简单数理逻辑及其应用
数理逻辑怎样用于实际的应用
离散数学期中课程设计作业班级：10级计算机组员：杨鑫学号：09数理逻辑怎样用于实际的应用我们现在在学离散数学,对于离散数学中的数理逻辑这一部分存在很多盲点,那么这看似高深莫测的数理逻辑在实际生活中有着怎样的用处呢,下面让我们来讨论一下.我们先看数理逻辑的定义:数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。
是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。
数理逻辑是用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支，计算机科学，人工智能，语言学等学科有密切的联系，并且日益显示出它的主要作用和更加广泛的应用前景.数理逻辑中的逻辑运算又称布尔运算，它是用数学的方法解决或研究逻辑问题，即用离散的符号“1”和“0”表示逻辑中的“真”和“假”再加上一套与之相关的“与”、“或”、“非”为运算基础的逻辑运算规则解决实际逻辑问题的方法，从而实现复杂逻辑运算到简单的数值计算的转化。
下面我们就逻辑运算在电路设计中的运用加以探讨：某公司王某欲搬入新房，搬迁前需要完成电路的设计安装，由于该房深处闹市，四周楼房林立，严重影响了客厅的采光，于是王某想设计一个电路，要求客厅四盏灯由一个开关控制，开关按下一次亮一盏灯，再按一下亮两盏，以此类推，直到按下第五次时所有灯熄灭。
假设四个灯依次为A、B、C、D，灯亮为1，灯灭为0，开关有脉冲输入为1，否则为0，则根据题意可得真值表（如图１）：设第ｎ号灯的上一状态为Nｎ，第ｎ＋１号灯现在在的状态为Nｎ＋１，脉冲输入状态为M，则有：Nｎ＋１=Nｎ∧M（N0与M的且运算）其中Ｎｎ＝ＮＡ∧ＮＢ．．．∧Ｎｎ－１灯亮的条件为（A∧┐B∧┐C∧┐D）∨（A∧B∧┐C∧┐D）∨（A∧B∧C∧┐D）∨（A∧B∧C∧D）如Ｂ灯亮的条件是Ａ灯亮并且有脉冲输入，C灯亮的条件是ＡＢ都亮并且有脉冲输入。
数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)
数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)(2010-10-28 00:14:03)转自新浪博客1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。
哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。
同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。
而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。
五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。
1、证明论证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。
研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。
这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科—元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。
要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。
自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。
许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。
从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。
这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。
因为大多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。
“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。
这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。
数理逻辑之等值式
等值式的分类
总结词
等值式可以根据不同的标准进行分类。
Hale Waihona Puke 详细描述根据涉及的命题的数量，可以分为一元、二元和多元等值式。根据逻辑运算符 的类型，可以分为简单等值式和复合等值式。根据真值表的特点，可以分为重 写规则和双条件语句等。
02
等值式的推理规则
引入规则
前提引入
在推理过程中，如果前提是等值式， 则可以直接将其引入到推理过程中。
在代数中的应用
等值式在代数中主要用于简化复杂的数学表达式，通过等价变换，将复杂的表达式转化为更易于处理 的形式。
等值式在解决代数方程时也发挥了重要作用，通过等价代换，可以将方程中的复杂项替换为简单项，简 化解题过程。
在证明代数恒等式时，等值式也发挥了关键作用，通过等价变换，可以将复杂的恒等式转化为易于证明 的形式。
总结词
等值式在人工智能领域的知识表示与推 理中具有重要应用价值。通过等值替换 和推理，可以构建更加准确和高效的知 识表示和推理系统。
VS
详细描述
在人工智能领域，知识表示与推理是关键 技术之一。等值式可以用于构建更加准确 和高效的知识表示和推理系统。例如，在 自然语言处理领域，利用等值式可以将复 杂的语义关系转化为简单的等价关系，从 而提高自然语言处理的准确性和效率。
详细描述
直接证明法是一种基础的证明方法，它基于 等值式的定义和已知条件，逐步推导出等值 式两边的等价关系。这种方法需要清晰地理 解等值式的含义和逻辑关系，并能够根据已 知条件逐步推导。
反证法
总结词
通过假设等值式不成立，然后推导出矛盾，从而证明等值式成立。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，它通过假设等值式不成立，然后推导出矛盾，从而证明 等值式成立。这种方法的关键在于找到合适的矛盾，并能够通过逻辑推理排除假设的不
小学一年级数学练习简单的数学逻辑推理和创新解题
小学一年级数学练习简单的数学逻辑推理和创新解题在小学一年级阶段，数学作为一门基础学科，对学生的逻辑思维和创新能力的培养起着重要的作用。
通过简单的数学逻辑推理和创新解题练习，学生可以提升思维灵活性和问题解决能力。
本文将为您介绍一些适合小学一年级学生的数学练习方法。
一、数学逻辑推理练习1. 数字顺序推理通过观察一组数字的顺序，学生需要根据数字的规律来预测下一个数字是多少。
例如，给出数字序列：2，4，6，8，__，学生需要填写出下一个数字是10。
这种练习可以帮助学生发现数字的规律，并提高他们的推理能力。
2. 数量关系推理通过观察一组物体的数量关系，学生需要根据已知条件来判断另一组物体的数量。
例如，给出一组图形，其中圆的数量比方形多2个，学生需要判断另一组图形中圆和方形的数量关系。
这种练习可以帮助学生培养对数量关系的敏感度和逻辑推理能力。
3. 图形、颜色和方向推理通过观察一组图形的形状、颜色和方向，学生需要找出它们之间的共同点或规律。
例如，给出一组图形，其中有红色圆形、蓝色正方形和黄色三角形，学生需要找出其中的共同点，并判断下一个图形会是什么样子。
这种练习可以培养学生的观察力和逻辑思维能力。
二、创新解题练习1. 数字组合创新给出几个数字，学生需要利用给定的数字进行组合，使得它们的和或差等于目标数字。
例如，给出数字4和6，学生可以组合成4+6=10或6-4=2。
这种练习可以培养学生的数字敏感度和创造力。
2. 数量模式创新给出一个数量模式，学生需要根据给定的规律来创造出符合模式的序列。
例如，给出序列2，4，6，8，学生需要判断是每次增加2或者是每次乘以2，并继续填写下一个数字。
这种练习可以激发学生的创新思维和问题解决能力。
3. 形状图案创新给出一组形状图案，学生需要根据给定的规律来创造出符合图案的下一个形状。
例如，给出一个图案是圆形、正方形、圆形，学生需要判断是按照形状、大小还是颜色来排列，并继续填入下一个图案。
数理逻辑2.3
