静磁场唯一性定理的证明
静磁场中的唯一性定理
静磁场中的唯一性定理作者：戴振翔郑赣鸿张青等来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2014年第14期戴振翔，郑赣鸿，张青，马永青（安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥 230039）摘要：唯一性定理是解决静电磁场问题的重要理论依据，应用构造恰当函数的技巧和一些数学运算，从给定的边界条件出发，本文给出了静磁场唯一性定理的证明，最后给出了唯一性定理关于静磁场实际问题的应用举例.关键词：电动力学；唯一性定定理；边界条件中图分类号：O442 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2014）07-0022-02静电场和静磁场中的唯一性定理是电动力学中的重要定理.静电场的唯一性定理在郭硕鸿的《电动力学》已经给出非常清晰的证明.然而，关于静磁场中的唯一性定理，却没有给出.因此，有必要对静电场和静磁场的唯一性定理给出一个统一的系统证明，为解决静场问题提供理论依据.1 静磁场边界条件对于存在有限边界的静磁场问题，边界条件一般只有一种选择，那就是给定边界上的磁感应强度的法向分量：即通过边界的净磁通为零.2 静磁场唯一性定理的证明任意两个相邻的介质分界面上满足边值关系：即A1和A2相差一个常数，两者所确定的磁感应强度矢量相同，即磁场唯一确定.由以上的论证，可以得到不随时间变化的矢量场，在给定的边界条件和其满足的可以完备描述其不含时的矢量场下，是唯一确定的.3 结论从静场的角度论证电动力学中的唯一性定理业已完成.在时变电磁场中论证唯一性定理和在运动的参考系下即相对论情形下论证电磁张量的特定给定的边界条件下的唯一性定理是今后进一步的研究工作.参考文献：〔1〕蔡圣善，朱耘.经典电动力学[M].上海：复旦大学出版社，1985.120-210.〔2〕赵凯华，陈熙谋.电磁学上册[M].北京：高等教育出版社，1985.213-219.〔3〕胡友秋，程福臻.电磁学与电动力学上册[M].北京：科学出版社，2008.30-85.〔4〕张玉民，戚伯云.电磁学[M].北京：科学出版社2007.213-241.〔5〕郭硕鸿，电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008.37-90.〔6〕林璇英，张之翔.电动力学题解[M].北京：科学出版社，2007.99-263.〔7〕梁昌洪，褚庆昕.运动边界的电磁场边界条件[J].物理学报，2002,51(10)：2201-2204(10).〔8〕雷银照，徐纪安.时变电磁场唯一性定理的完整表述[J].电工技术报，2000,15(1)：16-20.〔9〕胡森.静磁场矢势A的唯一性定理及其证明[J].湖北第二师范学院学报，2008,25(2)：31-32.〔10〕张福恒.静电唯一性定理的意义与应用[J].海南师范大学学报，2008,21(2)：161-166.〔11〕张国文，王福谦.在电磁学中讲授静电场的唯一性定理[J].长治学院学报，2005,22(2)：45-47.〔12〕邵建军.论电磁势的唯一性（非动力物理效应）与相对论[J].湖北教育学院学报，2002,19(2)：22-26.。
电磁场理论课件 2-2 唯一性定理
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2
2
n
S
1
1
n
S
导体表面上的边值关系
|s 常数
n s
唯一性定理： 必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一.
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 有限V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ， V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2 ' - 2″
则有，22 0 （在V2区内）
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0
n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
根据唯一性定理，它是腔内的解，
n S
s
dS
s
n
dS
0
2 dV 0
V
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,
即Φ= C ,或 ' - '' =C，
以上说明 ' 和 ''顶多差一个常数,而电势的附加常数对 电场没有影响,这就证明了 ' 和 ''在物理上是同一个解,
于是,唯一性定理得证.
b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
在一同轴电缆内导体半径为r1外导...
