大物习题答案第4章机械振动讲解

第4章 机械振动

4.1基本要求

1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系

2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析

3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义

4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点

4.2基本概念

1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。

简谐振动的运动方程 cos()x A t ωϕ=+

2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。

4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1

T ν

=

5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为

22T

π

ωπν=

= 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ωϕ+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位ϕ

7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。

弹性势能22

2p 11cos ()22E kx kA t ωϕ=

=+ 动能[]2

2222k 111sin()sin ()222

E m m A t m A t ωωϕωωϕ==-+=+v

弹簧振子系统的机械能为222k p 11

22

E E E m A kA ω=+=

= 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。

9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。

4.3基本规律

1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的

物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（0ϕ=）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t 曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。

2．简谐振动的合成

若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即

111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+

合振动仍是一个角频率为ω的简谐振动。 合位移12cos()x x x A t ωϕ=+=+

图4.1 弹簧振子的动能和势能随时间的变化

E

p

E O

O

x

k

E 2

1

2

E kA =t t

合振动的振幅A =合振动的初相1122

1122

sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=

+

振动加强：212πk ϕϕϕ∆=-=±， (0 1 2,)k =，， 12A A A =+ 振动减弱：21(21)πk ϕϕϕ∆=-=±-， ( 1, 2, 3)k = 12A A A =- 当21ϕϕ-取其他值时 1212A A A A A +>>-

若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间周期性变化的振动。

若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。 若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。

4.4学习指导

1．重点解析

简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型： （1）已知简谐振动表达式求有关物理量

（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式

对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式cos()x A t ωϕ=+加以比较，结合有关公式求得各物理量。

对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量A 、ϕ、ω,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。

其中角频率ω由系统的性质决定,2k m

ω=.

振幅A

可由初始条件求出，A =

图

4-3

图4-2

初相ϕ有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到0

tan v x ϕω-=

,这里ϕ有两个值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。

例 如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。 分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量A 、ϕ、ω。利用振动曲线可以看出2410A m -=⨯，t=0

时刻，质点位移02

x A =-，t=0.5s 时，x=0。利用这些信息可以确定ϕ、ω。 解：方法1 解析法 t=0

时，02x A =-

，于是有

0cos 2

x A A ϕ==-

解得：3

4

ϕπ=±

由t=0时刻对应的曲线斜率

0dx

dt

>可知，所以质点速度00v >，即： 0sin 0v A ωϕ=->

所以3

4

ϕπ=-

为求ω，先写出质点振动方程

23

410cos()4x t m ωπ-=⨯-

将t=0.5s ，x=0代入上式得

3

cos(

)024

ω

π-=，同样结合该点的速度方向可以得到2

π

ω=

，所以质点的振动方程是

23

410cos()24

x t m ππ-=⨯-

方法2：旋转矢量法