于C ，121252133C C R R ==+=+，所以两圆外切，存在点P ；对于D ，()()22121221116433x y C C R R -++=⇒=<-=-，所以两圆内含，不存在点P ． 11．【答案】ACD【解析】212a PF PF =⋅==对于A ，用x -代x 得222x y c ++=y 轴对称，用y -代y 得222x y c ++=x 轴对称，用x -代x ，y -代y 得222x y c ++=所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a >时，122PF PF a +≥=，当0a =时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c +=，所以B 错误； 对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确； 对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为()1,PF c x y =---，()2,PF c x y =--，所以222x y c +=，由222x y c ++=22c =222c a ≥，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y -= 【解析】设所求双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，将点代入双曲线方程得121λ=-=-，故方程为2212x y -=．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ， 线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x +=，故12426AB x x p =++=+=． 14．【答案】57【解析】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =-， 又点()5,4P ，则25c PF ==，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =-，交直线2x =-于点G ， 过P 作PM 垂直直线1x =-，交直线1x =-于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=--=，故椭圆离心率2527c e a =≤．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ⊥，则20a a +=，解得0a =．（2）由12l l ∥得22244a a ⎧=⎨-≠-⎩，解得1a =-，直线2l 的方程为220x y -+-=，即220x y -+=， 直线1l 的方程为220x y --=， 因此，1l 与2l 之间的距离为d ==． 16．【解析】（1）设(),P x y ，则()()41,21,2PA PB x y x y =⋅=--⋅----，故轨迹方程为229x y +=． （2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n，则12S MN RS == 因为MN RS ⊥，所以224m n +=，所以)204S m ==≤≤，所以S ⎡⎤∈⎣⎦，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值17．【解析】（1） 222249253a b a b e ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩椭圆22:195x y E += （2）设()33,A x y '，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 ∴331144x y x y =，即22221133x y x y=∵A ，A '均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x x +=，222231135151599x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()()()()()22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y +=+++=+=+++=为定值． 18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p =-，12，2，12，故抛物线E 方程为2y x =故(1P -，)31P -为椭圆上的点22222242186141a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩椭圆C 方程22184x y += （2）设()12,A x x ，()22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x =++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩()()()121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y ++++=+=++=-为定值． 19．【解析】（1）因为点()2,3在双曲线C 上，所以22222312a a -=+，整理得42780a a +-=， 即()()22180a a -+=，解得21a =，则双曲线C 的方程为2213y x -=； （2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即112y kx k =+-， 联立2211213y kx k y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 并整理得()()222132404k x k k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭， 设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ， 所以关于x 的方程()()222132404kxk k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭有两个不同的正数根1x ，2x ，()()()()()()()()()22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧⎛⎫-+--+> ⎪⎪⎧-+->⎝⎭⎪⎪⎪⎪--<⇒-->⎨⎨⎪⎪-<⎛⎫⎪⎪⎩---+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得k ∈⎝则斜率k的取值范围为⎝； （ⅱ）设()00,H x y ，由（ⅰ）得()()12222233k k k k x x k k --+=-=--，()222122221144416443343k k k k k k x x k k k ⎛⎫--+-+ ⎪-+⎝⎭===---， 因为1112x a ≥=>，2112x a ≥=>，()()01020x x x x --<， 又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x ---===---，0120MH x x HN x x -=-， 由PM MH PN HN=得0112202121x x x x x x --=--，即()()()()1202012121x x x x x x --=--， 化简得()()()1201212214x x x x x x x +-=-+，所以()()202222241621333k k k k k k x k k k --⎛⎫-+-=- ⎪---⎝⎭， 整理得()()()2202234162k k k x k k k k --+=-+--，解得0832kx k -=-，即003821x k x -=- 又点()00,H x y 在直线112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上，所以()001136911223264k k y k x k k +⎛⎫=-+=+= ⎪--⎝⎭ 即00000386921386421x x y x x -+⋅-=--⋅-，故点H 恒在定直线3260x y --=上．。
河南省信阳2024-2025学年高二上学期期中考试 数学含答案
河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题（答案在最后）命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.43.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-= D.22(1)(5)25x y +++=5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +-6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，OP =PF =（）A.4B.6C.8D.107.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.B. C.6 D.128.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,2,3c =-，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆2228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P 的轨迹长度为三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．19.已知椭圆M ：22221(3x y a a a +=>-倍.（1）求M 的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l 与M 交于A ，B 两点，线段AB 的中点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，求m .20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF .（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．河南省信阳2024-2025学年高二上期期中测试数学试题命题人：一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知直线l 经过点(1,0)P ，且方向向量(1,2)v =，则l 的方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B 【解析】【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可；【详解】因为直线的方向向量(1,2)v =，所以直线的斜率为2，又直线l 经过点(1,0)P ，所以直线方程为()021y x -=-，即220x y --=，故选：B.2.已知()()2,2,11,1,a b k ==-- ，，且2a b ⊥ ，则k 的值为（）A.5B.5- C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由题意可得20⋅=a b ，代入坐标计算可得答案．【详解】由题意可得()22,2,2b k =-- ，则24420a b k ⋅=--+= ，解之可得4k =.故选：D ．3.“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“3m =-”和“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选：A.4.以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A.22(1)(5)9x y +++=B.22(1)(5)16x y +++=C.22(1)(5)9x y -+-=D.22(1)(5)25x y +++=【答案】D 【解析】【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为点()1,5C --，半径为5，则圆的方程为22(1)(5)25x y +++=．故选：D ．5.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，2,3OM OA = 点N 为BC 的中点，则MN = （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．【详解】点N 为BC 的中点，则有()12ON OB OC =+，所以()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ .故选：B.6.已知抛物线2:8C x y =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，43OP =PF =（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设()(),0P m n m ≥，结合3OP =4n =，由焦半径公式得到答案.【详解】抛物线2:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-，设()(),0P m n m ≥，则2228,3,m n m n ⎧=⎪+=，解得4n =或12n =-（舍去），则26PF n =+=．故选：B ．7.已知椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()12,,,0330F F -，上的顶点为P ，且1260F PF ∠=︒，则此椭圆长轴为（）A.3B.23C.6D.12【答案】D 【解析】【分析】根据焦点坐标得到c ，再由1260F PF ∠=得到a ，c 的关系求解.【详解】因为椭圆222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()()123,0,3,0F F -，则3c =，又上顶点为P ，且1260F PF ∠=，所以1sin 302c a =︒=，所以6a =，故长轴长为12.故选：D8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 在C 的右支上，2QF 与C的一条渐近线平行，交C 的另一条渐近线于点P ，若1OQ PF ∥，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】设出直线2PF 的方程，与渐近线的方程联立，求出P 的坐标，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，求出Q 的坐标，代入双曲线的方程求解即可.【详解】令()2,0F c ，由对称性，不妨设直线2PF 的方程为()by x c a=-，由()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x c =，2bc y a =-，即点P 的坐标为,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由O 为12F F 的中点，1OQ PF ∥，得Q 为2PF 的中点，则点Q 的坐标为3,44c bc a ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线的方程，有222222911616c b c a a b -=，即222c a =，222c a=，解得e =，所以双曲线C．故选：A二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知向量()2,0,2a =r ，13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,3c =- ，则下列结论正确的是（）A.a 与b垂直B.b 与c共线C.a 与c所成角为锐角D.a ，b ，c，可作为空间向量的一组基底【答案】BC 【解析】【分析】对A ：计算出a b ⋅ 即可得；对B ：由向量共线定理计算即可得；对C ：计算a c ⋅ 并判断a 与c是否共线即可得；对D ：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A ：132********a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯+⨯-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭r r ，故a 与b 不垂直，故A 错误；对B ：由13,1,22b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 、()1,2,3c =-，有12b c = ，故b 与c 共线，故B 正确；对C ：()21022380a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=> ，且a 与c不共线，故a 与c所成角为锐角，故C 正确；对D ：由b 与c 共线，故a ，b ，c不可作为空间向量的一组基底，故D 错误.故选：BC .10.下列说法正确的是（）A.330y +-=的倾斜角为150︒B.若直线0ax by c ++=经过第三象限，则0ab >，0bc <C.点()1,2--在直线()()()212430x y λλλλ++-+-=∈R 上D.存在a 使得直线32x ay +=与直线20ax y +=垂直【答案】ACD 【解析】【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A ；利用特殊值判断B ；将点的坐标代入方程即可判断C ；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D.【详解】对于A：直线330y +-=的斜率33k =-，所以该直线的倾斜角为150︒，故A 正确；对于B ：当0a =，0bc >时，直线cy b=-经过第三象限，故B 错误；对于C ：将()1,2--代入方程，则()2212430y λλ----+-=，即点()1,2--在直线上，故C 正确；对于D ：若两直线垂直，则320a a +=，解得0a =，故D 正确.故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列选项中正确的有（）A.异面直线1B D 与1AA 的夹角的正弦值为63B.二面角1A BD A --C.四棱锥111A BB D D -的外接球体积为3π2a D.三棱锥1A BC D -与三棱锥111A B D D -体积相等【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A ：根据异面直线的夹角分析求解；对于B ：分析可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，运算求解即可；对于C ：四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，求正方体的外接球即可；对于D ：根据锥体的体积公式分析判断即可.