■类似情况在第二章2.6节讨论电介质时也曾碰到过。当 时我们的做法是引入电位移矢量. 对于磁介质中的静磁 场，将式（6.2.5）代入式（6.3.3）得：
( B M ) dl
L 0
I0
令
H B M,
(6.3.4)
0
立即得：
H dl L
I0
(6.3.5)
H B 0 M
■H是B和M的组合，是引入的辅助矢量，不是一个实际 的物理量，从这个意义上讲H是没有明确的物理含义。
■H是磁荷理论中的磁场强度，即磁场对单位磁荷的作 用力，但是H不能反映磁场对运动电荷和载流导体的 作用力，实际上磁感应强度B才是反映磁场强弱的物 理量，才具有“磁场强度”的含义。
■磁场强度H与电位移矢量D相似，都是描写场的辅助 矢量。但是在实际应用中H常用而D不常用，这是因为 磁场通常是用传导电流产生的，传导电流可以用仪表 测量，与传导电流相联系的是H的环量。电场通常通 过两极间加电压建立，电压较易用仪表测量，而与电 压联系的是E的线积分，如果测量电荷比测电压容易， D就可能比E用得广泛了。
2
2
和公式 L r (Idl B) L
可求得:
L
I 2
(r
dr)
B
I 2
d[r(r
B)]
I
B
r
dr
上式右边的积分项在例5.3中曾碰到并处理过。第一项 为m×B, m为载流线圈的磁矩；第二项为全微分的闭路 积分，其值为零；第三项由于 r d r d(r2 / 2) ，其值 也为零。这样，载流线圈在均匀磁场中受的力矩为：
磁场为 μ0nI/2 。进一步可根据式（6.1.3）计算单位面 积面元受力，结果为:
F S
iS 2S
§26 静电场边值问题 唯一性定理
2
2
x 2
2
y 2
0
（阴影区域）
( xb,0 yb及yb,0xb) U0
图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 x2 y2 a2 ,x0, y0
x
0 ( x0,b ya)
y
0 ( y 0,b xa )
图 2.6.5 体电荷分布的球形域电场
积分得通解
1(r)
r2 6 0
C1
1 r
C2
2 (r)
C3 r
C4
边界条件
1 ra 2 ra
1 r0 有 限 值
0
1
r
ra
0
2
r
ra
2 r 0 参考点电位
解得 电位：
C1 0 C4 0
对场域求体积分,并利用高斯散度定理
(uu)dV uu dS (u)2dV
V
s
V
S为体积V的边界面,即S S0 S,S S1 S2 Sn , 由于在无穷远S0处电位为零,因此有
图2.6.6 证明唯一性定理用图
uu dS uu dS (u)2 dV
C3
a2 2 0
,
C2
a3 3 0
1(r)
6 0
(3a 2
r2)
2 (r)
a3 3 0 r
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r )
1
1
r
er
r 3 0
er
静磁场矢势A的唯一性定理及证明
（） １ １
（） １ ２
（ ：１ ・ 一 ） 者
（ ４ ）
（） ５
×
考 虑 第 ｉ 均 匀 区域 的 界 面 Ｓ 上 的 面 积 分 ，并 在 该 区域 个
内利 用 积 分 变换 成 为 体 积 分 ． 得
ｎ 介 质 １ 向 ２的法 向 方 向 ， 是 分 界 面 上 的传 导 电流 线 密 是 指 Ｏ ｔ
・
Ａ，Ａ ｌ － －
（ ６）
由（ ） ， ８ 式 右边 最 后 一 项 为 零 ， 此 因
收稿 日期 ： ０ ７ １ － ３ ２ ０ — １ １
静 电 磁 场 的 根 本 问 题 就 是 求 解 所 有 在 边 界 上 满 足边 值 关 系
或 给定 边 界 条 件 的 解 。 静 电 场 和满 足 规范 条 件 的 静 磁 场 的 问 题 在
２ 静 磁 场 的唯 一 性 定 理及 其证 明
