测量物体的高度

Ⅰ．背景材料

为什么埃拉托色尼能够成为第一个推算出地球周长的人？

2000多年前，古希腊的埃拉托色尼用简单的测量工具计算出地球的周长．

埃拉托色尼（约公元前275～前194年）博学多才，他通晓天文地理，是诗人、历史学家、语言学家和哲学家，曾担任过亚历山大博物馆馆长．

在离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿塞旺附近），夏日正午的阳光可以直照井底，因而此时地面上所有的直立物都应该没有影子，但亚历山大城地面上的直立物却仍有影子．细心的埃拉托色尼发现了这一现象，他认为直立物的影子说明亚历山大城的阳光与直立物形成了夹角．根据地球是圆球和阳光直线传播这个前提，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线所形成的夹角，再根据两地之间的距离，便能计算出地球的周长．埃拉托色尼按照相似三角形的关系，测出夹角为7°，是地球圆周角的五十分之一，因此推算出地球周长约为4万公里，这一结果与实际周长相差无几．他还算出太阳与地球之间的距离为1．47亿公里，结果与实际距离1．49亿公里也惊人的相近．

埃拉托色尼为什么能成为第一个推算出地球周长的人呢？

Ⅱ．课前准备

一、课标要求

1．经历设计活动方案，自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程．2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得到符合实际的结果．

3．能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．

4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．

二、活动准备

1．测倾器两个．

2．皮尺或卷尺等测量工具．

三、预习提示

1．关键概念：测倾器的制作及使用方法．

2．关键原理：直角三角形边角关系的知识．

3．预习方法提示：本节课属于活动课，首先讨论，设计方案，然后进行实地测量．

四、预习效果反馈

1．简单的测倾器由，和组成．

2．测量底部可以到达的物体的高度就是已知和，求，但必须注意最后还须再加上的高度．

3．测量底部不可以到达的物体的高度往往需要测两次和一次，最后也要再加上的高度．

Ⅲ．课堂跟讲

一、背记知识随堂笔记

测量高度⎪⎩⎪⎨⎧物体的高度测量底部不可以到达的体的高度

测量底部可以到达的物测量倾斜角

二、教材中“？”解答

1．问题（P 26） 解答：直接读出测倾器的指示数．因为当测仰角时用到“同角的余角相等” ．测俯角时用到“对顶角相等”“同角的余角相等” ．

2．活动二的问题（P 26） 解答：MN=ME ＋EN=ι·tan α＋a ．理由：

在Rt △MEC

中，已测得EC=AN=ι，∠MCE=α，∴tan α=

EC

EM ．

∴EM=EC·tan α=ι·tan α．∴MN=ι·tan α＋a ． 3

．活动三的问题（P 27） 解答：MN=ME ＋a ，而

αtan ME －β

tan ME =b ．理由：在Rt △MED 中，tan β=ED ME ，∴ED=βtan ME ．在Rt △MEC 中，tan α=EC ME ，EC=α

tan ME ．又∵EC －ED=DC ，故βtan ME －αtan ME =b ．由此式可求出ME 的长，而MN=ME ＋EN=ME ＋a ． 4．议一议（P 27） 解答：（1）测量物体高度的方法除本节外，还有利用相似三角形测影长与物高的比例，构造直角三角形等．

（2）如图1-5-1，测出M 的仰角∠MCE=α，测倾器的高AC=a ，然后根据AN=

α

tan a MN -即可求出测点A 到物体MN 的水平距离AN ．

三、重点难点易错点讲解

重点难点：

1．测倾器的制作

简易测倾器可以自己制作，用木板做一个半圆刻度盘，半径是15～20cm （90°～0°～90°），用螺钉螺母把它和一根长130cm 的木杆联在一起，并在半圆圆心处挂一铅垂线，直径的两端钉两个标针（如图1-5-2）．当大杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的．

2．用测倾器测量倾斜角的方法

（1）把测倾器插在一点（图1-5-3），使测倾器的木杆的中心线与铅垂线重合，这时标针连线在水平位置；

（2）转动半圆刻度盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B 处；

（3）根据同角的余角相等，可以知道，所测倾斜角即仰角∠EOB 等于铅垂线与零度线

间所夹的角，读出铅垂线所指的度数，就是∠EOB 的度数．

注意：（1）测倾器可用教学时用的量角器（木制的，半径为20cm ）只需把指针换成一根杆，长约130cm ，把刻度改为（90°～0°～90°），如图1-5-4所示．

（2）90°～0°～90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左、向右分别增加到90°为止，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°～180°．

（3）测倾器的制作和使用原理是：同角的余角相等．

3．测量底部可以到达的物体的高度如图1-5-5，以测量旗杆AB 的高度为例，如果从测点到旗杆底部的水平距离可以直接量得，高度AB 就可以测出，具体如下：

（1）工具——测倾器、卷尺．

（2）步聚：①在测点D 处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE=α．

②量出仪器的高CD=EB=b ，和测点D 到旗杆的水平距离BD=CE=a ．

③按照AB=atan α＋b 的表达式，就可求得旗杆高．这是因为AB=AE ＋EB=atan α＋b ．

4．测量底部不可以到达的物体的高度，如图1-5-6，以测量物体MN 的高度为例，如果两个测点A 、B 之间的距离可以测得，高度MN 就可以测出，具体如下：

（1）工具——两个测倾器、卷尺．

（2）步骤：①在测点A 处安置测倾器，测得此时M 的仰角∠MCE=α．

②在测点A 与物体之间的B 处安置测倾器（A ，B 与N 在同一条直线上），测得此时M 的仰角∠MDE=β．

③量出测倾器的高度AC=BD=a ，以及测点A 、B 之间的距离AB=b ．按照αtan ME －β

tan ME =b ，MN=ME ＋a ，就可求得MN 的高． 易错点：1．半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左，向右分别增加到90°为止，不能误认刻度是0°～180°．

2．眼睛与两个标针不在同一直线上．测量时必须保证眼睛与两个标针在同一直线上（视线上），同时在测倾斜角时眼睛、两个标针及目标点也应位于同一直线上．

【例】 某同学要测量操场上旗杆AB 的高度，现已将测得的数据填入下表，请你完成下列实验报告．

题目 测量底部可以到达的旗杆高

测量目标

测得数据

测量项目 第一次 第二次 平均值