苏教版数学高二- 选修2-2试题 1.3.1单调性

1.3.1 单调性

双基达标 限时20分钟

1．命题甲：对任意x ∈(a ，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a ，b)内是单调递增的，则甲是乙的________条件．

解析 f(x)＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x 2≥0(－1

答案 充分不必要

2．函数f(x)＝3x －x 3的单调递减区间是________．

解析 f′(x)＝－3x 2＋3，令f′(x)<0，解得函数的递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) . 答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)

3．函数y ＝x(x 2－1)在区间________上是单调增函数．

解析 f′(x)＝3x 2－1，令f′(x)>0，解得x>

33或x<－33. 因此，在区间⎝⎛⎭

⎫－∞，－33上，f′(x)>0，函数是增函数； 在区间⎝⎛⎭

⎫33，＋∞，f′(x)>0，函数也是增函数． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭

⎫33，＋∞ 4．在下列结论中，正确的结论共有________个．

①单调增函数的导数也是单调增函数；

②单调减函数的导数也是单调减函数；

③单调函数的导函数也是单调函数；

④导函数是单调的，则原函数也是单调的．

解析 由导数与函数单调性的关系知：f′(x)≥0⇔f(x)在相应区间上单调递增，f(x)≤0⇔f(x)在相应区间上单调递减，但原函数与导函数的单调性没有关系，故①②③④错误．

答案 0

5．函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增，则a 的取值范围为________．

解析 ∵y′＝a －1x ，∴在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上y′≥0，即a －1x ≥0，∴a≥1x .由x>12得1x <2，要使a≥1x

恒成立，只需a≥2.

答案 [2，＋∞)

6．求证：函数f(x)＝e x －x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．

证明 f′(x)＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x －1＞0.即f′(x)＞0.

当x ∈(－∞，0)时，e x －1＜0，即f′(x)＜0，

∴函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．

综合提高 限时25分钟

7．已知y ＝f(x)，x ∈，且f′(x)＞0，则下列关系式一定成立的是________．

①f(0)＜0；②f(1)＞0；③f(1)＞f(0)；④f(1)＜f(0)．

解析 ∵当x ∈时，f′(x)＞0，∴f(x)在x ∈上为增函数，∴f(1)＞f(0)．

答案 ③

8.函数f(x)的导数y ＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递

增区间是________．

解析 由图可知当x ∈∪[2，＋∞)时，f′(x)≥0，故函数f(x)的单增

区间为和和[2，＋∞)

9．函数y ＝4x 2＋1x

的单调递增区间是________． 解析 y′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2，令y′>0，解得x>12

，则函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞

10．已知f(x)＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________． 解析 f′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立

⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧

a ＜0，36＋12a≤0，∴a≤－3. 答案 (－∞，－3]

11．求下列函数的单调区间．

(1)y ＝23

x 3－2x 2＋3； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.

解 (1)函数的定义域为R .y′＝2x 2－4x ＝2x(x －2)．

令y′>0，则2x(x －2)>0，解得x<0或x>2.

所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．

令y′<0，则2x(x －2)<0，解得0

(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝⎛⎭

⎫－32，＋∞. y′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝22x ＋1x ＋12x ＋3

. 令y′>0，解得－32－12

.

所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭

⎫－12，＋∞. 令y′<0，解得－1

，所以函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 12．已知函数f(x)＝2ax －1x 2，若f(x)在(0,1]上为增函数，求a 的取值范围． 解 ∵f′(x)＝2a ＋2x 3，由f(x)在(0,1]上递增， ∴x ∈(0,1]时，f′(x)≥0恒成立，

即a≥－1x 3在x ∈(0,1]上恒成立．∴a≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．

13．(创新拓展)(1)已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为，求b ，c 的值．

(2)设f(x)＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．

解 (1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1＜x ＜2是不等式3x 2＋2bx ＋c ＜0的解集．

∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，

∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3，即b ＝－32

，c ＝－6. (2)∵f′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，

∴方程f′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，

∴Δ＝02－4×1×3a ＞0，∴a ＜0.

∴a 的取值范围为(－∞，0)．