【详解】对于A ：因为11//AA BB ，在1Rt B BD 中，1BB D ∠就是异面直线所成的角，且1,BD B D ==，则1sin3BB D ∠==，故A 正确；对于B ：连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA ⊥BD ，又因为BD ⊥AO ，1AA AO A ⋂=，1,AA AO ⊂平面1AOA ，可得BD ⊥平面1AOA ，且1AO ⊂平面1AOA ，则BD ⊥1A O ，可知1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角，在1Rt A AO △中，1tan 222A OA a∠==B 错误；对于C ，显然四棱锥111A BB D D -的外接球即为正方体的外接球，因为正方体外接球的半径32R a =，所以正方体的外接球体积为3343ππ32V R a ==，故C 正确；对于D ，因为111111A B D D D A B D V V --=，三棱锥1A ABD -的高1AA 与三棱锥111D A B D -的高1DD 相等，底面积111ABD A B D S S =△△，故三棱锥1A ABD -与三棱锥111A B D D -体积相等，故D 正确.故选：ACD .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB ，圆22228C :(x a )(y -+-=，则下列选项正确的是（）A.当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B.1ABC 的面积最大值为1C.若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D.若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数a 的范围判断A ，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B ，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C ，先根据矩形性质结合垂径定理得到点P 的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D .【详解】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,0圆2228C :(x a )(y -+-=的圆心为(a，半径为当圆1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-+≤，解得35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=- ，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且ABOP ==，又AB =，所以=，化简得()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0的圆，其周长为长度为，正确.故选：ABD三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.两条平行直线1:3450l x y +-=与2:6850l x y +-=之间的距离是_______．【答案】12##0.5【解析】【分析】将直线1l 的方程可化为68100x y +-=，利用平行线间的距离公式可求得结果.【详解】直线1l 的方程可化为68100x y +-=，且直线2l 的方程为6850x y +-=，所以，平行直线1l 与2l之间的距离为12d ==.故答案为：12.14.已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别是1F 、2F ，离心率为43，P 为双曲线上一点，4OP =（O 为坐标原点），则12PF F 的面积为______.【答案】7【解析】【分析】由双曲线的离心率可求得c 的值，可求得12F F 的值，推导出12F PF ∠为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出12PF PF ⋅的值，再利用三角形的面积公式可求得12PF F 的面积.【详解】如图所示：因为双曲线C 的离心率433c c e a ===，所以4c =，128F F =，设点P 在双曲线的右支上，由1212142OP F F OF OF ====，可得22OPF OF P ∠=∠，11OPF OF P ∠=∠，所以，()121212121π22F PF OPF OPF OPF OPF OF P OF P ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=，由双曲线定义可得126PF PF -=，由勾股定理可得222121264PF PF F F +==，所以()222121212236PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，可得1214PF PF ⋅=，因此12PF F 的面积为12172S PF PF =⋅=.故答案为：7.15.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 的面积为9，则b 的值为______．【答案】3【解析】【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.【详解】122PF PF a += ，222121224PF PF PF PF a ∴++⋅=，①又12,PF PF ⊥222212124PF PF F F c ∴+==②∴①-②得：()22212244PF PF a c b ⋅=-=，2121,2PF PF b ∴⋅=12PF F △的面积为9，1221219,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==> ，3.b ∴=故答案为：3.16.已知棱长为1的正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则BN DM ⋅=_______【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由题意可得：111,222BN BA BD DM BC BD =+=- ，根据空间向量的数量积运算求解.【详解】由题意可知：1BA BC BD === ，且12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ，因为M 为BC 中点，N 为AD中点，则111,222BN BA BD DM BM BD BC BD =+=-=- ，所以111222BN DM BA BD BC BD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211114422BA BC BD BC BA BD BD =⋅+⋅-⋅-uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r 1111111142422222=⨯+⨯-⨯-=-.故答案为：12-四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知等腰ABC V 的一个顶点C 在直线l ：240x y -+=上，底边AB 的两端点坐标分别为()1,3A -，()2,0B ．（1）求边AB 上的高CH 所在直线方程；（2）求点C 到直线AB 的距离．【答案】（1）10x y -+=（2）722【解析】【分析】（1）求出AB 的中点H 的坐标，利用垂直关系得到高CH 所在直线的斜率，得到高CH 所在直线方程；（2）联立两直线得到点C 的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.【小问1详解】由题意可知，H 为AB 的中点，()1,3A - ，()2,0B ，13,22H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．又30112AB k -==---，11CH ABk k ∴=-=．CH ∴所在直线方程为3122y x -=-，即10x y -+=．【小问2详解】由24010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,2C --．又直线AB 方程为()2y x =--，即20x y +-=．∴点C 到直线AB 的距离722d ==．18.已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．（1）若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =，求实数a 的值；（2）过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【答案】（1）2a =-或6-；（2）1x =或512290x y +-=．【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．【小问1详解】圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB ==，解得2a=-或6-；【小问2详解】当切线的斜率不存在时，直线1x=，与圆C相切，切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x-=-，即20kx y k--+=，2=，解得512k=-，故切线方程为512290x y+-=，综上所述，切线方程为1x=或512290x y+-=．19.已知椭圆M：22221(3x y aa a+=>-倍.（1）求M的方程；（2）若倾斜角为π4的直线l与M交于A，B两点，线段AB的中点坐标为1,2m⎛⎫⎪⎝⎭，求m.【答案】（1）22163x y+=（2）1m=-【解析】【分析】（1）根据条件确定a的值，即得椭圆的标准方程；（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.【小问1详解】由题意可得2a=26a=，所以M的方程为22163x y+=.【小问2详解】由题意得πtan14ABk==.设()11,A x y，()22,B x y，依题意可得12x x≠，且12122,1212x x my y+=⎧⎪⎨+=⨯=⎪⎩，由22112222163163x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()()()()12121212063x x x x y y y y-+-++=，则12122121106363y y m m x x -+⨯=+⨯=-，解得1m =-.经检验，点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆M 内.所以1m =-为所求.20.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果；【小问1详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,0,1,1,1P C D M N ,()()0,2,2,2,0,0PD CD =-=- ，()0,1,1MN = ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则22020n PD y z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，得()0,1,1n = ，因为//MN n ，所以MN ⊥平面PCD ；【小问2详解】()()()0,0,2,2,2,0,1,0,0,P C M ()1,0,2PM =- ，()1,2,0MC = ，设平面PMC 的一个法向量为(),,m a b c =，则2020m PM a c m MC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2a =，得()2,1,1m =- ，()0,2,2,PD =- 设直线PD 与平面PMC 所成角为θ，则直线PD 与平面PMC所成角的正弦值为：3sin 3PD m PD m θ⋅===⋅ ．21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()2,P n 是抛物线C 上位于第一象限的一点，且4=PF.（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）28y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求p ，即可求抛物线的标准方程；（2）首先根据（1）的结果求点P 的坐标，设直线PM 和PN 的直线方程与抛物线方程联立，求得点,M N 的坐标，并表示直线MN 的坐标，即可证明.【小问1详解】由抛物线的定义知422p PF ==+，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】因为点P 的横坐标为2，即282y =⨯，解得4y =±，故P 点的坐标为()2,4，由题意可知，直线PM ，PN 不与x 轴平行，设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线PM ：()42m y x -=-，即42x my m =-+，代入抛物线的方程得()2842y my m =-+，即2832160y my m -+-=，则148y m +=，故184y m =-，所以()211428442882x my m m m m m m =-+=--+=-+，即()2882,84M m m m -+-，设直线PN ：()42m y x --=-，即42x my m =-++，同理可得284y m =--，则()222428442882x my m m m m m m =-++=---++=++，即()2882,84N m m m ++--直线MN 的斜率121216116MN y y m k x x m-===---，所以直线MN 的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线PM 与PN 的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点,M N 的坐标.22.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，1//,AB CD A A ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====.N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）11【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质可得四边形1D MPN 是平行四边形，再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1NP CC ∥，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11D M CC ∥，则有1D M NP ∥、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1D N MP ∥，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、1,1,0、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = ，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为 =1,1,1、 =2,2,2，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =、20z =，即()1,3,1m = ，()1,1,0n =，则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ ，故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为11；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m = ，则有111BB m m ⋅== ，即点B 到平面1CB M 的距离为11．。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
2024学年重庆市八中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年重庆市八中高二数学上学期期中考试卷2024.11一、单选题（本大题共8小题）1．若直线l 的一个方向向量为)e =，则直线l 的倾斜角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π2．若sin cos θθ=，则()sin sin cos θθθ+=（）A ．-1B ．0C ．1D ．23．已知圆C 经过点()1,3和点()4,0，且圆心C 在直线20x y -=上，则圆C 的半径为（）A ．2B ．C ．4D ．54．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是）A ．10B ．C ．40D ．445．已知点G 是ABC V 的重心，若GB AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．13-B ．16-C ．16D ．136．已知直线l 为空间中一条直线，平面α，β，γ为两两相互垂直的三个平面，则（）A ．若//l α，则l 与β和γ相交B ．若l α⊥，则l //β或//l γC ．若l α⊂，则l β⊥，且l γ⊥D ．若l αβ= ，则l γ⊥7．已知海面上有一监测站A ，其监测范围为以A 为圆心，半径为25km 的圆形区域，在A 正东方向30km 处有一货船B ，该船正以20km /h 的速度向北偏西60o 方向行驶，则货船B 行驶在监测站A 监测范围内的总时长为（）A ．0hB ．1hC ．2hD ．3h8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，2MA BM = ，点P 为椭圆C 上一点且()0OP OM λλ=>，则λ的值为（）A ．B ．C ．32D ．2二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆()()221:114C x y +++=，圆()()222:329C x y -+-=，则（）A ．直线12C C 的方程为3410x y --=B ．圆3C 经过1C ，2C 两点，则圆3C 的面积的最小值为25π4C ．与圆1C 和圆2C 都相切的直线共有四条D ．若M ，N 分别为圆1C ，圆2C 上两动点，则MN 的最大值为1010．已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一点，则（）A ．12F PF 的周长为4+B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=C ．若1260F PF ∠=，则12F PF 的面积为D ．使得12F PF 为等腰三角形的点P 共有4个11．在矩形ABCD 中，22AB BC ==，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折，直至点D 落在边AB 上.