一元二次方程的解法经典例题精讲
《一元二次方程的解法》典型例题及解析
《一元二次方程的解法》典型例题及解析1．以配方法解3x2+4x+1 = 0时，我们可得出下列哪一个方程式( )A．(x+2) 2= 3 B．(3x+)2 =C．(x+)2 =D．(x+)2 =答案：D说明：先将方程3x2+4x+1 = 0的二次项系数化为1，即得x2+x+= 0，再变形得x2+x+()2 =()2−，即(x+)2 =，答案为D．2．想将x2+x配成一个完全平方式，应该加上下列那一个数( )A． B． C．D．答案：D说明：题目所给的式子中x2系数为1，因此，要将它配成一个完全平方式只需加上一次项系数一半的平方，即，所以答案为D．3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )A．x2−9x+100 = 0 B．5x2+7x+5 = 0C．16x2−24x+9 = 0 D．2x2+3x−4 = 0答案：D说明：方程x2−9x+100 = 0中b2−4ac = 81−400<0；方程5x2+7x+5 = 0中b2−4ac = 49−4×5×5 = 49−100<0；方程16x2−24x+9 = 0中b2−4ac = 576−4×16×9 = 0；方程2x2+3x−4 = 0中b2−4ac = 9+32 = 41>0，所以方程2x2 = 3x−4 = 0有两个不相等的实数根，故选D．4．下列方程中，有两个相等实数根的是( )A．4(x−1)2−49 = 0 B．(x−2)(x−3)+(3−x) = 0C．x2+(2+1)x+2= 0 D．x(x−)+1 = 0答案：B说明：A中方程整理为一般形式为4x2−8x−45 = 0，这里b2−4ac = 64+720 = 784>0；B中方程整理为一般形式为：x2−6x+9 = 0，这里b2−4ac = 36−36 = 0；C中方程b2−4ac = 21+4−8= 21−4>0；D中方程整理为一般形式为x2−x+1 = 0，这里b2−4ac = 5−4 = 1>0；所以只有方程(x−2)(x−3)+(3−x) = 0有两个相等实数根，答案为B．5．下列方程4x2−3x−1 = 0，5x2−7x+2 = 0，13x2−15x+2 = 0中，有一个公共解是( )A．x =B．x = 2 C．x = 1 D．x = −1 答案：C说明：方程4x2−3x−1 = 0可变形为(4x+1)(x−1) = 0，方程5x2−7x+2 = 0可变形为(x−1)(5x−2) = 0，方程13x2−15x+2 = 0可变形为(x−1)(13x+2) = 0，所以这三个方程的公共解为x = 1，答案为C．6．用适当的方法解下列一元二次方程．(1)(x+4)2−(2x−1)2 = 0(2)x2−16x−4 = 0(3)2x2−3x−6 = 0(4)(x−2)2 = 256(5)(2t+3)2 = 3(2t+3)(6)(3−y)2+y2 = 9(7)(1+)x2−(1−)x = 0解：(1)平方差公式分解因式，方程变形为[(x+4)+(2x−1)][(x+4)−(2x−1)] = 0，化简后即3(x+1)(5−x) = 0，因此，可求得x1 = −1，x2 = 5．(2)用配方法，方程可变形为(x−8)2 = 68，两边开方化简可得x = 8±2(3)用公式法，b2− 4ac = (−3)2−4×2×(−6) = 57，所以x =(4)方程两边直接开方，得x−2 = ±16，即x1 = 18，x2 = −14(5)方程可化为(2t+3)(2t+3−3) = 0，即2t(2t+3) = 0，解得t1 = 0，t2 = −(6)方程变形为(y−3)2+y2−9 = 0，(y−3)[(y−3)+(y+3)] = 0，即2y(y−3) = 0，解得y1 = 0，y2 = 3(7)用因式分解法，方程可变形为x[(1+)x−1+] = 0，所以x1 = 0，x2 === 2−3扩展资料一元二次方程，数学史上的一场论战中世纪的欧洲，代数学的发展几乎处于停滞的状态，其真正的起步，始于公元1535年的一场震动数学界的论战．大家知道，尽管在古代的巴比伦或古代的中国，都已掌握了某些类型一元二次方程解法．但一元二次方程的公式解法，却是由中亚数学家阿尔·花拉子米于公元825年给出的．花拉子米是把方程x2+px+q = 0配方后改写为：的形式，从而得出了方程的两个根为：在欧洲，被誉为“代数学鼻祖”的古希腊的丢番图，虽然也曾得到过类似的式子，但由于丢番图认定只有根式下的数是一个完全平方数，且根为正数时，方程才算有解，因而数学史上都认为阿尔·花拉子米为求得一元二次方程一般解的第一人．花拉子米之后，许多数学家都致力于三次方程公式解的探求，但在数百年漫漫的历史长河中，除了取得个别方程的特解外，都没有人取得实质性进展，许多人因此怀疑这样的公式解根本不存在！话说当时意大利的波伦亚大学，有一位叫费洛的数学教授，也潜心于三次方程公式解这一当时世界难题的研究，功夫不负有心人，他终于取得了重大突破.公元1505年，费洛宣布自己已经找到了形如x3 + px = q方程的一个特别情形的解法，但他没有公开自己的成果，为的是能在一次国际性的数学竞赛中一放光彩．遗憾的是，费洛没能等到一个显示自己的才华的机会就抱恨逝去，临死前他把自己的方法传给了得意门生，威尼斯的佛罗雷都斯．现在话转另外一头，在意大利北部的布里西亚，有一个颇有名气的年轻人，叫塔塔里亚（Nicolo Tartaglia，1500－1557），此人从小天资聪明，勤奋好学，在数学方面表现出超人的才华，尤其是他发表的一些论文，思路奇特，见地高远，因而一时间名闻遐迩．塔塔里亚自学成才自然受到了当时一些习惯势力的歧视，公元1530年，当时布里西亚的一些人公开向塔塔里亚发难，提出以下两道具有挑战性的问题：（1）求一个数，其立方加上平方的3倍等于5；（2）求三个数，其中第二个数比第一个数大2，第三个数又比第二个数大2，它们的积为1000．读者不难知道，对第一个问题，若令所求数为x，则依题意有：x3+3x2 = 5而对第二个问题，令第一个数为x，则第二、三数分别为x+2，x+4，于是依题意有：x(x+2)(x+4)=1000化简后x3+6x2+8x−1000 = 0以上是两道三次方程的求解问题，塔塔里亚求出了这两道方程的实根，从而赢得了这场挑战，并为此名声大震！消息传到了波伦亚，费洛的门生佛罗雷都斯心中顿感震怒，他无法容忍一个不登大雅之堂的小人物与他平起平坐！于是双方商定，在1535年2月22日，于意大利的米兰，公开举行数学竞赛，各出30道问题，在两小时内决定胜负．赛期渐近，塔塔里亚因自己毕竟是自学出身而感到有些紧张．他想：佛罗雷都斯是费洛的得意弟子，难保他不会拿解三次方程来对付自己，那么自己所掌握的一类方法与费洛的解法究竟相距多远呢？他苦苦思索着，脑海中的思路不断进行着各种新的组合，这些新的组合终于撞击出灵感的火花，在临赛前八天，塔塔里亚终于找到了解三次方程的新方法，为此他欣喜若狂，并充分利用剩下的八天时间，一面熟练自己的新方法，一面精心构造了30道只有运用新方法才能解出的问题．2月22日那天，米兰的大教堂内，人头攒动，热闹非凡，大家翘首等待着竞赛的到来．比赛开始了，双方所出的30道题都是令人眩目的三次方程问题，但见塔塔里亚从容不迫，运笔如飞，在不到两小时的时间内，解完了的佛罗雷都斯的全部问题．与此同时，佛罗雷都斯却提笔拈纸，望题兴叹，一筹莫展，终于以0:30败下阵来！消息传出，数学界为之震动.在米兰市有一个人坐不住了，他就是当时驰名欧洲的医生卡当（Girolamo Cardano，1501－1576）．卡当其人，不仅医术颇高，而且精于数学.他也潜心于三次方程的解法，但无所获．所以听到塔塔里亚已经掌握三次方程的解法时,满心希望能分享这一成果．然而当时的塔塔里亚已经誉满欧洲，所以并不打算把自己的成果立即发表，而醉心于完成《几何原本》的巨型译作．对众多的求教者，则一概拒之门外．当过医生的卡当，熟谙心理学的要领，软缠硬磨，终于使自己成了唯一的例外．公元1539年，塔塔利亚终于同意把秘诀传授给他，但有一个条件，就是要严守发现的秘密．然而卡当实际上没有遵守这一诺言．公元1545年，他用自己的名字发表了《大法》一书，书中介绍了不完全三次方程的解法，并写道：“大约30年前，波伦亚的费洛就发现了这一法则，并传授给威尼斯的佛罗雷都斯，后者曾与塔塔里亚进行过数学竞赛，塔塔里亚也发现了这一方法．在我的恳求下，塔塔里亚把方法告诉了我，但没有给出证明．借助于此，我找到了若干证明，因其十分困难，特叙述如下．”卡当指出：对不完全三次方程x3+px+q = 0，公式给出了它的解，这就是今天我们所说的卡当公式．《大法》发表第二年，塔塔里亚发表了的《种种疑问及发明》一文，谴责卡当背信弃义，并要求在米兰与卡当公开竞赛，一决雌雄．然而到比赛那一天，出阵的并非卡当本人，而是他的天才学生斐拉里（Ferrari L.，1522－1565），此时斐拉里，风华正茂，思维敏捷，他不仅掌握了解三次方程的全部要领，而且发现了一般四次方程的极为巧妙的解法．塔塔里亚自然不是他的对手，终于狼狈败退，并因此番挫折，心神俱伤，于公元1557年溘然与世长辞！没想到，正是这场震动数学界的论战，使沉沦了一千三百多年的欧洲代数学，揭开了划时代的新篇章！。
专题02一元二次方程及其解法(二)(解析版)-2021—2022学年九年级数学上学期
2021—2022学年九年级数学上学期重难点题型专项提优02 一元二次方程及其解法（二）【例题精讲】一、一元二次方程根与系数的关系例1．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111ab a -++的值． 【解析】解：（1）根据题意得△2240k =+>， 解得1k >-，k ∴的取值范围为1k >-； （2）由根与系数关系得2a b +=-，a b k =-，111111121a ab kb a ab a b k -+-===-+++++--+． 例2．已知α，β是方程2201710x x ++=的两个根，则22(12019)(12019)ααββ++++的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∵α，β是方程2201710x x ++=的两个根，2201710αα∴++=，2201710ββ++=，2017αβ+=-，1αβ=，22(12019)(12019)ααββ∴++++22(120172)(120172)αααβββ=++++++4αβ=4=．例3．阅读材料：已知方程210p p --=，210q q --=且1pq ≠，求1pq q+的值． 解：由210p p --=，及210q q --=，可知0p ≠，0q ≠．又1pq ≠，1p q∴≠． 210q q --=可变形为211()()10q q --=．根据210p p --=和211()()10q q--=的特征．p ∴、1q是方程210x x --=的两个不相等的实数根， 则11p q +=，即11pq q+=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：22510m m --=，21520n n+-=且m n ≠，求 （1）mn 的值；（2）2211m n +． 【解析】解：21520n n+-=， 22510n n ∴--=，根据22510m m --=和22510n n --=的特征， m ∴、n 是方程22510x x --=的两个不相等的实数根，52m n ∴+=，12mn =-， （1）12mn =-；（2）原式2222512()()242291()()2m n mn mn -⨯-+-===-． 变式训练：1．已知2210a a --=，2210b b +-=，且1ab ≠，则1ab b b++的值为 ． 【答案】3【解析】2210b b +-=，0b ∴≠，方程两边同时除以2b ，再乘1-变形为211()210b b -⋅-=，1ab ≠，a ∴和1b 可看作方程2210x x --=的两根，12a b∴+=， ∴111213ab b a bb++=++=+=．2．已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两根为1x ，2x ，且2123x x +=，求m 的值．【解析】解：（1）关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=有两个不相等的实数根，∴△2(1)412(1)0m =--⨯⨯+>，78m ∴<-．（2）1x ，2x 为一元二次方程22(1)0x x m -++=的两根，121x x ∴+=，2112(1)0x x m -++=．22121112()3x x x x x x +=-++=，即2(1)13m -++=，2m ∴=-．二、与一元二次方程有关的新定义问题例1．对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：22,,,m m n m n m n n m n m n ⎧++⊗=⎨++<⎩当时当时，若(2)10x ⊗-=，则实数x 等于 A ．3B ．4-C ．8D ．3或8【答案】A【解析】解：当2x -时，2210x x +-=，解得：13x =，24x =-（不合题意，舍去）；当2x <-时，2(2)210x -+-=，解得：8x =（不合题意，舍去）；3x ∴=．例2．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的个数有 ①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①解方程220x x --=得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，∴方程220x x --=不是倍根方程；故①不正确；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，12x =，因此21x =或24x =，当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，2245()(4)0m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确；③2pq =，则23(1)()0px x q px x q ++=++=，∴11x p =-，2x q =-，∴2122x q x p=-=-=， 因此是倍根方程，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为：1x 2x =若122x x =220=，∴0=，∴0b +，∴b -，229(4)b ac b ∴-=，229b ac ∴=．若122x x =2=，20=，∴0=，∴0b -+，∴b =229(4)b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确， ∴正确的有：②③④共3个．例3．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程42340x x --=时，我们就可以通过换元法，设2x y =，将原方程转化为2340y y --=，解方程得到11y =-，24y =，因为20x y =，所以1y =-舍去，所以得到24x =，所以12x =，22x =-．请参考例题解法，解方程：2320x x +=．y =，则223x x y +=．原方程可转化为：220y y --=．(2)(1)0y y ∴-+=．12y ∴=，21y =-．当2y =2，234x x ∴+=．即2340x x +-=．解这个方程得14x =-，21x =．20y x x =，1y ∴=-舍去．所以原方程的解为：14x =-，21x =．例4．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根． 据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = ，2011i = ，2012i = ； （2）方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）． 【解析】解：（1）21i =-，422(1)(1)1i i i ∴==-⨯-=；2011210051005()(1)i i i i i ==-=-；2012210061006()(1)i i i i i ==-=．（2）△2(2)4124=--⨯⨯=-，21i =-，∴△24i =，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-． 例5．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如32()x x x x px q =⋅=-=，该方程变形为2x px q -=-，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：已知：2210x x --=，且0x >，求4323x x x --的值．【解析】解：方程2210x x --=的解为：1x ==±0x >．所以1x =+2210x x --=，221x x ∴-=，221x x ∴-=．4323x x x ∴--22(2)3x x x x =--23x x =-213x x =+-1x =-．当1x =1(1=-+=变式训练：1．阅读材料：解方程222(1)3(1)0x x ---=．我们可以将21x -视为一个整体，采用“换元法”求解，具体解法：设21x y -=，原方程化为230y y -=①解得10y =，23y =．当0y =时，210x -=．1x ∴=±，当3y =时，213x -=，2x ∴=±，∴原方程的解为11x =，21x =-，32x =，42x =-．请利用换元法解出方程220x -=的根．y =，221y x =-，原方程可变形为：2430y y -+=．(1)(3)0y y ∴--=．11y ∴=，23y =．当1y =1=， 两边平方，得22x =，1x ∴=2x =当3y =3， 两边平方，得210x =，3x ∴=4x =所以1x =2x =，3x =，4x =2．材料一：对称美不仅仅是图形之美，代数式中也有对称的结构之美，对称不仅仅给我们以美的体验，还能帮助我们解决问题．如：2310x x -+=中，因为左边代数式中三项系数依次为：1，3-，1，是呈对称结构的，于是我们可将它变形为130x x -+=，进而可以变形为13x x +=，以此为条件便可以得到22211()27x x x x+=+-=． 材料二：你知道我们为什么要因式分解吗？原因有二：一是化简，如220x x --=(x =-2)(1)x +中，我们通过因式分解将左边的二次式变成了两个一次式的乘积，次数降低了，式子也变简单了；二是增加了信息量，如220x x --=中，x 的取值信息不太明确，但是(2)(1)0x x -+=中，我们可以很快得到，2x =或者1x =-．利用上述材料解决下列问题： （1）材料一中，2310x x -+=到13x x+=的变形成立的前提条件是 ． （2）为解系数对称的方程4310x x x --+=，陈功同学结合材料将它变形为1(2)x x +- 1(1)0x x++=，显然110x x ++≠，则只能是120x x+-=，进而解得121x x ==，请将从4310x x x --+=到11(2)(1)0x x x x+-++=的变形过程补充完整． （3）运用材料一、材料二以及第（2）问的解题经验，解方程：432223x x x +-26x +⨯26+ 0=． 【解析】解：（1）由题意知：0x ≠． （2）4310x x x --+=．421(1)x x x ∴+=+．两边同时除以2x 得：2211x x x x+=+． ∴211()2x x x x +-=+．∴211()()20x x x x +-+-=．11(2)(1)0x x x x ∴+-++=．显然110x x ++≠．120x x∴+-=．解得121x x ==． （3）方程两边同时除以2x 得：2212362230x x x x +-++=．∴266()2()350x x x x+++-=．66(7)(5)0x x x x ∴+++-=．670x x ∴++=或650x x+-=． 当670x x++=时，2760x x ++=．(1)(6)0x x ∴++=．1x ∴=-或6x =-． 当650x x+-=时，2560x x -+=．(2)(3)0x x ∴--=．