高中微积分基本知识

高中微积分基本知识第一章、 极限与连续一、数列的极限1． 数列 定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1,,,n x x 叫数列，记作{}n x ，并吧每个数叫做数列的项，第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念：一个数列{}n x ，若0M ∃>，..s t 对*n N ∀∈，都有n x M ≤，则称{}n x 是有界的： 若不论M 有多大，总*m N ∃∈，..s t m x M >，则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤，则a 称为n x 的下界，b 称为n x 的上界{}n x 有界的充要条件：{}n x 既有上界，又有下界2． 数列极限的概念 定义：设{}n x 为一个数列，a 为一个常数，若对∀0ε>，总∃N ,..s t 当n N >时，有n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或()n x a n →→∞数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义：从第1N +项开始，{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+ 3． 数列极限的性质①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系⇒数列大小关系（n N >时） 二、函数的极限1.定义：两种情形①0x x →：设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义，A 为常数，若对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立， 则称()f x 在0x x →时有极限A记作0lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→几何意义：对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限：设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义，A 为常数，若对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立，称()f x 在0x 处有右极限A ， 记作0lim ()x x f x A +→=或0()f x A += 0lim ()x x f x A →=的充要条件为：00()()f x f x +-==A 垂直渐近线：当0lim ()x x f x →=∞时，0x x =为()f x 在0x 处的渐近线②x →∞：设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义，A 为常数，若对0ε∀>，,..X b s t ∃>当x X >时，有()f x A ε-<成立，则称()f x 在x →∞时有极限A ，记作lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞lim ()x f x A →∞=的充要条件为：lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==水平渐进线： 若lim ()x f x A →+∞=或lim ()x f x A →-∞=，则y A =是()f x 的水平渐近线2.函数极限的性质：①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当00x x δ<-<时成立） 三、极限的运算法则1． 四则运算法则设()f x 、()g x 的极限存在，lim (),lim ()f x A g x B ==则 ①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim()f x Ag x B= （当0B ≠时） ④lim ()cf x cA = （c 为常数） ⑤lim[()]k k f x A = （k 为正整数） 2． 复合运算法则设[()]y f x ϕ=，若0lim ()x x x a ϕ→=，则0lim [()]()x x f x f a ϕ→=可以写成0lim [()][lim ()]x x x x f x f x ϕϕ→→= （换元法基础）四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则设有三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，满足n n n y x z ≤≤ ， lim lim n n n n y z a →∞→∞== 则lim n n x a →∞=②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限①0sin lim1x x x →= ②1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1．无穷小：在自变量某个变化过程中lim ()0f x =，则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小※ 若()0f x =，则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小若()f x ε=，则()f x 不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小 4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+，其中()x α为x 在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(),()x x ααββ==，为同一变化过程中的无穷小若limc αβ=（0c ≠常数） 则α是β的同阶无穷小 （当1c =时为等价无穷小） 若limk c αβ=（0c ≠常数） 则α是β的k 阶无穷小 若lim0αβ= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小：(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)1x xxxxxx e +-；21cos 2x x-；(1)1x x βααβ+-；1ln x a x a - 2．无穷大：设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义。

若对于0M ∀>，0δ∃>..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x M >称()f x 当0x x →时为无穷大，记作0lim ()x x f x →=∞定理：lim ()f x 1lim ()1lim ()f x f x ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭无穷大为无穷小无穷小为无穷大 （下：趋于某点，去心邻域不为0）※ 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定 六、连续函数 1．定义设函数()y f x =在0x 某邻域有定义，若对0ε∀>，0δ∃>..s t 当00x x δ<-<时，恒有： 0()()f x f x ε-<也可记作 00lim ()()x x f x f x →= 或 0lim 0x y ∆→∆=00()()f x f x -=（或00()()f x f x +=）为左（或右）连续2．函数的间断点第一类间断点：左右极限存在⎧⎨⎩左右极限相等，该处无定义可去间断点左右极限不等跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等 3.