当ADM △翻折到PAM △的位置时，连结PB ，PC ，则（）A ．四棱锥P ABCM -体积的最大值为4B ．存在某一翻折位置，使得AM PB ⊥C ．E 为AB 的中点，当12PE =时，二面角P AM C --的余弦值为34D ．N 为PB 的中点，则CN 的长为定值三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线y x =与圆2240x y y m +-+=相切，则实数m 的值为.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，2AF BF =，23AFB π∠=，则椭圆C 的离心率为.14．已知正四面体ABCD 的棱长为2，M 在棱CD 上，且3CM MD =，则此正四面体的外接球球心到平面MAB 的距离为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线l 的方程为：()()11230m x m y ++--=.(1)求证：不论m 为何值，直线l 必过定点M ；(2)过（1）中的点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A ，B 两点，求AOB V 面积的最小值.16．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos a c c B -=.(1)求证：2B C =；(2)若ABC ∠的角平分线交AC 于D ，且6a =，求线段BD 的长度的取值范围.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=，不与y 轴垂直的直线l 过点()0,1P 且与圆O 相交于A ，B 两点.(1)已知AB =，求直线l 的方程；(2)已知点()2,1M 且ABM 的面积为l 的方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，PC PD ==E 在棱PB 上，且//PD 平面ACE .(1)求证：E 为PB 中点；(2)求平面EAC 与平面ACD 夹角的正弦值；(3)若点M 为棱PD 上一动点（含端点），求直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值的取值范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14xC y +=与x 轴和y 轴的交点分别为1A ，2A ，1B ，2B （1A 在2A 左侧，1B 在2B 下侧），直线y kx =（0k >且12k ≠）与直线22A B 交于点P ，过点1A 且平行于OP 的直线交C 于点N （异于点1A ），交y 轴于点M ，直线NP 交C 于点Q （异于点N ），直线MP 交x 轴于点H .(1)当14k =时，求出H ，Q 两点的坐标；(2)直线HQ 与直线OP 是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.参考答案1．【答案】A【详解】设倾斜角为α，因为直线l 的方向向量是)e =，则直线l 的斜率33k ==，故倾斜角α的正切值为tan 3α=，且[)0,πα∈，所以l 的倾斜角为π6α=.故选：A.2．【答案】C【详解】因为sin cos θθ=，所以tan 1θ=，所以()()2222sin sin cos tan tan 11sin sin cos 1sin cos tan 111θθθθθθθθθθθ++++====+++.故选：C 3．【答案】B【详解】因为圆心C 在直线20x y -=，设圆心为()2,C a a ，因为圆C 经过点()1,3和()4,0，可得=，解得1a =，故圆心为()2,1C ，则圆的半径为r ==故选：B.4．【答案】C【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为所以侧面梯形的斜高为2h =='，所以棱台的侧面积为()()11444624022S a b h '=⨯+=⨯+⨯=.故选：C 5．【答案】D【详解】如图，由点G 是ABC V 的重心，可得()()211121323333GB BG BA BC AB AC AB AB AC =-=-⨯+=--=-，结合GB AB AC λμ=+ ，可得23λ=，13μ=-，所以13λμ+=.故选：D 6．【答案】D【详解】对A 选项，由//l α，则l 与β和γ相交或平行或在面内，所以A 选项错误；对B 选项，当l βγ=Ç时，l α⊥且l β⊂且l γ⊂，所以B 选项错误；对C 选项，当l α⊂时，l 与β，γ可以成任意角，所以C 选项错误；对D 选项，如图，易得l γ⊥，所以D选项正确；故选：D 7．【答案】C【详解】依题意，如图，易知B 在A 监测范围内行驶的总距离为()240km CD ==，故B 在A 监测范围内行驶的总时长为()402h 20=.故选：C 8．【答案】A【详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点(),0A a ，上顶点()0,B b ，设()00,M x y ，则()()0000,,,MA a x y BM x y b =--=-uuu r uuu r，由2MA BM = 可得()000022a x x y y b -=⎧⎨-=-⎩，解得00323a x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,33a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，又由OP OM λ= ，则2,33a b P λλ⎛⎫⎪⎝⎭，将P 代入椭圆方程22221x y a b+=，得22222331a b a b λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即224199λλ+=，解得5λ=或5-（舍），所以5λ=.故选：A.9．【答案】ABD【详解】圆()()221:114C x y +++=，其圆心()11,1C --，半径12r =，圆()()222:329C x y -+-=，其圆心()23,2C ，半径23r =，对于A ，直线12C C 的方程为112131y x ++=++，即3410x y --=，所以A 正确；对于B ，因为125C C =，当12C C 为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为2525ππ24⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C ，因为125C C =，可得1212C C r r =+，可知圆1C 与圆2C 外切，所以两圆的公切线共有3条，所以C 错误；对于D ，当M ，1C ，2C ，N 共线时，MN 取得最大值121210C C r r ++=，所以D 正确.故选：ABD.10．【答案】AB【详解】对于A，由题意，2a =，c =4+A 正确；对于B ，当点P 位于上下顶点时，12F PF ∠为直角，所以B 正确.对于C ，当1260F PF ∠=时，如图：设11PF t =，22PF t =，则1222121242cos608t t t t t t +=⎧⎨+-︒=⎩⇒1283t t =.所以1212118sin 60223PF F S t t =︒=⨯=C 错误；对于D ，若12F PF 是以P 为顶点的等腰三角形，点P 位于上下顶点；若12F PF 是以1F 为顶点的等腰三角形，则112F P F F ==，此时满足条件的点P 有两个；同理，若12F PF 是以2F 为顶点的等腰三角形，满足条件的点P 有两个；故使得12F PF 为等腰三角形的点P 共六个，所以D 错误.故选：AB 11．【答案】ACD【详解】对于A ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，四棱锥P ABCM -的体积最大，此时四棱锥P ABCM -的高为点D 到AM 的距离，直角梯形ABCM 的面积为()1322AB CM BC +⨯=，四棱锥P ABCM -体积的最大值为133224⨯⨯=，所以A 正确；对于B ，若AM PB ⊥，又AM BM ⊥，则AM ⊥平面PBM ，即AM PM ⊥，矛盾，所以B 错误；对于C ，取AM 中点O ，连接OP ，OE ，如图：由题意，AM OP ⊥，AM OE ⊥，所以POE ∠为二面角P AM C --的平面角，在POE △中，12PE =，22OP OE ==，2223cos 24OP OE PE POE OP OE ∠+-==⋅，所以C 正确；对于D ，取AB 中点E ，连接EN ，NC ，EC ，则EN AP //，12EN PA =，且四边形AECM 为平行四边形，EC AM ∥，EC AM =，所以θNEC PAM ∠∠==，即θ，AP ，AM 不变，由余弦定理知CN 定值，所以D 正确.故选：ACD12．【答案】2【详解】将方程2240x y y m +-+=整理，可得()2242x m y +=--，（4m <）则圆心为()0,2，半径为r =因为直线y x =与圆2240x y y m +-+=相切，所以圆心到直线0x y -=的距离等于圆的半径，即=由=⇒42m -=⇒2m =.故答案为：2.13．【答案】3【详解】解：设2F 是椭圆C 的右焦点，连接2AF ，2BF ，由对称性可知：OA OB =，2OF OF =，则四边形2FAF B 为平行四边形，则2AF BF =，即22AF AF =，且23FAF π∠=，因为2232AF AF AF a +==，则B 2=23，43AF a =，在2FAF △中，由余弦定理可得22222222cos FF AF AF AF AF FAF =+-⋅⋅∠，即2224162414299332c a a a a =+-⨯⨯⨯，解得2213c a =，所以椭圆C 的离心率为33c e a ==.故答案为：14．【答案】6【详解】在正四面体ABCD 中，2AD BD ==，1142DM CD ==，60ADM BDM ∠=∠= ，在ADM △，BDM 中，AM BM ==取AB 中点N ，连接MN ，DN ，如图，DN AB ⊥，MN AB ⊥，而DN =32MN ===，令正BCD △的中心为1O ，连接1AO ，1BO ，1MO ，1BO 的延长线交CD 于点E ，则E 为CD 中点，有123BO BE =，12221111332326BO M BEM BED BCD S S S S BC ==⨯=⨯= 1322ABMS AB MN =⋅= ，显然1AO ⊥平面BCD ，正四面体ABCD 的外接球球心O 在1AO 上，连接BO ，则BO AO R ==，而13AO =，在1Rt BOO △中，222R R ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得2R =，且134AO AO =，令点1O 到平面MAB 的距离为h ，由11O ABM A BO M V V --=得：111133ABM BO M S h S AO ⋅=⋅ ，即3263h =，解得9h =，因此球O 的球心O 到平面MAB 的距离d 有1d AO h AO =，即346d h ==.故答案为：615．【答案】(1)证明见解析(2)4【详解】（1）由()()11230m x m y ++--=，可得()()230m x y x y -++-=，令202301x y x x y y ⎧-==⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线l 过定点()2,1M .（2）由（1）知，直线1l 恒过定点()2,1M ，由题意可设直线1l 的方程为()()120y k x k -=-<，设直线1l 与x 轴，y 轴正半轴交点为A ，B ，令0x =，得12B y k =-；令0y =，得12A x k=-，所以AOB V 面积()111222S k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()11442k k ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭1442⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当14k k -=-，即12k =-时，AOB V 面积最小值为4.16．【答案】(1)证明见解析(2)(【详解】（1）证明：由2cos a c c B -=，根据正弦定理可得sin sin 2sin cos A C C B -=，即()sin sin 2sin cos B C C C B +-=，所以sin cos cos sin sin 2sin cos B C B C C C B +-=；可得sin cos cos sin sin 2sin cos B C B C C C B +-=，所以sin cos cos sin sin B C B C C -=，即()sin sin B C C -=，显然B C >，故π02C <<，ππ22B C -<-<，所以2B C =.（2）在BCD △中，由正弦定理可得sin sin a BDBDC C=∠，可得6a =，即6sin sin BD BDC C =∠，所以6sin 6sin 3sin sin2cos C C BD BDC C C===∠，因为ABC V 是锐角三角形，且2B C =，所以π02π022π0π32C C C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64C <<，可得cos 2C <<BD <<，所以线段BD长度的取值范围是(.17．【答案】(1)1:12l y x =±+(2):1l y =+【详解】（1）①直线l 的斜率不存在时，AB 4=，不满足题意.②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()10y kx k =+≠，则圆心()0,0到直线l的距离d =由AB =，可得2222⎛⎫+=⎝⎭，解得12k =±，故直线1:12l y x =±+.（2）①直线l 的斜率不存在时，1142422ABE M S AB x =⨯⋅=⨯⨯=△，不满足题意.②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()10y kx k =+≠，则AB =M 到直线l的距离d '，故1122ABMS AB d '=⋅=△由ABMS =△可得352=，化简得421942450k k --=，即()()22319150k k -+=，解得k =，故直线:1l y =+.18．【答案】(1)证明见解析(2)306(3)23⎣⎦【详解】（1）连结BD 交AC 于点F ，连结EF ，因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点，因为//PD 平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD 平面ACE EF =，所以//PD EF ，又因为F 为BD 中点，所以E 为PB 中点.（2）取CD 的中点O ，连结PO ，FO ，因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，因为PC PD =，O 为CD 中点，所以PO CD ⊥，//OF BC ，所以OF CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以⊥PO 平面ABCD ，所以PO OF ⊥，所以OF ，OC ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则由题意可得：()1,1,0A -，()0,1,0C ，()1,1,0B ，0,0,1，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0D -，则()1,2,0AC =- ，131,,222AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,0,1OP =，由上可知()0,0,1OP =为平面ACD 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为 =s s ，201310222AC n x y AE n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1y =，则2x =，1z =-，所以()2,1,1n =- ，所以cos ,OP n，6OP n OP n ⋅===，所以平面EAC 与平面ACD 夹角的正弦值为6.（3）由（2）()0,1,1PD =-- ，()1,1,1AP =-，因为点M 在棱PD 上（含端点）所以设()()0,1,10,,PM PD λλλλ==--=-- ，[]0,1λ∈则()()()1,1,10,,1,1,1AM AP PM AP PD λλλλλ=+=+=-+--=---，设AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin cos ,AM n AM n AM n θ⋅==,33=⎥⎣⎦所以直线AM 与平面ACE所成角的正弦值的取值范围为⎣⎦.19．【答案】(1)83,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,0H (2)平行，证明见解析【详解】（1）由椭圆方程可知：2,1,a b c ==则()12,0A -，()22,0A ，()10,1B -，()20,1B ，直线22:121x yA B +=，即220x y +-=，联立方程14220y x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线()1:24MN y x =+，故10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，直线11:82MP y x =-+，故()4,0H .由224214x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得2540y y -=，解得45y =或0y =（舍去），即65x =，可得64,55N ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线7:52NP y x =-+，联立方程2275214y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简得22570480x x -+=，解得85x =或65x =（舍去），即35y =-，所以83,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）直线HQ 与直线OP 相互平行，证明如下：证明1HB OP ∥，再证明H ，1B ，Q 三点共线即可.①证明1:HB OP ∥由220y kx x y =⎧⎨+-=⎩，解得22,1212k P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，直线1A M 的方程为()2y k x =+，则()0,2M k ，故直线2:22MP y k x k =-+，可得1,0H k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()10110HB k kk--==-，故1HB OP ∥；②证明H ，1B ，Q 三点共线：设()11,N x y ，由221214x y k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2221440k y y k k +-=，解得12414k y k =+，故2122814k x k -=+，即222284,1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；直线1HB 的方程为1y kx =-，设1HB 交C 于()122,Q x y ，由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221480k x kx +-=，解得22814k x k =+，故2224114k y k -=+，即2122841,1414k k Q k k ⎛⎫- ++⎝⎭，则()()()()()1222222222241241122144411412828828122141412P PQ P k kk k k k y y k k k k k k x x k k k k k k k---+-+---++====-+-+-+-++，()()()()()2322212322221242212144444114122828828821412141412P PNP k kk k k k y y k k k k k k k k k x x k k k k k k k k k k-+-+--++--++=====----++--+-+-++，所以1PQ PN k k =，即N ，P ，1Q 三点共线，又有直线NP 交C 于点Q ，故Q 与1Q 重合，即H ，1B ，Q 三点共线.由①②可知：HQ OP ∥.。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（ ）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（ ）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