2x ∴=或3x =． 综上：方程的解为：1x =-或6-或2或3． 【针对练习】1．若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△2(2)8(1)1280a a =---=-且10a -≠，32a∴且1a ≠，∴整数a 的最大值为0． 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是 A ．220x x -= B ．2210x x -+=C ．2210x x --=D ．2210x x -+=【答案】D【解析】解：（A ）△4=，故选项A 有两个不同的实数根； （B ）△440=-=，故选项B 有两个相同的实数根； （C ）△1429=+⨯=，故选项C 有两个不同的实数根； （D ）△187=-=-，故选项D 没有两个不同的实数根．3．关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，则m n 的值为 A ．8-B ．8C ．16D ．16-【答案】C 【解析】关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，12m ∴-=-，22n=-，2m ∴=，4n =-，2(4)16m n ∴=-=． 4．已知实数x 满足222(21)4(21)50x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为 A ．5-或1 B ．1-或5 C ．1 D ．5【答案】C【解析】设221y x x =-+，则2450y y +-=．整理，得(5)(1)0y y +-=．解得5y =-（舍去）或1y =．即221x x -+的值为1．5．如果1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，那么2212x x +等于A ．2B ．2-C ．1-D ．6【答案】D【解析】1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，1x ∴，2x 是方程2210x x --=的两个不相等的实数根，则122x x +=，121x x =-，2212x x ∴+21212()2x x x x =+-222(1)=-⨯-42=+6=．6．若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则k = ． 【答案】﹣1【解析】把1x =代入方程220x kx --=得120k --=，解得1k =-．7．若实数a ，b 满足()(221)1a b a b ++-=，则a b += ．【答案】1或12-【解析】设a b x +=，则(21)1x x -=，2210x x --=，(1)(21)0x x -+=，解得11x =，12x =-，则1a b +=或12-．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x 的一元二次方程220x x -=与2310x x m ++-=为“友好方程”，则m 的值 ． 【答案】1或﹣9【解析】解方程220x x -=，得：10x =，22x =． ①若0x =是两个方程相同的实数根．将0x =代入方程2310x x m ++-=，得：10m -=，1m ∴=，此时原方程为230xx +=，解得：10x =，23x =-，符合题意，1m ∴=； ②若2x =是两个方程相同的实数根．将2x =代入方程2310x x m ++-=，得：4610m ++-=，9m ∴=-，此时原方程为23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，符合题意，9m ∴=-．综上所述：m 的值为1或9-．9．若关于x 的一元二次方程2220(0)x x m m m +--=>，当1m =、2、3、2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为1α、1β，2α、2β，…，2020α、2020β，则11221111αβαβ+++2020202011αβ+++的值为 ．【答案】40402021【解析】2220x x m m +--=，1m =，2，3，⋯，2020，∴由根与系数的关系得：112αβ+=-，1112αβ=-⨯；222αβ+=-，2223αβ=-⨯；202020202αβ+=-，2020202120202021αβ=-⨯；∴原式3320202020112211223320202020αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=++++222212233420202021=++++⨯⨯⨯⨯1111111140402(1)2(1)223342020202120212021=⨯-+-+-++-=⨯-=． 10．已知关于x 的一元二次方程：21(21)4()02x k x k -++-=．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长4a =，另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根，求ABC ∆的周长． （3）若方程的两个实数根之差等于3，求k 的值．【解析】解：（1）△21(21)414()2k k =+-⨯⨯-24129k k =-+2(23)k =-，无论k 取何值，2(23)0k -，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得21(23)2k k x +±-=，121x k ∴=-，22x =．另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根， 设21b k =-，2c =，当a ，b 为腰时，则4a b ==，即214k -=，计算得出52k =， 此时三角形周长为44210++=；当b ，c 为腰时，2b c ==，此时b c a +=，构不成三角形， 故此种情况不存在．综上所述，ABC ∆周长为10． （3）方程的两个实数根之差等于3，∴2123k --=，解得：0k =或3．11．已知关于x 的一元二次方程2(12)20kx k x k +-+-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式322017αββ+++的值．【解析】解：（1）根据题意得0k ≠且△(12)24(2)0k k k =--->，解得14k >-且0k ≠； （2）k 取满足（1）中条件的最小整数，1k ∴=．此时方程变为210x x --=，1αβ∴+=，1αβ=-，210αα--=，210ββ--=，21αα∴=+，21ββ=+，32121αααααα∴=+=++=+，322017αββ∴+++2112017αββ=+++++2()2019αβ=++212019=⨯+2021=．12．已知关于x 的一元二次方程2260(x x k k --=为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．【解析】解：（1）证明：在方程2260x x k --=中，△222(6)41()36436k k =--⨯⨯-=+，∴方程有两个不相等的实数根．（2）1x ，2x 为方程2260x x k --=的两个实数根，126x x ∴+=，12214x x +=，28x ∴=，12x =-．将8x =代入2260x x k --=中，得：264480k --=，解得：4k =±． 答：方程的两个实数根为2-和8，k 的值为4±． 13．阅读下面的例题：解方程2||20m m --=的过程如下：（1）当0m 时，原方程化为220m m --=，解得：12m =，21m =-（舍去）．（2）当0m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：12m =，22m =-．请参照例题解方程：2|1|10m m ---=．【解析】解：当1m 时，原方程化为20m m -=，解得：11m =，20m =（舍去）．当1m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：11m =，22m =-．14．如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程20x x +=的两个根是10x =，21x =-，则方程20x x +=是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①260x x --=；②2210x -+=．（2）已知关于x 的方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，求m 的值；（3）若关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，问：存在多少组a 、b 的值使得t 为正整数？请说明理由．【解析】解：（1）①解方程得：(3)(2)0x x -+=，3x =或2x =-， 231≠-+，260x x ∴--=不是“邻根方程”；②x =，1=+，2210x ∴-+=是“邻根方程”；（2）解方程得：()(1)0x m x -+=， x m ∴=或1x =-，方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，11m ∴=-+或11m =--， 0m ∴=或2-；（3）解方程得，x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，∴1=，224b a a ∴=+， 28t a b =-，22t a a a∴=-=--+，4(2)4a>，∴有最大值，最大值为4，tt为正整数，∴=或2或3或4，t1∴当a取7个值，b对应有14个值，∴存在14组a、b的值使得t为正整数．。
部编数学九年级上册专题一元二次方程的解法(考点题型)【一题三变系列】考点题型精讲(解析版)含答案
专题02 一元二次方程的解法【思维导图】◎题型1：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【解析】【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程210x -=的解是（ ）A ．121x x ==B ．120,1x x ==C ．121,1x x ==-D ．120,1x x ==-【答案】C【解析】【分析】先移项，再两边开平方可得解．【详解】解：由原方程可得：x 2=1，两边开平方可得：121,1x x ==-，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【解析】【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数【答案】A【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根，∴﹣a≥0（平方具有非负性），∴a≤0；故选：A．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．◎题型2：配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x²＋例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（）A．(x＋2)2＝5B．(x－2) 2＝5C．(x－2) 2＝3D．(x＋2) 2＝3【答案】D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】解：∵x 2+4x +1=0，∴x 2+4x =-1，∴x 2+4x +4=-1+4，即（x +2）2=3，故选：D ．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程2610x x -+=，原方程可变形为（ ）A ．()2335x -=B ．()238x -=C ．()238x +=D ．()2335x +=【答案】B【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．【详解】解∶ 2610x x -+=，变形得-=-261x x ，配方得26919x x -+=-+，即2(3)8x -=．故选∶B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程241x x =+，配方后得到的方程是（ ）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(2)3x +=D ．2(2)1x -=【答案】B【解析】【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．【详解】解：把方程x 2＝4x ＋1移项，得：x 2−4x ＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x＋4＝1＋4，配方得（x−2）2＝5，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】【分析】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；B.化为一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x 2﹣4x ＝﹣3，配方得，x 2﹣4x +22＝1，故C 错误；D.利用因式分解法解答，完全正确，故选：D【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．◎题型3：配方法的应用例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【解析】【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程264x x -+=W ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-【答案】C【解析】【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．【详解】设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7，x 2-2px +p 2=7，∴x 2-2px =7-p 2，∴x 2-2px +4=11-p 2，∵方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，∴-2p =-6，a =11-p 2，∴p =3，a =11-32=2，即印刷不清的数字是2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键．变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-【答案】A【分析】由2104m m c -+=变形得214m m c -=-，代入22112124n m m c =-++中得到2134n c c =-+，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．【详解】2104m m c -+=Q \ 214m m c -=-\22111(244m m m -=--³-1c \£22222211111121212()12()344444n m m c m m c c c c c \=-++=-++=´-++=-+23(22n c \=-- 231(24c -³Q 74n \³- 故选：A ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【解析】【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【详解】配方得：226(3)9x x c x c-+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．◎题型4：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a ≠0)的求根公式。
1.2一元二次方程的解法(四)(解析版)
1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程0x x 2=-2.那还有其他方法解0x x 2=-吗？我们可以对x x 2-进行因式分解，()1x x x x 2-=-，所以只需要()01x x =-即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.因此，当一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
3.常见的因式分解法的类型方法常见类型因式分解的形式方程的解提公因式法x ²±bx=0x （x ±b ）=0X 1=0，x 2=±b 平方差法x ²-a ²=0（x+a ）（x-a ）=0X 1=-a ，x 2=a 完全平方法x ²±2ax+a ²=0（x ±a ）²=0X 1=x 2=±a十字相乘法x ²±（a+b ）x+ab=0（x ±a ）（x ±b ）=0X 1=±a ，x 2=±b4.因式分解法的步骤（1）移项：将方程的右边化为0；（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
