有限单元法原理及应用简明教程
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有限单元法原理与应用
m
yi yj ym
ai x j ym xm y j , bi y j ym , ci xm x j a j x m y i xi y m , b j y m y i , c j xi x m am xi y j x j yi , bm yi y j , cm x j xi
v 4 5 x 6 y
因此可以得到:
ui 1 2X i 3Yi ui 1 2X j 3Yj ui 1 2X m 3Y m v i 4 5X i 6Yi v i 4 5X j 6Yj v i 4 5X m 6Y m
2.3单元应变
•单元内的应变分量可用矩阵表示为：
u x x y v y xy u v y x
应变分 量是常 量
其子矩阵：
bi 1 Bi 0 2A c i
在（x，y）中，
， D , ,
,
,
D
,
,
T
,
D
,
T
整体坐标 系的弹性 矩阵
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
应力矩阵
S D 0
e
S D B S i
Sj
Sm
yi yj ym
ai x j ym xm y j , bi y j ym , ci xm x j a j x m y i xi y m , b j y m y i , c j xi x m am xi y j x j yi , bm yi y j , cm x j xi
v 4 5 x 6 y
因此可以得到:
ui 1 2X i 3Yi ui 1 2X j 3Yj ui 1 2X m 3Y m v i 4 5X i 6Yi v i 4 5X j 6Yj v i 4 5X m 6Y m
2.3单元应变
•单元内的应变分量可用矩阵表示为：
u x x y v y xy u v y x
应变分 量是常 量
其子矩阵：
bi 1 Bi 0 2A c i
在（x，y）中，
， D , ,
,
,
D
,
,
T
,
D
,
T
整体坐标 系的弹性 矩阵
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
应力矩阵
S D 0
e
S D B S i
Sj
Sm
有限元 第三章 平面问题的有限单元法
ui
i ( xi , yi )
j( x j , y j )
Yj v j Xju
j
x
上式方程可以求得： 由 上式方程可以求得：
a1 =
1 [ a iu i + a ju j + a m u m ] 2A 1 [bi u i + b j u j + b m u m ] a2 = 2A 1 a3 = [ciu i + c ju j + c m u m ] 2A
3. 选择单元的位移模式 结构离散化后，要用单元结点的位移通过插值来获得单 结构离散化后，要用单元结点的位移通过插值来获得单 结点 元内各点的位移。在有限元法中， 各点的位移 元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移 模式是多项式，一般来说， 模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元 的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。 的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于 高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。 高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。
1 u= {(ai + bi x + ci y )ui + (a j + b j x + c j y )u j + (am + bm x + cm y )um } 2A 1 v= {(ai + bi x + ci y )vi + (a j + b j x + c j y )v j + (am + bm x + cm y )vm } 2A
Xi
Fx ui
从解析几何可知， 从解析几何可知，式中的 A就 就 是三角形i、 、 的面积 的面积。 是三角形 、j、m的面积。为保证求 得的面积为正值，结点i、 、 的编 得的面积为正值，结点 、j、m的编 排次序必须是逆时针方向， 排次序必须是逆时针方向，如右图 所示。 所示。
i ( xi , yi )
j( x j , y j )
Yj v j Xju
j
x
上式方程可以求得： 由 上式方程可以求得：
a1 =