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42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z =1−i ，则z (1−z )=( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.已知椭圆方程为x 236+y 264=1，则该椭圆的长轴长为( )A. 6B. 12C. 8D. 163.已知椭圆C:x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，则△AF 1B 的周长为( )A. 2B. 4C. 23 D. 434.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则渐近线方程是( )A. y =±12xB. y =±2xC. y =±3xD. y =±33x 5.已知抛物线的焦点在直线x−2y−4=0上，则此抛物线的标准方程是( )A. y 2=16xB. x 2=−8yC. y 2=16x 或x 2=−8yD. y 2=16x 或x 2=8y6.“a =3”是“直线l 1:ax−2y +3=0与直线l 2:(a−1)x +3y−5=0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知动圆C 与圆C 1:(x−3)2+y 2=4外切，与圆C 2:(x +3)2+y 2=4内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线一支8.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x 2=4y,y ∈[0,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A. 12B. 1C. 2D. 52二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l 的斜率为− 3，则直线l 的一个方向向量的坐标为( )A. (−1,− 3)B. ( 3,−1)C. (− 3,−1)D. ( 3,−3)2.抛物线C ：y = 2x 2的焦点坐标为( )A. ( 22,0)B. ( 24,0)C. (0, 28)D. (0, 24)3.已知▵ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,−1)，B (−5,2)，C (7,4)，则BC 边上的中线所在直线的方程为( )A. x +2y−1=0B. 2x +y−5=0C. 2x−y−7=0D. x−2y−5=04.已知双曲线C 以两个坐标轴为对称轴，且经过点(2, 3)和(− 5,−2)，则C 的渐近线方程为( )A. y =± 22xB. y =±xC. y =± 2xD. y =±2x5.“a =−3”是“直线ax +2ay−3=0与(a−1)x−(a +1)y +13=0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 经过点P (2,1)，且与圆C ：(x +1)2+(y−2)2=9相交于A ，B 两点，若|AB |=4 2，则直线l 的方程为( )A. y =1或3x +4y−10=0B. y =1或4x +3y−11=0C. 4x +3y−11=0或3x +4y−10=0D. 4x−3y−5=0或3x−4y−2=07.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l 位置时，拱顶离水面的高度为2.5m ，水面宽度为8m ，当水面上涨0.9m 后，水面的宽度为( )A. 6.4mB. 6mC. 3.2mD. 3m 8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，若P 与F 1恰好关于C 的一条渐近线y =2x 对称，且|PF 2|=2，则▵PF 1F 2的面积为( )A. 2B. 22C. 23D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学注意事项：1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线和直线平行，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．C ．1D ．或13．在三棱锥中，点M 在线段上，且，N 为中点，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．正四棱柱中，，E ，F ，G 分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6．过点的直线与曲线）A ．B ．C ．D ．7．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M 是棱的中点，与平面交于点H ，则线段的长度为（ ）O xyz -()2,3,1P -xOy ()2,3,1--()2,3,1--()2,3,1---()2,3,1--210x my m ++-=10mx y ++=1-1-A BCD -AB 2AM MB = CD AB a = AC b =AD c = MN =111322a b c-- 111322a b c -++ 211322a b c--211322a b c-++()3,2-()2,12310x y ++=2370x y +-=3280x y +-=3240x y ++=1111ABCD A B C D -12AA AB =1CC BD 11A B 1C G EF ()1,2--y =22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)22,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦422,0,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦322,0,43⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD A B C D '-'''ABCD 60A AB A AD ''∠=∠=︒2AB =4AA '=A B ''A C 'AMD 'A H 'ABCD8．过直线上一点P 作圆的切线，，切点为A ，B ，当最小时，直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
重庆市学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
2024-2025学年度上期期中考试高二数学试题（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义得到1z =+，再利用共轭复数的定义，即可求解.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是(，得到1z =+，所以1z =，故选：B.2.已知直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】利用两直线垂直的充要条件得到220a a +=，从而得到2a =-或0a =，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=垂直时，(1)0a a a ++=，即220a a +=，解得2a =-或0a =，所以2a =-可以推出12l l ⊥，但12l l ⊥推不出2a =-，即“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件，故选：A.3.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=- D.|1|()3x f x -=【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.4.国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9,6,,4,8m ，其中m 为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为6，则m =（）A.4B.6C.8D.9【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用百分位数的求法，即可求解.【详解】将5次射击成绩除m 外，从小排到大为4,6,8,9，因为50.42i np ==⨯=，所以第40百分位数是：从小排到大后的第二个数与第三个数的平均数，又这5次射击成绩的第40百分位数为6，所以6m =，故答案为：B.5.已知直线1y kx =+与圆224x y +=交于点M ，N ，当k 变化时，则MN 的最小值为（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件得直线过定点，且定点在圆内，先求得圆心到直线距离d ，即可表示出弦长，从而知d 最大时，弦长最短，再利用几何关系，即可求解.【详解】易知直线1y kx =+过定点(0,1)P ，又1014+=<，所以点(0,1)在224x y +=内，又易知圆心为(0,0)O ，半径为2r =，设圆心(0,0)O 到直线的距离为d ，则MN ==，当d 最大时，M 最小，此时直线1y kx =+与直线OP 垂直，即1d OP ==，所以M 的最小值为MN ==故选：D.6.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==，因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.7.直线()()21250x y λλλ+--=∈R 的倾斜角范围为（）A.3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦ B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】先对λ进行讨论，当0λ=时得到直线倾斜角为2π，当0λ≠时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.【详解】当0λ=时，直线为：5x =，故直线的倾斜角为：2π；当0λ≠时，直线为：21522y x λλλ+=-，设直线的倾斜角为θ，即211tan 222λλθλλ+==+，当0λ>时，1tan 122λθλ=+≥=，当且仅当“122λλ=”，即1λ=时取等号；即,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，当0λ<时，11tan 12222λλθλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+-≤=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当“122λλ-=-”，即1λ=-时取等号；即3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上所述：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A8.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数4x <；②平均数4x <且极差小于或等于3；③平均数4x <且标准差4s ≤；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】B 【解析】【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x =<．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为1037-=，此时数据的平均数必然大于7，与4x <矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数34x =<，且标准差4s =.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.故选：B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次.记事件A 为两次数字之和为7，事件B 为第一次数字小于等于3，事件C 为两次数字之积为奇数，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】先求出总的样本空间数，再用列举法求出事件,,A B C ，选项A ，利用古典概率公式，即可求解；选项B 和D ，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项C ，利用互斥事件和对立事件的定义，即可求解.【详解】用(,)x y 中的,x y 分别表示第一次、第二次掷一枚质地均匀的骰子的点数，易知，总的样本空间数为6636⨯=，事件A 包含的基本事件为：(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)，共6个，事件B 包含的基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共18个，事件C 包含的基本事件为：(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)，共9个对于选项A ，由古典概率公式得()91364P C ==，故选项A 正确，对于选项B ，由古典概率公式得61()366P A ==，181()362P B ==，31()3612P AB ==，因为()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立，故选项B 正确，对于选项C ，易知A 与C 互斥但不对立，所以选项C 错误，对于选项D ，由古典概率公式得61()366P BC ==，又111()()428P B P C =⨯=，所以()()()P BC P B P C ≠，即B 与C 不相互独立，故选项D 错误，故选：AB.10.已知点(),P x y 是圆:M ()()22424x y -+-=上任意一点，直线l ：2y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点,A B ，则（）A.直线l 与圆M 相离B.PBA △面积的最小值为4+C.y x 的最大值为43D.PBA ∠的最小值为15︒【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由圆心到直线距离与半径大小即可判断，对于B ，确定圆心到直线的距离，即可求解，对于C ，设yk x=，通过直线与圆恒有交点即可，对于D ，由BP 与圆相切即可求解.【详解】对于A ，由()()22424x y -+-=，得圆心()4,2,2r =，圆心到2y x =-+2=>，直线与圆相离，A 正确；对于B ，易知()()2,0,0,2A B，AB =，由A知，圆心到直线距离为，故圆上点到直线距离的最小值为2-，所以PBA △面积最小值为)242-=-B 错误；对于C ，令yk x=，得y kx =，因为(),x y 为圆上的点，所以y kx =与圆()()22424x y -+-=有交点，2≤，解得403k ≤≤，C 正确；对于D ，结合图象可知当BP 与圆这种相切时，PBA ∠最小，设BP 斜率为()0k k <，直线方程为：2y kx =+2421k k=+，解得33k =-，即BP 的倾斜角为150︒，所以60PBO ︒∠=，易知45ABO ︒∠=，所以15PBA ︒∠=，D 正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为 =s s ，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以1510=≤≤=，所以直线AG与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，则实数a 的取值是_____.【答案】【解析】【分析】根据条件得到圆1C 与圆2C 外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 外切，又圆221:1C x y +=的圆心为1(0,0)C ，半径为11r =，()()()222:1160C x a y a -+-=>的圆心为2(,1)C a ，半径为24r =，145=+=，得到224a =，又0a >，所以a =，故答案为：13.已知点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称.若1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3.则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为_____，方差为_____.【答案】①.1-②.3【解析】【分析】根据条件得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，再结合平均数、方差计算公式，即可求解.