2.3 联结词的完备集一. n 元真值函数的个数*n 个命题变项p 1, p 2, …, p n , 每个p i 可取p i 或┐p i 形式, 共有2n 个极小项(极大项), 在主析取范式中, 每个极小项可以存在或不存在, 共有n22种组合方式, 每一种组合方式代表一种不同的主析取范式, 故共有n22种不同的主析取范式(主合取范式也类似).定义2.5: 称F: {0, 1}n →{0, 1}为n 元真值函数.*F 的自变量为n 个命题变项, 定义域{0, 1}n ={(0,0,…,0), (0,0,…,1), …, (1,1,…,1)}. n 个命题变项共可构成n 22个不同的真值函数. 例如: 1元真值函数有122= 4个, 如下表, 2元真值函数共有222= 16个(见下表), 3元真值函数共有322= 256个. 表1: 1元真值函数 p )1(0F )1(1F )1(2F )1(3F0 0 0 1 11 0 1 0 1表2: 2元真值函数p q )2(0F )2(1F )2(2F )2(3F )2(4F )2(5F )2(6F )2(7F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1p q )2(8F )2(9F )2(10F )2(11F )2(12F )2(13F )2(14F )2(15F 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1*每个真值函数与唯一的一个主析取范式等值.例如: ⇔)2(0F 0 (矛盾式), )2(1F ⇔ (p ∧q) ⇔ m 3)2(3F ⇔(p ∧┐q)∨(p ∧q)⇔m 2∨m 3 ,)2(13F ⇔(┐p ∧┐q)∨(┐p ∧q)∨(p ∧q)⇔m 0∨m 1∨m 3*每个主析取范式对应无穷多个等值的命题公式, 每一个命题公式又都对应唯一的等值的主析取范式. 所以, 每一个真值函数对应无穷多个等值的命题公式, 每一个命题公式又都对应唯一的等值的真值函数.定义2.6: 设S 是一个联结词的集合, 如果任何n (n ≥ 1)元真值函数都可以由仅含S 中的联结词构成的公式表示, 则称S 是联结词完备集.定理2.4: S = {┐,∧,∨}是联结词完备集.证明: 因为任何n(n ≥ 1)元真值函数都与唯一的主析取范式等值, 而在主析取范式中, 仅含联结词┐,∧,∨, 所以S = {┐,∧,∨}是联结词完备集.推论: 以下联结词集都是联结词完备集:(1) S1 = {┐,∧,∨,→}(2) S2 = {┐,∧,∨,→,↔}(3) S3 = {┐,∧}(4) S4 = {┐,∨}(5) S5 = {┐,→}证明: (1)和(2)是显然的.(3) 由于S = {┐,∧,∨}是联结词完备集, 因而只需证∨可用┐和∧表示. 事实上, p∨q⇔┐┐(p∨q)⇔┐(┐p∧┐q), 所以S3是联结词完备集.(4) 留作练习.(5) 已知S4 = {┐,∨}是联结词完备集, 只需证∨可用┐和→表示即可. 因为有p∨q⇔┐┐p∨q⇔┐p→q, 故S5 = {┐,→}是联结词完备集.*举例说明.*可以证明: 恒取0值的真值函数不能用仅含∧,∨,→,↔的公式表示, 因而{∧,∨,→,↔}不是联结词完备集, 进而它的任何子集都不是联结词完备集.*在计算机硬件设计中, 用与非门或用或非门设计逻辑线路. 这是两种新的联结词, 并且它们各自能构成联结词完备集.定义2.7: 设p,q是两个命题, 复合命题“p与q的否定式”称作p,q的与非式, 记作p↑q. 即p↑q⇔┐(p∧q). 符号↑称作与非联结词.复合命题“p或q的否定式”称作p,q的或非式, 记作p↓q . 即p↓q⇔┐(p∨q). 符号↓称作或非联结词.*p↑q为真当且仅当p与q不同时为真, p↓q为真当且仅当p 与q同时为真.定理2.5: {↑}, {↓}都是联结词完备集.证明: 已知{┐,∧,∨}为联结词完备集, 因而只需证明其中的每个联结词都可以由↑表示即可. 事实上┐p⇔┐(p∧p)⇔p↑pp∧q⇔┐┐(p∧q)⇔┐(p↑q)⇔(p↑q)↑(p↑q)p∨q⇔┐┐(p∨q)⇔┐(┐p∧┐q)⇔(┐p)↑(┐q)⇔(p↑p)↑(q↑q)从而{↑}是联结词完备集. 类似可证{↓}是联结词完备集.2.4 可满足性问题与消解法*命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一. 我们已知这个问题可以用真值表﹑主析取范式或主合取范式解决. 但这两个方法的计算量都很大. 本节介绍一个新的方法—消解法.由于任一公式都能化成等值的合取范式, 因而一般的命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题. *举例说明合取范式的可满足性问题.*合取范式中, 简单析取式中不同时出现某个命题变项和它的否定, 否则它为永真式, 可以把它从合取范式中消去. *称不含任何文字的简单析取式为空简单析取式, 记作λ. 规定空简单析取式是不可满足的.(因为对任何赋值, 空简单析取式中都没有文字为真). 因而, 含有空简单析取式的合取范式是不可满足的.设l 是一个文字, 记⎩⎨⎧⌝==⌝=p l p p l p l C若若,, 称作文字l 的补.下面用S 表示合取范式, 用C 表示简单析取式, 用l 表示文字. 设α是关于S 中命题变项的赋值, 用α(l),α(C)和 α(S)分别表示在α下l, C 和S 的值. 又设S 和S ’是两个合取范式, 用S ≈S ’表示S 是可满足的当且仅当S ’是可满足的. 定义2.8: 设C 1, C 2是两个简单析取式, C 1含文字l, C 2含文字l C , 从C 1中删去l, 从C 2中删去l C , 然后再将所得的结果析取成一个简单析取式, 称这样得到的简单析取式为C 1, C 2的(以l 和l C 为消解文字的)消解式或消解结果, 记作Res(C 1, C 2). 即设C 1=C 1’∨l, C 2 = C 2’∨l C , Res(C 1, C 2) = C 1’∨C 2’. 根据上述定义, 由C 1, C 2得到Res(C 1, C 2)的规则称作消解规则.*可以证明, 如果C 1, C 2可对多对(不同)文字消解, 其消解结果都是等值的. 例如: C 1 = ┐p ∨q ∨r, C 2 = p ∨┐r ∨┐s ∨t, 可消解为q ∨r ∨┐r ∨┐s ∨t (以p 和┐p 为消解文字), 或消解为┐p ∨q ∨p ∨┐s ∨t (以r 和┐r 为消解文字), 都是永真式.定理2.6: C 1∧C 2≈Res(C 1, C 2).证明: 记C = Res(C 1, C 2). 设消解文字为l, l C . 不妨设C 1 = C 1’∨l, C 2 = C 2’∨l C , 于是C = C 1’∨C 2’.假设C 1∧C 2是可满足的, α是满足它的赋值, 不妨设α(l) = 1, 由于α满足C 2, C 2必含有文字l ’ ≠ l 且α(l ’) = 1. 而C 中含l ’, 故α满足C.反之, 假设C 是可满足的, α是满足它的赋值. C 必含有文字l ’使得α(l ’) =1. 不妨设C 1’含有文字l ’. 把α扩张到l(l C )上, 取赋值α’如下:⎪⎩⎪⎨⎧===其它若若),(,1,0)('p l p l p p C αα 则C 1含有l ’且α’(l ’) =α(l ’) = 1, α’满足C 1, 又C 2含有l C 且α’(l C ) = 1, α’满足C 2, 从而C 1∧C 2是可满足的. *注意: C 1∧C 2与Res(C 1, C 2)具有相同的可满足性, 但它们不一定等值.例如: p ∨q ∨r 和p ∨┐r 可消解为p ∨q. α= (0,1,1)满足p ∨q, 但不满足(p ∨q ∨r)∧(p ∨┐r). α’ = (0,1,0)满足后者的赋值.*给定一个合取范式S, 从S 的简单析取式开始, 重复使用消解规则可以得到一个简单析取式序列. 根据定理2.6, 如果S是可满足的, 得到的所有简单析取式都是可满足的. 如果最后得到空简单析取式λ, 则S 不是可满足的.定义2.9: 设S 是合取范式, C 1, C 2, …, C n 是一个简单析取式序列. 如果对每个i (1≤i ≤n ), C i 是S 中的一个简单析取式,或者C i 是它之前的某两个简单析取式C j , C k (1≤j<k<i)的消解结果, 则称此序列是由S 导出C n 的消解序列. 当C n = λ时, 称此序列是S 的一个否证.推论: 如果合式范式S 有否证, 则S 不是可满足的.引理2.7: 设S 含有简单析取式l, 从S 中删去所有包含l 的简单析取式,再从剩下的简单析取式中删去l C , 把这样得到的合取范式记作S ’, 则S ≈S ’.证明: 假设S 是可满足的, α是满足S 的赋值. 由于S 含有简单析取式l, 必有α(l) = 1, 从而α(l C ) = 0. 对S ’中的任一简单析取式C ’, S 中有一个简单析取式C 使得C = C ’或C = C ’∨l C . 因为α使C 为真, 且α(l C ) = 0, C ’必含有l ’使得α(l ’) = 1, 从而α满足C ’, 得证S ’是可满足的.反之, 假设S ’是可满足的, α’是满足S ’的赋值. 由于S ’不含l 和l C , 可把α’扩张到l 上, 得到对S 的命题变项的赋值:⎪⎩⎪⎨⎧===C l p l p S p p p 若若中出现在若,0,1'),(')(αα 于是, 对S 中的任意简单析取式C, 若C 含l, 则α满足C; 若C 不含l, 则S ’中有C ’使得C = C ’或C = C ’∨l C . 