1 [ a iu i + a ju j + a m u m ] 2A 1 [bi u i + b j u j + b m u m ] a2 = 2A 1 a3 = [ciu i + c ju j + c m u m ] 2A
3. 选择单元的位移模式 结构离散化后，要用单元结点的位移通过插值来获得单 结构离散化后，要用单元结点的位移通过插值来获得单 结点 元内各点的位移。在有限元法中， 各点的位移 元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移 模式是多项式，一般来说， 模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元 的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。 的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于 高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。 高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。
1 u= {(ai + bi x + ci y )ui + (a j + b j x + c j y )u j + (am + bm x + cm y )um } 2A 1 v= {(ai + bi x + ci y )vi + (a j + b j x + c j y )v j + (am + bm x + cm y )vm } 2A
Xi
Fx ui
从解析几何可知， 从解析几何可知，式中的 A就 就 是三角形i、 、 的面积 的面积。 是三角形 、j、m的面积。为保证求 得的面积为正值，结点i、 、 的编 得的面积为正值，结点 、j、m的编 排次序必须是逆时针方向， 排次序必须是逆时针方向，如右图 所示。 所示。
弹性力学问题有限单元的一般原理
80%
有限单元法的步骤
包括离散化、单元分析、整体分 析、求解等步骤。
02
弹性力学基础
弹性力学基本方程
平衡方程
描述了物体内部力的平衡状态 ，是弹性力学中最基本的方程 之一。
几何方程
描述了物体在应力作用下的变 形和位移，涉及到应变和位移 的关系。
物理方程
描述了应力与应变之间的关系 ，涉及到材料的弹性常数。
单元分析
对每个单元体进行力学分析， 建立其平衡方程和本构关系， 并推导出单元刚度矩阵和等效 节点载荷。
整体分析
将所有单元的刚度矩阵和等效 节点载荷进行集成，形成整体 的平衡方程和约束条件，并求 解得到结构的位移和应力分布 。
结果后处理
对计算结果进行可视化、分析 和评估，以便更好地理解结构 的性能和行为。
弹性力学问题的分类
根据边界条件和载荷情况，弹性力学问题可以分为 多种类型，如静力问题、动力问题、稳定问题等。
有限单元法的概述
80%
有限单元法的基本思想
将连续的弹性物体离散成有限个 小的单元，对每个单元进行分析 ，然后通过单元组合来近似描述 整个物体的行为。
100%
有限单元法的优点
可以处理复杂的几何形状和边界 条件，能够适应各种复杂载荷和 材料性质，计算精度可调等。
弹性力学问题有限单元的一般 原理
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学基础 • 有限单元法的基本原理 • 有限单元法的应用 • 弹性力学问题有限单元法的实现 • 结论与展望
01
引言
弹性力学简介
弹性力学
研究弹性物体在外力作用下的应力、应变和位移的 学科。
弹性力学的基本方程
包括平衡方程、几何方程、物理方程等，用于描述 物体的应力、应变和位移之间的关系。
有限单元法课件第二章有限单元法的基本原理
u x
x
0
0
x
y
z xy
v y w z u v
0
0
yz
zx
y x y
v
w
0
y
0
x
0
z
u
v
0
w
z y z y
w x
u z
z
0
x
3.物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间的关系,这
对于平面弹性体而言,上述外力的虚功为
W f T Pc f T PvdV f T Psds V
四、平面问题的定义
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
1.平面应力问题
当结构满足以下两个条件时,则认为是平面应力问题。
(1)几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸,即结构 形状成薄板形。
(2)载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均 匀分布,而板平面不受任何外力作用。
参照下图,判断是否是平面应力问题。
一般地,当结构厚度 t L 15 时,结构可作为平面应力问题.
