高二上学期数学期中考试卷附答案

【一】选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕
1．以下命题中，错误的选项是〔〕
A、平行于同一个平面的两个平面平行
B、假设直线a不平行于平面M，那么直线a与平面M有公共点
C、直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内
D、假设直线a∥平面M，那么直线a与平面M内的所有直线平行
2．如下图的一个几何体及其正视图如图，那么其俯视图是〔〕
A、 B、 C、 D、
3．过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为〔〕A、﹣2x+y﹣7=0 B、﹣x+2y﹣8=0 C、2x+y+1=0 D、x+2y﹣4=0
4．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为〔〕
A、4〔+1〕π
B、4〔2+1〕π
C、4π
D、8π
5．一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，假设该长方体的顶点都在一个球的球面上，那么这个球的体积为〔〕
A、288π
B、144π
C、108π
D、36π
6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为〔〕
A、B、﹣ C、D、﹣
7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么在四面体G﹣SEF中必有〔〕
A、SD⊥平面EFG
B、SE⊥GF
C、EF⊥平面SEG
D、SE⊥SF
8．直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，那么a 值为〔〕
A、0
B、1
C、0或1
D、0或﹣4
9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，那么直线D′F 和直线CE〔〕
A、都与直线DA相交，且交于同一点
B、互相平行
C、异面
D、都与直线DA相交，但交于不同点
10．△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，那么△ABC的外接圆方程为〔〕
A、〔x+3〕2+〔y+2〕2=5
B、〔x+3〕2+〔y+2〕2=20
C、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=20
D、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=5
11．一个几何体的三视图及相关尺寸如下图，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一
个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，那么该几何体的体积为〔〕
A、25π
B、19π
C、11π
D、9π
12．三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，那么过点A的直线l与线段BC有公共点时〔公共点包含公共点〕，直线l的斜率kl的取值范围是〔〕
A、[﹣1，1]
B、〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕
C、〔﹣1，1〕
D、〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕
【二】填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕
13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，那么直线l在x轴上的截距是；y轴上的截距是．
14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点〔1，0〕到它的距离为1的直线是．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为．
16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点〔2，4〕射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点〔3，2〕，那么反射光线的方程为．
【三】解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O〔﹣1，1〕，其中A〔﹣2，0〕，B〔1，1〕．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．
18．圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A〔2，﹣3〕和B〔﹣2，﹣5〕，求圆C的标准方程．
19．如下图，多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．
〔1〕求证：平面AB1D1∥平面BDC1；
〔2〕求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．
20．如图，直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC、
〔1〕在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；
〔2〕求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．
21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为D、
〔Ⅰ〕x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；
〔Ⅱ〕假设∠BAC=θ，求cosθ的最小值．
参考答案与试题解析
【一】选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕
1．以下命题中，错误的选项是〔〕
A、平行于同一个平面的两个平面平行
B、假设直线a不平行于平面M，那么直线a与平面M有公共点
C、直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内
D、假设直线a∥平面M，那么直线a与平面M内的所有直线平行
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．
【分析】根据平面平行的几何特征，可判断A；根据直线与平面位置关系的分类与定义，可判断B；根据公理3和线面平行的性质定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，可判断D、
【解答】解：平行于同一个平面的两个平面平行，故A正确；
假设直线a不平行于平面M，那么a与M相交，或a在M内，那么直线a与平面M 有公共点，故B正确；
直线a∥平面α，P∈α，那么P与a确定的面积与平面α相交，
由公理3可得两个平面有且只有一条交线，且过点P，
再由线面平行的性质定理可得交线平行于直线a，故C正确；
假设直线a∥平面M，平面M内的直线与直线a平行或异面，故D错误；
应选：D、
【点评】此题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面关系的几何特征，考查空间想象能力，难度中档．
2．如下图的一个几何体及其正视图如图，那么其俯视图是〔〕
A、 B、 C、 D、
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】该几何体的俯视图即上部分四棱锥的俯视图，且四条棱都能看见，应为实线．【解答】解：因为该组合体上部为四棱锥，且顶点在底面的投影在底面中心，