而α’满足C ’,α和α’在S’上相同, 故α满足C.得证S是可满足的.定理2.8(消解完全性): 如果合取范式S是不可满足的, 则S 有否证.证明: 设S中含有k个命题变项, 用数学归纳法证明.当k=1时, S中只有一个命题变项, 设为p. 由于S是不可满足的, S中必同时含有简单析取式p和┐p,从而S有否证. 假设当k<n (n≥2)时, 定理成立, 要证k = n时定理也成立. 任意取定S中的一个命题变项p, 令S1表示S中所有含p 的简单析取式,S2表示S中所有含┐p的简单析取式,S3表示S 中所有既不含p又不含┐p的简单析取式. S’是如下得到的合取范式: 先删除S中所有含p的简单析取式, 然后再从剩下的简单析取式中删去文字┐p. S’是两个子合取范式S2’和S3的合取, 其中S2’是删去S2的所有简单析取式中的┐p后得到的合取范式. 令S”是如下得到的子句集: 先删除S中所有含┐p的简单析取式,然后再从剩下的简单析取式中删去文字p. S”也是两个子合取范式S1’和S3的合取, 其中S1’是删去S1的所有简单析取式中的p后得到的合取范式. 由引理2.7,S∧p≈S’, S∧┐p≈S”. 由于S是不可满足的, S∧p和S∧┐p 都是不可满足的, 故S’和S”也是不可满足的. 而S’和S”中命题变项的个数都小于n, 根据归纳假设, 存在从S’和S”导出λ的消解序列C1, C2, …, C i,和D1, D2, …, D j , 其中C i = D j = λ. 如果C t(1≤t≤i)是仅由S3中简单析取式消解得到的,则称C t 是与S 2’无关的; 否则称C t 是与S 2’有关的. 可类似地定义D t (1≤t ≤j )是与S 1’无关的和是与S 1’有关的. 分两种情况讨论如下:(1) C i 是与S 2’无关的, 或者D j 是与S 1’无关的, 此时可由S 3中的简单析取式消解得到λ, 这个消解序列也是S 的一个否证.(2) C i 是与S 2’有关的且D j 是与S 1’有关的, 对每个1≤t ≤i , 令 ⎩⎨⎧⌝∨=无关与若有关与若'22',',S C C S C p C C t t t tt 对每一个1≤t ≤j, 令⎩⎨⎧∨=无关与若有关与若'1'1',,S D D S D p D D t tt t t 不难看出C 1’, C 2’, …, C i ’和D 1’, D 2’, …, D j ’都是S 的消解序列, 分别得到C i ’ = ┐p 和D j ’ = p, 而Res(C i ’, D j ’) = λ. 因此, C 1’, C 2’, …, C i ’, D 1’, D 2’, …, D j ’,λ是S 的一个否证. k=n 时定理成立得证.推论: 合取范式S 是不可满足的当且仅当它有否证. 消解算法:输入: 合式公式A输出: 当A 是可满足时, 回答“yes ”; 否则回答“no ”.1. 求A 的合取范式S2. 令S 0和S 2为不含任何元素的集合, S 1为S 的所有简单析取式组成的集合3. 对S0中的每个简单析取式C1与S1中的每一个简单析取式C2:4. 如果C1, C2可以消解, 则5. 计算C = Res(C1, C2);6. 如果C = λ, 则7. 输出“no”, 计算结束.8. 如果S0和S1都不包含C, 则9. 把C加入S2;10. 对S1中的每一对子句C1, C211. 如果C1,C2可以消解, 则12.计算C = Res(C1, C2)13. 如果C = λ, 则14. 输出“no”, 计算结束.15. 如果S0与S1都不包含C, 则16. 把C加入S217. 如果S2中没有任何元素, 则18. 输出“yes”, 计算结束.19. 否则,把S1加入S0, 令S1等于S2, 清空S2, 返回步骤3. 例2.13: 用消解法判断下述公式是否可满足:(1) (┐p∨q)∧(p∨q)∧(┐q)(2) p∧(p∨q)∧(p∨┐q)∧(q∨┐r)∧(q∨r)解: (1) 这已经是合取范式, S=(┐p∨q)∧(p∨q)∧(┐q)第一次循环, S0 =φ,S1 = {┐p∨q, p∨q, ┐q}, S2 =φ┐p∨q, p∨q 消解得到q┐p∨q, ┐q 消解得到┐pp∨q, ┐q 消解得到pS2 = {p,┐p, q}第二次循环, S0 = {┐p∨q, p∨q, ┐q}, S1={p,┐p, q}, S2=φ┐p∨q, p 消解得到qp∨q, ┐p 消解得到q┐q, q 消解得到λ输出“no”, 计算结束.(2) S= p∧(p∨q)∧(p∨┐q)∧(q∨┐r)∧(q∨r)第一次循环, S0 =φ,S1={ p, p∨q, p∨┐q, q∨┐r, q∨r}, S2=φ.p∨q, p∨┐q 消解得到pp∨┐q, q∨┐r消解得到p∨┐rp∨┐q, q∨r 消解得到p∨rq∨┐r, q∨r 消解得到qS2= { p∨r, p∨┐r, q}第二次循环, S0 = { p, p∨q, p∨┐q, q∨┐r, q∨r},S1 = { p∨r, p∨┐r, q}, S2 =φp∨┐q, q 消解得到pq∨┐r, p∨r 消解得到p∨qq∨r, p∨┐r 消解得到p∨qp∨r, p∨┐r 消解得到pS2 = φ,输出“yes”, 计算结束.作业:1.用主析取范式判断下列公式是否等值:(p→q)→r与q→(p→r)2.用主合取范式判断下列公式是否等值:p→(q→r)与┐(p∧q)∨r3. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,∧}中联结词的公式:(1) (p→(q∧r))∨p(2) p∨┐q∨┐r4. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,∨}中联结词的公式: (p→(q∧┐p))∧q∧r5. 将下列公式化成与之等值且仅含{┐,→}中联结词的公式: (p∧q)∨r6. 用消解法判断下述公式是否可满足的(1) p∧(┐p∨┐q)∧q(2) (p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)。
数理逻辑2.2
2.2 析取范式与合取范式1.简单析取式与简单合取式定义2.2: 命题变项及其否定统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.*解释: 析取, 合取.例子: p, ┐q, p∨┐p, ┐p∨q, p∨┐q∨r, p∨┐p∨r都是简单析取式.┐p, q, p∧┐p, p∧┐q, p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q都是简单合取式.定理2.1: (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其的否定式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式.*举例说明: p∨┐p∨q∨r, p∨┐q∨rp∧┐p∧┐q∧r, ┐p∧q∧r2.合取范式与析取范式定义 2.3: 由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式. 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式. 析取范式与合取范式统称为范式.*析取范式的一般形式为A1∨A2∨…∨A s, 其中, A i为简单合取式, i =1, 2, …,s.合取范式的一般形式为B1∧B2∧…∧B t, 其中, B j为简单析取式, j = 1, 2, …, t.例如: (p∧┐q)∨(┐q∧r)∨p是析取范式.(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r∧(┐p∨┐r∨s)为合取范式.定理 2.2: (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式;例如: (p∧┐p∧q)∨(q∧┐q∧p∧r)∨(p∧┐p∧┐r)是矛盾式;(p∨r∨q∨┐q)∧(p∨┐q∨r∨┐r)∧(┐p∨p∨q∨┐r)是重言式.3. 将合式公式转化为析取范式与合取范式命题公式有5个联结词{∧,∨,┐,→,↔}, 如何把包含这5个联结词的公式转化为合取范式或析取范式?(1) 蕴涵式与等值式A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(A→B)∧(B→A)⇔(┐A∨B)∧(┐B∨A)(2) 公式中的否定┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B(3) 析取范式与合取范式互换A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理 2.3: (范式存在定理) 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式.