平面应力问题的应力特点:
z zx zy 0
根据物理方程， 应变特点:
zx zy 0
z
1
( x
y)
这类结构的应力分量和应变分量分别为:
x
y
T xy
x
y
T
xy
这时,几何方程变为: 物理方程变为:
弹性体在平衡状态下发生虚位移时,外力要做虚功, 大小为
W f T R
虚功 虚位移 外力
在发生虚位移的过程中,弹性体内将产生虚应变 。
应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚
应变能,若用U 表示虚应变能,则
第9章有限单元法-
V1 2
0lEAux2EI2xw 2 2dx
1 l
V20
DNqeTE0A
E0IDNqedx
1 2
qe
TKe
qe
EA
l
0
0
K
e
EA
0
EI 12 l3
EI 6 l2
0
0 EA
0
l
0
EI 6 l2
0
EI 12 l3
EI 6 l2
4 EI l
0
EI 6 l2
2 EI
lห้องสมุดไป่ตู้
0
EA
局部坐标系与整体坐标系之间
的转动变换
u 1 u ˆ 1 c o s e w ˆ 1 s i n e , w 1 u ˆ 1 s i n e w ˆ 1 c o s e
qeReqˆe
M ˆeReTMeRe
K ˆeReTKeRe
一、基本思想 4、单元集合
q 3 n 1 q 1T q 2T Lq nT T
6 9.73 5.01
左右支臂扭曲
7
10.1
5.58
左右支臂同时向内（ 外）弯曲
8
10.2
5.788
左右支臂同时向上（ 下）弯曲
混凝土搅拌站主站结构模态分析
阶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 2.841 3.093 4.536 4.844 5.320 5.795 6.355 8.246 8.428 9.238
1、插值函数
x0,u(x,t)u1(t)
xl,u(x,t)u2(t)
u(x,t)a0a1x
轴向振动杆单元
a 0 u 1 ( t ) a 1 , u 2 ( t ) u 1 ( t ) l
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
近十多年来，FEM的研究热点集中体现在两个方面: 超收敛应力 计算和有限元模型修正技术。
1.3.2 有限元法的应用领域
线性静力分析
静力分析
非线性静力分析
数控立式加工中心床身位移云图
1.3.2 有限元法的应用领域
动力分析
模态分析。 瞬态响应分析。 谐响应分析。 频谱响应分析和随机振动分析。 屈曲和失稳分析。 自动接触分析。
美国的Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib提出了 FEAM。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结 合解决地质力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM 。
1.3.1 有限元法的发展
整机模态分析
反挤压成型过程
1.3.2 有限元法的应用领域
失效和破坏分析
框架 结构 地震 倒塌 模拟
框架 结构 地震 倒塌 模拟
汽 车 正 撞 刚 性 墙
New Structural system and design method
1.3.2 有限元法的应用领域
热传导分析
发动机进排气流场温度
铸造成型：温度变化和气泡
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状பைடு நூலகம்
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
1.3.2 有限元法的应用领域
线性静力分析
静力分析
非线性静力分析
数控立式加工中心床身位移云图
1.3.2 有限元法的应用领域
动力分析
模态分析。 瞬态响应分析。 谐响应分析。 频谱响应分析和随机振动分析。 屈曲和失稳分析。 自动接触分析。
美国的Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib提出了 FEAM。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结 合解决地质力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM 。
1.3.1 有限元法的发展
整机模态分析
反挤压成型过程
1.3.2 有限元法的应用领域
失效和破坏分析
框架 结构 地震 倒塌 模拟
框架 结构 地震 倒塌 模拟
汽 车 正 撞 刚 性 墙
New Structural system and design method
1.3.2 有限元法的应用领域
热传导分析
发动机进排气流场温度
铸造成型：温度变化和气泡
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状பைடு நூலகம்
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
第三章 有限单元法
第3章有限单元法在工程技术领域内，工程师常常运用数学和力学的知识将实际问题抽象成它们应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的边界条件。
对于大多数的工程技术问题，由于物体的几何形状和载荷作用方式是很复杂的，除了方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题之外，试图按经典的弹性力学和塑性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
为了克服这种困难，有两条解决途径：一是引入简化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的问题，从而得到它在简化状态下的解答。
这种方法只在有限的情况下可行，因为过多的简化将可能导致不正确的甚至错误的答案。
另一条解决途径就是数值解法，如有限差分法、边界元法、有限单元法和离散元法等。
对于非线性问题，有限单元法更为有效，且已经出现了许多通用程序。
有限单元法的主要优点是：①建立于严格理论基础上的可靠性。
因为用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上已被证明是微分方程和边界条件的等效积分形式。
只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的算法是稳定、可靠的，如果单元满足收敛准则，则近似解最后收敛于原数学模型的精确解；②适应性强，应用范围广，不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到解答数学方程中的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题；③适合计算机实现的高效性。