所以该几何体的俯视图为C、
应选C、
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，是基础题．
3．过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为〔〕
A、﹣2x+y﹣7=0
B、﹣x+2y﹣8=0
C、2x+y+1=0
D、x+2y﹣4=0
【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程．
【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．
【分析】过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，代入点的坐标，求出c的值即可．
【解答】解：过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，
∴﹣2×2﹣3+c=0，
解得c=7，
故方程为2x﹣y+7=0，即为﹣2x+y﹣7=0，
应选：A、
【点评】此题考查了直线的倾斜角和直线方程，属于基础题．
4．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为〔〕
A、4〔+1〕π
B、4〔2+1〕π
C、4π
D、8π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，求出母线长，再求底面积与侧面积的和即可．
【解答】解：底面半径和高都为2的圆锥，其底面积为S底面积=π•22=4π，
母线长为=2，
所以它的侧面积为S侧面积=π•2•2=4π；
所以圆锥的表面积为：
S=S底面积+S侧面积=4π+4π=4〔+1〕π．
应选：A、
【点评】此题考查了求空间几何体表面积的应用问题，是基础题目．
5．一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，假设该长方体的顶点都在一个球的球面上，那么这个球的体积为〔〕
A、288π
B、144π
C、108π
D、36π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，得出长方体内接于球，球的直径等于长方体的对角线长，由此求出球的半径与体积．
【解答】解：根据题意，长方体内接于球，
所以球的直径为该长方体的对角线；
即〔2R〕2=32++42=36，解得R=3；
所以这个球的体积为V球=πR3=×π×33=36π．
应选：D、
【点评】此题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．
6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为〔〕
A、B、﹣ C、D、﹣
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间角．
【分析】判断四面体A′BDA为正四面体，取BD的中点E，连接AE，A′E，由等腰三角形〝三线合一〞的性质，易得∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．
【解答】解：棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么四面体A′BDA为正四面体．
取BD的中点E，连接AE，A′E，设四面体的棱长为2，那么AE=A′E=
且AE⊥BD，A′E⊥BD，那么∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，
在△AA′E中，cos∠AEA′==
故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是：．
应选：A、
【点评】此题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEA′即为相邻两侧面
所成二面角的平面角，是解答此题的关键．
7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么在四面体G﹣SEF中必有〔〕
A、SD⊥平面EFG
B、SE⊥GF
C、EF⊥平面SEG
D、SE⊥SF
【考点】直线与平面垂直的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG ⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．
【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，那么DG=a，SD=a，
∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；
在B 中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，
∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，
∴GF⊥平面SEG，∵SE⊂平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；
在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，
∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；
在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，
得∠ESF＜∠G1SG3=90°，
∴SE与SF不垂直，故D错误．
应选：B、
【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是〝由想性质，由求证想判定〞，也就是说，根据条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
8．直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，那么a 值为〔〕
A、0
B、1
C、0或1
D、0或﹣4
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】由条件利用两直线平行的性质能求出a的值．
【解答】解：∵直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，
∴当a=1时，两直线都垂直于x轴，两直线平行，
当a=﹣1时，两直线x=4与y=﹣7垂直，不平行，
当a≠±1时，由两直线平行得：，
解得a=0．
∴a值为0或1．
应选：C、
【点评】此题考查直线方程中参数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．
9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，那么直线D′F 和直线CE〔〕
A、都与直线DA相交，且交于同一点
B、互相平行
C、异面
D、都与直线DA相交，但交于不同点
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】连接EF，A′B，CD′，证明E，F，D′，C共面，且EF=CD′，即可得出结论．【解答】解：连接EF，A′B，CD′，那么
∵AB的中点为E，AA′的中点为F，
∴EF∥A′B，
∵A′B∥CD′，
∴EF∥CD′，
∴E，F，D′，C共面，且EF=CD′
∴直线D′F和直线CE与直线DA相交，且交于同一点，
应选：A、
【点评】此题考查E，F，D′，C共面的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，那么△ABC的外接圆方程为〔〕
A、〔x+3〕2+〔y+2〕2=5
B、〔x+3〕2+〔y+2〕2=20