【详解】因为点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称，则()N 4110,i i x i y i ≤+=≤∈，得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，因为1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3，则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为451-=-，方差为2(1)33-⨯=，故答案为：1-；3.14.已知圆221x y +=上任意一点(),P x y ，23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，则a 的取值范围是_____.【答案】a ≥【解析】【分析】由题意可知直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出a 的范围．【详解】设直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=，则s 到直线1l 的距离为1d =，s 到直线2l 的距离为2d =因为23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，所以12d d +为常数，所以圆221x y +=在平行线12,l l 之间，又直线1l 在圆下方，所以直线2l 在圆上方，1≥，得到a ≥a ≤，故答案为：13a ≥四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.16.已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()9,5C -.（1）求AB 边上的高所在的直线方程；（2）求AB 边上的中线所在的直线方程；（3）求ABC ∠角平分线所在的直线方程.【答案】（1）2190x y -+=（2）2570x y +-=（3）40x y +-=【解析】【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（3）先求出直线,BA BC 的单位向量，结合角平分线求出ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解.【小问1详解】直线AB 的斜率1(3)257AB k --==--，则AB 边上的高所在的直线斜率为12，直线又过()9,5C -，所以A 边上的高所在的直线方程为[]15(9)2y x -=⨯--，即2190x y -+=.【小问2详解】依题意，AB 边的中点(6,1)-，因此AB 边上的中线所在直线的斜率()512965k --==---，直线又过(6,1)-，所以AB 边上的中线所在直线的方程为()21(6)5y x --=-⨯-，即2570x y +-=.【小问3详解】由题意知：()()2,4,16,8BA BC =-=-,故与BA 同方向的单位向量为：()2,455a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，与BC同方向的单位向量为：()25516,855b ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量为：(),1,1555a b ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设ABC ∠角平分线所在的直线的斜率为k ，又 直线的方向向量可以表示为()1,k ，1k ∴=-，直线又过()7,3B -，故ABC ∠角平分线所在的直线方程为：()()37y x --=--，即40x y +-=.17.在ABC V 中，a ，b ，c 为A ∠，B ∠，C ∠sin cos 2C c B c +=.（1）求B ∠；（2）若BD 为ABC V 的角平分线，交AC 于点D ，7BD =，AC =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1cos 2B B +=，再利用辅助角公式和特殊角的三角函数值，即可求角；（2）根据条件，利用等面积法，得到12()7ac a c =+，再利用余弦定理得213()3a c ac =+-，联立求出ac ，即可求解.【小问1详解】sin cos 2C c B c +=sin sin cos 2sin B C C B C +=，又sin 0C ≠cos 2B B +=，即π2sin()26B +=，得到πsin(16B +=，又ππ7π666B <+<，所以ππ62B +=，解得π3B =.【小问2详解】因为ABC ABD CBD S S S =+ ，π3B =，所以1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =+，又1237BD =，得到12()7ac a c =+，在ABC V 中，由余弦定理得到22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，又AC =236()()137a c a c +-+=，解得7a c +=(舍负)，所以12ac =，故ABC V 的面积为11sin 12222S ac B ==⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，90ACB ∠= ，侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠= ，4AC =，平面ABC ⊥平面11ACC A .（1）证明：11A C AB ⊥；（2）求点1C 到平面11ABB A 的距离；（3）线段11A B 是否存在一点D ，使得平面1AC D ⊥平面11ABB A ，如果存在找出D 点的位置，不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）217（3）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定可得1A C ⊥平面11AB C ，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证.（2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点1C 到平面11ABB A 的距离.（3）由面面垂直的性质得到点1C 到平面11ABB A 的距离为4217即是1C D 的长度，再由勾股定理确定D 点的位置即可.【小问1详解】连接1AC ，由四边形11A ACC 为菱形，得11AC A C ⊥，由90ACB ︒∠=，得BC AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，⊂BC 面ABC ，则⊥BC 平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，于是1BC A C ⊥，而11//BC B C ，则111B C A C ⊥，又111AC BC C ⋂=，111,AC B C ⊂平面11AB C ，因此1A C ⊥平面11AB C ，又1AB ⊂平面11AB C ，所以11A C AB ⊥【小问2详解】点1C 到平面11ABB A 的距离，即三棱锥111C AA B -的底面11AA B 上的高，由（1）知11B C ⊥平面11ACC A ，则三棱锥111B AA C -的底面11AA C 上的高为11B C ，设点1C 到平面11ABB A 的距离为d ，由111111B AA C C AA B V V --=，得1111111133AA C AA B S B C S d ⋅⋅= ，而14BC AA AC ===，160A AC ︒∠=，则11AA C 的面积113AA C S = ，由1114AA A C ==，11120AAC ︒∠=，得143AC =，又114B C =，111B C AC ⊥，则18AB =，又14AA =，1142A B =，由余弦定理得(222114823cos 2484A AB +-∠==⨯⨯，则117sin 4A AB ∠=，11AA B的面积1117484724AA B S =创� 则347d =，即4217d =，所以点1C 到平面11ABB A 的距离为4217.【小问3详解】设存在，如图，由平面1AC D ⊥平面11ABB A 可得1C D ⊥平面11ABB A ，由（2）可得点1C 到平面11ABB A 的距离为217即是1C D 的长度，在11Rt A DC 中，11121,47A C C D ==，所以221111121071677A D AC C D =-=-=.19.已知二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为0A C =≠，0B =且224D E AF +>.关于二次曲线，有以下结论：若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，为平面内三条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，31l l C ⋂=，则过A ，B ，C 三点的二次曲线系方程为1223310f f f f f f λμ++=（λ，μ为参数）.若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，44:0l f =为平面内四条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，34l l C = ，41l l D = ，则过,,,A B C D 四点的二次曲线系方程为13240f f f f λ+=（λ为参数）.（1）若三角形三边所在直线方程分别为：320x y -+=，220x y ++=，340x y +-=.求该三角形的外接圆方程.（2）记（1）中所求的外接圆为ω，直线()110y k x k =>与ω交于A ，B 两点（A 在第一象限），直线()220y k x k =<与ω交于C ，D 两点（C 在第二象限），直线BC 交x 轴于点M ，直线AD 交x 轴于点N ，直线BC 与直线AD 交于点P .（i ）求证：=OM ON ；（ii ）求OP 的最小值.【答案】（1）22240x y y ++-=（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得；（2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系120t t +=可证得OM ON =，由关系式212tm m =-（t 即1t ）可得交点P 在定直线上4y =上，进而求解最值.【小问1详解】则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：(32)(22)(22)(34)x y x y x y x y λ-+++++++-(34)(32)0x y x y μ++--+=（λ，μ为参数），即()()()()22133178623422x xy y xλμλμλμλμ+++-+-+-+-+++()26144880y λμλμ+--++--=，（*）若方程表示圆，则133********λμλμλμ++=-+-≠⎧⎨-+-=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=-⎩.将11λμ=-⎧⎨=-⎩代入（*）式化简得22240x y y ++-=，验证：由22024(4)200+-⨯-=>，可知该方程表示圆.故该三角形的外接圆方程为22240x y y ++-=.【小问2详解】如图，在平面直角坐标系中，设直线BC 与x 轴的交点1(,0)M t ，直线AD 与x 轴的交点2(,0)N t ，由题意知直线,BC AD 均不与y 轴垂直，则直线BC 方程可设为11x m y t =+，直线AD 方程可设为22x m y t =+，由题意可知12m m ≠，且120,0t t ≠≠.不妨记直线,,,BA AD DC CB 分别为1234,,,l l l l ，且12233441,,,l l A l l D l l C l l B ==== ，其中11:0l k x y -=，222:0l x m y t --=，32:0l k x y -=，411:0l x m y t --=.故由题意，过,,,A D C B 四点的二次曲线系方程可设为()()()()1222110k x y k x y x m y t x m y t λ--+----=（λ为参数），即()()()22121212121k k x k k m m xy m m yλλλ⎡⎤+-+++++⎣⎦()12122112()0t t x m t m t y t t λλλ-++++=①，若0λ=时，方程()()120k x y k x y --=表示两条直线13,l l ，不表示圆，故0λ≠.由,,,A D C B 四点不共线，且都在圆22240x y y ++-=②上，所以方程①②表示同一圆，则有()120t t λ-+=③，且122112211212()2142m t m t m t m t t t t t λλ++===--④.（i ）由③式及0λ≠，可得120t t +=，即OM ON =；故（i ）得证；（ii ）由③式可得12t t =-，令1t t =，则2t t =-，代入④式可得212tm m =-，联立,BC AD 直线方程12x m y tx m y t=+⎧⎨=-⎩，解得2124t y m m ==-，即交点P 在定直线4y =上，故4OP ≥.如图2，由对称性可知，当12k k =-时，交点P 在y 轴上，即(0,4)P ，此时min 4OP .故OP 的最小值为4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题.。
浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列中，已知，，则等于（ ）A.11B.13C.15D.162.若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）A.1B.3C.4D.53.若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D.4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）A.4720B.4722C.4723D.47255.已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则时，以下说法正确的是（ ）A. B.C. D.6.若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.7.已知，，，则（ ）A. B. C. D.8.已知椭圆：，左焦点为，在椭圆上取三个不同点，，，且，则的最小值为（ ）{}n a 12a =315S =4a 2212x y m +=24y x =m P 1x =-(1,0)P 2x y=2y x=24x y=24y x=1421→→→{}n a 11a =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数奇数当当为2024S =()f x ()g x 0x >()0f x '>()0g x '>0x <()()0f x g x ''+>()()0f xg x ''->()()0f xg x ''>()0()f xg x '>'21()1kx f x x +=+[)2,+∞k 43k ≥-1k ≤-1k ≤43k ≤-2023log 2024a =2024log 2025b =2025log 2026c =a b c>>a c b>>c b a>>c a b>>C 2213627x y +=F C P Q R 23PFQ QFR RFP π∠=∠=∠=123FP FQ FR ++A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（ ）A.，B.，C.，D.，10.已知抛物线：，为共焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）A.若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为3B.若直线过焦点，则以为直径的圆与相切C.若直线过焦点，当时，则D.设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关11.数列满足，，，则下列结论中一定正确的是（ ）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则______.13.已知双曲线与直线相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为______.14.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小值；（2）求在点处的切线方程.16.设等比数列的前项和为，且，.43434343-1y x =21y x'=-2x y =2ln 2xy '=ln y x =1y x'=cos 2y x =sin 2y x'=-C 24y x =F l C ()11,M x y ()22,N x y A B (3,1)AF AB +l F MN 1x =-l F MN OF ⊥5OM ON ⋅=MN ()00,x y ()00y ≠0x 0y {}n a 11a =22a =21n n n a a a ++>+1050a >20500a <10100a <20500a >1n a +=11a =100a =22221x y a b -=1y x =-23-()5ln(1)(5)5xf x e a x a x =++-+-()0f x ≥(0,)+∞a ()xf x xe =()f x ()f x (1,)e {}n a n n S 11a =-122n n n S S S ++=+（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前项和.17.已知双曲线：（1）求双曲线的渐近线方程；（2）已知点，，直线与双曲线交于，两点，，，求的值.18.已知函数，，其中在.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若恒成立，求实数的取值范围.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点的近似值，取.（1）求和；（2）求和的关系并证明；{}n a (1)n n n a ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭n n T C 2213y x -=C (0,4)P (2,0)Q PQ C A B 1PQ QA λ= 2PQ QB λ=12λλ+21()ln (R)f x mx x m x =+-∈21()1x g x xe x x=---()f x 1x =m ()f x ()()nx g x f x ≤-n r ()y f x =0x r ()y f x =()()00,x f x 1l 1l x 1x 1x r ()y f x =()()11,x f x 2l 2l x 2x 2x r ()y f x =()(),()n n x f x n ∈N 1n l +1n l +x 1n x +1n x +r 1n +n x ()0f x =2()2f x x =-r 02x =1x 2x n x 1n x -()*Nn ∈（3.()*11N nii xn =<<+∈∑镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷标准答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B3.D4.C5.B6.D7.A8.B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分.9.ABC10.BCD11.AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.14.