5.用对应的因式分解法解下列方程（1）（提公因式法）x x 32=（2）()（平方差法）091x 2=-+4x 2x 21-==，（3）()（完全平方法））（011x 21x 2=+---0x x 21==（4）（十字相乘法）03x 2x 2=--1x 3x 21-==，【解惑】【摩拳擦掌】【答案】10【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第图有25个棋子，第5个图有35个棋子，⋯⋯第n 个图有215()()5n n n n ++=++个棋子，【详解】（1）解：260x x --=，()()320x x -+=，∴30x -=或20x +=，∴13x =，22x =-；（2）解∶()221180x --=，()219x -=，∴13x -=±，∴14x =，22x =-．【点睛】此题考查利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列方程：(1)2450x x +-=(2)()()22452x x -=-【答案】(1)11x =，25x =-(2)13x =，21x =【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到()()224520x x ---=，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）2450x x +-=()()150x x -+=∴10x -=或50x +=∴解得11x =，25x =-；（2）22(4)(52)x x -=-()()224520x x ---=()()4524520x x x x --+-+-=【知不足】【详解】解：∵分式21x x x --的值为0，∴2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得0x =，故选A ．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是()A ．1B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【分析】将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，再把2k =-代入原方程求解．【详解】解：将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，∴原方程为：220x x +-=，则()2(1)0x x +-=，解得：2x =-或1x =，∴另一个根为1．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．3．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）方程()()230x x -+=的解是（）A ．2x =B ．3x =-C ．12x =，23x =D ．12x =，23x =-【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：()()230x x -+=，可得：20x -=或30x +=，【答案】27【分析】过C作CG得四边形ABCG为正方形，证明=，从而证明BE GF在直角梯形ABCD中， ∴∠=∠=︒，A B90=又90CGA，AB BC∠=︒∴四边形ABCG为正方形．键．【一览众山小】故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．3．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，直线:l y x m =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点()0,3B ，点(),5P n 在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点，当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（）A ．()2,0-B ．()5,0-C ．()2,0-或()7,0-D ．()2,0-或()5,0-【答案】C 【分析】根据题意求出A 、P 坐标，然后根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】解：由题意，将()0,3B 代入直线:l y x m =-+，得：3m =，∴直线:3l y x =-+，令0y =，得：3x =，则A 点坐标为()3,0A ，将(),5P n 代入3y x =-+，得：2n =-，∴P 点坐标为()2,5P -，∵3OA OB ==，90BOA ∠=︒，∴45BAO ∠=︒，设(),0M a ，①若90AMP ∠=︒，则 AMP 为等腰直角三角形，MP MA =，∵5MP =，3MA a =-，∴35a -=，解得：2a =-，∴M 点的坐标为()12,0M -；②若90APM ∠=︒，则此时，点A 和点M 关于点∴322a +=-，解得：③∵M 是x 轴上的动点，∴45PAM ∠=︒或135︒，不存在综上，满足条件的点M 的坐标为A ．(3,0)-B ．【答案】Dx A ．()4,4B ．【答案】D【分析】根据(0k y k x =≠()2,E x x +，代入解析式计算即可．k（1）四边形DCEB的面积为___________（2）k的值为___________；（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程距离为___________．【答案】183/223∴1812232OAE S h ⨯==⨯⋅ =123【答案】8∵正方形ABCD 的边长为1∴33=1=88ABFE S ⨯四边形，设CF x =，则DH x =，则∴()1=2ABFE AE BF S +⨯四边形即()131128AE x +-⨯=根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图中有__________颗棋子，第5个图中有(2)写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；12⨯★”的个数可表示为“”个，个，9个，12个，个，”的个数可表示为个，（舍去）或。
《一元二次方程的解法》经典例题精讲
《一元二次方程的解法》经典例题精讲例1解方程025x 2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x 2=-，25x 2=，25x ±=，x ＝±5．∴5x 5x 21-==，．例2解方程2)3x (2=+． 分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了． 解：2)3x (2=+，23x ±=+，23x 23x -=+=+，或，∴23x 23x 21--=+-=，．例3解方程081)2x (42=--． 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：081)2x (42=-- 整理，81)2x (42=-，481)2x (2=-，292x ±=-，∴25x 213x 21-==，．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解． 解法一：02x 3x 2=+-，(x －2)(x －1)＝0， x －2＝0，x －1＝0，∴2x 1x 21==，． 解法二：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，∴01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-， ∴213x ±=．∴1x 2x 21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=，∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=- 22n 4mn 4m ++= 0)n 2m (2≥+=． ∴2)n 2m (m 3x 2++=2)n 2m (m 3+±=．∴n m x n m 2x 21-=+=，．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±．例6用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：x 73x 22=+，023x 27x 2=+-，234747x 27x 22=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2，162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-．∴21x 3x 21==，．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例7不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+．分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=∆的值的符号就可以了．解：(1)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴041)4(243ac 4b 22>=-⨯⨯-=-． ∴方程有两个不相等的实数根． (2)∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9， ∴09164)24(ac 4b 22=⨯⨯--=-． ∴方程有两个相等的实数解．(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+，05x 7x 52=+-．∵a ＝4，b ＝－7，c ＝5，∴554)7(ac 4b 22⨯⨯--=- ＝49－100 ＝－51<0．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．例8已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．分析：根据韦达定理a cx x a b x x 2121=⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为2x ，则56x 25k x 222-=⋅-=+，，∴53x 2-=，k ＝－7．即方程的另一根为53-，k 的值为－7．注意：一元二次方程的两根之和为a b -，两根之积为a c ．例9利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的 (1)平方和；(2)倒数和．分析：已知21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+， 关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子．因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵21x x 23x x 2121-=⋅-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212232149+=413=；(2)211221x x x x x 1x 1+=+ 2123--= ＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例10已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=⋅-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出．解：设方程的两根为21x x 、，则2m x x 2x x 2121=⋅-=+，．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+， ∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+= 34)2(2--=＝－30． ∵2m x x 21=，∴m ＝－30．注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值．例11求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=⋅++-．解：设所求的方程为0q px x 2=++．∵2＋10＝－p ，2×10＝q ，∴p ＝－12，q ＝20．∴所求的方程为020x 12x 2=+-．注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．例12已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵q x x p 8x x 2121=⋅-==+，，∴方程为09x 8x 2=+-．解这个方程得74x 74x 21-=+=，， ∴这两个数为7474-+和．例13如图22-2-1，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为2m 540，那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为x m ，则两条道路的面积和为2x x 20x 32-+． 题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积． 解：设道路的宽度为x m ，则2032x x 20x 325402⨯=-++．0100x 52x 2=+-，(x －2)(x －50)＝0， x －2＝0，x －50＝0， ∴50x 2x 21==，． ∵x ＝50不合题意， ∴取x ＝2．答：道路的宽度为2m ．注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为2x ．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积2x ．例14某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为x ，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，增长两次后的产量是2)x 1(5000+，…．增长n 次后的产量b 是n )x 1(5000b +=．这就是重要的增长率公式．解：设平均每月增长的百分率为x ．则7200)x 1(50002=+，2536)x 1(2=+，56x 1±=+，∴22x 20x 21.，.-==(不合题意，舍去)． 答：平均每月增长的百分率是20%．注意：解方程时，由1＋x 的值求x ，并舍去负值．。
一元二次方程的典型例题
一元二次方程的典型例题例题 1求解一元二次方程：x² - 5x + 6 = 0解答：使用因式分解法：(x - 2)(x - 3) = 0因此，x = 2 或 x = 3例题 2求解一元二次方程：2x² + 5x - 3 = 0解答：使用公式求根法：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a其中，a = 2，b = 5，c = -3x = (-5 ± √(5² - 4(2)(-3))) / 2(2)x = (-5 ± √31) / 4因此，x = (-5 + √31) / 4 或 x = (-5 - √31) / 4例题 3求解一元二次方程：x² - 4x + 4 = 0解答：使用配方求根法：x = 2因为方程是完全平方三项式，所以它只有一个实根。
例题 4求解一元二次方程：x² + 2x + 5 = 0解答：由于方程中没有实根，因此它无解。
例题 5求解一元二次方程：x² - x - 2 = 0解答：使用因式分解法：(x - 2)(x + 1) = 0因此，x = 2 或 x = -1例题 6求解一元二次方程：2x² - 7x + 5 = 0解答：使用公式求根法：x = (7 ± √(7² - 4(2)(5))) / 2(2)x = (7 ± √9) / 4因此，x = 1 或 x = 5/2例题 7求解一元二次方程：x² + 4x + 3 = 0解答：使用公式求根法：x = (-4 ± √(4² - 4(1)(3))) / 2(1)x = (-4 ± √4) / 2因此，x = -2 ± 2i其中，i 为虚数单位 (i² = -1)例题 8求解一元二次方程：x² - 2x + 1 = 0解答：使用配方求根法：x = 1因为方程是完全平方三项式，所以它只有一个实根。
一元二次方程四种解法例题
一元二次方程四种解法例题一元二次方程是我们学习高中数学课程中的重要内容，解一元二次方程是解决实际问题和数学推理的基础。
本文将介绍一元二次方程的四种解法，通过例题来演示每种解法的具体步骤和思路。
一、配方法解一元二次方程配方法是一种常见且基础的解一元二次方程的方法。
这种方法的核心思想是将方程化简为一个完全平方的差或和的形式。
下面通过一个例题来说明配方法的具体过程。
例题：解方程x^2+6x+8=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=6，c=8。
Step 2: 将方程化简为完全平方的差在这个例题中，我们需要找到两个数m和n，使得x^2+6x+8能够表示为(x+m)^2+n的形式。
通过观察和试验，我们可以得到(x+2)^2-4的形式。
Step 3: 利用完全平方的差公式进行化简将方程x^2+6x+8=x^2+4x+4-4化简为(x+2)^2-4=0。
Step 4: 得到方程的解因此，方程的解为(x+2)^2=4，解得x+2=±2，即x=-4和x=0。
通过配方法解决问题，我们得到了方程x^2+6x+8=0的解为x=-4和x=0。
二、因式分解解一元二次方程因式分解是一种常用的解一元二次方程的方法，通过分解方程的左边和右边为两个因式相乘的形式，进而解得方程。
下面通过一个例题来说明因式分解的具体过程。
例题：解方程x^2-5x=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=-5。
Step 2: 因式分解方程将方程x^2-5x=0因式分解为x(x-5)=0。
Step 3: 得到方程的解因此，方程的解为x=0和x=5。
通过因式分解解决问题，我们得到了方程x^2-5x=0的解为x=0和x=5。
三、完成平方解一元二次方程完成平方是一种常用的解一元二次方程的方法，通过将方程两边进行平方，消去符号，进而解得方程。
下面通过一个例题来说明完成平方的具体过程。
例题：解方程3x^2-4x+1=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=3，b=-4，c=1。
第05讲 一元二次方程的特殊解法-九年级数学(解析版)
第05讲一元二次方程的特殊解法【人教版】·模块一用换元法解一元二次方程·模块二含绝对值的一元二次方程的解法·模块三配方法的应用·模块四课后作业【例1】已知2+22+2+2−15=0，求2+2的值．【答案】3【分析】先用换元法令2+2=o>0)，再解关于的一元二次方程即可．【详解】解：令2+2=o>0)，则原等式可化为：o+2)−15=0，解得：1=3,2=−5，∵>0，∴=3，即2+2=3．2+2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意2+2为非负数是本题的关键．【例2】已知2+B−=0的解是1=1，2=−4，则方程2+32+2+3−=0的解是（）A．1=−1，2=−3.5B．1=1，2=−3.5C．1=−1，2=3.5D．1=1，2=3.5【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得2+3=1，2+3=−4，解这两个一元一次方程即得方程2+32+2+3−=0的解．【详解】解：令2+3=，∵方程2+B−=0的解是1=1，2=−4，∴方程2+B−=0的解是1=1，2=−4，∴对于方程方程2+32+2+3−=0而言，2+3=1或2+3=−4，解得=−1或=−3.5，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程2+ 32+32+3−4=0中的2+3当作一个整体，则此方程与B²+3−4=0毫无二致．【例3】阅读下面的材料：解方程4−72+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2=，则4=2，∴原方程可化为2−7+12=0，解得1=3，2=4，当=3时，2=3，=±3，当=4时，2=4，=±2．∴原方程有四个根是1=3，2=−3，3=2，4=−2．以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：(2+p2−5(2+p+4=0；(2)已知实数，满足(2+2+2的值．【答案】(1)1=2=3=4=(2)5【分析】（1）设=2+，则2−5+4=0，整理，得(−1)(−4)=0，解关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可求解；（2）设=2+2，则2−3−10=0，整理，得(−5)(+2)=0，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设=2+，则2−5+4=0，整理，得(−1)(−4)=0，解得1=1，2=4，当2+=1即2+−1=0时，解得=；当2+=4即2+−4=0时，解得=；∴原方程的解为1=−1+52，2=−1−52，3=4=（2）设=2+2，则2−3−10=0，整理，得(−5)(+2)=0，解得1=5，2=−2(舍去)，2+2=5．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【变式1】若实数x满足22+2−52+1=3，那么2−4r1=__________．【答案】−23【分析】先将原方程化为2+−5r1=3，再令=+1，进一步将原方程化为2−5=3，解方程求出的值，即可得到+1=52，即可求出原式的值．【详解】解：∵22+2−52+1=3∴2+−5+1=3令=+1，则原方程为2−5=3，整理得：22−3−5=0解得：1=52，2=−1（不符合题意，舍去）∴+1=52∴2−4+1=1−4+1=152−4=−23故答案为：−23【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法．【变式2】若关于的一元二次方程B2+B−3=0（≠0）有一个根为=5，则方程−12+B−3=必有一根为______．