C、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=20
D、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=5
【考点】圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】由条件求得△ABC为直角三角形，可得它的外接圆的圆心为斜边AC的中点〔3，2〕，半径为AC，由此求得它的外接圆的标准方程．
【解答】解：由△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，
可得AB⊥CB，故△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点〔3，2〕，
半径为AC=•=，
故圆的方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=5，
应选：D、
【点评】此题主要考查求圆的标准方程的方法，直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．
11．一个几何体的三视图及相关尺寸如下图，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，那么该几何体的体积为〔〕
A、25π
B、19π
C、11π
D、9π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】由三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．代入体积公式计算．
【解答】解：三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．
圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．
∴圆台的上底面面积S1=π×12=π，圆台的下底面面积S2=π×22=4π，圆柱的底面面积S3=π×22=4π，
∴V圆台=〔S1+S2+〕×3=7π，
V圆柱=S3×1=4π，
V=V圆台+V圆柱=11π．
应选C、
【点评】此题考查了常见几何体的三视图及体积，是基础题．
12．三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，那么过点A的直线l与线段BC有公共点时〔公共点包含公共点〕，直线l的斜率kl的取值范围是〔〕
A、[﹣1，1]
B、〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕
C、〔﹣1，1〕
D、〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．
【分析】求出直线AC的斜率kAC=1，直线AB的斜率kAB=﹣1，作出图象，数形结合能求出直线l的斜率kl的取值范围．
【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D〔2，0〕，
∵三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，
直线AC的斜率kAC==1，
直线AB的斜率kAB==﹣1，
∴结合图象，得：
直线l的斜率kl的取值范围是〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕．
应选：B、
【点评】此题考查直线的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率公式和数形结合思想的合理运用．
【二】填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕
13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，那么直线l在x轴上的截距是﹣2 ；y轴上的截距是 3 ．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】直线l：3x﹣2y+6=0中，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．
【解答】解：∵直线l的方程为3x﹣2y+6=0，
∴当y=0时，解得x=﹣2，
当x=0时，解得y=3，
∴直线l在x轴上的截距是﹣2，y轴上的截距是3．
故答案为：﹣2，3．
【点评】此题考查直线方程的横截距和纵截距的求法，是基础题，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．
14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点〔1，0〕到它的距离为1的直线是3x+4y+2=0或3x+4y﹣8=0 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．
【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．
【分析】设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．根据点〔1，0〕到它的距离为1，可得=1，解得m即可得出．
【解答】解：设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．
∵点〔1，0〕到它的距离为1，
∴=1，解得m=2或﹣8．
因此所求的直线方程为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．
故答案为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．
【点评】此题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】连结A′B、A′C′，由AC∥A′C′，得∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，由此能求出异面直线AC与BC′所成的角．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，
连结A′B、A′C′，
∵AC∥A′C′，∴∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，
∵A′B=BC′=A′C′，
∴∠A′C′B=60°，
∴异面直线AC与BC′所成的角为60°．
故答案为：60°．
【点评】此题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点〔2，4〕射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点〔3，2〕，那么反射光线的方程为x﹣26y+1=0 ．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．
【分析】设点P点〔2，4〕关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′〔a，b〕，那么
，解得a，B、再利用点斜式即可得出．
【解答】解：设点P点〔2，4〕关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′〔a，b〕，
那么，解得a=﹣3，b=﹣1．
∴反射光线的斜率为：=，
∴反射光线的方程y﹣2=〔x﹣3〕，
化为x﹣2y+1=0．
故答案为：x﹣2y+1=0．