中我 们 求 解 的是 泊 松 方 程 ； 在 一 般 情 况 下 。 磁 场 矢 势 Ａ的 微 而 静 分 方 程 有 着较 为 复杂 的形 式 …。 唯一 性 定 理 为解 决 实 际 问 题 提 供 了理论 依 据 ，它 告诉 我们 有 哪 些 因 素 就 可 以完 全 地 确 定 电磁 场 ， 对 于 静 电 问 题 的 唯 一 性 定 理 ， 本 ［中给 出 了 详 细 证 明 。 于 静 课 ２ ］ 对 磁 问 题 的 唯一 性 定 理 ， 文献 中得 出 的结 论 是 在 库仑 规 范 条 件 下 的 情 况 ， 文 说 明 不论 是 库 仑 规 范 条 件 还 是 一 般 条 件 下 ， 磁 矢 本 静 势Ａ的 唯一 性 定 理 都成 立 。
静磁场矢势→A的唯一性定理及证明
静磁场矢势→A的唯一性定理及证明
胡森
【期刊名称】《湖北第二师范学院学报》
【年(卷),期】2008(25)2
【摘要】唯一性定理是解决静电磁场问题的理论依据.课本中给出了静电场唯一性定理的表述形式及其严格证明,对于磁场部分则是点到即止.本文首先给出静磁场唯一性定理的表述形式,对一般情况下和库仑规范条件▽·→A=0下的情况均作了证明,得出后者只是一般情况下的一个特例.
【总页数】2页(P31-32)
【作者】胡森
【作者单位】湖北第二师范学院,物理与电子工程系,武汉,430205
【正文语种】中文
【中图分类】O44
【相关文献】
1.静磁场唯一性定理 [J], 宋福;罗世彬
2.再论静磁场唯一性定理 [J], 董钫
3.静磁场中的唯一性定理 [J], 戴振翔;郑赣鸿;张青;马永青
4.几个最优映射存在唯一性定理的统一证明 [J], 陈平
5.静电场电位边值问题唯一性定理的补充与完整证明 [J], 陈文卿;闫述
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《电磁场理论》3.1 唯一性定理
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
《电磁场与电磁波》 第3.2节
V
2dV
S
n
dS
在边界上的值
S
1
S
2
S
0
V 2dV 0
而 2 非负，故只有 0 即 常数
又 0 ，所以 0 S
，因而可以推得1 2 。
因此在第一类边界条件下拉普拉斯方程的解是唯一的。
唯一性定理也适合其它两类边界条件。
3. 唯一性定理的应用
唯一性定理给出了拉普拉斯方程（或泊松方 程）定解的充分必要条件。 这个定理启发我们，不管采用什么方法，只 要能找到一个既能满足给定的边界条件，又 能满足方程的电位函数，则这个解就是正确 的。 镜像法、分离变量法等求解方法就是唯一性 定理的具体应用。
3.2 唯一性定理
本节要点
唯一性定理描述 唯一性定理证明 唯一性定理应用
1. 唯一性定理描述
静电场问题通常都可以归结为：在给定边值条件下，求 解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。即
2 V /
2 0
给定边界条件
给定边界条件
唯一性定理(uniq类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯 方程的解必定是唯一的。
2. 唯一性定理证明
在第一类边界条件下，来证明唯一性定理。
由格林第一定理
V
2
dV
S
n
dS
令 ，同时考虑20，则
V
2dV
S
n
dS
设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有两解1和2，
由于方程是线性的，两个解的差=12也满足方程，即
V
2dV
S
n
dS
唯一性定理的证明（续）
在边界上， 1 S 2 S S
静磁场中的唯一性定理
若取库伦规范塄窑A=0袁则可得院Ain=Ajn
及矢势 A 的法向分量和切向分量在边界处相等袁 矢势 A 连
续院Ai=Aj
假设在可均匀区分的磁介质内给定磁导率 滋i 和传导电
流 Ji袁在磁介质边界 S 上给出矢势的切向分量 At|S 或磁感应 强度的切向分量 Bt=(塄× A)t|S袁则介质内的磁场被唯一确定.