【答案】=6【分析】把−12+B−3=化为o−1)2+−1−3=0,再结合题意得到−1= 5,解出即可．【详解】解：∵−12+B−3=，∴o−1)2+−1−3=0．令−1=，则B2+B−3=0,∵方程B2+B−3=0（≠0）有一个根为=5，∴方程B2+B−3=0有一根为=5，∴o−1)2+−1−3=0有一根为−1=5，∴−1=5,∴=6.故答案为：=6.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．【变式3】阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2–3|x|+2=0．解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0．解得：y1=1，y2=2．当y=1时，|x|=1，∴x=±1；当y=2时，|x|=2，∴x=±2．∴原方程的解是：x1=1，x2=–1，x3=2，x4=–2．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x4–10x2+9=0．(2)解方程：r12–22r1=1．(3)若实数x满足x2+12–3x–3=2，求x+1的值．【答案】(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=–12；(3)x+1=4．【分析】（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，解方程求得a的值，再求x的值即可；（2）设r12=m，则原方程可化为m–2=1，即m2–m–2=0，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解；（3）设x+1=y，则原方程可化为y2–3y–4=0，解方程求得y 的值，即可求得x+1的值．【详解】（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，即（a–1）（a–9）=0，解得：a=1或a=9，当a=1时，x2=1，∴x=±1；当a=9时，x2=9，∴x=±3；（2）设r12=m，则原方程可化为m–2=1，即m2–m–2=0，∴（m+1）（m–2）=0，解得：m=–1或m=2，当m=–1时，r12=–1，即x2+x+1=0，由Δ=1–4×1×1=–3＜0知此时方程无解；当m=2时，r12=2，即2x2–x–1=0，解得：x=1或x=–12，经检验x=1和x=–12都是原分式方程的解；（3）设x+1=y，则原方程可化为：y2–2–3y=2，即y2–3y–4=0，∴（y+1）（y–4）=0，解得：y=–1或y=4，即x+1=–1（方程无解，舍去）或x+1=4，故x+1=4．【点睛】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【变式4】转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：2＋3－2+3−2=0．【答案】x1＝1，x2＝－4【分析】利用题中给出的方法设2+3=y，把方程转化为含y的一元二次方程，求出y的值，再求解无理方程，求出x的值．【详解】解：设2+3＝y，则x2＋3x=y2，原方程可化为：y2－y－2＝0，∴y1＝－1，y2＝2，∵2+3＝y≥0，∴y1＝－1舍去，∴2+3＝2，∴x2＋3x＝4，∴x2＋3x－4＝0，∴x1＝1，x2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．【例1】阅读下面的材料，并完成相应的任务．材料：解含绝对值的方程：2−5−6=0．解：分两种情况：（1）当≥0时，原方程可化为：2−5−6=0，解得1=6，2=−1（舍去）；（2）当<0时，原方程可化为：2+5−6=0，解得1=−6，2=1（舍去）．综上所述：原方程的解是1=6，2=−6．任务：请参照上述方法解方程：2−−2=0．【答案】1=2，2=−2【分析】分两种情况讨论∶当≥0时，当<0时，即可求解．【详解】解：分两种情况讨论（1）当≥0时，原方程可化为2−−2=0解得：1=2，2=−1（舍去）；（2）当<0时，原方程可化为2+−2=0解得：1=−2，2=1（舍去）；∴综上所述，原方程的根是1=2，2=−2．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【例2】阅读题例，解答下题：例：解方程：2−|U−2=0．解：将含有绝对值符号的方程中的绝对值去掉，就分情况考虑：（1）当≥0，2−−2=0，解得1=−1（不合题意，舍去），2=2；（2）当<0，2+−2=0，解得1=1（不合题意，舍去），2=−2．综上所述，原方程的解是=2或=−2．依照上例解法，解方程2+2|+2|−4=0．【答案】1=0，2=−2【分析】根据例题中的解题方法对+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当+2≥0，即≥−2时，方程变形得：2+2(+2)−4=0∴2+2=0∴o+2)=0∴1=0，2=−2；②当+2<0，即x<−2时，方程变形得：x2−2(x+2)−4=0∴x2−2x−8=0∴(x+2)(x−4)=0∴x1=−2（舍去），x2=4（舍去）∴综上所述，原方程的解是1=0或2=−2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．【变式1】阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程2−3−10=0．解分两种情况（1）当x≥0时，原方程化为W−3K10=0，解得1=5，2=−2（舍去）（2）当x<0时，原方程化为2+3K10=0，解得1=−5，2=2（舍去）综上所述，原方程的解是1=5，2=−5．问题：仿照上面的方法，解方程2−22r3+9=0．【答案】1=1,2=3【分析】仿照例题，分p−32与I−32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2r1≥0，即p−32时，原方程可化为：2−2(2r3)+9=0整理得：2−4r3=0解得：1=1,2=3当2r1<0，即I−32时，原方程可化为：2+2(2r3)+9=0整理得2+4r15=0∵Δ=42−4×1×15=−44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：1=1,2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．【例1】已知=2−，=−2为任意实数，则−的值()A．大于0B．等于0C．小于0D．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出−=−12+1>0，即可求解．【详解】解：∵=2−，=−2∴−=2−−−2=2−2+2=−12+1>0∴−的值大于0，故选：A．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【例2】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：=2−2B+22−2+2，利用配方法求的最小值，解：2−2B+22−2+2=2−2B+2+2−2+1+1=−2+−12+1∵−2≥0,−12≥0，∴当==1时，有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：2−23+______．(2)若=142+2−1，求的最小值．(3)已知2+22+2−2B−2+4+5=0，则++的值为______．【答案】(1)19(2)−5(3)0【分析】（1）加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；（2）提取系数14后，再加一次项系数一半的平方16，并减去16，配成完全平方式，利用偶次方的非负性可知的最小值；（3）拆项后配成三个完全平方式，利用偶次方的非负性可得−=0，−1=0，+2=0，据此求出、、的值，即可求解．【详解】（1）解：2−2⋅⋅13+=2−23+19=−，故答案为：19；（2）解：=142+2−12+8+16−16−1=+42−5+42≥0，∵∴当=−4时，有最小值−5；（3）解：∵2+22+2−2B−2+4+5=0，∴2−2B+2+2−2+1+2+4+4=0，∴−2+−12++22=0，∵−2≥0，−12≥0，+22≥0，∴−=0，−1=0，+2=0，∴==1，=−2，∴++=1+1−2=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式是解题的关键．【例3】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式2−2+3进行配方．解：2−2+3=2−2+1+2=2−2+1+2=−12+2．我们定义：一个整数能表示成2+2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12．再如，=2+2B+22=+2+2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数”；并判断40是否为“完美数”；(2)【问题解决】若二次三项式2−6+13（x是整数）是“完美数”，可配方成−2+（m，n为常数），则B的值为；(3)【问题探究】已知“完美数”2+2−2+4+5（x，y是整数）的值为0，则+的值为；(4)【问题探究】已知=2+42+8−12+（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值．(5)【问题拓展】已知实数x，y满足−2+3+−5=0，求+的最小值．【答案】(1)4（答案不唯一），是(2)12(3)−1(4)25(5)4【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；（3）配方后根据非负数的性质可得和的值，进行计算即可；（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；（5）将−2+3+−5=0变形为+=2−2+5，然后再配方即可求解．【详解】（1）4是“完美数”，理由：因为4＝22+02；40是“完美数”，理由：因为40=62+22．故答案为：4（答案不唯一），是；（2）∵2−6+13=2−6+9+4=−32+4∴=3，=4，∴B=12故答案为：12；（3）∵2+2−2+4+5=−12++22=0∴=1，=−2，∴+=−1故答案为：−1；（4）=2+42+8−12+=+42+2−32+−25由题意得：−25=0，∴=25；（5）∵−2+3+−5=0∴+=2−2+5=−12+4≥4；∴当=1时，+的最小值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．【变式1】若=2+2+2+4+2021，则p的最小值是（）A．2021B．2015C．2016D．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【详解】解：=2+2+2+4+2021=2+2+1+2+4+4+2016=2+2+1+2+4+4+2016=+12++22+2016，∵+12≥0，+22≥0，∴p的最小值为2016，故选：C．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．【变式2】已知点os p在一次函数=2−1图象上，则2++3的最小值为______．【答案】1【分析】将点os p代入一次函数解析式得出，=2−1，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点os p在一次函数=2−1图象上，∴=2−1∴2++3=2+2−1+3=2+2+1+1=+12+1≥1故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式3】“2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：2+4+5=2+4+4+1=+22+1，∵+22≥0，∴+22+1≥1，∴2+4+5≥1．即：2+4+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式2−4+6最值；(2)已知2−4+2+2+5=0，求+的值；(3)比较代数式2−1与2−3的大小．【答案】(1)有最小值2(2)+=1(3)2−1>2−3【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：2−4+6=2−4+4+2=−22+2故当−2=0，即=2时，代数式2−4+6最小值为2；（2）∵2−4+2+2+5=0，则2−4+4+2+2+1=0，∴−22++12=0，即−2=0，+1=0，∴=2，=−1，∴+=2−1=1；（3）2−1−2−3=2−2+2=−12+1，∵−12≥0，∴−12+1>0，∴2−1>2−3．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．1．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：（1）例：解方程2−|U−2=0．解：当O0时，原方程可化为2−−2=0．解得：1=2，2=−1（不合题意，舍去）当<0时，原方程可化为2+−2=0．解得：1=−2，2=1（不合题意，舍去）∴原方程的解是1=2，2=−2．（2）请参照上例例题的解法，解方程2−−|−1|−1=0．【答案】1=2，2=−2【分析】仿照第（1）题的解题过程，分两种情况：当−1⩾0时，当−1<0时，分别进行计算即可解答．【详解】解：当−1⩾0时，即O1时，原方程可化为：2−−(−1)−1=0，整理得：2−2=0，解得：1=0（不合题意，舍去），2=2；当−1<0时，即<1时，原方程可化为：2−+(−1)−1=0，整理得：2−2=0，解得：1=2（不合题意，舍去），2=−2；∴原方程的解是1=2，2=−2．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元二次方程﹣因式分解法，理解例（1）的解法是解题的关键．2．阅读下面材料：为解方程(2−1)2−5(2−1)+4=0，我们可以将(2−1)看作一个整体，然后设2−1=，那么原方程可化为2−5+4=0，解得1=1，2=4．当=1时，2−1=1，∴2=2，=±2；当=4时，2−1=4，∴2=5，=±5．故原方程的解为：1=2，2=−2，3=5，4=−5．上述解方程的方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：4+32−4=0；(2)已知实数m满足(1−22+4p(32−6+5)=2，求2−2的值．【答案】(1)1=1，2=−1(2)2−2的值是13【分析】（1）设2=，那么原方程可化为2+3−4=0，继而因式分解法解一元二次方程，即可求解．（2）原方程化为1−2(2−2p3(2−2p+5=2，设2−2=，那么原方程可化为(1−2p(3+5)=2，解关于的一元二次方程，进而再根据一元二次方程根的判别式取舍的值即可求解．【详解】（1）4+32−4=0，设2=，那么原方程可化为2+3−4=0，解得：1=−4，2=1，当=−4时，2=−4，因为不论x为何值，2不能为负数，所以此方程无解；当=1时，2=1，解得：x=±1，所以原方程的解为：1=1，2=−1；（2）1−22+432−6+5=2，1−2(2−2p3(2−2p+5=2，设2−2=，那么原方程可化为(1−2p(3+5)=2，62+7−3=0，(3−1)(2+3)=0，解得：1=13,2=−32，当=13时，2−2=13，当=−32时，2−2=−32，整理得：22−4+3=0，Δ=（−4）2−4×2×3=16−24=−8<0，此时方程无解，综合上述：2−2的值是13．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．3．阅读材料，解答问题．解方程：(4−1)2−10(4−1)+24=0．解：把4K1视为一个整体，设4−1=，则原方程可化为2−10r24=0．解得1=6，2=4．∴4−1=6或4−1=4．∴1=74，2=54．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）4−2−6=0;（2）(2−2p2−52+10−6=0．【答案】（1）1=3，2=−3；（2）1=1+7，2=1−7，3=4=1【分析】（1）仿照材料的方法，设2=，则原方程可化为2− −6=0，进而解方程即可求解；（2）仿照材料的方法，设2−2J，则原方程可化为2−5−6=0，进而解方程即可求解；【详解】解：（1）设2=，则原方程可化为2− −6=0，整理得(−3)(+2)=0，解得1=3，2=−2．当J3时，即2=3，∴=±3;当J−2时，2=−2无解．∴原方程的解为1=3，2=−3．（2）设2−2J，则原方程可化为2−5−6=0，整理得K6r1=0，解得1=6，2=−1．当J6时，即2−2=6，解得1=1+7，2=1−7;当J−1时，即2−2J−1，解得3=4=1．综上所述，原方程的解为1=1+7，2=1−7，3=4=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．4．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：2−3|U−10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为2−3K10=0解得1=5,2=−2（舍去）；②当x<0时，原方程化为2+3K10=0，解得3=−5,4=2（舍去）．综上所述，原方程的解是1=5,2=−5．请参照上述方法解方程2−|r1|−1=0．【答案】1=2,2=−1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当r1≥0，即p−1时，原方程化为2−r1−1=0，解得1=2,2=−1；②当r1<0，即I−1时，原方程化为2+r1−1=0，解得3=0（舍去），4=−1（舍去）．综上所述，原方程的解是1=2,2=−1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．5．阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程2+bx+c＝0变形为2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出4﹣3x+2020的值是______．(2)解方程4−52+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2＝y，那么4=2，于是原方程可变为2−5+4=0（1），解得1＝1，2＝4．当y＝1时，2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根1=1,2=−1,3=2,4=−2．请你用（2）中的方法求出方程(2+p2−22−2=8的实数解．【答案】(1)2022(2)1=2=【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案；（2）根据换元法即可求解．（1）解：∵2﹣x﹣1＝0，∴2＝x+1，∴4﹣3x+2020＝(+1)2−3+2020＝2﹣x+2021＝x+1﹣x+2021＝2022．故答案为：2022；（2）解：设2+x＝y，那么(2+p2=2，于是原方程可变为2−2−8=0，解得1＝﹣2，2＝4．当y＝﹣2时，2+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程无解；当y＝4时，2+x﹣4＝0，∴x∴原方程有两个根：x1x2【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键．6．