直线的法向量

向量法求空间的距离

学习目标：通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化。 一、复习

1、如何用向量法求两条异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角？

2、若→

→

21,n n 分别为一个二面角的两个半平面的法向量，若π3

2

,21>=<→

→n n ，则此二面角的平面角的大小为 二、新课导学

(1)点到平面的距离(如图1)：

平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是在向量n 方向射影的

绝对值，即d =|

||

|n n ⋅.

(2)异面直线的距离(如图2)：

设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值，即d =

|

||

|n n MP ⋅ (3)线到平面的距离(如图3)：

平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线

l 间的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值，即d =

|

||

|n n MP ⋅. (4)平面到平面的距离(如图4)：

平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β

的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =|

||

|n n ⋅.

思考：上面几个距离公式的共性？

三、典型例题

例1：如图5，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求异面直线1AA 与1BD 的距离。

练习：如图5，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求面对角线C B 1与体对角线1BD 的距离。

例2：设)8,4,5(),7,3,6(),2,1,4(),1,3,2(--D C B A ，求点D 到平面ABC 的距离。

例4：已知二面角βα--l 的平面角为0

120

，βα⊂⊂∈BD AC l B A ,,,，l BD l AC ⊥⊥,，若

1===

BD AC AB ，求CD 的长。

图1

图3

图4

图5

B 1

C 1

D 1

A 1

D

C B

A

课后定时练习

已知直线l 垂直平面α，而平面α的一个法向量为)5,3,2(-=→

a ，则l 的一个方向向量为（ ） A )15,9,6(-- B )15,9,6(- C )2,2,2(- D )2,2,2(--

1、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，则点1A 到平面11D ABC 的距离为（ ）

A 2a

B 22a

C 42a

D 3

2a

2、正方体1111D C B A ABCD -中，E 是CD 的中点，F 是1AA 的中点，则异面直线E C 1与BF 所成角的大小为 。

4、如果正方体的对角线长为a ，则它的棱长为 。

5、如图6，已知四边形ABCD ，EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点，求点P 到平面EFB 的距离。

8、如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面F AEC 1所截而得到的，其中AB=4，BC=2，1,31==BE CC ，求：（1）BF 的长；

（2）点C 到平面F AEC 1的距离。

P

A

B

C D

F

M F

图6

C 1

F

A

D

C B