由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机的编程和执行。
已经出现了许多大型结构分析通用程序，如：NASTRAN、ASKA、ADINA、ANSYS、ABAQUS等，可以直接应用。
这些优点使有限单元法得到了广泛的应用和发展。
3.1有限单元法分析的基本步骤在工程或物理问题的数学模型（基本变量、基本方程、求解域和边界条件等）确定以后，有限单元法作为对其进行分析的数值计算方法的基本步骤如下：(1) 离散化一个复杂的弹性体可以看成是由无限个质点组成的连续体，它具有无限个自由度。
有限单元法的解题思路
解有限元方程
选择合适的求解器
根据有限元方程的特点和求解规模，选择合适的求解器，如直接法、迭代法等。
求解有限元方程
利用选择的求解器，求解有限元方程，得到节点自由度的解。
结果后处理与验证
结果后处理
对求解结果进行后处理，提取有用的 信息，如位移分布、应力分布等。
结果验证
将求解结果与实验结果或已知解进行 对比，验证求解的正确性和精度。
边界条件可以分为两类：本质边界条件和自然边界条件。本质边界条件是指那些必须满足的 约束条件，如固定位移、固定载荷等；自然边界条件是指在某些特定条件下系统自动满足的 约束条件，如无滑动、无渗透等。
在有限元分析中，需要对每个单元的边界进行处理，将边界条件转化为对每个单元的约束， 以保证整个系统的能量平衡。
发展
随着计算机技术的进步，有限单元法 在20世纪60年代得到迅速发展，广泛 应用于各种工程领域。
02
有限单元法的基本原理
离散化与有限元
离散化
将连续的物理问题离散化，将连续域 划分为有限个小的单元，每个单元具 有特定的形状和大小。
有限元
在离散化的基础上，选取每个单元的 中心点或节点作为代表点，通过这些 代表点将各个单元连接起来，形成一 个整体的有限元模型。
建立数学模型
01
确定问题类型
明确问题是静态、动态还是流体 问题，以及问题的边界条件和初 始条件。
02
确定物理模型
03
建立数学方程
根据问题类型，建立相应的物理 模型，包括受力分析、位移分析 等。
根据物理模型，建立相应的数学 方程，如平衡方程、运动方程等。
离散化处理
选择合适的单元类型
根据问题特点和求解精度要求，选择合适的单元类型，如一维、 二维或三维单元。
有限单元法
M
e
AL
1
210
0
0
1
0
6
0
11 l 0 210
9 70
13 420
l
1 l2 0
13 l
1
l2
105
420 140
0
1
0
0
6
3
0
9 70
13 l 0 420
13 35
11 210
l
0
13 l 420
1 l2 140
0
11 l 210
1 l2 105
一、基本思想
2、单元矩阵
c0 w1, c1 l1, c2 3w1 3w2 2l1 l2
c3 2w1 2w2 l1 l2
w(x,t) w1(t)w1(x) 1w2 (x) w2 (t)w3 (x) 2 w4 (x)
w1(x) 1 3x l2 2x
w3(x) 3 x l 2 2 x
l
l
3 ,w2 (x) l
u(x,t)
w( x, t )
N
(
x)
q
e
N
u1
0
0
w1
0
w2
u 2
0
0
w3
0
w4
一、基本思想
2、单元矩阵
T 1 2
l 0
A
u 2
w2
Hale Waihona Puke dx1 2l
0
Au
w
u w
dx
1 2
l
A0
qeT
N
T
N
qe
dx
1 2
qe
T M e
3.4有限单元法(6学时)
Guidelines
连续体离散化 单元分析 整体分析 确定约束条件 有限元方程求解 结果分析与讨论
2019/6/1
大连交通大学机械设计及其自动化教研中心
数字化设计与制造
二、平面问题有限单元法
有限元法分析问题的主要步骤：
连续体离散化 单元分析 整体分析
9
大连交通大学机械设计及其自动化教研中心
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多
达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序
使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性
能分析的可靠依据。
2019/6/16
大连交通大学机械设计及其自动化教研中心
7
数字化设计与制造
有限元法的分析过程可概括如下：
边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确的、有效的工程数 值分析方法 。 又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界 积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解 。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显 著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单 的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
Nm 0T Px
0
Nm
Py
大连交通大学机械设计及其自动化教研中心
数字化设计与制造
第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题
Yj
Xi Ni 0
Yi
0
Ni
j
Xj
y
Xj Yj
Nj 0
第二章 弹性力学平面问题的有限单元法
2-12
求解上式，可以将参数a1、a2、a3、a4、a5、a6用结点位移 表示出来，即 a1=(aiui+ajuj+amum)/2A a4=(aivi+ajvi+amvm)/2A a2=(biui+bjuj+bmum)/2A a5=(bivi+bjvj+bmvm)/2A a3=(ciui+cjuj+cmum)/2A a6=(civi+cjvj+cmvm)/2A 式中 ai=(xjym-xmyj), bi=yj-ym, ci=xm-xj aj=(xmyi-xiym), bj=ym-yi, cj=xi-xm am=(xiyj-xjyi), bm=yi-yj, cm=xj-xi
2-8
§2.3 三角形单元分析
从离散体系中任取一个单元，如图所示。三 个结点按反时针方向顺序编号为i、j、m。结点坐 标分别为(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。 一、单元的结点位移和结点力向量 由弹性力学平面问题可知，一个连续体，每点 应有两个位移，因此每个结点应有两个位移分量， 则三角形共有六个自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如图 b所示。各结点位移向量可写成
2-15