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：2−6−22−6−8=0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设2−6=（t≥0），则有2−6=2，原方程可化为：2−2−8=0，【续解】【答案】1=8，2=−2【分析】按照题目思路，用因式分解法解2−2−8=0，求出t，再代入2−6=2，解出x，即可求解．【详解】解：+2−4=0，t+2=0或t﹣4=0，∴1=−2（依据≥0，此根舍去），2=4，当t=4时，2−6=2=42=16，则2−6−16=0，配方得−32=25，解得1=8，2=−2，经检验，原方程的解为1=8，2=−2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，题中涉及换元的思想．注意，原方程涉及二次根式，故所得的解，必须要代入原方程检验．7．阅读与理解：阅读材料：像+−1=3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．解法如下：移项：−1=3−H；两边平方：x﹣1＝9﹣6x＋x2.解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5检验所得到的两个根，只有是原无理方程的根．理解应用：解无理方程=2．【答案】＝2；x＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解；理解应用：先移项得到−2=一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根．【详解】解：阅读材料：经检验＝2是原方程的解；故答案为：＝2；理解应用：移项：−2=1+1，两边平方：2−4+4=解得1=54，2=3，经检验原无理方程的根为＝3．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．8．阅读下列材料：为解方程4−2−6=0可将方程变形为22−2−6=0然后设2=，则22=2，原方程化为2−−6=0①，解①得1=−2，2=3．当1=−2时，2=−2无意义，舍去；当2=3时，2=3，解得=±3；∴原方程的解为1=3，2=−3；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）2−22−52+10+6=0；（2）32+15+22+5+1=2．【答案】（1）1=1+3，2=1−3，3=3，4=−1；（2）1=0，2=−5．【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令=2−2，即原方程=2−5+6=0，求解即可．（2）同理，令2+5+1=，即原方程=32+2−5=0，求解即可．【详解】（1）设=2−2，得：2−5+6=0，解得：1=2，2=3．当1=2时，2−2=2，解得：=1±3，当2=3时，2−2=3，解得：=3，−1．∴原方程的解为1=1+3，2=1−3，3=3，4=−1．（2）设2+5+1=，则方程可变成32+2−5=0，∴(3+5)(−1)=0，1=−53，2=1．当1=−53时，2+5+1=−53，所以无解．当2=1时，2+5+1=1，∴2+5=0，∴1=0，2=−5．经检验1=0，2=−5是原方程的解．【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．9．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如B2+B+o≠0)的多项式变形为o+p2+的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式B2+B+o≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．例如：对于2+6+8．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式2+6+8有最小值？最小值是多少？解：（1）原式=2+6+8+1−1=2+6+9−1=(+3)2−1=[(+3)+1][(+3)−1]=(+4)(+2)．（2）由（1）得：2+6+8=(+3)2−1，∵(+3)2≥0，∴(+3)2−1≥−1，∴当=−3时，代数式2+6+8有最小值，最小值是−1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)用配方法因式分解：2+2−8；(2)试说明不论为何值，代数式−2+4−5恒为负数；(3)若已知(+p(−p=14(+p2且≠0，求K的值．【答案】(1)(+4)(−2)(2)见解析(3)2【分析】（1）根据题干信息，利用配方法分解因式即可；（2）先利用配方法将−2+4−5变形为−(−2)2−1，根据二次方的非负性，求出−2+4−5的值恒为负数；（3）先将(+p(−p=14(+p2变形为(2−+p2=0，得出2−+=0，即可求出K=2．【详解】（1）解：2+2−8=2+2+1−9=(+1)2−9=(+1+3)(+1−3)=(+4)(−2)．（2）解：∵−2+4−5=−(2−4+4)−1=−(−2)2−1，∵−22≥0，∴−−22≤0，∴−−22−1≤−1<0∴不论为何值，代数式−2+4−5恒为负数．（3）解：∵(+p(−p=14(+p2，∴B−2+B−B=14(2+2B+2)，∴4B−42+4B−4B=2+2B+2，∴(42−4B+2)+2(2−p+2=0，∴(2−p2+2(2−p+2=0，∴(2−+p2=0，∴2−+=0，∴2=−，∵≠0，∴K=2．【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式2±2B+ 2=±2．10．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：2+6+8．解：原式=2+6+9−1=+32−1=+3−1+3+1=+2+4②求2+6+11的最小值．解：原式=2+6+9+2=+32+2．∵+32≥0，∴+32+2≥2，即2+6+11的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：2+4+____________．(2)因式分解：2−12+32．(3)求42+4+3的最小值．(4)用配方法因式分解：4+4．【答案】(1)4(2)−4−8(3)2(4)2+2+22−2+2【分析】（1）由2+4+___=2+2⋅×2+22,从而可得答案；（2）由2−12+32=2−2⋅×6+62−62+32化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；（3）由42+4+3=22+2×2⋅1+12−12+3化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．（4）由4+4=22+2⋅2⋅2+22−2⋅2⋅2化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；【详解】（1）∵2+4+4=+22,故答案为：4（2）2−12+32=2−2⋅×6+62−62+32=−62−22=−6+2−6−2=−4−8（3）42+4+3=22+2×2b1+12−12+3=2+12+2∵2+12≥0,∴2+12+2≥2,∴42+4+3的最小值是2（4）4+4=22+2⋅2⋅2+22−2⋅2⋅2=2+22−22=2+2+22−2+2【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，解题的关键是掌握用配方法分解因式．11．已知实数、满足−2=8，则代数式2−32+−14的最小值是_____．【答案】58【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据≥8，即可求解．【详解】∵−2=8，∴2=−8，≥8，则2−32+−14=2−3−8+−14=2−3+24+−14=2−2+10=−12+9∵≥8∴当=8时取得最小值，最小值为8−12+9≥58，故答案为：58．【点睛】本题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握配方法的应用和非负数的性质.。
专题02 一元二次方程的4种解法(解析版)
专题02 一元二次方程的4种解法考点1：直接开方法；考点2：配方法；考点3：公式法；考点4：因式分解法。
1．方程（x +6）2﹣9＝0的两个根是（ ）A ．x 1＝3，x 2＝9B ．x 1＝﹣3，x 2＝9C ．x 1＝3，x 2＝﹣9D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣9解：∵（x +6）2﹣9＝0，∴（x +6）2＝9，则x +6＝±3，∴x 1＝﹣3，x 2＝﹣9，答案：D ．2．x 1、x 2是一元二次方程3（x ﹣1）2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是（ ）A ．x 1小于﹣1，x 2大于3B ．x 1小于﹣2，x 2大于3C ．x 1，x 2在﹣1和3之间D ．x 1，x 2都小于3解：∵x 1、x 2是一元二次方程3（x ﹣1）2＝15的两个解，且x 1＜x 2，∴（x ﹣1）2＝5，∴x ﹣1∴x 2＝13，x 1＝1−1，答案：A ．3．（易错题）若一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两根分别是m ﹣1和2m +3，则ba 的值为（ ）A ．16B ．259C ．25D ．259或25解：∵一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是m +1与2m ﹣13，且x =±∴m ﹣1+2m +3＝0，解得：m =−23，题型01 直接开方法即方程的根是：x 1=−53，x 2=53，∴b a =(±2=259，答案：B ．4．关于x 的一元二次方程x 2＝a 的两个根分别是2m ﹣1与m ﹣5，则m ＝ 2 ．解：根据题意得2m ﹣1+m ﹣5＝0，解得m ＝2，答案：2．5．关于x 的方程（2x +5）2＝m +1无实数解，则m 的取值范围 m ＜﹣1 ．解：∵关于x 的方程（2x +5）2＝m +1无实数解，∴m +1＜0，解得m ＜﹣1．答案：m ＜﹣1．6．对于解一元二次方程（x +3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x +3＝2，则另一个一元一次方程是 x +3＝﹣2 ．解：（x +3）2＝4，∴x +3＝±2，∴x +3＝2或x +3＝﹣2，答案：x +3＝﹣2．7．解方程：（1）x 2﹣81＝0；（2）4（x ﹣1）2＝9．解：（1）x 2﹣81＝0，x 2＝81，∴x ＝±9，∴x 1＝9，x 2＝﹣9；（2）4（x ﹣1）2＝9，（x ﹣1）2=94，∴x ﹣1＝±32，∴x 1=52，x 2=−12．8．一元二次方程y 2﹣y −34=0配方后可化为（ ）A ．（y +12）2＝1B ．（y −12）2＝1C ．（y +12）2=34D ．（y −12）2=34解：y 2﹣y −34=0y 2﹣y =34y 2﹣y +14=1（y −12）2＝1答案：B ．9．将代数式x 2﹣10x +5配方后，发现它的最小值为（ ）A ．﹣30B ．﹣20C ．﹣5D ．0解：x 2﹣10x +5＝x 2﹣10x +25﹣20＝（x ﹣5）2﹣20，当x ＝5时，代数式的最小值为﹣20，答案：B ．10．（易错题）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2解：∵a △b ＝a 2+b 2+ab ，∴（x +2）△x ＝（x +2）2+x 2+x （x +2）＝1，整理得：x 2+2x +1＝0，即（x +1）2＝0，解得：x 1＝x 2＝﹣1．答案：C ．11．把方程x 2﹣2＝4x 用配方法化为（x +m ）2＝n 的形式，则mn 的值是 ﹣12 ．题型02 配方法解：∵x2﹣2＝4x，∴x2﹣4x＝2，∴x2﹣4x+4＝2+4，∴（x﹣2）2＝6，∴m＝﹣2，n＝6，∴mn＝﹣12，答案：﹣1212．方程x2﹣2x﹣1＝0的解是 x1＝1+解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝2，∴（x﹣1）2＝2，∴x＝1∴原方程的解为：x1＝1+x2＝1答案：x1＝1+x2＝113．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x＝ ﹣2 ．解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3＝﹣1，整理得x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，所以x1＝x2＝﹣2．答案：﹣2．14．（易错题）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：x2+bax=−ca，…第一步x2+bax+（b2a）2=−ca+（b2a）2，…第二步（x +b 2a ）2=b 2−4ac 4a 2，…第三步x +b 2a =b 2﹣4ac ＞0），…第四步x =2a ，…第五步嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b 2﹣4ac ＞0时，方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠O ）的求根公式是 x =−b 2a ．用配方法解方程：x 2﹣2x ﹣24＝0．解：在第四步中，开方应该是x +b 2a =x =答案：四；x用配方法解方程：x 2﹣2x ﹣24＝0解：移项，得x 2﹣2x ＝24，配方，得x 2﹣2x +1＝24+1，即（x ﹣1）2＝25，开方得x ﹣1＝±5，∴x 1＝6，x 2＝﹣4．15．一元二次方程x 2+4x ﹣8＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2﹣B ．x 1＝x 2＝2﹣C ．x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣D ．x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣解：∵a ＝1，b ＝4，c ＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x −2±∴x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣题型03 公式法答案：D ．16．已知a 是一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0较大的根，则下面对a 的估计正确的是（ ）A ．0＜a ＜1B ．1＜a ＜1.5C ．1.5＜a ＜2D ．2＜a ＜3解：解方程x 2﹣x ﹣1＝0得：x =∵a 是方程x 2﹣x ﹣1＝0较大的根，∴a∵23，∴3＜1+4，∴32＜2，答案：C ．17．若实数a ，b 满足a 2+ab ﹣b 2＝0，则a b = ．解：a 2+ab ﹣b 2＝0△＝b 2+4b 2＝5b 2．a =−b 2=∴a b =18．（易错题）对任意的两实数a ，b ，用min （a ，b ）表示其中较小的数，如min （2，﹣4）＝﹣4，则方程x •min（2，2x ﹣1）＝x +1的解是 x =或x = ．解：①若2＜2x ﹣1，即x ＞1.5时，x +1＝2x ，解得x ＝1（舍）；②若2x ﹣1≤2，即x ≤1.5时，x （2x ﹣1）＝x +1，解得x x答案：x=x=19．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：（1）根据题意，得m≠1．∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，则x1=2m22(m−1)=m1m−1，x2＝1；（2）由（1）知，x1=m1m−1=1+2m−1，∵方程的两个根都为正整数，∴2m−1是正整数，∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．20．方程x2﹣x＝56的根是（ ）A．x1＝7，x2＝8B．x1＝7，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝﹣8解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8，答案：C．21．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）题型04 因式分解法A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝1，x2＝2解：x（x﹣2）＝x﹣2，移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝1．答案：D．22．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A．12B．9C．13D．12或9解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0，x﹣5＝0，x1＝2，x2＝5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；即等腰三角形的周长是12．答案：A．23．方程2x2+1＝3x的解为 x1＝1，x2=12 ．解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2=1 2．答案：x1＝1，x2=1 2．24．（易错题）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 20 ．解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．答案：20．25．（易错题）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ﹣3或4 ．解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．答案：﹣3或4．26．解方程（1）2x2﹣3x﹣2＝0；（2）x（2x+3）﹣2x﹣3＝0．解：（1）（2x+1）（x﹣2）＝0，2x+1＝0或x﹣2＝0，所以x1=−12，x2＝2；（2）x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，（2x+3）（x﹣1）＝0，2x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1=−32，x2＝1．。
一元二次方程的解法配方法及例题
一元二次方程的解法配方法及例题一元二次方程，听起来是不是有点儿高深莫测？别担心，今天我们就来聊聊这个看似复杂的东西，轻松搞定它。
想象一下，你正在逛街，突然发现了一条超好看的裙子，但你又不知道该不该买，这种纠结的感觉就像一元二次方程的解法一样，咱们先把问题搞明白，再来决定要不要“剁手”。
一元二次方程的标准形式是这样的：ax² + bx + c = 0。
这里的a、b、c可都是数字，咱们就把它们看成是不同的角色，正在为解这个方程而斗智斗勇。
我们来认识一下这个方程的“英雄”，那就是求根公式。
这个公式可是解方程的利器，简直就是数学界的超能力。
公式长得像这样：x = (b ± √(b² 4ac)) / (2a)。
瞧，这个公式的构成就像做饭，得准备好材料。
b、a、c分别代表你需要的配料，而根号下的部分，咱们叫它“判别式”，这玩意儿可是决定方程究竟有几个解的重要因素。
判别式大于零，嘿，那就说明方程有两个不同的解，像是你有两条裙子可以选择；等于零，那只有一条，虽然选择少了，但好歹也算有，像是最后还是能买到心仪的那条；小于零，那就可惜了，连个影儿都看不见，仿佛你这次购物完全泡汤。
咱们就来点实战。
比如说，你遇到一个方程：2x² 4x 6 = 0。
咱们先找出a、b、c，a=2，b=4，c=6。
这时候，心里千万不要慌，咱们按部就班，先计算判别式b² 4ac。