求给定公式范式的步骤为:(1) 消去联结词→和↔;(2) 用双重否定律消去双重否定符, 用德∙摩根律内移否定符;(3) 使用分配律: 求析取范式时使用∧对∨的分配律; 求合取范式时, 使用∨对∧的分配律.例2.8: 求公式(p→q)↔r的合取范式与析取范式.解: (1) 先求合取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定⇔((p∨r)∧(┐q∨r))∧(┐p∨q∨┐r) ∨对∧的分配律⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 结合律(2)求析取范式(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定,交换律⇔(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨(r∧┐r)∧对∨的分配律⇔0∨0∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨0 矛盾律⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) 同一律定义2.4: 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式恰好出现一次且仅出现一次,而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典序排列, 称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).*由于每个命题变项在极小项中以原形式或否定形式出现且仅出现一次, 因而n个命题变项共产生2n个不同的极小项(或极大项). 每个极小项有且仅有一个成真赋值, 每个极大项有且仅有一个成假赋值. (见下表格)例如: 含p和q的极小项和极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称┐p∧┐q 0 0 m0p∨q 0 0 M0┐p∧q 0 1 m1p∨┐q 0 1 M1 p∧┐q 1 0 m2┐p∨q 1 0 M2 p∧q 1 1 m3┐p∨┐q 1 1 M3 例如: 含p, q, r的极小项与极大项极小项极大项成真名成假名公式赋值称公式赋值称┐p∧┐q∧┐r 0 0 0 m0p∨q∨r 0 0 0 M0 ┐p∧┐q∧r 0 0 1 m1p∨q∨┐r 0 0 1 M1 ┐p∧q∧┐r 0 1 0 m2p∨┐q∨r 0 1 0 M2┐p∧q∧r 0 1 1 m3p∨┐q∨┐r 0 1 1 M3 p∧┐q∧┐r 1 0 0 m4┐p∨q∨r 1 0 0 M4 p∧┐q∧r 1 0 1 m5┐p∨q∨┐r 1 0 1 M5 p∧q∧┐r 1 1 0 m6┐p∨┐q∨r 1 1 0 M6 p∧q∧r 1 1 1 m7┐p∨┐q∨┐r 1 1 1 M7*解释极小项与极大项的不同, 成真赋值与成假赋值.定理2.4: 设M i和m i是含命题变项p1, p2, …, p n的极大项和极小项, 则有┐m i⇔M i和┐M i⇔m i .定义 2.5: 所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).定理 2.5: 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是唯一的.证明: 这里只证主析取范式的存在性和唯一性.首先证明存在性. 设A是任一含n个命题变项的公式. 由定理2.3可知, 存在与A等值的析取范式A’, 即A⇔A’. 若A’的某个简单合取式A i中既不含命题变项p j, 也不含它的否定式┐p j, 则将A i展开成如下等值式:A i∧(p j∨┐p j)⇔(A i∧p j)∨(A i∧┐p j)继续这个过程, 直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式.若在演算过程中出现的命题变项在极小项中出现矛盾式, 则应消去.如用p代替p∧p, m i代替m i∨m i,0代替矛盾式等. 最后, 就将A化为与之等值的主析取范式A”.下面再证明唯一性. 假设命题公式A等值于两个不同的主析取范式B和C, 那么必有B⇔C. 由于B和C是不同的主析取范式, 不妨设极小项m i只出现在B中, 而不出现在C中. 于是,角标i的二进制表示为B的成真赋值, 而为C的成假赋值, 这与B⇔C矛盾.主合取范式的存在性和唯一性可类似证明.例2.9: 求公式(p→q)↔r的主析取范式和主合取范式.解: (1) 求主析取范式在例2.8中已求出(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r), 因此(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧(q∨┐q))∨(q∧r∧(p∨┐p))⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7(2) 求主合取范式在例2.8中, 已求出(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r), 因此,(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨(q∧┐q))∧(┐q∨r∨(p∧┐p))∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨q)∧(p∨r∨┐q)∧(┐q∨r∨p)∧(┐q∨r∨┐p)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M64.主析取范式和主合取范式与真值表的一一对应关系例2.10: 给出合式公式: (p→q)↔r.它的真值表见下图.p q r p→q (p→q)↔r0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 1 01 1 1 1 1主析取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7主合取范式(p→q)↔r⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M6*从主析取范式求主合取范式(或从主合取范式求主析取范式)*判断公式的类型:重言式或矛盾式的主析取范式和主合取范式是什么样的?设公式A中含n个命题变项, 容易看出:(1)A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项.(2)A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项,此时, 记A的主析取范式为0.(3)A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极小项.例2.11: 用公式的主析取范式判断下列公式的类型.(1) ┐(p→q)∧q(2) p→(p∨q)(3) (p∨q)→r解: 公式(1), (2)只含两个命题变项, 而(3)中含3个命题变项.(1) ┐(p→q)∧q⇔┐(┐p∨q)∧q⇔(┐┐p∧┐q)∧q⇔p∧┐q∧q⇔0, 故(1)式是矛盾式.*矛盾式的主析取范式与主合取范式(2) p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔(┐p∧(q∨┐q))∨(p∧(q∨┐q))∨(q∧(p∨┐p))⇔(┐p∧q)∨(┐p∧┐q)∨(p∧q)∨(p∧┐q)∨(q∧p)∨(q∧┐p)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)⇔m0∨m1∨m2∨m3故(2)式是重言式.也可以按如下方式:p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔┐p∨p∨q⇔1∨q⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3*重言式的主析取范式与主合取范式.(3) (p∨q)→r⇔┐(p∨q)∨r⇔(┐p∧┐q)∨r⇔(┐p∧┐q∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(r∧p)∨(r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧(q∨┐q))∨(┐p∧r∧(q∨┐q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧q)∨(p∧r∧┐q)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)⇔(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q ∧r)∨(p∧q∧r)⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7故(3)式是可满足式.