高中数学-推理与证明复习总结

推理与证明本章知识网络： 一、推理 ●1. 归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

2）归纳推理的思维过程大致如图：3）归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

●2. 类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。

2）类比推理的思维过程是：●3. 演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

2）主要形式是三段论式推理。

3）三段论式常用的格式为： M ——P （M 是P ）①推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法 分析法反证法直接证明间接证明数学归纳法S——M （S是M）②S——P （S是P）③其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

二、证明●1. 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

直接证明包括综合法和分析法。

综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

●2. 间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。

（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。

常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词反议词原结论词反议词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

1、已知数列的前n项和，且，通过计算猜想（）A、 B、 C、 D、a1=1a2=1/3a3=1/6a4=1/10an=1/[1+2+...+(n-1)+n]=1/[(1+n)*n/2]2、已知a1=1，然后猜想（）A、nB、n2C、n3D、3、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（）A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分，又不必要条件解：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0．“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真．∴x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选B4、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（）A、m≥－B、m≤－C、m=D、m=－X^2-(2i-1)x+3m-i=0(x^2+x+3m)-(2x+1)i=0x=-1/2代入得到m=1/125、设R+，，M分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，则集合加{m2| m∈M}是（）A、R+B、R－C、R+∪R－D、R－∪{0}6、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（）A、m＝4，n=－3B、m =－4，n＝13C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－57、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是①当n=1时，左边=2，右边=2，等式成立。

②设当n=k，时等式成立，即(k+1)(k+2)...(k+k)=2^k.1.3...(2k-1)当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)....(k+k)(k+K+1)(k+k+2)=2^k.1.3.5 ...(2k-1).(2k+1)(2k+2)/(k+1)=2^(k+1).1.3.....(2k-1)(2k+1)右边=2^(k+1).1.3....[2(k+1)-1]=2^(k+1).1.3.....(2k+1) 即左边=右边，等式成立综上：当N属于N+时，等式成立。

一、1、B 2、B 3、B 4、C 5、B 6、B 6-16 DCABB CABBB推理与证明【最新考纲透析】1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【核心要点突破】要点考向1：合情推理考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；2．呈现方式金榜经，属中档题。

考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。

在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式： ① cos2a=22cos a -1;② cos4a=84cos a - 82cos a + 1;③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182cos a - 1;④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1. 可以推测，m – n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解． 【思路点拨】根据归纳推理可得．【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，m 12801120n p 11∴-+++-=，m n p 162∴++=，又9p 10550,m 2512=⨯===，n 400∴=-，m n p 962∴-+=．【答案】962．要点考向2：演绎推理考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的； 2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。

考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。

例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设112,,(2)(3)23n n n n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中n T =__________________ .【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键． 【思路点拨】观察n T 的奇数项与偶数项的特点． 【规范解答】观察nT 表达式的特点可以看出240,0T T ==，……，∴当n 为偶数时，0n T =；3331123T =-，5551123T =-，……，∴当n 为奇数时，1123n n n T =-． 【答案】0,11,23n nn n T n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为偶数时当为奇数时．要点考向3：直接证明与间接证明考情聚焦：1．直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。

2．以解答题的形式呈现，属中档题目。

例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20） 已知集合)2}(,,2,1},1,0{,),,,({21≥=∈==n n i x x x x X X S i n n ΛΛ对于12(,,...,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为∑=-=ni i ib aB A d 1),(（Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ； （Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。

本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。

要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养．【思路点拨】（I ）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明． 【规范解答】（Ⅰ）(01,11,01,00,10)A B -=-----＝（1,0,1,0,1）(,)0111010010d A B =-+-+-+-+-＝3(Ⅱ)设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n nA a a aB b b bC c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈因为11,{0,1}a b ∈，所以11{0,1}(1,2,,)a b i n -∈=⋅⋅⋅从而1122(,,)n n nA B a b a b a b S -=--⋅⋅⋅-∈由题意知,,{0,1}(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅ 当0i c =时，i i i i i ia cbc a b ---=-当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i ia cbc a b a b ---=---=-所以1(,)(,)ni i i d A C B C a b d A B =--=-=∑(Ⅲ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n nA a a aB b b bC c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈(,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h ===记0(0,0,0)nS =⋅⋅⋅∈由（Ⅱ）可知(,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A l d B C d B A C A h=--=-==--=-==--=所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k,(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数。