带着计算器，开始算吧！4的平方是16，接着算4乘以2乘以6，结果是48。
加在一起，16 (48)，哇，结果是64！判别式大于零，意味着这方程有两个解，咱们接着往下走。
然后，带着判别式的结果去算x。
代入公式，x = (4 ± √64) / (4)。
√64等于8，接着我们得到x = (4 + 8) / 4 和 x = (4 8) / 4。
第一个解，x = 3；第二个解，x = 1。
看到没有，方程的解就像咱们生活中的选择，虽然有时候会碰壁，但只要认真去算，总能找到出路。
自学初中数学资料-一元二次方程的解法-(资料附答案)
自学资料一、一元二次方程的解法（直接开平方法）第1页共13页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【知识探索】1．一般地，对于方程，（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：，；（2）当时，方程有两个相等的实数根：；（3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实根．【错题精练】例1．解一元二次方程的步骤是：（1）把原方程变形为__________ （2）根据平方根意义，①当，且a，c异号时，方程的解是__________ ．②当，时，原方程的解是，当，且a，c同号时，原方程__________【答案】||无解例2．一元二次方程(x−1)2=2的解是（）A. x1=−1−√2，x2=−1＋√2；B. x1~＝1−√2，x2=1+√2；C. x1~=3，x2~=−1；D. x1=1，x2~=−3．【答案】B例3．已知，则的值为__________【答案】【举一反三】1．关于x的方程能用直接开平方法求解的条件是__________第2页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】m为任意实数2．若实数a，b满足(a2+b2−3)2=25，则a2+b2的值为（）A. 8；B. 8或－2；C. －2；D. 28．【答案】A3．的根是__________【答案】4．用直接开平方法解方程，方程的根为__________【答案】二、一元二次方程的解法（配方法）【知识探索】1．配方法解方程（）的一般步骤是：（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为（、是已知数）的形式；（2）通过方程两边同时加“一次项系数一半的平方”，将的左边配成一个关于的完全平方公式，方程化为；（3）①当时，再利用开平方法解方程；②当时，原方程无实数根．【说明】（1）对于一般的一元二次方程，都可以用配方法来解；第3页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训（2）由方程（），把移到等式右边，在两边同时除以，得．【错题精练】例1．已知x2−2(n+1)x+4n是一个关于x的完全平方式，则常数n= ．【答案】1例2．用配方法解下列方程：【答案】|例3．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成（x﹣n）2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（）A. （x﹣n+5）2=1B. （x+n）2=1C. （x﹣n+5）2=11D. （x+n）2=11【解答】解：∵x2﹣8x+m=0，∴x2﹣8x=﹣m，∴x2﹣8x+16=﹣m+16，∴（x﹣4）2=﹣m+16，依题意有n=4，﹣m+16=6，∴n=4，m=10，∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，∴x2+8x+16=﹣5+16，∴（x+4）2=11，即（x+n）2=11．故选：D．【答案】D【举一反三】x2−x−5=0，化成(x+m)2=n的形式得（）1．把方程13第4页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训A. (x−32)2=294；B. (x−32)2=272；C. (x−32)2=514；D. (x−32)2=694．【答案】D．2．关于x的一元二次方程x2−mx−2=0的一个根为﹣1，则m的值为．【答案】1．3．已知可变为的形式，则__________【答案】44．用配方法解下列方程：【解答】略【答案】|5．用适当的数填空__________ =__________【解答】略第5页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】|三、一元二次方程的解法（因式分解法）【知识探索】1．通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【错题精练】例1．已知2x(x+1)=x+1，则x＝．【答案】−1或12例2．已知实数(x2−x)2−4(x2−x)−12=0，则代数式x2−x+1的值为．【答案】7或-1．例3．直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程的两个实数根，该三角形的面积为__________ .【解答】【答案】【举一反三】1．解方程：第6页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】【答案】2．已知实数x满足（x2−x）2−3（x2−x）−4=0，则代数式x2−x的值为．【答案】43．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是__________ .【解答】【答案】4．解下列方程（1）x2−2x=0；（2）3x(x−1)=2−2x．【解答】（1）解：x(x−2)=0，x1=0，x2=2；（2）解：3x(x−1)+2(x−1)=0，(x−1)(3x+2)=0，．x1=1，x2=−23【答案】（1）x1=0，x2=2；（2）x1=1，x2=−2．3第7页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训四、一元二次方程的解法（公式法）【知识探索】1．当△0时，方程（）的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式．【说明】求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程（）的结果．【错题精练】（b2−4c>0），则x2+bx+c的值为．例1．已知x=−b+√b2−4c2【答案】0例2．若实数a、b满足，则=__________ .【解答】【答案】例3．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．第8页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】（1）解：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，∴△ABC为等腰三角形；（2）解：根据题意得△=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，∴△ABC为直角三角形；（3）解：∵△ABC为等边三角形，∴a=b=c，∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．【答案】（1）△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；（3）x1=0，x2=−1．【举一反三】1．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（）．A. 0B. 1C. -1D. ±1【答案】C2．若方程的一个根为，则另一根为__________ .【解答】【答案】第9页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训3．徐涛同学用配方法推导关于x的一元二次方程的求根公式时，对于的情况，他是这样做的：小明的解法从第__________ 步开始出现错误；这一步的运算依据应是__________ .【答案】四|平方根的定义1．用适当方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）第10页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】【答案】；；；2．方程化为的形式是__________ 。
讲义精品一元二次方程解法讲义精品1
一元二次方程讲义测试题目：一、选择题1．解方程：3x2+27=0得（）.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（）.(A),x2=-1 (B) ,(C)x1=x2= (D) ,x2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是( ).(A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.（A）（B）（C）（D）都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程12．（x+2）（x-2）=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2=0. +x-1=0.+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+ 1)+2=0.=0.+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．（b-c）x2-（c-a）x+（a-b）=0（a≠c）22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法23．解方程：（1）（2）24．解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=0。
第01讲 一元二次方程(解析版)
第01讲一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.例2.判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a 2+2)x 2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a 都有a 2≥0，于是都有a 2+2＞0，由此可知a 2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m 2-1)x 2+(2-2m)x+(m 3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m 2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x 的方程，若整理为(m-4)x 2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+(2a+1)x+a 2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x-+=；⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x-+=不是整式方程；⑤2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0；(2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是：a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．例4.已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m 2-8)y 2-(3m-1)y+m 3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m 2-8≠0，即m≠±．可知它的各项系数分别是a=m 2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m 3-1．参数m 的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】关于x 的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+=2490b ac =-=> ∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结升华】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．例6.已知关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m 的值；（2）求方程的解．【答案与解析】解：（1）∵关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m 2﹣3m+2=0，解得：m 1=1，m 2=2，∴m 的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0得出：x 2+5x=0x（x+5）=0，解得：x 1=0，x 2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【变式】（1）x=1是的根，则a=.（2）已知关于x 的一元二次方程22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得一、单选题【分析】通过观察表格可得20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，即可求解．【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1-或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得10a -≠，将0x =代入解析式，求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，∴10a -≠，210a -=，∴1a =-；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．二、填空题一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3、2、3-B ．3、2、3C ．3、2-、3D ．3、2-、3-【答案】D【分析】将一元二次方程2323x x -=化为一般形式即可求得结果．【详解】解：将一元二次方程2323x x -=化为一般形式，得23230x x --=，二次项系数为3，一次项系数为2-，常数项为3-．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式．2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m ＝（）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】B 【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）观察表格中数据，一元二次方程4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为1x =，则一元二次方程()()21110a x b x -+--=必有一根为______．【答案】2【分析】利用整体思想设1x t -=，得到方程210at bt +-=，再根据210(0)ax bx a +-=≠即可得到t 的值，最后得出结论．【详解】解：∵在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，设1x t-=∴210at bt +-=∵210(0)ax bx a +-=≠有一个根1x =∴在210at bt +-=中1t =∴即在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，11x -=∴2x =故答案为：2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知m 是方程2210x x +-=的一个根，则代数式2242021m m ++的值为_________【答案】2023【分析】由方程根的定义得到221m m +=，整体代入2242021m m ++即可得到答案．【详解】解：∵m 是方程2210x x +-=的一个根，∴2210m m +-=，∴221m m +=，∴()222420212220212120212023m m m m ++=++=⨯+=．故答案为：2023【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．6．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知方程20x bx c ++=的两个根分别是2、1，则b c +=______．【答案】1-【分析】把1x =代入20x bx c ++=得出10b c ++=，整理即可得出答案．【详解】解：把1x =代入20x bx c ++=得：10b c ++=，∴1b c +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出10b c ++=．三、解答题（2）解：∵（﹣3x 2+6x ﹣5）－（﹣x 2+2x +3）＝﹣2x 2+4x ﹣8＝﹣2（x ﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x 2+6x ﹣5＜﹣x 2+2x +3，（﹣3x 2+6x ﹣5）*（﹣x 2+2x +3）＝（﹣3x 2+6x ﹣5）﹣3（﹣x 2+2x +3）＝﹣3x 2+6x ﹣5+3x 2﹣6x ﹣9＝﹣14，∵化简后的结果与x 取值无关，∴不论x 取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．（2022秋·九年级课时练习）已知方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=-，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得()2a 1x 3ax 8a 160-+-+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程，得a 10-≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程；()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160-+=，即2x 160-=．因式分解得()()x 4x 40+-=，解得1x 4=-，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.13．（2022秋·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x＝5．。
一元二次方程典型题
一元二次方程典型题一、利用配方法求解一元二次方程例：用配方法解方程x^2 - 6x - 4 = 0解：begin{align}x^2 - 6x - 4 = 0 x^2 - 6x = 4 x^2 - 6x + 9 = 4 + 9x - 3)^2 = 13 x - 3 = ±√(13) x = 3 ± √(13)end{align}解析：配方法是将一元二次方程通过配方转化为完全平方式，再利用直接开平方法求解。
在方程x^2 - 6x - 4 = 0中，首先在等式两边加上一次项系数一半的平方，即9，将方程左边配成完全平方式(x - 3)^2，然后开平方求解。