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1），在单调递减，单调递增，的最小值为（2）16.（1）（2）17.（1）（2）：，，，可得设点，，，18.（1）由题意可知，的定义域是，因为在处取得极值，所以，即，解得.当时，，单调递增；1105a ≤()(1)xf x x e '=+()f x (,1)-∞-(1,)-+∞()f x 1(1)f e-=-2y ex e =-1(1)2nn n a -=-⋅1242n n n T -+=-y =PQ 24y x =-+(2,4)PQ =- 222433y x x y =-+⎧⎨-=⎩216190x x -+=()11,A x y ()22,B x y 1216x x ∴+=1219x x ⋅=()()111222(2,4)2,2,PQ x y x y λλ=-=-=-()()()121212122422248222293x x x x x x λλ+-∴+=+===------()f x (0,)+∞211()2(0)f x mx x x x '=++>()f x 1x =(1)0f '=2110m ++=1m =-(0,1)x ∈()0f x '>()f x当时，，单调递减；所以在处取得极值.（2）此时，恒成立，当时，；当时，；所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（3）在上恒成立，设，，，令，则，由，故恒成立，故在上单调递增，又，，故存在，使，即，即在上单调递减，在上单调递增，故，由，则，令，则有，，当时，恒成立，故在上单调递增，故，即，则，即的最小值为1；.(1,)x ∈+∞()0f x '<()f x ()f x 1x =()23222(1)2211121()2x x x x x f x x x x x x-++-++'=-++==22210x x ++> (0,1)x ∈()0f x '>(1,)x ∈+∞()0f x '<()f x (0,1)(1,)+∞ln 1xx n e x x ≤--(0,)+∞ln 1()e x x x x xϕ=--min ()n x ϕ∴≤22221ln 1e ln ()e (0)x xx x xx x x x xϕ-+'=-+=>2()e ln (0)xx x x x μ=+>()21()2e xx x x xμ'=++0x >()21()2e 0xx x x xμ'=++>()x μ(0,)+∞1112eee2221111e e e ln e 10e ee e e μ-⎛⎫=+=-=< ⎪⎝⎭(1)e ln l e 0μ=+=>01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00x μ=0200e ln 0xx x +=()x ϕ()00,x ()0,x +∞()0()x x ϕϕ≥0200e ln 0x x x +=01ln 0000ln 1e ln e x x x x x x =-=⋅()()1e (0)xx f x x x ω=+=>()001lnx x ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭()()(1)e x x f x x ω''==+0x >()0x ω'>()x ω(0,)+∞001lnx x =00ln x x =-()001ln 000000000ln 1111e e 11x x x x x x x x x x x ϕ-=--=--=+-=()x ϕ1n ∴≤19.（1），：，，：，.（2），（3）左边：右边：，，，，求和，故()2f x x '=(2)4f '=1l 4(2)246y x x =-+=-132x =332f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭2l 311733244y x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭21712x =()()222nn n y x x x x --=-2122n n nxx x ++=1n x +=>22121444n n n xx x +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21202n n n n x x x x +--=<2n x <<22211134442n n n x x x +⎛⎫<+=+ ⎪⎝⎭()2211224n n x x +-<-()2201122244nnn x x ⎛⎫⎛⎫-<-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n nx <<11nii x=<+∑。
北京市育才2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含解析
2024-2025年度第一学期北京育才高二数学期中考试试卷（答案在最后）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.圆2221x y y ++=的半径为A.1 B.C.2D.4【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，圆2221x y y ++=，可化为22(1)2x y ++=，所以R =B ．考点：圆的标准方程．2.椭圆221178x y +=的焦点坐标为（）A.(5,0)，(5,0)-B.(3,0)，(3,0)-C.(0,5)，(0,5)-D.(0,3)，(0,3)-【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得,,a b c 的值，即可求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由题意，椭圆221178x y +=，可得2217,8a b ==，则3c ==，所以椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,,0)-.故选：B.3.圆221:4C x y +=与圆222:(3)1C x y -+=的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B 【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆221:4C x y +=，则圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:(3)1C x y -+=，则圆心()23,0C ,半径21r =，所以两圆圆心距1212||3C C r r ==+，所以两圆外切.故选：B.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1,CC AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于（） A.105B.155C.45D.23【答案】B 【解析】【分析】取BC 的中点G ，连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角，在△OEH 中，利用余弦定理可得结论．【详解】取BC 的中点G ．连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，如图所示，∵E 是CC 1的中点，∴GC 1//EH ，∴∠OEH 为异面直线OE 和1FD 所成的角．在△OEH中，OE =HE＝11522GC ==，OH ＝52．由余弦定理，可得cos ∠OEH＝2221525OE EH OH OE EH+-==⋅．故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．5.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）A .22(2)5x y ++= B.22(2)5x y +-=C.22(2)5x y -+=D.22(2)5x y ++=【答案】C 【解析】【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.【详解】圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)-，因为点(2,0)-关于原点()0,0O 对称点为(2,0)，所以圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为22(2)5x y -+=，故选：C.6.如果方程221x ky +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围（）A.−∞,1 B.()1,+∞ C.()0,1 D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由椭圆的标准方程，明确,a b 的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案.【详解】由方程221x ky +=，则=1a，=b k，即101k <<，可得1k >.故选：B.7.已知点P 是圆22:(3)1C x y -+=上一点，则点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解.【详解】圆22:(3)1C x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，3=，所以点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为312-=.故选：C.8.“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直可构造方程求得a 的值，由推出关系可得结论.【详解】由两直线垂直可得：()()110a a a a -+-=，解得：0a =或1a =；10a a =⇒= 或1a =，0a =或11a a ==¿，∴“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的充分不必要条件.故选：A .9.已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为A.2 B.C.2或2- D.或【答案】C 【解析】【详解】分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值．详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴=∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=12，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为C ．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.10.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()1,2,2a =- ，(),,a b x y z += ，其中2221x y z ++=，则b 的最大值为（）A.3B.1+C.D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得()1,2,2b x y z =--+，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为()1,2,2a =- ，(),,a b x y z +=，则()1,2,2b x y z =--+ ，且2221x y z ++=，其中点(),,x y z 可以看作球心在原点，半径为1的球上的点所以b =()1,2,2-距离，最大值为球心到点()1,2,2-的距离再加球的半径，14=.故选：D二、填空题：本大题共5题，每小题6，共25分11.写出一个圆心在直线0x y -=上，且经过原点的圆的方程：______．【答案】22(1)(1)2x y -+-=（答案不唯一）【解析】【分析】利用圆心在直线0x y -=上设圆心坐标为(,)C a a ，由于圆过原点，得半径0)r a =≠，对a 赋值，可得一个符合条件的圆的方程.【详解】解：因为圆心在直线0x y -=，则设圆心坐标为(,)C a a 又圆经过原点则圆的半径为r OC ===，且0a ≠故取1a =，得圆心为(1,1)C ，半径r =所以圆的方程为：22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=（答案不唯一）12.过点()1,4A -的直线将()()22231x y -+-=的面积分为相等的两部分，求直线方程______.【答案】3110x y +-=【解析】【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.【详解】因为直线将()()22231x y -+-=的面积分为相等的两部分，所以该直线过圆心()2,3，由两点式知该直线方程为3231104312y x x y --=⇒+-=---.故答案为：3110x y +-=13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与平面ABCD 所成角的正切值为______.【答案】255##255【解析】【分析】连接AE ，利用正方体的特征及线面角的定义计算即可.【详解】连接AE ，易知1AA ⊥底面ABCD ，所以1AEA ∠为所求角，不妨设正方体棱长为2，则112255,tan 55AA AE AEA AE =∠===.故答案为：25514.已知点()2,2A --，点P 在圆22:20C x y x ++=上，则AP 的取值范围是______；若AP 与圆C 相切，求切线AP 的方程______.【答案】①.1⎤-+⎦②.2x =-或3420x y --=【解析】【分析】利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空.【详解】易知点A 在圆C 外，且()2222:2011C x y x x y ++=⇒++=，即圆心()1,0C -，半径1r =，AC =，则AC r AP AC r -≤≤+，即1AP ⎤∈⎦；若直线AP 斜率不存在，即:2AP l x =-，此时圆心C 到直线AP 的距离等于半径，满足题意；若直线AP 斜率存在，不妨设其方程为：()22y k x =+-，则圆心C 到直线AP的距离()22112d k k ==⇒+=-，解之得34k =，此时直线AP 方程为3420x y --=.故答案为：1⎤-⎦；2x =-或3420x y --=15.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：()3222216x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()()32222160x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是______.【答案】②④【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】作出圆224x y +=和四叶玫瑰线()3222216x y x y +=的图示如下图所示：()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当2x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确.综上，正确命题为：②④.故答案为：②④【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.在平面直角坐标系中，已知()3,7A -，()2,2B ，()5,1C ，线段AC 的中点为M .（1）求过点M 与直线BC 平行的直线方程；（2）求△ABC 的面积.【答案】（1）3130x y +-=（2）5【解析】【分析】（1）由点()3,7A -，()5,1C 求出AC 的中点坐标()1,4M 和BC 的斜率，进而求出方程，（2）由（1）可知BC 的斜率求出BC 的直线方程，再点A 到直线BC 的距离，根据面积公式，求出结果.【小问1详解】∵()3,7A -，()5,1C ，∴AC 的中点坐标()1,4M ，又直线BC 的斜率121523k -==--，∴过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1413y x -=--，即3130x y +-=.【小问2详解】由（1）可知BC 的斜率13k =-，直线BC 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=，∴点A 到直线BC 的距离d ==，又B 、C 两点间距离BC ==∴△ABC 的面积11522S BC d =⨯⨯==.17.已知圆C 过原点O 和点()1,3A ，圆心在x 轴上.（1）求圆C 的方程；（2）直线l 经过点()1,1，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.【答案】（1）22(5)25x y -+=（2）1x =或15870x y --=【解析】【分析】（1）设圆C 的圆心坐标为(),0a ，由已知列出方程，求得a ，进而求得半径，即可得出结果；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.【小问1详解】设圆C 的圆心坐标为(),0a .=5a =从而圆C 的半径为5r ==，所以圆C 的方程为22(5)25x y -+=.【小问2详解】依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为4，显然直线1x =符合题意.当直线l 的斜率存在时，设其方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=4=解得158k =，所以直线l 的方程为15870x y --=综上，直线l 的方程为1x =或15870x y --=.18.如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，四边形ADEF 为平行四边形.（1）求证：//CE 平面ABF ；（2）若AB ⊥平面ADEF ，AF AD ⊥，1AF AD CD ===，2AB =，求：（ⅰ）二面角A BF C --的余弦值；（ⅱ）点D 到平面BCF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）66；66【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定结合线面平行的判定证明即可；（2）根据题意判定线线垂直，构造合适的空间直角坐标系，利用面面夹角及点面距离公式计算即可.