静磁场唯一性定理的证明

静磁场唯一性定理的证明

标量场的问题，情况与静电场完全相同。讨论用磁矢量位描述的磁场问题。

设场域内有电流密度J ，讨论在什么边界条件下，旋度旋度方

程

J A μ=⨯∇⨯∇

的解是唯一的。 证明：反证法。假定在相同边界条件下有两个磁矢量位1A 和2A ，它们

确定了1B 和2B

11A B ⨯∇=、 22A B ⨯∇=

它们的差值 21A A F -= 应满足

V F ∈=⨯∇⨯∇0

对于恒等式 ()()()

()Q P P Q Q P ⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇=⨯∇⨯⋅∇ 运用高斯散度定理有

dS n Q P dV Q P P Q S

V ⋅⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇⎰⎰)()( 令 F Q P ==，代入上式应有

dS F F n dS F F n dS n F F dV F S

S S V ⋅⨯∇⨯-=⨯∇⋅⨯=⋅⨯∇⨯=⨯∇⎰⎰⎰⎰)()()()(2 上式若要使体积分为零，必须是

0=⨯∇F

这可能是0=F ，即21A A =，或者是

o A A ϕ∇±=21

可以采取措施来进行必要处理，以使磁矢量位的解答唯一。可分三种情况讨论

(1) 边界面上给定第一类边界条件o A A =，则边界上有0=F ，面

积分必为零，则21A A =，解答唯一；

(2) 边界面上给定A n ⨯∇⨯，应有0=⨯∇⨯F n ，所以

21A n A n ⨯∇⨯=⨯∇⨯

这也能使积分方程的面积分项为零，进而使21A A =解唯一。而条件

A n ⨯∇⨯，其大小等于t

B ，方向由B n ⨯确定。可见在S 面上给定了t B ，即n A ∂∂ ——第二类边界条件，或给定了t H ，即n

A ∂∂ μ1——仍是第二类边界条件，场域中的A

的解唯一。

(3) 在边界上给定A n ⨯，有

21A n A n

⨯=⨯

也可以使面积分项为零。而A n ⨯的大小即为t A ，方向由A n ⨯确

定。即正确给定边界上A n ⨯，则V 域中A 有唯一解。