(2)位移模式必须包含单元的刚体的位移。这是因 为每个单元的位移一般总是包含着两个部分：一部 分由本单元的变形引起的，另一部分是与本单元的 变形无关的，即刚体位移，它由其他单元发生的变 形连带引起。 (3)位移模式必须包含单元的常量应变。这从物理 意义上就可以理解。因为当单元的尺寸取得很小时， 单元中各点的应变也将相差很小，而当单元的尺寸 取得无限小时，单元内各点的应变应趋近于常量。 通常把满足上述第一个条件的单元，称为协调(或 连续)单元；满足第二、第三个条件的单元称为完备 单元。理论和实践都已证明：为了使有限单元法的 解答在单元尺寸逐渐取小时能够收敛于正确解答， 条件(2)(3)是必要条件，而再加上条件(1)就是充分条 件。
求解上式，可以将参数a1、a2、a3、a4、a5、a6用结点位移 表示出来，即 a1=(aiui+ajuj+amum)/2A a4=(aivi+ajvi+amvm)/2A a2=(biui+bjuj+bmum)/2A a5=(bivi+bjvj+bmvm)/2A a3=(ciui+cjuj+cmum)/2A a6=(civi+cjvj+cmvm)/2A 式中 ai=(xjym-xmyj), bi=yj-ym, ci=xm-xj aj=(xmyi-xiym), bj=ym-yi, cj=xi-xm am=(xiyj-xjyi), bm=yi-yj, cm=xj-xi
2-8
§2.3 三角形单元分析
从离散体系中任取一个单元，如图所示。三 个结点按反时针方向顺序编号为i、j、m。结点坐 标分别为(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。 一、单元的结点位移和结点力向量 由弹性力学平面问题可知，一个连续体，每点 应有两个位移，因此每个结点应有两个位移分量， 则三角形共有六个自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如图 b所示。各结点位移向量可写成
2-15
(2)位移模式必须包含单元的刚体的位移。这是因 为每个单元的位移一般总是包含着两个部分：一部 分由本单元的变形引起的，另一部分是与本单元的 变形无关的，即刚体位移，它由其他单元发生的变 形连带引起。 (3)位移模式必须包含单元的常量应变。这从物理 意义上就可以理解。因为当单元的尺寸取得很小时， 单元中各点的应变也将相差很小，而当单元的尺寸 取得无限小时，单元内各点的应变应趋近于常量。 通常把满足上述第一个条件的单元，称为协调(或 连续)单元；满足第二、第三个条件的单元称为完备 单元。理论和实践都已证明：为了使有限单元法的 解答在单元尺寸逐渐取小时能够收敛于正确解答， 条件(2)(3)是必要条件，而再加上条件(1)就是充分条 件。
有限单元法
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限单元法
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•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
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4.2 有限单元法的分析步骤
40
但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
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平面应力
平面应变
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•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
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4.2 有限单元法的分析步骤
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但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
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有限单元法简介课案课件
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结论与展望
总结有限单元法的主要内容与特点
总结内容
有限单元法是一种广泛应用于工程和科 学计算中的数值分析方法，其主要思想 是将连续的求解域离散化为一组单元的 组合体，并在每个单元内假设一个近似 函数，然后通过单元组合体的方式求解 整个域的解。其主要特点包括离散化、 单元划分、近似函数和整体组装四个方 面。
有限单元法的物理原理
物理问题的离散化
将连续的物理问题离散化为有限个离 散的单元，每个单元内的物理量（例 如，位移、温度等）可以近似为常数 。
单元之间的相互作用
考虑单元之间的相互作用和边界条件 （例如，位移边界条件、温度边界条 件等），将各个单元连接起来形成一 个整体的求解对象。
有限单元法的应用范围与限制
求解方程
1 2
选择求解器
根据方程的特点和需要，选择合适的求解器进行 求解。
导入求解器
将方程导入到求解器中，进行求解。
3
分析求解结果
根据求解结果，分析方程的解是否符合要求，如 果不符合要求，需要重新进行求解。
结果分析
结果可视化
将求解结果进行可视化处理，生成模型在不同时刻的 状态图。
结果评估
对求解结果进行评估，分析模型的位移、应力、应变 等参数是否符合实际情况。
结果优化
根据结果评估的结果，对模型进行优化设计，提高模 型的性能和稳定性。
04
有限单元法的应用实例
结构分析
总结词
有限单元法在结构分析中得到广泛应用，能够解决各种复杂结构问题。
详细描述
通过将结构离散化为有限个单元，并对每个单元进行受力分析，可以得出结构的整体受力情况和变形，广泛应用 于桥梁、建筑、机械等领域。
分。
第3章：有限单元法的一般原理
第3章 有限单元法的一般原理 3.1.3 单元特性分析
第01篇 有限单元法基本理论
在位移法有限元中，首先要针对所选定的单元类型选择一简 单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单 元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式， 从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和 应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点 位移之间的特性关系，称为单元有限元方程。该方程可用矩阵形 式表示为： [F]e=[K]e[]e
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定系数的有限项 多项式作为近似函数。因为多项式的数学处理比较容易，尤其便于 微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。 当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应。但为了实用，通常 只取有限次多项式来近似。如3结点三角形单元位移函数的广义坐 标表示为：