【点评】此题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【三】解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O〔﹣1，1〕，其中A〔﹣2，0〕，B〔1，1〕．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【考点】直线的两点式方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】设点C的坐标为〔a，b〕，点D的坐标为〔c，d〕，由平行四边形的性质和中点坐标公式求出C〔0，2〕，D〔﹣3，1〕，由此能求出该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．
【解答】解：设点C的坐标为〔a，b〕，点D的坐标为〔c，d〕，
由，，解得，
∴C〔0，2〕，D〔﹣3，1〕，
∴AD所在直线方程为：，即y=﹣x﹣2．
DC所在直线方程为：，即y=．
【点评】此题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平行四边形的性质和中点坐标公式的合理运用．
18．圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A〔2，﹣3〕和B〔﹣2，﹣5〕，求圆C的标准方程．
【考点】圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心，再求出半径CA的值，即可求得圆的标准方程．
【解答】解：由，线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心．
线段AB的斜率为：KAB==，∴线段AB的中垂线所在直线的斜率为﹣=﹣2，
又∵线段AB的中点为〔0，﹣4〕，∴线段AB的中垂线所在直线方程为：y+4=﹣2x，即2x+y+4=0．
由，求得，∴圆C的圆心坐标为〔﹣1，﹣2〕
∴圆C的半径r满足：r2=〔2+1〕2+〔﹣3+2〕2=10，
∴圆C的标准方程为〔x+1〕2+〔y+2〕2=10．
【点评】此题主要考查求圆的标准方程，直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求出圆心坐标及半径，是解题的关键，属于基础题．
19．如下图，多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．
〔1〕求证：平面AB1D1∥平面BDC1；
〔2〕求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】〔1〕在平面AB1D1找两条相交直线AB1，AD1分别平行于平面BDC1；〔2〕连接D1C，设D1C∩C1D=O，证明D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高，求出底面积，即可求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．
【解答】〔1〕证明：由，在四边形DBB1D1中，BB1∥DD1且BB1=DD1，
故四边形DBB1D1为平行四边形，即D1B1∥DB，﹣﹣﹣﹣﹣2’
∵D1B1⊄平面DBC1，∴D1B1∥平面DBC1；﹣﹣﹣﹣﹣3’
同理在四边形ADC1B1中，AB1∥DC1，﹣﹣﹣﹣﹣4’
同理AB1∥平面DBC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’
又∵AB1∩D1B1=B1，﹣﹣﹣﹣﹣6’
∴平面AB1D1∥平面BDC1．﹣﹣﹣﹣7’
〔2〕解：连接D1C，设D1C∩C1D=O，
那么在正方形D1CICD中，D1C⊥DC1，﹣﹣﹣﹣8’
又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面C1CDD1，
所以D1C⊥B1C1，﹣﹣﹣﹣9’
∵DC1∩B1C1=C1，∴D1C⊥平面AB1C1D，﹣﹣10’
即D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高；
由，在正方形DCC1D1中，边长为1，
∴D1C=DC1=，∴四棱锥的高D1O=，﹣﹣﹣﹣11’
又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形AB1C1D为矩形，且C1D=，B1C1=1，故=1×=﹣﹣﹣﹣12’
∴==﹣﹣﹣﹣14’
【点评】此题考查平面与平面平行的判定，考查四棱锥D1﹣AB1C1D的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．如图，直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC、
〔1〕在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；
〔2〕求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】〔1〕存在满足条件的点P．在梯形ACDE内过C作CP⊥AE，垂足为P，那么垂足P即为满足条件的点．由推导出BA⊥CP，CP⊥AB，由此能证明CP⊥平面ABE、〔2〕连接BP，那么∠CBP为BC与平面ABE所成角，由此能求出直线BC与平面BAE 所成角的余弦值．
【解答】解：〔1〕存在满足条件的点P．在梯形ACDE内过C作CP⊥AE，垂足为P，
那么垂足P即为满足条件的点．
证明如下：∵∠BAC=90°，即BA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
∴BA⊥平面ACDE，
又∵CP⊂平面ACDE，∴BA⊥CP．
由CP⊥AE，CP⊥AB，AB∩AE=A，可知CP⊥平面ABE、
〔2〕连接BP，由〔1〕可知CP⊥平面ABE，P为垂足，
∴∠CBP为BC与平面ABE所成角θ．
在RT△APC中，∠PAC=60°，∠APC=90°，
∴PC=ACsin60°=．
在RT△BAC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴BC===，
∴在RT△BPC中，∠BPC=90°，BC=，PC=，
即sinθ=sin∠CBP===，且0＜θ＜，
∴cosθ===，
故直线BC与平面BAE所成角的余弦值为．
【点评】此题考查使得线面垂直的点是否存在的判断与证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为D、
〔Ⅰ〕x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；
〔Ⅱ〕假设∠BAC=θ，求cosθ的最小值．
【考点】直线与平面垂直的判定；余弦定理．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】〔I〕如图〔1〕为折叠前对照图，图〔2〕为折叠后的空间图形．利用面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性即可得出；
〔II〕在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函数的单调性即可得出．
【解答】解：〔Ⅰ〕如图〔1〕为折叠前对照图，图〔2〕为折叠后的空间图形．
∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，
∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB、
在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，
AR2=x2．
故d2=BR2+AR2=．
∴当时，d2取得最小值．
〔Ⅱ〕∵AB=AC=d，BC=2，
∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，
∴当时，cosθ取得最小值．
【点评】此题考查了面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性、余弦定理和余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．。