矣 乙 Si
1 滋i
Ai×
(塄×
Ai)窑dS=
1 滋i
塄窑[Ai× (塄× Ai)]dV
Vi
乙 乙 =
1 滋i
Vi
(塄×
Ai)2dV-
1 滋i
Ai× [塄× (塄× Ai)]dV
Vi
乙 =
1 滋i
(塄× Ai)2dV
Vi
将积分在所有分区域内求和院
移 矣 移 乙 i
Si
1 滋i
Ai×
(塄×
Ai)窑ds=
证明 假设有两组不同的解 A1 和 A2 都满足定理条件. 令院A=A1- A2
在均匀各向同性磁介质 B=滋H
任意两个相邻的介质分界面上满足边值关系院
基 金 项 目 院 安 徽 大 学 大 学 生 科 研 创 新 渊KYXL2013009 和 KYXL2012017冤袁 安 徽 省 自 然 科 学 基 金 渊1208085QA07 和 1308085MA04冤袁安徽省教育厅项目渊KJ2013A031冤袁安徽大学野百门精品素质教育课程冶建设项渊SZJYKC2013020冤袁安徽大学青 年科学研究基金渊2009QN006A冤曰安徽大学野211 工程冶子建设渊39020012 和 39030039冤曰安徽大学博士科研启动基金资助项目 渊02303219冤
静电场和静磁场中的唯一性定理是电动力学中的重要 定理.静电场的唯一性定理在郭硕鸿的叶 电动力学曳 已经给出 非常清晰的证明.然而袁关于静磁场中的唯一性定理袁却没有 给出.因此袁有必要对静电场和静磁场的唯一性定理给出一 个统一的系统证明袁为解决静场问题提供理论依据. 1 静磁场边界条件
3.边界关系和唯一性定理
例六． 一圆环状磁介质与一无穷长直导线共轴，设 磁介质磁导率为 µ r ，直导线电流强度为I，求介质内外空 间的磁感应强度的分布和介质表面的磁化面电流。 解： B外 本例显然属于介质界面 与磁感应线重合的情况，无 B内 穷长直导线电流在真空中产 生的磁感应强度与以该直线 µr 为轴的圆形环路相切，大小 i ' i' 为 B = µ 0 I ，式中r为离
0 0
i
L
ri
ri
0
µ ri L
0
r1
r2
µ 0 µ r1 µ r 2 I B 所以： = π ( µ + µ )r r1 r2
B
再利用
Hi =
B
µ ri µ 0
可得：
介质1中的磁场强度为：
M线
n1
B线
⊙ I0
µr2 I H1 = = µ r1 µ 0 π ( µ r1 + µ r 2 ) r
B
介质2中的磁场强度为：
B
H = B µ0 − M
下面来求 i ' 和 i0 。
M1 =
B
µ0
− H1 =
µ r 2 I ( µ r1 − 1) π ( µ r1 + µ r 2 ) r
度 i01 时要用到 i '1 = M × n1 ，以及假定电流在表面上流动 ，则由 i01 = n1 × ( H 2 − H 1 ) 和r < r1时，因为 ∑ I = 0 ， 所以
L L内
L L内
0i
∫ E ⋅ dl
L
S
=0
i
∫ M ⋅ dl = ∑ I '
M ×n = i'
i
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。
它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。
在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。
静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。
他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。
根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。
结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。
当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。
除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。
