2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与

存在性问题

题型一 圆锥曲线中的定点、定值问题

【题型要点】

圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量，那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．解决这类问题的一般思路是：

(1)引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等．

(2)根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

(3)求解定点、定值问题，如果事先不知道定点、定值，可以先对参数取特殊值，通过特殊情况求出这个定点、定值，然后再对一般情况进行证明．

【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点Q ⎪⎭

⎫ ⎝⎛b a b ,在椭圆上，O 为坐标原点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．

(1)【解】 ∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12

，得a 2＝2b 2① 又点Q ⎪⎭

⎫ ⎝⎛b a b ,在椭圆C 上，∴b 2a 2＋a 2b 4＝1，② 联立①、②得a 2＝8，且b 2＝4.

∴椭圆C 的方程为x 28＋y 2

4

＝1. (2)【证明】 当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为x ＝2或x ＝－2， 从而有|PN |＝23，

所以S ＝12|PN |·|OM |＝12

×23×22＝26； 当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将PN 的方程代入椭圆C 的方程，整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，

所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2

， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋2k 2，由OM →＝OP →＋ON →，得M ⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-22212,214k m k km 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2.

又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k 2

， |PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，

∴S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2| ＝1＋2k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48k 2＋242k 2＋1

＝2 6. 综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6. 题组训练一 圆锥曲线中的定点、定值问题

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；

(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．

【解析】 (1)由题意得a ＝2，b ＝1，

∴椭圆C 的方程为x 24

＋y 2＝1. 又c ＝a 2－b 2＝3，∴离心率e ＝c a ＝32

.

(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4.

又A (2,0)，B (0,1)，

∴直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2

(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2

， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2

. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0

x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1

， 从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1

. ∴四边形ABNM 的面积S ＝12

|AN |·|BM | ＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+221120000x y y x ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)

＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2

＝2. 从而四边形ABNM 的面积为定值．

题型二 圆锥曲线中的范围问题

【题型要点】

与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法

1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．

2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．

3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．

【例2】设圆F 1：x 2＋y 2＋4x ＝0的圆心为F 1，直线l 过点F 2(2,0)且不与x 轴、y 轴垂直，且与圆F 1相交于两点C 、D ，过F 2作F 1C 的平行线交直线F 1D 于点E .

(1)证明||EF 1|－|EF 2||为定值，并写出点的轨迹方程；

(2)设点E 的轨迹曲线与直线l 交于M ，N 两点，过F 2且与垂直的直线与圆F 1交于P ，Q 两点，求△PQM 与△PQN 的面积之和的取值范围．

【解析】 (1)圆F 1：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心F 1(－2,0)，半径r ＝2，如图所示．

因为F 1C ∥EF 2，所以∠F 1CD ＝∠EF 2D .

又因为|F 1D |＝|F 1C |，所以∠F 1CD ＝∠F 1DC ，

所以∠EF 2D ＝∠F 1DC ，又因为∠F 1DC ＝∠EDF 2，所以

∠EF 2D ＝∠EDF 2，故ED ＝EF 2，

可得||EF 1|－|EF 2||＝||EF 1|－|ED ||

＝2<|F 1F 2|，

根据双曲线的定义，可知点E 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(顶点除外)，易得点E

的轨迹方程为x 2

－y 23＝1(y ≠0)． (2)Γ：x 2

－y 23＝1(y ≠0)． 依题意可设l ：x ＝my ＋2(m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由于PQ ⊥l ，设l PQ ：y ＝－m (x －2)．

圆心F 1(－2,0)到直线PQ 的距离d ＝|－m (－2－2)|1＋m 2＝|4m |1＋m 2

， 所以|PQ |＝2r 2－d 2

＝41－3m 21＋m 2， 又因为d <2，解得0

.