【小问1详解】过C 作//CG AD 交AB 于G 点，因为//AB CD ，所以四边形ADCG 为平行四边形，则CG AD =，又四边形ADEF 为平行四边形，所以,//AD EF AD EF =，所以,//EF GC EF GC =，则四边形CEFG 为平行四边形，即//CE FG ，易知FG ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ，所以//CE 平面ABF ；【小问2详解】因为AB ⊥平面ADEF ，,AD AF ⊂平面ADEF ，所以,AB AD AB AF ⊥⊥，又AF AD ⊥，所以,AD AB AF ,三条线两两垂直，即可以以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,0,1,1,1,0B F C ，所以()()1,1,0,1,1,1CB CF =-=-- ，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CB x y n CF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11,2x y z =⇒==，即()1,1,2n = ，（ⅰ）易知平面ABF 的一个法向量为()0,1,0AD = ，二面角A BF C --的一个平面角为锐角，设二面角A BF C --的一个平面角为α，则6cos 6AD n AD n α⋅===⋅ ；（ⅱ）易知 1, , ，则点D 到平面BCF的距离66DC n d n ⋅=== .19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右焦点为()2,0F，且过点(，直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（ⅰ）求直线l 的方程.（ⅱ）若点()4,0P -，求ABP 的面积.【答案】（1）22184x y +=；（2）20x -=或20x +-=；【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可；（2）（ⅰ）先排除直线l 斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可.【小问1详解】根据题意有222222421a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解之得224,8b a ==，所以椭圆C 的方程22184x y +=；【小问2详解】（ⅰ）显然若l 斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；不妨设直线l 的方程为()2y k x =-，AB 的中点为C ，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，l 与椭圆方程联立有222280y kx k x y =-⎧⎨+-=⎩，整理得()2222128880k x k x k +-+-=，则212221228128812k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以2120002242,221212x x k k x y k x k k k+===⋅-=-++，易知20204111612CM y k k k k k x ⋅=-⇒⋅=-=---，解之得2k =±，即()222y x =±-，整理得直线l的方程为20x --=或20x +-=；（ⅱ）由弦长公式可知12 AB x=-==2211121211kk++===++，由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即d==，所以ABP的面积为1122d AB=⨯=.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，1AD=，12AB AA==，,,H F M分别是棱11C D，1BB，11B C 的中点.（1）判断直线1A M与平面1B HF的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线HF与平面1A MD所成角的正弦值；（3）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面11A BCD，若存在，求出HQHF的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）相交但不垂直，证明见解析；（2）73；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（3）假设存在点Q ，利用空间向量研究点面距离计算参数即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()1111,0,2,1,2,2,,2,2,0,1,2,1,2,12A B M H F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()111,2,0,0,0,1,1,1,12A M FB HF ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，设平面1B HF 的一个法向量为 ,䗘,䔹，则100m FB z m HF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取11,0x y z =⇒=-=，即 1,−1, ，则11155342cos ,34A M m A M m A M m ⋅===⋅ ，连接1A M 与1B H 交于N 点，即直线1A M 与平面1B HF 相交于N 点，则直线1A M 与平面1B HF 的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值53434；【小问2详解】由上知()111,0,2,,2,22DA DM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面1A MD 的一个法向量为 ,h, ，则12012202n DA a c n DM a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取41,2a b c =⇒==-，即()4,1,2n =- ，设直线HF 与平面1A MD 所成角为α，则7sin cos ,3HF n HF n HF nα⋅====⋅ ，即直线HF 与平面1A MD所成角的正弦值为3；【小问3详解】设存在Q 满足题意，不妨设[]()0,1HQ HFλλ=∈，则(),,HQ HF λλλλ==- ，易知()()10,2,2,1,0,0A B CB =-= ，设平面11A BCD 的一个法向量为(),,p r s t = ，则12200p A B s t p CB r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取10,1s r t =⇒==，即()0,1,1p = ，而()11,1,D Q D H HQ λλλ=+=+- ，所以点Q 到平面11A BCD的距离是1D Q p d p ⋅==≠ ，所以不存在.21.在平面直角坐标系xOy 中，O为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过)M 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ；证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下，求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）221(0)4x y y +=≠（2）证明见解析，定点43(5（3）3225．【解析】【分析】(1)根据几何位置关系可得14PM PM +=，再根据椭圆定义求解；(2)利用韦达定理表示出,E F 坐标，从而表示出EF 的直线方程即可求解；(3)利用韦达定理表示出弦长,AB CD ，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.【小问1详解】取点1(M ，则有1M O PN ∥，所以四边形1M ONP 是平行四边形，所以1PM ON =，因为4PM ON +=，所以14PM PM +=，所以动点P 的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以24a =，c =，所以2221b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为221(0)4x y y +=≠．【小问2详解】当1l 垂直于x 轴时，AB 的中点E ，直线2l 为x 轴，与椭圆221(0)4x y y +=≠，无交点，不合题意，当直线1l 不垂直于x 轴时，不妨设直线1l 的方程为(0)y k x k =≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)1240k x x k +-+-=，所以△22222()4(41)(124)16(1)0k k k =--+-=+>，所以21228341x x k +=+，212212441k x x k -=+，所以31212228323()1414y y k x x k k-+=+-=-=++，所以222433(,)4141E k k ++，因为12l l ⊥，以1k -代替k ，得22433(,)44F k k ++，所以直线EF 的斜率为22222335441(1)4(1)4343441EFk k k k k k k k +==≠±-++，所以直线EF的方程为22225(1)414(1)41k y x k k k k +=-≠±+-+，由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在x 轴上，令0y =，则22225()414(1)41k x k k k =-+-+，所以22221)5(41)5(14)5k x k k ++===++，所以直线EF 恒过定点43(5，当1k =±时，433()55E ，433()55F ，所以直线EF 恒过定点43(5，综上所述，直线EF 恒过定点43(5．【小问3详解】由（2）得21228341x x k +=+，212212441k x x k -=+，所以||AB =224(1)41k k +==+，同理可得224(1)||4k CD k +=+，所以四边形ACBD 的面积222218(1)||||2(41)(4)k S AB CD k k +==++，令21t k =+，则1t >，所以2222288889933(43)(3)4994()34t t S t t t t t t t t ====-++--++-+⋅+，因为1t >，所以303t<<，当332t =，即1k =±时，23325()344t t -+⋅+≤，所以min 3225S =，所以四边形ACBD 的面积最小值为3225．。
北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（ ）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。
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【一】选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．以下命题中，错误的选项是〔〕A、平行于同一个平面的两个平面平行B、假设直线a不平行于平面M，那么直线a与平面M有公共点C、直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内D、假设直线a∥平面M，那么直线a与平面M内的所有直线平行2．如下图的一个几何体及其正视图如图，那么其俯视图是〔〕A、 B、 C、 D、3．过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为〔〕A、﹣2x+y﹣7=0 B、﹣x+2y﹣8=0 C、2x+y+1=0 D、x+2y﹣4=04．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为〔〕A、4〔+1〕πB、4〔2+1〕πC、4πD、8π5．一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，假设该长方体的顶点都在一个球的球面上，那么这个球的体积为〔〕A、288πB、144πC、108πD、36π6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为〔〕A、B、﹣ C、D、﹣7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么在四面体G﹣SEF中必有〔〕A、SD⊥平面EFGB、SE⊥GFC、EF⊥平面SEGD、SE⊥SF8．直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，那么a 值为〔〕A、0B、1C、0或1D、0或﹣49．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，那么直线D′F 和直线CE〔〕A、都与直线DA相交，且交于同一点B、互相平行C、异面D、都与直线DA相交，但交于不同点10．△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，那么△ABC的外接圆方程为〔〕A、〔x+3〕2+〔y+2〕2=5B、〔x+3〕2+〔y+2〕2=20C、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=20D、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=511．一个几何体的三视图及相关尺寸如下图，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，那么该几何体的体积为〔〕A、25πB、19πC、11πD、9π12．三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，那么过点A的直线l与线段BC有公共点时〔公共点包含公共点〕，直线l的斜率kl的取值范围是〔〕A、[﹣1，1]B、〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕C、〔﹣1，1〕D、〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕【二】填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，那么直线l在x轴上的截距是；y轴上的截距是．14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点〔1，0〕到它的距离为1的直线是．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为．16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点〔2，4〕射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点〔3，2〕，那么反射光线的方程为．【三】解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O〔﹣1，1〕，其中A〔﹣2，0〕，B〔1，1〕．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．18．圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A〔2，﹣3〕和B〔﹣2，﹣5〕，求圆C的标准方程．19．如下图，多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．〔1〕求证：平面AB1D1∥平面BDC1；〔2〕求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．20．如图，直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC、〔1〕在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；〔2〕求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为D、〔Ⅰ〕x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；〔Ⅱ〕假设∠BAC=θ，求cosθ的最小值．参考答案与试题解析【一】选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．以下命题中，错误的选项是〔〕A、平行于同一个平面的两个平面平行B、假设直线a不平行于平面M，那么直线a与平面M有公共点C、直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内D、假设直线a∥平面M，那么直线a与平面M内的所有直线平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据平面平行的几何特征，可判断A；根据直线与平面位置关系的分类与定义，可判断B；根据公理3和线面平行的性质定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，可判断D、【解答】解：平行于同一个平面的两个平面平行，故A正确；假设直线a不平行于平面M，那么a与M相交，或a在M内，那么直线a与平面M 有公共点，故B正确；直线a∥平面α，P∈α，那么P与a确定的面积与平面α相交，由公理3可得两个平面有且只有一条交线，且过点P，再由线面平行的性质定理可得交线平行于直线a，故C正确；假设直线a∥平面M，平面M内的直线与直线a平行或异面，故D错误；应选：D、【点评】此题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面关系的几何特征，考查空间想象能力，难度中档．2．如下图的一个几何体及其正视图如图，那么其俯视图是〔〕A、 B、 C、 D、【考点】简单空间图形的三视图．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】该几何体的俯视图即上部分四棱锥的俯视图，且四条棱都能看见，应为实线．【解答】解：因为该组合体上部为四棱锥，且顶点在底面的投影在底面中心，所以该几何体的俯视图为C、应选C、【点评】此题考查了简单几何体的三视图，是基础题．3．过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为〔〕A、﹣2x+y﹣7=0B、﹣x+2y﹣8=0C、2x+y+1=0D、x+2y﹣4=0【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，代入点的坐标，求出c的值即可．【解答】解：过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，∴﹣2×2﹣3+c=0，解得c=7，故方程为2x﹣y+7=0，即为﹣2x+y﹣7=0，应选：A、【点评】此题考查了直线的倾斜角和直线方程，属于基础题．4．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为〔〕A、4〔+1〕πB、4〔2+1〕πC、4πD、8π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，求出母线长，再求底面积与侧面积的和即可．