（1）自然离散问题单元；
自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构（二力杆）的 离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为 杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情 况），以传递负荷。 x
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
备注：桁架问题（杆单元问题）需要两个坐标系来描述。固定的整体坐标系XY或 XYZ： （1）描述每个节点的位置，使用角度记录每个杆件（单元）的方向；施 加约束及载荷；（3）表示问题的解。单元坐标系用来描述杆件的轴向效应。杆 单元LINK每个节点只有平动自由度。
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
(c)位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性。
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图2-31 铰接三角形
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第二章 结构几何构造分析
结构的特征是：当它受载荷作用时会产生微小的 位移， 但位移一旦发生后， 即转变成一几何不变结 构，但结构的内力可能为无限大值或不定值，这样的 结构称为瞬变结构。显然，瞬变结构在工程结构设计 中应尽量避免。
(a) 瞬变结构
(b) 分离体分析 图2-32 瞬变结构
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第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式 2.5 结构几何不变结构组成规律
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第二章 结构几何构造分析
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。
(1) 具有奇数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
2.2.3 结构对称性的利用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析 图2-22对称性利用示意图
(c) 对称性利用
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第二章 结构几何构造分析
② 对称刚架承受反对称载荷作用
(a) 对称刚架
(b) 变形状态分析 图2-23 反对称性利用示意图
(c) 反对称性利用
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第二章 结构几何构造分析
(2) 具有偶数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 对称性利用
图2-24对称性利用示意图
规律3 一个几何不变结构（ 或刚体 ）与另一个几 何不变结构（或刚体）用六根即不平行也不相交于同一 条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结构， 且无多余约束。
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1 结构离散与向量表示
3.2 位移函数及单元的刚度矩阵
3.3 坐标变换及单元刚度矩阵 3.4 整体刚度矩阵 3.5 约束处理及求解 3.6 计算示例 3.7 ANSYS桁架结构计算示例 3.8ANSYS刚架结构计算示例
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第一章 概述
1.2 有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程 (5) 约束处理，求解系统方程 (6) 其它参数计算
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第一章 概述
图1-2 工程问题有限单元法分析流程
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第一章 概述
1.3 工程实例
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1 结构离散与向量表示
工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构 支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等 可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用 线在空间的位臵分为平面杆系和空间杆系结构。 杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。
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第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变
(b) 缺少必要的约束条件 图2-1 几何可变结构
(c) 约束汇交于一点
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第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。
2.7 空间结构几何构造分析
空间几何不变结构的组成规律简述如下： 规律1 空间中一点与一刚体用三根链杆相连．且三 链杆不在同一平面内，则组成几何不变的结构、且无多 余约束。
返 回 章 节 目 录
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第二章 结构几何构造分析
(a) 空间点与基础连接 (b) 瞬变结构 图2-38 两刚片连接可变结构
(c) 铰接四面体
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第二章 结构几何构造分析
② 反对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 反对称性状态分析
(c) 反对称性受力分析
(d) 反对称性利用
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图2-25对称性利用示意图
第二章 结构几何构造分析
2.3 结构几何构造分析的自由度与约束