*判定两个合式公式是否等值.两个合式公式等值当且仅当它们有相同的主析取范式(主合取范式).例2.12: 某科研所要从3名科研骨干A, B, C中挑选1至2名出国进修. 由于工作需要, 选派时要满足以下条件:(1)若A去, 则C同去.(2)若B去, 则C不能去.(3)若C不去, 则A或B可以去.问所里有哪些选派方案?解: 设p: 派A去; q: 派B去; r: 派C去.由已知条件可得公式: (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))该公式的成真赋值即为可行的选派方案. 经演算得到(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)⇔m1∨m2∨m5故有三种选派方案:(1)C去, A和B都不去; (2) B去, A和C都不去;(3) A和C同去, B不去.作业:1.用等值演算求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值.(1) (┐p→q)→(┐q∨p)(2) (┐p→q)∧(q∧r)(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)2.用等值演算求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值.(1) (p→(p∨q))∨r(2) ┐(q→┐p)∧┐p3.求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求主合取范式.(1) (p→q)∧(q→r)4.用真值表求下列公式的主析取范式与主合取范式.(1) (p q)→r(2) ┐(q→┐p)∧┐p。
数理逻辑
数理逻辑引言逻辑思想亚里士多德欧几里德几何逍遥学派斯多葛学派麦加拉学派智者派经院哲学经院逻辑培根穆勒黑格尔康德形式逻辑数理方向莱布尼茨布尔弗雷格罗素皮亚诺1903年《数学原则》两个演算经典逻辑非经典逻辑●经典逻辑的一些基本特征：1.是外延逻辑。
2.是二值逻辑。
3.承认排中律。
反证法：假设非A（即A未假），如果推出了逻辑矛盾，就能得到A。
4.承认矛盾律。
5.不含有模态词。
6.使用实质蕴涵。
7.是确定的、保真的推理。
8.基于离散性的逻辑●20世纪初以来新兴的非经典逻辑：1.内涵逻辑（外延原则：用内涵不同但真值相同的命题去替换复合命题中的支命题，复合命题真值保持不变）2.多值逻辑（将来可能命题）3.模态逻辑4.直觉主义逻辑5.弗协调逻辑6.相干逻辑、衍推逻辑7.条件句逻辑8.模糊逻辑概率逻辑辩证逻辑……●数理逻辑的应用领域：——服务于哲学研究。
——服务于数学研究。
——服务于语言学研究。
——服务于自然科学研究。
——服务于计算机科学。
●第一编命题逻辑的基本内容：第一章主要介绍命题逻辑的一些比较重要的基本概念。
主要包括命题、命题的真值、真值联结词、真值形式、真值函项、真值表、简化真值表、重言式、推理的形式结构、重言等值式等等。
第二章主要介绍公理化的命题演算系统。
主要包括公理化的方法、命题演算形式系统、命题演算的定理的推演和证明、求否定运算和求对偶运算。
第三章主要介绍同一真值函项，不同表达式的标准表达形式——范式、优范式，以及命题演算系统的一致性、完全性，还有公理的独立性。
第四章主要是介绍了一些不同符号体系的命题逻辑以及不同于古典命题演算的其它命题演算系统(多值、直觉主义、模糊、模态、相干等)。
第一篇命题逻辑●“命题” 的两种理解这是一本书。
This is a book.此乃书也。
●命题逻辑狭谓词逻辑谓词逻辑命题逻辑，以简单命题作为研究基本单位，而不再对简单命题进行结构上的分析。
谓词逻辑，对简单命题进行了进一步的分解，它把命题分析到了个体变项、谓词和量词。
数理逻辑 (作为形式语言的命题逻辑)
…
1 2 3 … n n+1
Note：上图说明两个事实：M（1），和对形式（和无约束的，无限的）参数n， M（n）→M（n+1），就可以得到对每个自然数k，有M（k）。
故，我们断言：对所有自然数n，1+2+…+ n之和等于n×（n +1）/2。
24
定理：对于所有自然数n，1+2+3+…+ n之和等于n× （n +1）/2。
Note：把∧与∨看作两个变量的函数；
Note：两列φ和ψ的四对真值遍历了所有可能性（T T，T F，F
T，和 F F）
15
总结：1）在析取和合取的真值表中，如果交换T和 F，
那么析取是合取的镜像。
即：当且仅当二者都是F析取取F，否则二者至少有一个取T
φ ψ φ∧ψ φ ψ φ∨ψ
二者至少有一个取 T T T T
q
r
∧∧
（┐p）
（（┐p）∧q
┐ qp ∨
（┐r）
（q∨（┐r））
p
q┐
（（ p∧（q∨（┐r））））
（（（┐p）∧q）→（ p∧（q∨（┐r ）））） r
10
∧ → ┐ 此此树树不不是是一一个个合合式式公公式式，，字字符符串串为为
∧→p┐∧┐┐ ∧→p┐∧┐┐ ∧ p┐
┐
11
例：已知树，求其逻辑公式线性表示
即：1+2+3+…+（n +1）=（n +1）*（（n +1）+1）/2
25
因为：1+2+3+…+（n +1）=（1+2+…+ n）+（n +1）
《简单的逻辑学》课件
03 逻辑推理方法
演绎推理
总结词
从一般到特殊的推理方法
详细描述
演绎推理是从一个或一些普遍性前提推导出一个或一些特殊化结论的推理方式。 例如，如果所有的人都会死亡，那么苏格拉底也会死亡。
逻辑推理的应用
数学中的许多问题需要使用逻辑推理来证明和解决，逻辑学为数学 提供了严谨的推理工具。
数学与逻辑学的关系
数学和逻辑学在许多方面是相互渗透、相互促进的，数学的发展推动 了逻辑学的发展，而逻辑学的进步也为数学提供了更好的基础。
哲学与逻辑学
哲学思考的依据
逻辑学为哲学思考提供了依据，哲学中的概念、论证和推理都需 要遵循逻辑学的规则和原理。
阅读经典逻辑学著作
阅读经典的逻辑学著作，如《简单的逻辑学》等，可以帮助个人 系统地了解逻辑学的基本原理和方法。
练习逻辑推理题目
通过练习逻辑推理题目，可以提高个人的推理能力和分析问题的能 力。
反思和总结个人思维习惯
反思和总结个人的思维习惯，找出其中的逻辑问题，并尝试用逻辑 学的方法进行改进。
在日常生活中运用逻辑学
04 逻辑在日常生活中的应用
论证与辩论
总结词
逻辑在论证和辩论中起着至关重要的作用，它帮助我们构建 有力的论点并有效地表达我们的观点。
详细描述
在日常生活中，我们经常需要进行论证或参与辩论。无论是 写论文、发表演讲还是参加讨论，都需要运用逻辑来组织我 们的观点和论据。通过合理的推理和有效的表达，我们可以 使自己的观点更有说服力。
归纳推理
总结词
从特殊到一般的推理方法
数理逻辑
9.1 命题
定义9.1命题：凡能分辨真、假的语句称命题。 定义 命题：凡能分辨真、假的语句称命题。 命题 定义9.2 原子命题：一命题凡不能分解为更简单的 原子命题： 定义 命题称原子命题或简称原子。 命题称原子命题或简称原子。 定义9.3命题常量 具有确定真值的命题，它可用T 命题常量： 定义 命题常量：具有确定真值的命题，它可用 表示， 或F表示，称命题常量或命题常元。 表示 称命题常量或命题常元。 定义9.4命题变量 命题变量： 为其变域的命题， 定义 命题变量：以 T，F为其变域的命题，并可 ， 为其变域的命题 用命题标识符表示之。称命题变量或称命题变元。 用命题标识符表示之。称命题变量或称命题变元。
第9章 命题逻辑 章
（3）自然语言中的联结词的衡量标准不完全是其真 值表； 值表 ； 但命题逻辑中的联结词的衡量标准则是真值 因此， 联结词的唯一衡量标准是其真值表， 表 。 因此 ， 联结词的唯一衡量标准是其真值表 ， 而 不是由自然语言的一些日常语义确定。 不是由自然语言的一些日常语义确定。
9.3 命题公式
2
第9章 命题逻辑 章
9.2命题联结词
定义9.5复合命题 ： 定义 复合命题： 由原子命题通过联结词所构成 复合命题 的命题称复合命题。 的命题称复合命题。 (1)否定 否定 否定联结词是一元联结词， 否定联结词是一元联结词，它的作用对象仅为一个 命题。 命题 。 否定联结词作用于一个命题后使该命题出现 相反的语义。 如有命题： 今天下雨， 相反的语义 。 如有命题 ： 今天下雨 ， 而加上否定联 结词后即成为：今天不下雨。 结词后即成为：今天不下雨。 在命题逻辑中将此联结词予以符号化， 在命题逻辑中将此联结词予以符号化，并建立符号 体系如下： 体系如下：
简单数理逻辑及其应用PPT课件
if Φ 为空集 then
return true
if Φ 只含一个析取式 then
return true
for Φ 中的每个析取式l do
如果析取式l只含有一个变量，直接确 定其值使析取结果为True
for Φ 中每个未定变量x do
•例
1. P ∨ ¬P 2. P ∧ ¬Q 3. P ∨ ¬P
I0=(T) I1=(F) I0=(T, F)
矛盾
.
