概率第一章第3讲

0.8n 0.05，n 14
故至少需14门高炮才能有95%以上把握击中飞机。
第一章 小结
六个概念（随机试验、事件、概率、频率,条件概率 、独立性），
四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶 斯公式）
两个概型（古典概型、几何概型）
第一章内容概要
一、事件及关系和运算
随机试验、样本空间、事件的定义 事件之间的关系（包含，相等，和，积，互斥，对立） 关系运算律
三、全概率公式与贝叶斯公式
在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率， 推算出未知的复杂事件的概率。
为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容 的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结 果。 完备事件组
1. 完备事件组(一个有限划分)
设Ω为试验E的样本空间，A1,A2,...,An为E的一组事件，
设盒中3个白球，2个红球，从中取球两次，每次一个，有放回地摸 球，问已知第一次取到红球的情况下，第二次取到红球的概率？
设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球” 则P(A)=P(B)=2/5, P(B|A)= 2/5 ,P(B)＝P(B|A) . 此时P(AB)=P(A) P(B)
二、概率的乘法公式
设A、B、C为随机事件，P(A)>0，则有乘法公式 P(AB)＝P(A)P(B|A)
当P(AB)>0时，上式还可推广到三个事件的情形 P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)
一般地，n个随机事件A1,A2,…,An，且P(A1A2…An-1)>0,有下 列公式：
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1…An－1)
i 1
例5 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97%的
患者检验结果为阳性，95%的未患病者检验结果为阴性，设该病
的发病率为0.4%．现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病
的概率是多少？
解 记B为检验结果是阳性，则 B 为检验结果是阴性，A表示患有 该病，则 A为未患该病．由题意
P( A) 0.004, P( A) 0.996, P(B | A) 0.97 , P(B | A) 0.95, 得到 P(B | A) 1 P(B | A) 0.05,
解 设A1：他乘火车来，A2：他乘船来，A3：他乘汽车来， A4：他乘飞机来，B：他迟到。 易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组
（2）由Bayes公式得
P( A1 B)
P( A1) P(B A1)
4
P( Ai )P(B Ai )
0.3 0.25 0.52 0.145
P( Ak
B)
P( Ak ) P(B
n
Ak )
P( Ai )P(B Ai )
i 1
此式称为Bayes公式。
k 1, 2,L , n
Bayes公式的应用：
1. 把事件B看作某一过程的结果 2. 把 A1, A2 , L , An L 看作结果B的若干个原因 3. 已知每一原因Ai发生的概率 ������ ������������ 已知 4. 每一原因对结果������的影响程度已知 ������ ������|������������ 已知
由贝叶斯公式得
P(A | B)
P( A)P(B | A)

0.004 0.97
0.072.
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A) 0.004 0.97 0.996 0.05
1.5 事件的独立性
一般地 P(A|B)≠P(A), 即B的发生，会对A的发生产生影响， 但在某些情况下有P(A|B)＝P(A)，如：
P(B|A)
例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两 次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第二次取到红球，求第一次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率； (3)求两次均取到红球的概率。
解 设A:第一次取到红球,B:第二次取到红球
(1)P( A | B) 1 (2)P(B) 21 3 2 2
P(B)＝ P(Ai )P(B | Ai ) i 1
此公式称为全概率公式。
例4 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他 迟到的概率。
全概率公式的应用：
1. 把事件B看作某一过程的结果 2. 把 A1, A2 , L , An L 看作结果B的若干个原因 3. 已知每一原因Ai发生的概率 ������ ������������ 已知 4. 每一原因对结果������的影响程度已知 ������ ������|������������ 已知 5. 可用全概率公式计算结果发生������的概率 求P(B)
5.如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 k个原因引起
的概率
求 ������ ������������|������
例4 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求(1) 他迟到的概率。(2)结果他迟到了，请问他是乘火车来的概率。
2）关系式(1) (2)不能互相推出。
事件两两独立，不一定相互独立。
1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,
P(A1 A2 An ) 1 P(A1)P(A2) P(An )
2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 ) P( An )
4
A52
5
(3)P( AB)