二、利用公式法求解一元二次方程例：用公式法解方程2x^2 + 3x - 1 = 0解：在方程2x^2 + 3x - 1 = 0中，a = 2，b = 3，c = -1Δ = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-1) = 9 + 8 = 17 > 0x = (-b ± √(Δ))/(2a) = (-3 ± √(17))/(2×2)所以x_1 = (-3 + √(17))/(4)，x_2 = (-3 - √(17))/(4)解析：公式法是对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），其解为x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
首先需要计算判别式Δ = b^2 - 4ac，判断方程根的情况。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根，将系数代入公式即可求出方程的解。
三、一元二次方程根的判别式的应用例：已知关于x的方程x^2 - 2x + m = 0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
解：因为方程x^2 - 2x + m = 0有两个不相等的实数根，所以Δ = (-2)^2 - 4×1×m > 04 - 4m > 04 > 4mm < 1解析：在一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）中，判别式Δ = b^2 - 4ac。
人教版九年级数学上册：《一元二次方程的解法》课后练习及详解
专题：一元二次方程的解法（1）重难点易错点解析题一：题面：已知，关于x 的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a金题精讲题一：题面：方程x (x -2)+x -2=0的解是（ ）A.2B. -2,1C. -1D.2, -1满分冲刺题一： 题面：解下列方程：24(3)(3)0x x x ---=题二： 题面：在一大片空地上有一堵墙（线段AB ），现有铁栏杆40m ，准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃．（1）如果墙足够长，那么应如何设计可使矩形花圃的面积最大？（2）如果墙AB =8m ，那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大？课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：.5-=/a详解：方程12)5(2=-+ax x a 既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数的最高次数是2，因此，二次项系数,05=/+a 故.5-=/a 金题精讲题一：答案：D 。
详解：先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可 由x (x -2)+(x -2)=0，得(x -2)(x +1)=0，∴x -2=0或x +1=0，∴x 1=2，x 2= -1。
故选D 。
满分冲刺题一：答案：4,321==x x .详解：(3)[4(3)]0,x x x ---=03,0)123)(3(=-=--x x x 或,0123=-x 解得4,321==x x题二：答案：（1）矩形的面积最大是200m 2（2）矩形花圃面积最大是144m 2 详解：（1）设DE =x ，那么面积S=x (20 - 2x ) = 22x -+20x = 12-(x -20)2+200 ∴当DE =20m 时，矩形的面积最大是200m 2（2）讨论①设DE =x ，那么面积S=x (20-2x )（0＜x ≤8）=12-(x-20)2+200∴当DE=8m时，矩形的面积最大是128m2．②延长AB至点F，作如图所示的矩形花圃设BF=x，那么AF=x+8，AD=16-x那么矩形的面积S=(x+8)(16-x) = -x2+8x+128= -(x-4)2+144∴当x=4时，面积S的最大值是144．∴按第二种方法围建的矩形花圃面积最大是144m2专题：一元二次方程的解法（2）重难点易错点解析一元二次方程ax 2+bx+c=0，a ≠0的条件。
2022-2023学年上海八年级数学上学期考点精讲精练17-2-2 一元二次方程解法-配方法带讲解
17.2.2 一般的一元二次方程的解法-配方法一．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x += A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．解：2620x x -+=，262x x ∴-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法． 2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ） A ．103 B ．73 C ．2 D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B【分析】根据配方的步骤计算即可解题． ()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确， 故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__． 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=， 2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+= B ．2224()22b b ac x a a-+= C ．2224()24b b ac x a a -+= D ．2222()22b b ac x a a ++=【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238()29x -=-，原方程无实数解 D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=； (5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-≥．8．ABC ∆的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC ∆是______三角形 等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．解：∵8+=b c∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -≥，()240c -≥，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b ，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13 C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0， ∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键． 题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N A ∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -≥，∴M-N ≥0，∴M ≥N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ） A ．74n ≥- B ．74n >- C ．2n ≥- D ．2n >-2m m -+12n m ∴=223()2c -≥74n ∴≥-故选：【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．题型4：配方法的应用14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ） A ．0c ≥B ．9c ≥C ．0c ＞D ．9c ＞B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -≥，且对x 为任意实数，260x x c -+≥∴90c -+≥∴9c ≥故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．正x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数 C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x2＋8x＋4＋3y2−12y＋3＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2−4y＋1）＝4（x＋1）2＋3（y2−4y＋4−4＋1）＝4（x＋1）2＋3（y−2）2−9，∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0，∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥−9．即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于−9．故选：C．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y zx+--==，则x2+y2+z2可取得的最小值为（）A．3 B．5914C．92D．618．关于代数式12aa++，有以下几种说法，①当3a=-时，则12aa++的值为-4.②若12aa++值为2，则a=③若2a>-，则12aa++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（）A．①B．①②C．①③D．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y =x ，y 均为实数），则y 的最大值是______．解：0y ≥，28y ≤≤．0y ≥，222y ∴≤≤∴y 的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的求值问题，配方法的应用，解本题的关键是通过21．已知152a b c +--，则a b c ++=____________22．已知212y x x c=+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1， ∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义， ∴−c−1＞0， 解得：c ＜−1． 故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键． 23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a ba b+-的值． （2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+或2242((4x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由． （1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析． 【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；）22x y ++23(24y ⎫++⎪⎭1-，2y =）不能，理由如下：原式变形：25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1D ．1﹣(﹣m 2+2m )=m 2﹣2m +1=(m ﹣1)2，∴当m =1时，(m ﹣1)2=0，∴当m 12＞时，x ，y ，z 不一定为正序排列． 故选：A ．【点睛】本题考查了配方法的应用，考查学生的计算能力．一、单选题1．方程210x x +-=的根是（ ） A ．15B 15-+C ．15-D 15-±D【分析】观察原方程，可用公式法求解. 解：∵1a =，1b =，1c =-， ∴241450b ac -=+=>， ∴152x -±=； 故选：D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键. 2．对于方程22210a a +-=，下列各配方式中，正确的是（ ） A ．(223a =B ．(223a =C ．(223a -= D ．(223a +=B【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 解：22210a a +-=222=1a a ∴+()2222+2=1+2a a ∴+∴()223a +=故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．用配方法解方程：2260x x --=，开始出现错误的一步是（ ）①226x x -=，②2132x x -=，③21113244x x -+=+，④2113416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．①B ．②C ．③D ．④4．下列各式：①2226(1)5x x x ++=++；②22114()422x x x ++=++；③223(x x ++=；④2236(4x x -+=-+；⑤222()22p px px x ++=+变形中，正确的有（ ）A ．①④B ．①C ．④D ．②④5．关于x 223ax =的两根应为（ ）AC D ．6．小明在解方程x 2﹣4x ﹣10＝0时，他是这样求解的，移项，得x 2﹣4x ＝10，两边同时加4，得x 2﹣4x +4＝14，∴（x ﹣2）2＝14，∴x ﹣2＝∴x 1＝2x 2＝2 ） A ．待定系数法 B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法B【分析】通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，是配方法．解：由题意， 将24100x x --=先移项，再将方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再用直接开平方解方程，满足用配方法解一元二次方程的步骤． 故选：B【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程的步骤，牢记相关知识点是解题的关键．7．设一元二次方程（1x +）（3x -）=m （m ＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ） A ．-1＜α＜β＜3 B ．α＜-1且β＞3 C ．α＜-1＜β＜3 D ．-1＜α＜3＜β8．对于两个实数a ，b ，用()max ,a b 表示其中较大的数，则方程()max ,21x x x x ⨯-=+的解是（ ）A ．1，1B ．1，1C ．1-，1D ．1-，1C【分析】根据题意则有x 2=2x+1和-x 2=2x+1，然后解一元一次方程即可．∵max （a ，b ）表示其中较大的数， ∴当x ＞0时，max （x ，-x ）=x ， 方程为x 2=2x+1， x 2-2x+1=2， （x-1）2=2， ∴x-1=±2， ∴x=1±2， ∴x ＞0， ∴x=1+2；当x ＜0时，max （x ，-x ）=-x ． 方程为-x 2=2x+1 x 2+2x+1=0， （x+1）2=0， ∴x=-1，故方程x×max （x ，-x ）=2x+1的解是-1，1+2 故选C ．【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程，根据题意得出x 2=2x+1和-x 2=2x+1是本题的关键． 9．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程22350x x +-=为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：将原方程变形为()21351x +=+，然后构造如图，一方面，正方形的面积为()21x +；另一方面，它又等于351+，因此可得方程的一个根5x =，根据阿尔花拉子米的思路，解方程24210x x --=时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S 正确的是（ ）A ．21425S =+=B ．21417S =-=C ．21425S =+=D ．21417S =-=C【分析】利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答． 解：24210x x --= 24+421+4x x -=2225x ∴正方形面积（阴影部分）S ＝21＋4＝25故选：C【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和解方程的一般步骤．10．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22018ax bx ++能取的最小值是（ ） A ．2011 B ．2013 C ．2018 D ．2023B【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值． 解：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ∴++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ∴++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+⎧⎨=+⎩，解得：510a b =⎧⎨=-⎩．222201*********(1)2013ax bx x x x ∴++=-+=-+，∴当1x =时，22018ax bx ++取最小值为2013.故选：B.【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键． 二、填空题11．把方程222x x -=用配方法化为()2x m n +=的形式，则mn 的值是________． -3∵222x x -=，∴222x x -=．∴2213x x -+=．∴()213x -=．∴1m =-，3n =．∴3=-mn ． 12．用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为()213x m -=的形式，则m =_____．13．已知a ，b ，c 满足8a b -=，2160ab c ++=，则2a b c ++的值是___________ 4【分析】由a ﹣b =8，得出a =b +8，进一步代入ab +c 2+16=0，进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质求得a 、b 、c 的数值，进一步代入求得答案即可． ∵a ﹣b =8， ∴a =b +8，∴ab +c 2+16=b (b +8)+c 2+16=(b +4)2+c 2=0， ∴b +4=0，c =0， 解得：b =﹣4， ∴a =4， ∴2a +b +c =4． 故答案为：4．【点睛】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 14．已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且满足2220a b c ab bc ac ++---=，则这个三角形的形状是______________．等边三角形【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质计算．