10
三种公式关系
• A永真，当且仅当¬A永假 • A可满足，当且仅当¬A非永真 • A不可满足，当且仅当A永假
.
11
等值公式
• 两个公式A和B， • P1,…,Pn是所有A和B中的命题变项 • A和B有2n个不同的解释 • 在任何解释下，A和B的真值都相等 • 称A和B等值，记A=B
(P Q) R = P (Q R)
3. 交换律 P∨Q=Q∨P P∧Q=Q∧P
P Q=Q P .
14
4.分配律 P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
P → (Q → R) = (P → Q) → (P → R)
.
5
命题联结词
• 非¬ • 与∧ 合取 • 或∨ 析取
p p
01 10
p
q
p∧q
p∨q
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
.
6
• 推断
– 因果关系
P
F
F
• 等价
数字的魔法二年级学生如何进行简单的数学逻辑推理
数字的魔法二年级学生如何进行简单的数学逻辑推理数字的魔法：二年级学生如何进行简单的数学逻辑推理在数学的世界里，数字蕴含了无限的魔力和奥秘。
对于小学二年级的学生来说，掌握简单的数学逻辑推理方法不仅可以培养他们的思维能力，还能让他们体会到数字的神奇之处。
本文将为大家介绍二年级学生如何进行简单的数学逻辑推理。
一、找出数字规律在数学中，数字常常呈现出一定的规律。
学生们可以通过观察数字间的关系，发现其中的规律，并进而进行推理。
以数字序列为例，假设给出了以下数列：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。
学生们可以观察到，每个数字都是前一个数字加上2得到的。
这样，他们就可以猜测，下一个数字是22。
通过这种观察和推理的方式，学生们不仅可以找出数字规律，还能培养他们的逻辑思维能力。
二、利用逻辑推理解决问题在二年级学习数学的过程中，学生们常常会遇到一些需要进行逻辑推理的问题。
通过简单的推理，他们可以解决这些问题并提高对数学的理解。
例如，假设问题是：小明从家里到学校的路途中，先坐了公交车，然后又走了一段路，最后再坐了地铁。
公交车上有10个人，地铁上有8个人。
那么，请问小明从家里到学校的路途中经过了多少人？学生们可以通过逻辑推理来解决这个问题。
首先，小明在公交车上，所以要把公交车上的人数10加上。
然后，他又在地铁上，所以还要在前面的结果上再加上地铁上的人数8。
最终，学生们可以得到答案是18。
通过这个问题，学生们不仅培养了逻辑推理能力，还加深了对数学加法的理解。
三、进行数学逻辑游戏除了在课堂上学习数学逻辑推理，学生们还可以通过数学逻辑游戏的方式巩固和拓展这方面的能力。
数学逻辑游戏既可以培养学生的逻辑思维，又可以让他们在游戏中感受到数字的魔法。
例如，学生们可以玩一款名为“数字迷宫”的游戏。
在这个游戏中，学生需要根据给出的数学表达式，判断左右两侧是否相等，从而找到正确路径穿越迷宫。
这样的游戏既能够锻炼学生的逻辑推理能力，又能激发他们对数学的兴趣。
数理逻辑简介.ppt课件
14、等价否定等值式 A B A B
15、归谬论 (A B) (A B) A
三、等值演算。
置换定理：如果 A B，则 ( A) (B)。
例2、验证下列等值式。
(1) p (q r) ( p q) r
(2) p (q r) p (q r) q r (3) q (p q) p 1
q (q p)
q (q p)
(q q) p
1 p 1
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。
判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足 式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方 法，即真值表法和等值演算法。
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B 是重言式，则称 A与B是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B是否等值，即判断 A B
例2、 p p q r p r
为_5__层公式。
3、真值表。
公式 A 的解释或赋值
赋值
成真赋值 成假赋值
（使A为真的赋值） （使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ，
按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010……
等是 A 的成真赋值。
2、结合律 (A B) C A (B C)， (A B) C A (B C)
3、分配律 A (B C) (A B) (A C) ， A (B C) (A B) (A C)
数学的数理逻辑分支
数学的数理逻辑分支数理逻辑是数学的一个重要分支，它研究逻辑思维和推理的基本规律，在解决问题和证明定理中起到了关键作用。
本文将从数理逻辑的定义、历史和应用等几个方面进行探讨，以全面展示数理逻辑在数学领域的重要性。
一、数理逻辑的定义数理逻辑是研究命题、推理和证明的数学分支。
它主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑和模型论等相关内容。
数理逻辑通过形式化的方法来研究推理和证明的规则，以符号化的方式表达命题和推理过程。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的起源可以追溯到古希腊时代的亚里士多德。
他在《篇章》中提出了演绎推理的基本规则，奠定了逻辑学的基础。
随着时间的推移，逻辑学逐渐发展为一个独立的学科，并且在数学研究中发挥着越来越重要的作用。
19世纪末到20世纪初，数理逻辑得到了重大的发展。
哥德尔的不完备性定理揭示了数学系统的局限性，给数理逻辑带来了巨大的冲击和启示。
同时，罗素和怀特海等逻辑学家开创了数理逻辑的公理化方法，使得逻辑推理得以在形式化的框架下进行研究。
三、数理逻辑的应用数理逻辑在数学研究中扮演着重要的角色。
它为数学家提供了一种形式化的推理工具，使得数学证明可以更加准确和严谨。
通过应用数理逻辑的方法，数学家可以构建更复杂的数学系统，并在其中进行精确的论证。
此外，数理逻辑在计算机科学领域也有广泛的应用。
计算机程序设计需要精确的逻辑思维和推理能力，而数理逻辑为程序员提供了相应的思维工具。
通过数理逻辑的分析和证明，可以验证程序的正确性和可靠性，提高计算机系统的安全性。
四、数理逻辑的发展前景随着科技的不断进步和应用的拓展，数理逻辑在各个领域的发展前景非常广阔。
在人工智能领域，数理逻辑被应用于知识表示和推理，实现机器的自动推理和决策能力。
在通信和密码学领域，数理逻辑被用于设计和分析加密算法，保障信息的安全。
在金融和经济学领域，数理逻辑被用于建立和分析数学模型，预测和解释市场的变化。
总之，数理逻辑作为数学的数学分支，具有重要的理论和应用价值。
小学数学中的简单数学逻辑推理
小学数学中的简单数学逻辑推理数学是一门逻辑性强的学科，通过逻辑推理可以解决各种问题。
在小学阶段，学生们开始接触到简单的数学逻辑推理，这为他们打下了坚实的数学基础。
本文将介绍小学数学中的简单数学逻辑推理。
一、分类思维分类思维是小学数学中的重要逻辑推理方式之一。
通过观察事物的性质和特征，将其归类，有助于形成清晰的思维结构。
例如，给出一组数字：2、4、6、8、10，要求将其分类。
经过观察可以发现，这组数字中都是偶数，因此可以将其归为一类。