由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。
总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。
通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。
- 1 -。
2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)04静态电磁场求解：静态场的唯一性定理(共10张PPT
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
第四章 静态电磁场求解
主要内容：
静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理
4.1 静态场的唯一性定理
1 静态电磁场的方程 静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的 基本特性。 ① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
M
n
r r
2 唯一性定理
设在区域V内源已知，在区域的边界S上：
r
| 边界
M
或
r
n
|边界
M
已知（M为边界上
的变点）。则在区域V内存在唯一的解，
它在该区域内满足Poisson方程；在区域
的边界上满给定的边界条件。称为静态电
磁场的唯一性定理。
设
E1 r
A1
r r3
E2
r
A2
r r3
两个同心导体球壳之 间充满两种介质。内
导体带电，电荷量为Q，
外导体球壳接地。
E1t E2t
D1n D2n
S
D dS
S1
1E1 dS
S2
2 E2
dS
Q
A
Q
2π1 2
2r r
κ为介质的电磁特性参数
② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有 无旋特性，可以用标量函数（称为位函 数或势函数）的梯度来表示，即
Fr r
③ 在介质的分界面上，位函数满足
1
r
| S
2
r
| S
唯一性定理
则 1 2
n n n
即
1 2 0
则
n ( )dV
n
n
ds 0
V
S n
S曲面内 0 C
S曲面上
0
n
S曲面上
2019/11/18
6
故
( )2dV
ds
0
V
S
n
即 0 S曲面内 C(常数)
S曲面上 0
C 0
故在S曲面内，其解是唯一的。 1 2
2019/11/18
5
第二章 2.7
2.
n
f2 (s)
二类边值问题
仍然采用反证法证明.设有两个解满足拉氏方程.
边值问题:
第二章 2.7
1.
给定边界上的电位函数,即已
知
f1(s)
s
，
S为边界 上的点。(狄里克利边界条件)
2. 给定边界上的电位函数的法向导数,即已知
n
f 2(s) 。（牛曼边界条件）
1
3. 边界 1 2 ，即已知
2
2019/11/18
1
2
拉普拉斯方程
泊松方程
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2
第二章 2.7
见书218面，
由格林第一恒等式：对任意标量函数
(2
V
)dV
s
n
ds
令 则
(2
ds
n
2019/11/18
关于静电场中唯一性定理的证明
关于静电场中唯一性定理的证明
静电场中唯一性定理：满足静电场的**Maxwell方程组的唯一解，取决于指定的边界条件而不受初始条件的约束。
为了证明该定理，我们首先考虑Maxwell方程组：
$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
可以看出，这套方程是由边界条件决定的，其解也是由边界条件决定的。
为证明唯一性定理，我们使用变分法从而得出以下**Euler-Lagrange方程组：
$\frac{\partial L}{\partial \vec{E}}-\frac{\partial}{\partial
\vec{x}}\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial\vec{E}}{\partial