∵a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，∴2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac=0，a 2+b 2-2ab+b 2+c 2-2bc+a 2+c 2-2ac=0，即（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c ，△ABC 为等边三角形．故答案为等边三角形．【点睛】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．15．已知22143134m n m n =--+，则11m n +的值等于______．16．已知a b n 2+=+,ab 1=,若2219a 152ab 19b ++的值为2014,则n 的值为______ .8或12-【分析】首先把2219a 152ab 19b ++变形为(219[a b)6ab ⎤++⎦,再根据值为2014可得2(n 2)6106++=,再利用直接开平方法解方程即可.解：2219a 152ab 19b ++,()2219a 8ab b =++, (219[a b)6ab ⎤=++⎦,(219[a b)6ab 2014⎤++=⎦,2(n 2)6106++=, 2(n 2)100+=.n 210+=±,n 210+=,n 210+=-,解得：1n 8=,2n 12=-,故答案为8或12-.【点睛】此题主要运用直接开平方法解一元二次方程,以及求代数式的值,关键是正确利用完全平方公式把2219a 152ab 19b ++变形.17．已知实数x ，y 满足2330x x y ++-=，则x+y 的最大值为_______．4【分析】用含x 的代数式表示y ，计算x+y 并进行配方即可.∵2330x x y ++-=∴233y x x =--+∴()222314x y x x x +=--+=-++∴当x=-1时，x+y 有最大值为4故答案为4【点睛】本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.18．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________．非负性即可求出结论．解：∵1x y z ++=∴1=--z x y∴23M xy yz zx =++=()()1312---+-+x y x y x x y y=22222333+--+--xy y xy y x x xy=2234223---++x xy y y x三、解答题19．用配方法解下列方程：（1）2410x x -=+；（2）264x x -=；（3）2304y y --=； （4）23440+-=x x ．122,23x ．122,23x ． 20．用配方法解下列方程：（1）225x x -=；（2）22103x x -+=； （3）22360x x --=；（4）2212033x x +-=；（5）)3x x =；（6）(23)(6)16x x +-=．8-<，9∴原方程无实数根．（3）22x移项，得配方，得21．解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．22．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若()222316x y +-=，求22x y +的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：(22x y +23y +-=27,y x +=晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．【分析】根据22x y +的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和22x y +的非负性解答即可． 解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：()222316x y +-=， 2234x y ∴+-=±，22227,1x y x y ∴+=+=-．不论,x y 为何值22xy +都不等于1-，227x y ∴+=． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略22x y +的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．23．用配方法说明：﹣9x 2+8x ﹣2的值小于0．【点评】本题考查了配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．24．试证：不论当x 为何值时，多项式42241x x --的值总大于4224x x --的值. 证明见解析【分析】比较大小常用的方式：利用完全平方公式证明两个多项式的差恒大于零即可解答. 因为()()()242424322412423120x x x x x x x -----=-+=-+>， 所以原题得证.【点睛】本题考查利用完全平方公式比较多项式的大小，熟练掌握完全平方公式是解题关键.25．阅读下列材料，完成相应任务：我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于x 的一元二次方程20x px q ++=，还可以利用下面的方法求解．将方程整理，得()x x p q +=-. (1)变形得2222p p p p x x q ⎛⎫⎛⎫+-++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ……………………第2步 得2222p p x q ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………………第3步 于是得2222p p x q ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22424p p q x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (4)当240p q -≥时，得2p x +=第5步得1x =2x =第6步 当240p q -<时，该方程无实数解. (7)学习任务：（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________．（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：①21090x x ++=； ②22630x x +-=．26．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1∵(a+3)2≥0∴(a+3)+1≥1，因此，该式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形，a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0 a2+2a(b+c)+(b+c)2= 可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；(4)已知：a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键.。
一元二次方程解法例题
一元二次方程解法例题一、配方法例题1. 例题：解方程x^2+6x + 4 = 0。
- 首先呢，我们要把这个方程变成完全平方式的样子。
对于x^2+6x这部分，我们知道完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，这里a=x，2ab = 6x，那b就是3。
- 我们就在方程两边加上3^2，同时为了保持等式成立，也要在右边减去3^2。
方程就变成了x^2+6x+3^2+4 - 3^2=0。
- 也就是(x + 3)^2+4 - 9 = 0，进一步得到(x + 3)^2=5。
- 然后呢，开平方可得x+3=±√(5)。
- 最后解得x=-3±√(5)。
2. 再看一个例子，解方程2x^2-5x+1 = 0。
- 先把二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得到x^2-(5)/(2)x+(1)/(2)=0。
- 对于x^2-(5)/(2)x这部分，按照完全平方公式，2ab =-(5)/(2)x，a = x，所以b=-(5)/(4)。
- 方程两边加上(-(5)/(4))^2，同时右边也要减去(-(5)/(4))^2，就变成x^2-(5)/(2)x+(-(5)/(4))^2+(1)/(2)-(-(5)/(4))^2=0。
- 也就是(x-(5)/(4))^2+(1)/(2)-(25)/(16)=0，化简得到(x-(5)/(4))^2=(25)/(16)-(8)/(16)=(17)/(16)。
- 开平方得x-(5)/(4)=±(√(17))/(4)。
- 解得x=(5±√(17))/(4)。
二、公式法例题1. 例题：解方程x^2-3x - 4 = 0。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-3，c = - 4），有个求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 先算判别式Δ=b^2-4ac，把a = 1，b=-3，c = - 4代入，得到Δ=(-3)^2-4×1×(-4)=9 + 16=25。
一元二次方程的解法及常见练习题示例
一元二次方程的解法及常见练习题示例一元二次方程的解法一元二次方程是一种形式如下的方程：$$ax^2 + bx + c = 0$$其中，$a$、$b$、$c$ 是已知系数，$x$ 是未知数。
解一元二次方程的常用方法有以下两种：配方法和公式法。
配方法和公式法。
配方法对于一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式，从而易于求解。
步骤如下：1. 确保 $a$ 的系数为 1。
如果 $a \neq 1$，则可以通过除以$a$ 进行化简。
2. 将 $b$ 的系数的一半取出来，记作 $m$。
即 $m =\frac{b}{2}$。
3. 将一元二次方程转化为 $(x+m)^2 - m^2 + c = 0$ 的形式。
4. 将 $(x+m)^2 - m^2 + c = 0$ 分解成 $(x+m)^2 - m^2 = 0$。
5. 化简后得到 $(x+m)^2 = m^2 - c$。
6. 去掉平方，得到 $x+m = \pm\sqrt{m^2 - c}$。
7. 分别移项得到 $x = -m \pm \sqrt{m^2 - c}$。
公式法公式法是解一元二次方程的另一种常用方法，利用以下公式进行求解：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中，$\pm$ 的取值可以分别取 $+$ 和 $-$。
常见练题示例下面是一些常见的一元二次方程的练题示例：1. 解方程 $x^2 + 5x + 6 = 0$。
- 使用配方法：$a=1$，$b=5$，$c=6$。
根据配方法的步骤，我们可以得到 $m = \frac{5}{2}$。
将方程转化为 $(x+\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 6 = 0$。
化简后得到 $(x+\frac{5}{2})^2 =\frac{1}{4}$。
去掉平方后得到 $x+\frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}$。
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《一元二次方程的解法》经典例题精讲例1解方程025x 2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x 2=-， 25x 2=，25x ±=，x ＝±5．∴5x 5x 21-==，．例2解方程2)3x (2=+． 分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了．解：2)3x (2=+，23x ±=+，23x 23x -=+=+，或， ∴23x 23x 21--=+-=，．例3解方程081)2x (42=--． 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：081)2x (42=--整理，81)2x (42=-，481)2x (2=-， 292x ±=-， ∴25x 213x 21-==，． 注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解． 解法一：02x 3x 2=+-，(x －2)(x －1)＝0，x －2＝0，x －1＝0，∴2x 1x 21==，．解法二：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，∴01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-， ∴213x ±=．∴1x 2x 21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=，∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=- 22n 4mn 4m ++=0)n 2m (2≥+=． ∴2)n 2m (m 3x 2++= 2)n 2m (m 3+±=．∴n m x n m 2x 21-=+=，．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±．例6用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：x 73x 22=+， 023x 27x 2=+-，0234747x 27x 22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2， 162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-． ∴21x 3x 21==，．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例7不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+．分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=∆的值的符号就可以了．解：(1)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4， ∴041)4(243ac 4b 22>=-⨯⨯-=-． ∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9，∴09164)24(ac 4b 22=⨯⨯--=-．∴方程有两个相等的实数解．(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+， 05x 7x 52=+-．∵a ＝4，b ＝－7，c ＝5，∴554)7(ac 4b 22⨯⨯--=- ＝49－100＝－51<0．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．例8已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．分析：根据韦达定理a c x x ab x x 2121=⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为，则5522， ∴53x 2-=，k ＝－7．即方程的另一根为，k 的值为－7．注意：一元二次方程的两根之和为，两根之积为．例9利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的(1)平方和；(2)倒数和． 分析：已知21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+， 关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子． 因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵21x x 23x x 2121-=⋅-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212232 149+=； (2)211221x x x x x 1x 1+=+ 2123--= ＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例10已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=⋅-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示，m 便可求出．解：设方程的两根为21x x 、，则22121．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+，∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+=34)2(2--=＝－30． ∵2m x x 21=，∴m ＝－30． 注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值．例11求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=⋅++-．解：设所求的方程为0q px x 2=++．∵2＋10＝－p ，2×10＝q ，∴p ＝－12，q ＝20．∴所求的方程为020x 12x 2=+-．注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．例12已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵q x x p 8x x 2121=⋅-==+，，∴方程为09x 8x 2=+-． 解这个方程得74x 74x 21-=+=，， ∴这两个数为7474-+和．例13如图22-2-1，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为2m 540，那么道路的宽度应是多少分析：设道路的宽度为x m ，则两条道路的面积和为2x x 20x 32-+． 题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．解：设道路的宽度为x m ，则2032x x 20x 325402⨯=-++．0100x 52x 2=+-， (x －2)(x －50)＝0，x －2＝0，x －50＝0，∴50x 2x 21==，．∵x ＝50不合题意，∴取x ＝2．答：道路的宽度为2m ．注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积．例14某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少分析：设平均每月增长的百分率为x ，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，增长两次后的产量是2)x 1(5000+，…．增长n 次后的产量b 是n )x 1(5000b +=． 这就是重要的增长率公式．解：设平均每月增长的百分率为x ．则7200)x 1(50002=+，2536)x 1(2=+， 56x 1±=+，∴22x 20x 21.，.-==(不合题意，舍去)．答：平均每月增长的百分率是20%．注意：解方程时，由1＋x 的值求x ，并舍去负值．。