(1) 自由度 指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何 参数的数目，也就是确定该结构位臵时所需的独立参 数的数目。 (2) 约束 指减少结构自由度的装臵，即限制结构结构运动 的装臵。 a. 支座链杆的约束 b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完 全铰。
刚片Ⅰ和Ⅱ间用杆件DB、FE相联，虚铰位臵在此
二平行杆件延长线的无穷远处；
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第二章 结构几何构造分析
刚片Ⅰ和Ш间用杆件DA及支座链杆③相联，虚 铰位臵在F点； 刚片Ⅱ和Ш用杆件BA、支座链杆④相联， 虚铰 位臵在C点。 三铰C、F、 可看成位于同一条直线上，该结构 不符合三刚片规则，故此结构为几何瞬变结构。
2.6 平面结构几何构造分析示例 2.7 空间结构几何构造分析
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
返 回 章 节 目 录
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位臵没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法基本步骤 1.3 工程实例
返 回 全 书 目 录
3
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题 返 回 章 节 目 录
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元 性质方程。 (2) 变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似 解法。
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(a) Liebherr塔式起重机
(b) Liebherr履带式起重机
(c) 钢结构桥梁 图3-1 杆系结构
(c) 瞬变结构
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第二章 结构几何构造分析
(3) 三刚片规则
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联， 所得结构是几何不变结构。
图2-35 基本三角形结构
图2-36 三刚片规则示意图
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第二章 结构几何构造分析
2.6 平面结构几何构造分析示例
返 回 章 节 目 录
(a) 结构示例
(b) 错误分析
返 回 章 节 目 录
(a) 铲运机举升工况测试 (b) 铲运机工作装臵插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
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第一章 概述
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
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第一章 概述
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
(c) 分析
图2-37 两刚片连接可变结构
解：此结构可采用平面桁架结构自由度计算公式，其中 j=6， g=8， z= 4
W 2 j m z 2 6 8 4 0
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第二章 结构几何构造分析
结构组成分析如下，由于此结构有四根支座链杆，
故不能简单的从结构本身内部组成分析入手，应按三刚 片规则考虑。首先选择三个刚片。在此可将基础视为刚
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第二章 结构几何构造分析
2.4 自由度计算公式
(1)桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 则桁架的自由度W 为 平面桁架 W 2jgz 空间桁架 W 3j g z (2) 平面混合结构的自由度计算公式 一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种 可能： a. W＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故 结构必定是几何可变体系。 b. W=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的 约束数。 c. W＜0 表明结构具有多余约束。
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第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性： a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。 b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。 c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。 d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。 e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
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第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式 求出，并且解答是唯一的。 b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面 特征（几何尺寸，形状）无关。 c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力 全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分 能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。 e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。 f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。 g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。