2019河海大学理学院《高等数学》8-9a补充：空间解析几何.ppt
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高等数学（下）
[3] 直线的参数方程
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
[4] 直线的两点式方程
( t为参数)
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
高等数学（下）
一、解析几何的基本问题:
t
高等数学（下）
o
x A
M
x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin v z b ( t , b )
螺旋线的重要性质：
即 : 0 0 ,
z
F ( x, y ) 0 : z0
F ( x, y ) 0 ，求柱面方程。
高等数学（下）
z
只含
x, y
而缺
平行于
z
F ( y, z ) 0 表示母线平行于 x 轴，准线是 : 的柱面； x0 只含 x, z 而缺 y 的方程F ( x, z ) 0 表示母线 F ( x, z ) 0 平行于 y 轴，准线是 : 的柱面。 y0
高等数学（下）
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以 角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影 M ( x , y ,0)
上升的高度与转过的角度成正比．
z : b 0 b 0 b ,
2,
上升的高度 h 2b 螺距
高等数学（下）
例4 将下列曲线化为参数式
(1) x y z 1 2 2 2 x y 1 z 1 1 (2) 解 (1) (2)得 : 2 y 2 z 2 0 y 1 z
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
高等数学（下）
二.
例3
空间曲线的参数方程
螺旋线
x a cost y a sin t z vt
[3] 截距式方程
高等数学（下）
x y z 1 a wenku.baidu.com c
2、空间直线方程
[1] 一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C2 z D2 0
[2] 对称式方程
x x 0 y y0 z z 0 m n p
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
高等数学（下）
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例2 方程
[1]一般形式 F ( x , y , z ) 0 ；
z f ( x, y) x (u , v ) [3]参数方程形式 y (u , v ) (不必掌握) z (u , v )
[2]显函数形式
高等数学（下）
4、空间曲线 [1] 空间曲线的一般方程
缺变量的三元方程是柱面，它平行于没写出的坐标轴。
高等数学（下）
类似地，只含 y , z 而缺
F ( x, y ) 0 轴，准线是 : z0
z 的方程 F ( x, y) 0
表示母线
的柱面；
x 的方程 F ( y, z ) 0
例5 指出下列柱面的准线及母线平行于什么 坐标轴，并作草图及柱面的名称： 2 2 (1) x y 2 x ；
2 2 2
上式代入(1)得 : x 1 z z 1 1 2 2 x 2z 2z 0 x 2 cost x 2z 2z 2 1 1 解2 y sin t 2 2 解1 y 1 z 1 1 z z z sin t
高 等 数 学 (下)
高等数学（下）
上册附录 向量代数与空间解析几何
高等数学（下）
河海大学理学院
补充：空间解析几何(部分)
第七节 空间曲面与空间曲线
1、空间平面方程
[1] 点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
[2] 一般方程
Ax By Cz D 0
2 2 2
高等数学（下）
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C 叫 柱面的准线， 动直线 L 叫柱 面的母线. 观察柱面的形 成过程:
播放
高等数学（下）
特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，而 准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。 设柱面的母线平行于 轴，准线 是 xoy 平面上的一曲线
1.已知空间图形,建立和研究它的代数方程. 利用代数的优点：精准，易推导。 2.已知代数方程,想象出它的几何图形. 利用几何的优点：直观。
高等数学（下）
例 1 已知 A(1,2,3)， B( 2,1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
高等数学（下）
3、空间曲面方程
[3] 直线的参数方程
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
[4] 直线的两点式方程
( t为参数)
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
高等数学（下）
一、解析几何的基本问题:
t
高等数学（下）
o
x A
M
x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin v z b ( t , b )
螺旋线的重要性质：
即 : 0 0 ,
z
F ( x, y ) 0 : z0
F ( x, y ) 0 ，求柱面方程。
高等数学（下）
z
只含
x, y
而缺
平行于
z
F ( y, z ) 0 表示母线平行于 x 轴，准线是 : 的柱面； x0 只含 x, z 而缺 y 的方程F ( x, z ) 0 表示母线 F ( x, z ) 0 平行于 y 轴，准线是 : 的柱面。 y0
高等数学（下）
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以 角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影 M ( x , y ,0)
上升的高度与转过的角度成正比．
z : b 0 b 0 b ,
2,
上升的高度 h 2b 螺距
高等数学（下）
例4 将下列曲线化为参数式
(1) x y z 1 2 2 2 x y 1 z 1 1 (2) 解 (1) (2)得 : 2 y 2 z 2 0 y 1 z
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
高等数学（下）
二.
例3
空间曲线的参数方程
螺旋线
x a cost y a sin t z vt
[3] 截距式方程
高等数学（下）
x y z 1 a wenku.baidu.com c
2、空间直线方程
[1] 一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C2 z D2 0
[2] 对称式方程
x x 0 y y0 z z 0 m n p
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
高等数学（下）
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例2 方程
[1]一般形式 F ( x , y , z ) 0 ；
z f ( x, y) x (u , v ) [3]参数方程形式 y (u , v ) (不必掌握) z (u , v )
[2]显函数形式
高等数学（下）
4、空间曲线 [1] 空间曲线的一般方程
缺变量的三元方程是柱面，它平行于没写出的坐标轴。
高等数学（下）
类似地，只含 y , z 而缺
F ( x, y ) 0 轴，准线是 : z0
z 的方程 F ( x, y) 0
表示母线
的柱面；
x 的方程 F ( y, z ) 0
例5 指出下列柱面的准线及母线平行于什么 坐标轴，并作草图及柱面的名称： 2 2 (1) x y 2 x ；
2 2 2
上式代入(1)得 : x 1 z z 1 1 2 2 x 2z 2z 0 x 2 cost x 2z 2z 2 1 1 解2 y sin t 2 2 解1 y 1 z 1 1 z z z sin t
高 等 数 学 (下)
高等数学（下）
上册附录 向量代数与空间解析几何
高等数学（下）
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补充：空间解析几何(部分)
第七节 空间曲面与空间曲线
1、空间平面方程
[1] 点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
[2] 一般方程
Ax By Cz D 0
2 2 2
高等数学（下）
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C 叫 柱面的准线， 动直线 L 叫柱 面的母线. 观察柱面的形 成过程:
播放
高等数学（下）
特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，而 准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。 设柱面的母线平行于 轴，准线 是 xoy 平面上的一曲线
1.已知空间图形,建立和研究它的代数方程. 利用代数的优点：精准，易推导。 2.已知代数方程,想象出它的几何图形. 利用几何的优点：直观。
高等数学（下）
例 1 已知 A(1,2,3)， B( 2,1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
高等数学（下）
3、空间曲面方程