x})}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial\frac{\partial
\vec{E}}{\partial t}}=0$
其中，$L$表示Lagrange函数，它是由Maxwell方程组构成的。
由此，我们可以得出雅可比方程：
这组方程有两个基本性质，一是称为“唯一性原理”，一是称为“不变性定理”。
不变性定理：对于给定的满足Maxwell方程组的特定边界条件，解不会随着时间变化而变化。
这两个定理说明，解是唯一的，而且不受初始条件的限制，而只受边界条件的约束。
因此，以上证明了静电场中唯一性定理。
静磁场唯一性定理的证明
静磁场唯一性定理的证明标量场的问题，情况与静电场完全相同。
讨论用磁矢量位描述的磁场问题。
设场域内有电流密度J ，讨论在什么边界条件下，旋度旋度方程J A μ=⨯∇⨯∇的解是唯一的。
证明：反证法。
假定在相同边界条件下有两个磁矢量位1A 和2A ，它们确定了1B 和2B11A B ⨯∇=、 22A B ⨯∇=它们的差值 21A A F -= 应满足V F ∈=⨯∇⨯∇0对于恒等式 ()()()()Q P P Q Q P ⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇=⨯∇⨯⋅∇ 运用高斯散度定理有dS n Q P dV Q P P Q SV ⋅⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇⎰⎰)()( 令 F Q P ==，代入上式应有dS F F n dS F F n dS n F F dV F SS S V ⋅⨯∇⨯-=⨯∇⋅⨯=⋅⨯∇⨯=⨯∇⎰⎰⎰⎰)()()()(2 上式若要使体积分为零，必须是0=⨯∇F这可能是0=F ，即21A A =，或者是o A A ϕ∇±=21可以采取措施来进行必要处理，以使磁矢量位的解答唯一。
可分三种情况讨论(1) 边界面上给定第一类边界条件o A A =，则边界上有0=F ，面积分必为零，则21A A =，解答唯一；(2) 边界面上给定A n ⨯∇⨯，应有0=⨯∇⨯F n ，所以21A n A n ⨯∇⨯=⨯∇⨯这也能使积分方程的面积分项为零，进而使21A A =解唯一。
而条件A n ⨯∇⨯，其大小等于tB ，方向由B n ⨯确定。
可见在S 面上给定了t B ，即n A ∂∂ ——第二类边界条件，或给定了t H ，即nA ∂∂ μ1——仍是第二类边界条件，场域中的A的解唯一。
(3) 在边界上给定A n ⨯，有21A n A n⨯=⨯也可以使面积分项为零。
而A n ⨯的大小即为t A ，方向由A n ⨯确定。
即正确给定边界上A n ⨯，则V 域中A 有唯一解。
第三章 静磁场
ds1
e1
17
4、静磁场的唯一性定理 设区域V内电流分布Jf 及磁介质分布给定，在V 内 B=μH 成立，在V的边界S上A或H的切向分量给 定，则V内磁场唯一确定。
第三章 静磁场
18
5、静磁场的能量
磁场的能量密度
1 w BH 2
磁场的总能量
1 W B HdV 2V
i B A x Ax
j y Ay
k z Az
Az Ay B1 0 y z
Ax Az B2 0 z x
Ax B3 B0 x y Ay
第三章 静磁场
8
（3）规范条件 由于A的任意性，可以对它加上一定的限制条件，该条件 称为规范条件。例如规定A的散度为零总是可以做到的。
D f E 0 B 0 H J f
D f E 0
B 0 H J f
静磁场的问题 在给定自由电流分布和介质分布情况下，如何 求解空间中的静磁场微分方程边值问题的解。
在静磁场中，可以用矢势A和电流 J表示总能量，即 B H ( A) H ( A H ) A ( H ) ( A H ) A J 即有
1 W ( A H ) A J dV 2 1 1 1 ( A H ) ds A JdV A JdV 2 2 2 S
证明: 若
A u 0
A A
A A 2 u 2
取ψ 满足泊松方程 则有
7相明(电磁场边值关系--唯一性定理).