二、反证法反证法是逻辑思维中一种常用的方法。
当我们需要证明某个结论为真时，可以假设其反面为真，通过推导出矛盾的结论来证明原结论的正确性。
例如，对于一个等边三角形ABC，如果需要证明其内角都是60度，可以先假设其中一个内角不是60度，比如为70度，然后通过计算得出三条边不相等，与等边三角形的定义矛盾，因此可以证明原结论的正确性。
三、逻辑推理逻辑推理是指根据已知条件和逻辑关系，通过推理得出结论的过程。
在小学数学中，常见的逻辑推理题包括找规律、判断真假等。
例如，给出一组数字序列：1、4、9、16、25，要求找出规律并继续序列。
通过观察可以发现，这组数字是1的平方、2的平方、3的平方、4的平方、5的平方，因此可以判断下一个数字是6的平方，即36。
四、推理证明推理证明是通过已知条件和逻辑关系来证明一个数学结论的逻辑推理过程。
在小学数学中，常见的推理证明题涉及到类比、对称性、等差数列等。
例如，对于一个三角形ABC，已知AB=AC，要求证明∠B=∠C。
通过推理可以发现，根据等边三角形的定义，AB=AC，再结合三角形内角和等于180度的性质，可以得出∠B=∠C的结论。
五、数学模型数学模型是将实际问题抽象化成数学形式，通过逻辑推理解决问题的方法。
在小学数学中，数学模型的应用主要体现在代数方程的解答中。
例如，求解一个简单的一元一次方程2x+3=7。
可以将该方程看做一个数学模型，通过逻辑推理和运算可求得x=2的解。
mp规则数理逻辑
mp规则数理逻辑MP规则数理逻辑是一种古典数理逻辑的一种形式化方式，它由古希腊哲学家Aristotle提出，向后每一位学者都做了更多的探索和研究。
它从古希腊社会扩展到其他文明，今天它仍被广泛用于各个领域，以解决复杂的问题。
MP规则数理逻辑是一种相对简单的方式，用于推理准确性、支持可靠性和建立信任。
它有助于清晰而有逻辑地显示这些推断，并使得这些推断可以更容易地被发现、记住和理解。
MP规则数理逻辑的一个重要特性是它的正确性和行为健全性，这意味着，基于MP规则的结论是唯一的，可靠的，并且不会引发任何冲突的推断。
MP规则数理逻辑由三个主要元素组成，包括原子、谓词和命题。
原子是逻辑表达式中需要定义的最小单元，它们用于表示实体、概念、属性或事件。
原子之间的关系可以是简单的，比如“A=B”，或者是复杂的，比如“A是B的子集”。
谓词表示一个特定的语义调和，比如“大于”、“小于”、“等于”等，它结合原子来表示逻辑命题。
而命题是谓词和原子的结合，它用于表示一个概念或复杂的事件的真实性或假实性。
MP规则数理逻辑仅是一个比较简单的抽象逻辑形式，它具有许多非常有用的应用，尤其是在哲学、数学、电脑科学和科学实验中。
此外，MP规则数理逻辑也为各种新技术开发提供了基础，比如语音识别、自动驾驶、机器学习等。
MP规则数理逻辑可以提供用于识别某些事件及其衍生的事件的可靠的方式，为未来的技术进步奠定坚实的基础。
MP规则数理逻辑的另一个重要优点是它可以构建可靠的模型，用于结合知识和事实。
这种模型可以帮助人们在解决复杂问题时结合知识，并反映出应用中的真实现实。
这有助于增强处理问题的准确性和快速性，弥补认知延迟问题，增强决策支持能力。
MP规则数理逻辑是一种常用的抽象思维方式，有助于人们思考和表达复杂的问题。
它的应用范围很广，可以用于哲学讨论、科学研究、复杂的决策支持等。
它有助于克服普遍结论的制约和复杂性，使得问题的推理更容易解决，有助于增强其文化价值、实用性和作用力。
离散数学第一章
第一部分数理逻辑先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。
”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。
这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。
”请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。
这又需要经历如下过程：(1) 什么是前提？有哪些前提？(2) 结论是什么？(3) 根据什么进行推理？(4) 怎么进行推理？下面的第一章，第二章回答第一个问题。
第三章回答第二、三个问题。
下图给出了逻辑部分的知识体系。
1.1 命题与联结词一、命题的概念引言中的例子就是要对“我戴的是黑帽子”进行判断。
这样的陈述句称为命题。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯一的。
判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。
例1.1 判断下列句子是否为命题。
(1) 4是素数。
(2) 是无理数。
(3) x大于y。
(4) 月球上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。
(6) π大于吗？ (7) 请不要吸烟！ (8)这朵花真美丽啊！ (9) 我正在说假话。
解:本题的(9)个句子中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因而这3个句子都不是命题。
数理逻辑：理解命题逻辑和谓词逻辑的概念和应用
推理规则：谓词逻辑的推理规则包括演绎推理、归纳推理和类比推理等，这些规则用于推导新的命题或证明已有 命题。
应用领域：谓词逻辑在数学、哲学、语言学和计算机科学等领域有广泛的应用，是形式化方法的重要基础。
混合逻辑的概念： 结合了经典逻辑和 非经典逻辑的推理 系统
推理过程：在命题逻辑中，推理过程通常包括前提和结论两个部分。前提是已知的事实或命 题，结论是根据推理规则从前提推导出的新命题。
应用领域：命题逻辑广泛应用于计算机科学、人工智能、数学、哲学等领域，用于描述和推 导各种逻辑关系和命题之间的联系。
定义：谓词逻辑是一种基于谓词的推理系统，用于研究命题之间的关系。
数据库查询语言： 使用逻辑语言查询 数据库中的数据
人工智能：逻辑在 人工智能领域中的 应用，如专家系统 和自然语言处理
人工智能中的逻辑推理：数理逻辑在机器学习、自然语言处理等领域中的应用，如推理、 归纳等。
人工智能中的知识表示：数理逻辑在知识图谱、专家系统等领域中的应用，如概念、命 题等。
人工智能中的规划与优化：数理逻辑在机器人学、物流优化等领域中的应用，如路径规 划、任务调度等。
定义：自然推理法是一种基于自然语言描述的推理方法，通过逻辑规则和语义理解来进行推理。
特点：自然推理法具有自然性和可理解性，能够模拟人类思维中的推理过程，使得推理结果更加符合人类的认知 和理解。
应用：自然推理法在人工智能、知识表示与推理、自然语言处理等领域有广泛的应用，例如在问答系统、智能助 手、机器翻译等领域中用于实现智能化的推理和决策。
数理逻辑的推理规 则
结论：结论是从前提中推导 出来的
前提：命题逻辑中的推理基 于前提和结论
数理逻辑__命题逻辑_1
第一部分数理逻辑王剑A或B A或BA或B岛被问A岛居民被问B岛居民A是是B否否被问战士是诚实人被问战士回答“是”另一战士回答“是”这扇门是死亡门是是是否是否否是否是否否？？形式逻辑⏹形式逻辑的一般格式就是三段论。
⏹例：苏格拉底三段论：所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以，苏格拉底是要死的。
微积分——力学、机械工程——人类体力劳动自动化数理逻辑——人工智能、知识工程——脑力劳动自动化什么是数理逻辑⏹数理逻辑：以数学的方法研究思维规律和推理过程的科学。
⏹它首先引进一套符号体系，规定一些规则，导出一些定律，然后借助于这些符号、规则、定律，将逻辑推理的过程在形式上变得像代数演算一样，因此数理逻辑又称符号逻辑。