21 A52

1 10
定义（计算公式） 设A、B是Ω中的两个事件，P(A)>0，则 P(B | A) P( AB) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
条件概率P(·|A)符合概率所需满足的三条基本性质： ①非负性：对任意一个事件B，均有0≤P(B|A)≤1； ②完备性：P(Ω |A)=1； ③ 可 列 可 加 性 ： 若 B1，B2，…，Bn，… 两 两 互
概率论与数理统计
适用班级： 16级微电子
第一章 随机事件及其概率
随机事及其运算 事件的频率与概率 古典概型和几何概型 条件概率 事件独立性
1.4 条件概率
袋中有十只球，其中9只白球，1只红球，十人依次从 袋中各取一球(不放回)，问 ➢ 第1个人取得红球的概率是多少？ ➢ 第2 个人取得红球的概率是多少？
例4 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求(1) 他迟到的概率。(2)结果他迟到了，请问他是乘火车来的概率。
解 设A1：他乘火车来，A2：他乘船来，A3：他乘汽车来， A4：他乘飞机来，B：他迟到。 易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组
n
全概率公式： P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
贝叶斯公式：P( Ak | B)
P( Ak )P(B | Ak )
n
, (k 1,..., n)
P( Ai )P(B | Ai )
四、独立性
i 1
事件的独立性：P(AB)=P(A)P(B)
不相容，则有


P( Bn A) P(Bn A)
n1
n1
条件概率的一般计算方法有两种： (1)缩减样本空间法：在原来试验E的基础上，再
加上事件A发生的条件，便可在减缩了的样本空 间ΩA中计算事件B发生的概率。 (2)公式法：先计算P(A)，P(AB)，再用公式
P(B A) P( AB) P( A)
例6 甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标 的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次) 目标被击中的概率。 解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件， C表示目
标被击中的事件，则 P(A)=0.9，P(B)=0.8 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98
例2 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两 色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的 是一只红球，试求该红球是新球的概率。
设A:从盒中随机取到一只红球。 B:从盒中随机取到一只新球。
nA 60 nAB 40
P(B | A) nAB 2 nA 3
红白 新 40 30 旧 20 10
例3 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的 概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。 解 设A表示事件“活到20岁”，B表示事件“活到25岁”
P(A) 0.7 P(B) 0.56 P(AB) P(B) 0.56 P(B A) P( AB) 0.56 0.8 P( A) 0.7
解 设所需高炮为n门，A表示击中飞机的事件， Ai(i=1,2,…,n)表示第i门高炮击中飞机的事件，则由题意
P( A) P( A1 A2 An ) 95%
即
1 P( A1 A2 An ) 0.95
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ) 1 (1 0.2)n 0.95
立。
定义1. 4
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B),
P(AC) P(A)P(C),

P BC P(B)P(C),

(1) 则称三事件A、B、C
相互独立。
P(ABC) P(A)P(B)P(C), (2)
1） 仅满足(1)式，则称三事件A、B、C两两相互独立。
定义1.3 设A、B二事件，如果满足等式
P(AB) = P(A)P(B) 则称A、B为相互独立的事件。
定理1.1： 若P(A)>0, P(B)>0, A和B独立
P(B|A)=P(B)或 P(A|B)=P(A)。
定理 1.2 如果 A、B 相互独立, 则 A 与 B, A 与 B , A 与 B 也相互独
二、概率的定义和性质
统计定义、公理化定义（非负性，完备性，可列可加性） 性质（有限可加性、事件差、单调性、可补性、加法公式）
三、概率的计算
古典概型： P( A) N ( A) N ()
条件概率：P(B | A) P(AB) P( A)
乘法公式P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B)
4
（1）由全概率公式得 P(B) P( Ai)P(B | Ai) i 1 =0.3×0.25＋ 0.2×0.3＋ 0.1×0.1＋ 0.4×0 =0.145。
3、贝叶斯公式(Bayes)
P( Ak
B)
P( Ak B) P(B)
定理1.2 设试验E的样本空间为Ω ，B为E的事件。事件
组A1,A2,…,An组成样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)>0, (i=1,2,…n), 及P(B)>0，则
n
它们两两互不相容且
U
i 1
Ai

，则A1,A2,...,An为E的一
个完备事件组，或称为样本空间Ω的一个有限划分。
来自百度文库
2、全概率公式 定理1.1 设试验E的样本空间为Ω ，B为E的事件。 设事件组A1, A2,…,An组成样本空间Ω的一个划分， 且设 P(Ai)>0, (i=1,2,…n),则
n
问1：若已知第1个人取到的是白球，则第2个人取到红球的概率 问2：若已知第1个人取到的是红球，则第2个人取到红球的概率
在实际生活中，常遇到已知某事件A已 经发生的条件下，求B事件发生的概率。
一、条件概率
已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率， 简称为B对A的条件概率，记作
另解 P(C ) P( AB ) P( A)P(B ) (1 0.9)(1 0.8) 0.02
P(C) 1 P(C ) 0.98
例1.28 设某种高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要
多少这种高炮同时独立发射(每门射一次)，才能使击中飞机的
概率达到95%以上。