连续函数的运算若函数()f x 与()g x 都在x 处连续，则函数()()f x g x ±，()()f x g x ，()()f xg x （()0g x ≠） 定理：[()]y f g x =，00()g x u =，若()g x 在0x 处连续，()f g 在0u 处连续，则[()]y f g x =在0x 处连续4． 闭区间连续函数的性质① 最值定理：()f x 在[,]a b 上连续， 则12,x x ∃，对一切[,]x a b ∈有12()()()f x f x f x ≤≤②介值定理：()f x 在[,]a b 上连续，对于()f a 与()f b 之间的任何数u ，至少∃一点ξ，..s t ()f u ξ=第二章、 导数一、导数的概念定义：设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义，如果极限 000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆ 存在，则称函数()y f x =在点0x 可导，极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为'0()f x单侧导数：设函数()y f x =在点0x 处的左侧00(,]x x δ-有定义，若极限 000()()lim x f x x f x x-∆→+∆-∆ 存在，则称此极限为函数()y f x =在点0x 处的左导数，记为'0()f x -，类似有右导数'0()f x +导函数：函数()y f x =在某区间上可导，则 '0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆性质：①函数()y f x =在点0x 处可导的充要条件''00()()f x f x -+= ②可导⇒连续导数的几何意义： 函数点处的切线斜率 二、求导法则1．函数的和、差、积、商的求导法则定理：若(),()u u x v v x ==都在x 处可导，则函数()()u x v x ±在x 处也可导，且 '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±定理：若(),()u u x v v x ==都在x 处可导，则函数()()u x v x 在x 处也可导，且'''[()()]u x v x u v uv =+ 推论：若1,,n u u 都在x 处可导，则函数12n u u u 在x 处也可导，且''''12121212[]n n n n u u u u u u u u u u u u =++定理：若(),()u u x v v x ==都在x 处可导，则函数()()u x v x 在x 处也可导，且 '''2()()u x u v uv v x v ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦ 2．反函数的求导法则定理：设函数()x g y =在y I 上单调可导，它的值域为x I ，而'()0g y ≠，则其反函数1()()y g x f x -==在区间x I 上可导，并且有''1()()f xg x = 4． 复合函数的求导法则定理：若函数()u x ϕ=在0x 可导，函数()y f u =在点00()u x ϕ=可导，则复合函数(())y f x ϕ=在0x 处可导'''[(())](())()f x f x x ϕϕϕ= 或 dy dy dudx du dx=（连锁规则） 三、高阶导数定义：若函数()y f x =的导数''()y f x =仍可导，则''()y f x =导数为()y f x =的二阶导数，记作2""2,(),d y y f x dx ， 类似的，有n 阶导数()(),(),n n n n d y y f x dx四、隐函数求导对于[,()]0F x y x =,或[,()][,()]F x y x G x y x =，若求dydx求导法：方程两侧对x 求导 微分法：方程两侧求微分公式法：''x yF dydx F =- ，将方程化成[,]F x y =0，将F 看成关于x,y 的二元函数，分别对x,y 求偏导'',x y F F 五、参数方程所确定的函数求导()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩ ，''''()/()t t y dy dy dt dy dx t dx dt dx dt dt t x ψϕ==== 导数公式 基本函数：导数运算法则:'''()u v u v ±=± ''()Cu Cu ='''()uv u v uv =+ '''2()u u v uv v v-= ()()()()n n n u v uv±=± ()()()()nn k n k k n k uv C u v -==∑ 高阶导数()()[()]()n n n Cf ax b Ca f ax b +=+ ()*(),(),0n m m n mn x A x n N m n -=∈>=若则 ()11!(1)n nn n x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭'0C ='1()x x μμμ-='()ln x x a a a ='1(log )ln a x x a ='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'2(cot )csc x x=-'(sec )sec tan x x x ='(csc )csccot x x x=-'(arcsin )x ='(arccos )x ='21(arctan )1x x =+'21(arccot )1x x =-+()()ln x n x n a a a = ()1(1)!(log )(1)ln n n a n n x x a --=- ()(sin )sin()2n n x x π=+()(cos )cos()2n n x x π=+※1.1()()n n o x o x x += 2.'000()()lim ()x f x f x f x x x ∆→-≠-，需补充条件()f x 在0x 处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定义：设函数()y f x =在某区间I 上有定义，00,x x x I +∆∈，若00()()y f x x f x ∆=+∆-可表示为()y A x o x ∆=∆+∆ （其中A 与x ∆无关） ，则称A x ∆为y 在0x 处的微分，记作dy A x =∆ ※dy y ∆与的区别： 当y 为自变量时，dy y =∆当y 为因变量时，dy y ≈∆，()y dy o x ∆=+∆，dy 为y 的线性主部 定理：对于一元函数()y f x =，⇔可导可微性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分()()()n n n d y f x dx = 二、微分的几何意义 “以直代曲” 三、微分中值定理①有限增量定理：'()y f x x x θ∆=+∆∆ (01)θ<< ②,L Hospital 法则：型未定式定值法：(),()f x g x 在0x 的某去心邻域有定义，且0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==，(),()f x g x 在0x 的某去心邻域可导，且'()0g x ≠0''()lim ()x x f x A g x →=，则有00''()()lim lim ()()x x x x f x f x g x g x →→= ∞∞，0∞，1∞，∞-∞，00，0∞类似四、函数的单调性与极值 1.单调性：定理：设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则2.极值定义：设函数()y f x =在点0x 某邻域有定义，若对该邻域内一切x 都有 0()()f x f x >则0()f x 是函数()f x 的一个极大值，点0x 为函数()f x 的一个极大值点。