数理逻辑⏹命题逻辑（数理逻辑的基础，以命题为研究对象，研究基于命题的符号逻辑体系及推理规律，也称命题演算）。
主要内容：１、命题与联结词２、命题公式、翻译和真值表３、重言式４、命题联结词的扩充５、范式６、命题演算的推理规则和证明方法⏹谓词逻辑（对命题逻辑的深入研究）。
第一章命题逻辑§1 命题与联结词一、命题1、什么是命题？➢命题是陈述客观外界发生事情的陈述句。
➢命题或为真或为假的陈述句。
特征：✓陈述句✓真假必居其一，且只居其一。
①中国是一个发展中国家。
②人是由猴进化而来的。
③早上好！④王侯将相，宁有种乎？⑤己所不欲，勿施于人！⑥宇宙是大爆炸形成的。
⑦我正在说谎。
⑧这道题太难。
2、命题的真值。
➢一个命题的真或假称为命题的真值，简称值。
➢由于命题只有真假两个值，所以命题逻辑也称二值逻辑。
➢以T （或1）表示命题的真值为真，F （或0）表示命题的真值为假√√√悖论模糊逻辑EX1：3、命题的分类与表示➢分类根据其真值分类：•真命题。
•假命题。
根据其复杂程度分类：•简单命题或原子命题。
•复合命题。
➢命题的抽象表示•在数理逻辑中，通常用大写字母表示命题，P、Q、R…，或用带下标的大写字母Pi 、Qi、Ri或者数字（1）、（2）、…。
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小结
• 命题 • 联结词 • 合式公式 • 等值公式、定理 • 范式
SAT问题 Boolean satisfiability problem
• 给出一个合式公式，判断其是否可满足
• 将合式公式化成合取范式
• A1∧A2∧……∧An • Ai=(Pi1∨Pi2∨…Pim) • 求解办法？
George Logemann 和 Donald W. Loveland 提 出,作为早期Davis-Putnam 算法的一种改进。 Davis-Putnam 算法是Davis 与 Putnam在1960 年发展的一种算法 • 50年来最有效的算法
• Φ：一系列析取式的集合（表示它们合取） • Function DPLL(Φ)
从T列写
• A=(¬P∧¬Q)∨(¬P∧Q)∨(P∧Q) • B=(¬P∧¬Q)∨(¬P∧Q)
PQAB FFTT FTTT TFFF TTTF
从F列写
• A=(¬P∨Q) • B=(¬P∨Q)∧(¬P∨¬Q)
PQAB FFTT FTTT TFFF TTTF
范式
• 列写方法多样，是否有标准形式？ • 定义：
简单数理逻辑及其应用
概述
• 数理逻辑
– 命题 – 联结词 – 合式公式 – 等值公式、定理 – 范式
• SAT问题
– 2-SAT – DPLL算法
• SMT问题
– 分类 – 应用
命题
命题变项
简单命题和复合命题
• P:雪是白的且“1+1=2” • 可分割为
– R:雪是白的 – S:1+1=2
命题联结词
•例
1. P ∨ ¬P 2. P ∧ ¬Q 3. P ∨ ¬P
I0=(T) I1=(F) I0=(T, F)
矛盾
三种公式关系
• A永真，当且仅当¬A永假 • A可满足，当且仅当¬A非永真 • A不可满足，当且仅当A永假
等值公式
• 两个公式A和B， • P1,…,Pn是所有A和B中的命题变项 • A和B有2n个不同的解释 • 在任何解释下，A和B的真值都相等 • 称A和B等值，记A=B
2-SAT
• 特殊情况
• 合取式的每一项Ai最多只有2个变量析取 (m<=2)
• (X0∨X2)∧(¬ X0∨X3) ∧(X1∨¬X3)
T
TT
TT
T
构图法
• N个变项，2N个节点 （Ai与¬ Ai为对偶点） • A∨B = ¬A B • 对每一项(A∨B) • 从¬A向B连一条边 • 从¬B向A连一条边 • 如果取了¬A则必须取B • 若存在A到¬A存在路径，则无解
寻找可行解
• 有向图 • 强连通分量缩环 • 给个对偶分支取一条
3-SAT
• 析取式中某些项包含的变量为3个 • 上述算法不成立 • 第一个所知的NP完全问题 • 1971年由史提芬·A·古克(Stephen A. Cook)提
出的古克定理证明 • 一般SAT问题，搜索！
DPLL算法
• Davis-Putnam-Logemann-Loveland • 它在1962年由Martin Davis, Hilary Putnam,
– 文字：简单命题P及其否定式¬P – 合取式：一些文字的合取 – 析取式：一些文字的析取 – 析取范式：形如A1∨A2∨……∨An(其中Ai为合取
式) – 合取范式：形如A1∧A2∧……∧An(其中Ai为析取
式)
范式
• 范式定理：任意命题公式都存在有与其等 值的合取范式和析取范式
• 求范式 • A B = ¬A∨B • A B = (¬A∨B)∧(A∨¬B)
P P=T
6.吸收律 P ∨ (P ∧ Q) = P P ∧ (P ∨ Q) = P
7.摩根（De Morgan）律：
¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q
命题公式与真值表
• 给出公式，列写真值表很容易
• 反过来呢？T
TFFF
TTTF
• 尝试写出A，B由P，Q表达的公式
if Φ 为空集 then return true
if Φ 只含一个析取式 then return true
for Φ 中的每个析取式l do 如果析取式l只含有一个变量，直接确
定其值使析取结果为True for Φ 中每个未定变量x do 如果x出现的形式相同，确定其值使结
SAT问题扩展？
• 一系列约束条件取并 • 判断是否可满足 • SAT：约束条件为布尔变量的析取 • 布尔 整数、实数？ • 析取 数学运算？
• 非¬ • 与∧ 合取 • 或∨ 析取
p
q
0
0
0
1
1
0
1
1
p p
01 10
p∧q 0 0 0 1
p∨q 0 1 1 1
• 推断
– 因果关系
P
F
F
• 等价
T
T
Q PQ P Q
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
合式公式
Well-formed formula
• 命题变项和连接词的组合 • 定义 1. 简单命题是合式公式 2. 如果A是合式公式，那么¬A也是合式公式 3. 如果A, B是合式公式，那么(A ∧ B), (A ∨ B),
(A B)和(A B)是合式公式 4. 当且仅当经过有限次地使用1,2,3所组成的
符号串才是合式公式
合式公式
• 合式公式简称公式 • 例子
p∧（p q） q
• If A then B else C 能用合式公式表示吗？
合式公式分类
• 永真式：在任何解释I下都为真(T)
• 可满足式：在某个解释I0下为真(T) • 矛盾式：在任何解释I下都为假(F)
3. 交换律 P∨Q=Q∨P P∧Q=Q∧P P Q=Q P
4.分配律 P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
P → (Q → R) = (P → Q) → (P → R)
5. 等幂律 P∨P=P P∧P=P
P→P=T
等值定理
• 对公式A和B，A=B的充分必要条件是A B是 永真式
• 不要将“=”视作连结词 • A=B表示公式A与B的一种关系 1. 自反性：A=A 2. 对称性：若A=B，则B=A 3. 传递性：若A=B，B=C，则A=C
等值公式
1. 双重否定律 ¬¬ P = P
2. 结合律 (P ∨ Q) ∨ R = P ∨ (Q ∨ R) (P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R) (P Q) R = P (Q R)