5ξ电磁场的边值关系一．引言当介质分布均匀时，出现了界面，→D ,→B 有跃变，界面两侧场值的关系 1.边值关系：描述介质界面两侧的场矢量与界面上电荷，电流的关系 2.麦氏方程组的微分形式要求→E ,→D ,→B ,→H 在介质中连续麦氏方程组的积分形式在场量不连续时不成立。
故不能用微分形式导出边值关系，而用积分形式讨论边值关系。
⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∙=∙⎰⎰⎰→→→→s s v S d B dv S d D 0ρ⇒导出法向关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∙∂∂+∙=∙∙∂∂-=∙⎰⎰⎰⎰⎰→→→→→→→→→→s s l l S d t DS d j l d H S d tB l d E ⇒导出切向关系二．边值关系（法向关系证明从略,切向关系讲一例后推论） 1.→D 的法向有跃变⎰⎰=∙→→vsdv S d D ρ⇒σfD D n =-∙→→→)(12 （1）推论：εσσρρε0120)()(1pf v pf sE E n dv S d E +=-∙⇒+=∙→→→→→⎰⎰ （2）dv S d P ps⎰⎰-=∙→→ρ→⇒n )(12→→-∙P P =-σP（3）2．→B 的法向连续0)(0)(0112212=-∙−−−−→−=-∙⇒=∙→→→→→→→→⎰H u H u B B n n S d B s线性各向同性(4) 3.的→E 切向连续→→→→∙-=∙⎰⎰S d B dt d l d E s l 0)(12=-⨯⇒→→→E E n E Et t12= (5)4.的切向跃变→H→→→→→→→→→→=-⨯⇒∙∂∂+∙=∙⎰⎰⎰αf sflH H jn s d t DS d l d H )(12 （6）0)(012=-⨯=→→→→H H n f时，αH Ht t12= (7)线性各向同性：uB uBtt 1122=（8）推论：→→→→→→→→=-⨯⇒∙=∙⎰⎰αm s Ml M M jn S d l d M )(12 (9)5.→jf的法向跃变⎰⎰-=∙→→dv dt dS d sfjρtn f f f jj ∂∂-=-∙⇒→→→σ)(12 （10）0=∂∂t时，0)(12=-∙→→→jj f f n （11）三．说明1.上述关系在介质界面静止时导出，运动时，D ,B 法向关系仍成立，但E ,H 切向改变2.规定：界面法向n 从介质1指向介质2，否则差一负号3.具普遍意义：对任意矢量场，只要场方程与麦式方程组形式相同，其边值关系亦相同。
电磁学8 静电场的唯一性定理
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足
势处处为0
证明（反证）
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 Uk (k 1,2) 有两种恒定的电势分布U I和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分
布
UI UII EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
电量与场 强、电势
第k个导体上的电量
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
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静磁场唯一性定理的证明
标量场的问题，情况与静电场完全相同。
讨论用磁矢量位描述的磁场问题。
设场域内有电流密度J ，讨论在什么边界条件下，旋度旋度方
程
J A μ=⨯∇⨯∇
的解是唯一的。
证明：反证法。
假定在相同边界条件下有两个磁矢量位1A 和2A ，它们
确定了1B 和2B
11A B ⨯∇=、 22A B ⨯∇=
它们的差值 21A A F -= 应满足
V F ∈=⨯∇⨯∇0
对于恒等式 ()()()
()Q P P Q Q P ⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇=⨯∇⨯⋅∇ 运用高斯散度定理有
dS n Q P dV Q P P Q S
V ⋅⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇⎰⎰)()( 令 F Q P ==，代入上式应有
dS F F n dS F F n dS n F F dV F S
S S V ⋅⨯∇⨯-=⨯∇⋅⨯=⋅⨯∇⨯=⨯∇⎰⎰⎰⎰)()()()(2 上式若要使体积分为零，必须是
0=⨯∇F
这可能是0=F ，即21A A =，或者是
o A A ϕ∇±=21
可以采取措施来进行必要处理，以使磁矢量位的解答唯一。
可分三种情况讨论
(1) 边界面上给定第一类边界条件o A A =，则边界上有0=F ，面
积分必为零，则21A A =，解答唯一；
(2) 边界面上给定A n ⨯∇⨯，应有0=⨯∇⨯F n ，所以
21A n A n ⨯∇⨯=⨯∇⨯
这也能使积分方程的面积分项为零，进而使21A A =解唯一。
而条件
A n ⨯∇⨯，其大小等于t
B ，方向由B n ⨯确定。
可见在S 面上给定了t B ，即n A ∂∂ ——第二类边界条件，或给定了t H ，即n
A ∂∂ μ1——仍是第二类边界条件，场域中的A
的解唯一。
(3) 在边界上给定A n ⨯，有
21A n A n
⨯=⨯
也可以使面积分项为零。
而A n ⨯的大小即为t A ，方向由A n ⨯确
定。
即正确给定边界上A n ⨯，则V 域中A 有唯一解。