【解答】解：底面半径和高都为2的圆锥，其底面积为S底面积=π•22=4π，母线长为=2，所以它的侧面积为S侧面积=π•2•2=4π；所以圆锥的表面积为：S=S底面积+S侧面积=4π+4π=4〔+1〕π．应选：A、【点评】此题考查了求空间几何体表面积的应用问题，是基础题目．5．一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，假设该长方体的顶点都在一个球的球面上，那么这个球的体积为〔〕A、288πB、144πC、108πD、36π【考点】球的体积和表面积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，得出长方体内接于球，球的直径等于长方体的对角线长，由此求出球的半径与体积．【解答】解：根据题意，长方体内接于球，所以球的直径为该长方体的对角线；即〔2R〕2=32++42=36，解得R=3；所以这个球的体积为V球=πR3=×π×33=36π．应选：D、【点评】此题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为〔〕A、B、﹣ C、D、﹣【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间角．【分析】判断四面体A′BDA为正四面体，取BD的中点E，连接AE，A′E，由等腰三角形〝三线合一〞的性质，易得∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么四面体A′BDA为正四面体．取BD的中点E，连接AE，A′E，设四面体的棱长为2，那么AE=A′E=且AE⊥BD，A′E⊥BD，那么∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，在△AA′E中，cos∠AEA′==故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是：．应选：A、【点评】此题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEA′即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答此题的关键．7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么在四面体G﹣SEF中必有〔〕A、SD⊥平面EFGB、SE⊥GFC、EF⊥平面SEGD、SE⊥SF【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG ⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，那么DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；在B 中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，∴GF⊥平面SEG，∵SE⊂平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，得∠ESF＜∠G1SG3=90°，∴SE与SF不垂直，故D错误．应选：B、【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是〝由想性质，由求证想判定〞，也就是说，根据条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，那么a 值为〔〕A、0B、1C、0或1D、0或﹣4【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由条件利用两直线平行的性质能求出a的值．【解答】解：∵直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，∴当a=1时，两直线都垂直于x轴，两直线平行，当a=﹣1时，两直线x=4与y=﹣7垂直，不平行，当a≠±1时，由两直线平行得：，解得a=0．∴a值为0或1．应选：C、【点评】此题考查直线方程中参数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，那么直线D′F 和直线CE〔〕A、都与直线DA相交，且交于同一点B、互相平行C、异面D、都与直线DA相交，但交于不同点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】连接EF，A′B，CD′，证明E，F，D′，C共面，且EF=CD′，即可得出结论．【解答】解：连接EF，A′B，CD′，那么∵AB的中点为E，AA′的中点为F，∴EF∥A′B，∵A′B∥CD′，∴EF∥CD′，∴E，F，D′，C共面，且EF=CD′∴直线D′F和直线CE与直线DA相交，且交于同一点，应选：A、【点评】此题考查E，F，D′，C共面的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，那么△ABC的外接圆方程为〔〕A、〔x+3〕2+〔y+2〕2=5B、〔x+3〕2+〔y+2〕2=20C、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=20D、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=5【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由条件求得△ABC为直角三角形，可得它的外接圆的圆心为斜边AC的中点〔3，2〕，半径为AC，由此求得它的外接圆的标准方程．【解答】解：由△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，可得AB⊥CB，故△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点〔3，2〕，半径为AC=•=，故圆的方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=5，应选：D、【点评】此题主要考查求圆的标准方程的方法，直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．11．一个几何体的三视图及相关尺寸如下图，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，那么该几何体的体积为〔〕A、25πB、19πC、11πD、9π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．代入体积公式计算．【解答】解：三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．∴圆台的上底面面积S1=π×12=π，圆台的下底面面积S2=π×22=4π，圆柱的底面面积S3=π×22=4π，∴V圆台=〔S1+S2+〕×3=7π，V圆柱=S3×1=4π，V=V圆台+V圆柱=11π．应选C、【点评】此题考查了常见几何体的三视图及体积，是基础题．12．三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，那么过点A的直线l与线段BC有公共点时〔公共点包含公共点〕，直线l的斜率kl的取值范围是〔〕A、[﹣1，1]B、〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕C、〔﹣1，1〕D、〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕【考点】直线的斜率．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】求出直线AC的斜率kAC=1，直线AB的斜率kAB=﹣1，作出图象，数形结合能求出直线l的斜率kl的取值范围．【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D〔2，0〕，∵三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，直线AC的斜率kAC==1，直线AB的斜率kAB==﹣1，∴结合图象，得：直线l的斜率kl的取值范围是〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕．应选：B、【点评】此题考查直线的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率公式和数形结合思想的合理运用．【二】填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，那么直线l在x轴上的截距是﹣2 ；y轴上的截距是 3 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】直线l：3x﹣2y+6=0中，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．【解答】解：∵直线l的方程为3x﹣2y+6=0，∴当y=0时，解得x=﹣2，当x=0时，解得y=3，∴直线l在x轴上的截距是﹣2，y轴上的截距是3．故答案为：﹣2，3．【点评】此题考查直线方程的横截距和纵截距的求法，是基础题，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点〔1，0〕到它的距离为1的直线是3x+4y+2=0或3x+4y﹣8=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．根据点〔1，0〕到它的距离为1，可得=1，解得m即可得出．【解答】解：设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．∵点〔1，0〕到它的距离为1，∴=1，解得m=2或﹣8．因此所求的直线方程为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．故答案为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．【点评】此题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】连结A′B、A′C′，由AC∥A′C′，得∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，由此能求出异面直线AC与BC′所成的角．【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连结A′B、A′C′，∵AC∥A′C′，∴∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，∵A′B=BC′=A′C′，∴∠A′C′B=60°，∴异面直线AC与BC′所成的角为60°．故答案为：60°．【点评】此题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点〔2，4〕射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点〔3，2〕，那么反射光线的方程为x﹣26y+1=0 ．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设点P点〔2，4〕关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′〔a，b〕，那么，解得a，B、再利用点斜式即可得出．【解答】解：设点P点〔2，4〕关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′〔a，b〕，那么，解得a=﹣3，b=﹣1．∴反射光线的斜率为：=，∴反射光线的方程y﹣2=〔x﹣3〕，化为x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．【点评】此题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【三】解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O〔﹣1，1〕，其中A〔﹣2，0〕，B〔1，1〕．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【考点】直线的两点式方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设点C的坐标为〔a，b〕，点D的坐标为〔c，d〕，由平行四边形的性质和中点坐标公式求出C〔0，2〕，D〔﹣3，1〕，由此能求出该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【解答】解：设点C的坐标为〔a，b〕，点D的坐标为〔c，d〕，由，，解得，∴C〔0，2〕，D〔﹣3，1〕，∴AD所在直线方程为：，即y=﹣x﹣2．DC所在直线方程为：，即y=．【点评】此题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平行四边形的性质和中点坐标公式的合理运用．18．圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A〔2，﹣3〕和B〔﹣2，﹣5〕，求圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心，再求出半径CA的值，即可求得圆的标准方程．【解答】解：由，线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心．线段AB的斜率为：KAB==，∴线段AB的中垂线所在直线的斜率为﹣=﹣2，又∵线段AB的中点为〔0，﹣4〕，∴线段AB的中垂线所在直线方程为：y+4=﹣2x，即2x+y+4=0．由，求得，∴圆C的圆心坐标为〔﹣1，﹣2〕∴圆C的半径r满足：r2=〔2+1〕2+〔﹣3+2〕2=10，∴圆C的标准方程为〔x+1〕2+〔y+2〕2=10．【点评】此题主要考查求圆的标准方程，直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求出圆心坐标及半径，是解题的关键，属于基础题．19．如下图，多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．〔1〕求证：平面AB1D1∥平面BDC1；〔2〕求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】〔1〕在平面AB1D1找两条相交直线AB1，AD1分别平行于平面BDC1；〔2〕连接D1C，设D1C∩C1D=O，证明D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高，求出底面积，即可求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．【解答】〔1〕证明：由，在四边形DBB1D1中，BB1∥DD1且BB1=DD1，故四边形DBB1D1为平行四边形，即D1B1∥DB，﹣﹣﹣﹣﹣2’∵D1B1⊄平面DBC1，∴D1B1∥平面DBC1；﹣﹣﹣﹣﹣3’同理在四边形ADC1B1中，AB1∥DC1，﹣﹣﹣﹣﹣4’同理AB1∥平面DBC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’又∵AB1∩D1B1=B1，﹣﹣﹣﹣﹣6’∴平面AB1D1∥平面BDC1．﹣﹣﹣﹣7’〔2〕解：连接D1C，设D1C∩C1D=O，那么在正方形D1CICD中，D1C⊥DC1，﹣﹣﹣﹣8’又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面C1CDD1，所以D1C⊥B1C1，﹣﹣﹣﹣9’∵DC1∩B1C1=C1，∴D1C⊥平面AB1C1D，﹣﹣10’即D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高；由，在正方形DCC1D1中，边长为1，∴D1C=DC1=，∴四棱锥的高D1O=，﹣﹣﹣﹣11’又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形AB1C1D为矩形，且C1D=，B1C1=1，故=1×=﹣﹣﹣﹣12’∴==﹣﹣﹣﹣14’【点评】此题考查平面与平面平行的判定，考查四棱锥D1﹣AB1C1D的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC、〔1〕在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；〔2〕求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】〔1〕存在满足条件的点P．在梯形ACDE内过C作CP⊥AE，垂足为P，那么垂足P即为满足条件的点．由推导出BA⊥CP，CP⊥AB，由此能证明CP⊥平面ABE、〔2〕连接BP，那么∠CBP为BC与平面ABE所成角，由此能求出直线BC与平面BAE 所成角的余弦值．【解答】解：〔1〕存在满足条件的点P．在梯形ACDE内过C作CP⊥AE，垂足为P，那么垂足P即为满足条件的点．证明如下：∵∠BAC=90°，即BA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE，又∵CP⊂平面ACDE，∴BA⊥CP．由CP⊥AE，CP⊥AB，AB∩AE=A，可知CP⊥平面ABE、〔2〕连接BP，由〔1〕可知CP⊥平面ABE，P为垂足，∴∠CBP为BC与平面ABE所成角θ．在RT△APC中，∠PAC=60°，∠APC=90°，∴PC=ACsin60°=．在RT△BAC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴BC===，∴在RT△BPC中，∠BPC=90°，BC=，PC=，即sinθ=sin∠CBP===，且0＜θ＜，∴cosθ===，故直线BC与平面BAE所成角的余弦值为．【点评】此题考查使得线面垂直的点是否存在的判断与证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为D、〔Ⅰ〕x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；〔Ⅱ〕假设∠BAC=θ，求cosθ的最小值．【考点】直线与平面垂直的判定；余弦定理．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔I〕如图〔1〕为折叠前对照图，图〔2〕为折叠后的空间图形．利用面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性即可得出；〔II〕在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕如图〔1〕为折叠前对照图，图〔2〕为折叠后的空间图形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB、在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴当时，d2取得最小值．〔Ⅱ〕∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴当时，cosθ取得最小值．【点评】此题考查了面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性、余弦定理和余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．。